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=
𝑛!
𝑛M! 𝑛N!…𝑛�!
 
 
Vamos resolver outros exemplos para por em prática e para que você perceba o poder desse 
método. 
 
 
(CESPE 2014/PMCE) 
Guilherme Neves
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Considerando que um grupamento de 60 policiais militares em que haja 15 mulheres e 45 
homens seja dividido em 10 equipes de 6 militares para monitorar determinada área, julgue o 
item subsequente. 
Se as 2 primeiras equipes formadas forem constituídas apenas por mulheres, então o número de 
maneiras distintas de escolher os membros dessas equipes será igual a MI!
B!∙B!∙J!
. 
Comentário 
Vamos primeiro resolver da forma “tradicional” utilizando combinações. 
Há 15 mulheres e devemos escolher 6 para a primeira equipe. Em seguida, sobram 9 mulheres 
das quais devemos escolher 6 para a segunda equipe. 
Observe que queremos colocar 6 mulheres na primeira equipe e 6 mulheres na segunda equipe. 
Como o conectivo usado é “e”, devemos multiplicar as quantidades. 
O total de maneiras para escolher os membros dessa equipe é 
 
𝐶MIB ∙ 𝐶�B =
15!
6! 9! ∙
9!
6! 3! =
15!
6! 6! 3! 
 
Vamos agora utilizar partições. 
Há 15 mulheres e vamos dividir em dois grupos de 6 mulheres. Observe que sobraram 3 
mulheres. Essas 3 mulheres formam um terceiro subconjunto. Assim, na verdade, estamos 
dividindo as 15 mulheres em 3 subconjuntos: dois subconjuntos com 6 mulheres e um terceiro 
com 3 mulheres. 
Sempre que sobrarem pessoas, você deve juntar a “sobra” em um último subconjunto. 
k 156, 6, 3l =
15!
6! 6! 3! 
 
Gabarito: Certo. 
 
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(CESPE 2013/STF) 
O colegiado do Supremo Tribunal Federal (STF) é composto por 11 ministros, responsáveis por 
decisões que repercutem em toda a sociedade brasileira. No julgamento de determinados 
processos, os ministros votam pela absolvição ou pela condenação dos réus de forma 
independente uns dos outros. A partir dessas informações e considerando que, em determinado 
julgamento, a probabilidade de qualquer um dos ministros decidir pela condenação ou pela 
absolvição do réu seja a mesma, julgue o item seguinte. 
Se, no julgamento de determinado réu, 8 ministros votarem pela absolvição e 3 ministros 
votarem pela condenação, a quantidade de maneiras distintas de se atribuir os votos aos 
diferentes ministros será inferior a 170. 
Comentário 
Vamos primeiro resolver sem a técnica das partições. 
Temos 8 absolvições (A) e 3 condenações (C): AAAAAAAACCC. 
A quantidade de maneiras de se atribuir os votos aos diferentes ministros é igual ao total de 
maneiras que podemos trocar (permutar) a ordem dessas letras. 
𝑃MM
A,J =
11!
8! 3! =
11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8!
8! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =
11 ∙ 10 ∙ 9
3 ∙ 2 ∙ 1 = 165 
Agora vamos resolver usando as partições. Há 11 pessoas e vamos dividi-las em dois 
subconjuntos: um com 8 pessoas (as que vão absolver) e outro com 3 pessoas (as que vão 
condenar). O total de maneiras de dividir essas pessoas é: 
k 118, 3l =
11!
8! 3! = 165 
Gabarito: Certo 
 
 
10.2. Partições não-ordenadas 
Vamos agora aprender a calcular a quantidade de partições quando a ordem entre os 
subconjuntos não é relevante. 
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Exemplo: Vinte crianças estão reunidas para jogar futebol. De quantos modos podemos dividi-las 
em quatro times de 5 crianças cada? 
Nesse caso, não há ordem entre os times. Todos os subconjuntos têm o mesmo papel no 
problema (diferentemente dos problemas das partições ordenadas em que cada subconjunto 
desempenhava um papel distinto). 
Se as partições fossem ordenadas, a resposta seria: 
k 205, 5, 5, 5l =
20!
5! 5! 5! 5! =
20!
(5!)X 
Entretanto, não há ordem entre os 4 times. Assim, precisamos desconsiderar a ordem no cálculo 
acima. Essa correção é feita dividindo a resposta pelo fatorial da quantidade de subconjuntos 
com mesma quantidade de elementos. Temos 4 subconjuntos com mesma quantidade de 
elementos. Logo, a resposta é 
20!
(5!)X ∙ 𝟒! 
 
Só para você ter ideia: o número acima é igual a 488.864.376. 
Vamos praticar um pouco mais. 
De quantos modos é possível dividir 15 pessoas: 
a) em dois grupos de 4 e um grupo de 7? 
b) em um grupo de 10 e um grupo de 5? 
c) em dois grupos de 2, dois grupos de 3 e um grupo de 5? 
Comentário 
Em cada caso, começamos calculando as partições ordenadas. Depois, devemos dividir a 
resposta pelos fatoriais das quantidades de subconjuntos que possuem a mesma quantidade de 
elementos. 
a) em dois grupos de 4 e um grupo de 7? 
As partições ordenadas são: 
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k 154, 4, 7l =
15!
4! 4! 7! 
Há dois conjuntos com a mesma quantidade de elementos. Logo, devemos dividir o número 
acima por 2!. A resposta é 
15!
4! 4! 7! 𝟐! =
15!
(4!)N7! 2! 
 
b) em um grupo de 10 e um grupo de 5? 
As partições ordenadas são: 
k 1510, 5l =
15!
10! 5! 
Como os dois subconjuntos possuem quantidades diferentes de elementos, não precisamos 
dividir por fatorial algum. Assim, a quantidade de partições ordenadas é igual à quantidade de 
partições não-ordenadas. 
 
c) em dois grupos de 2, dois grupos de 3 e um grupo de 5? 
As partições ordenadas são: 
k 152, 2, 3, 3, 5l =
15!
2! 2! 3! 3! 5! 
 
Observe que há dois grupos de 2 e dois grupos de 3. Logo, devemos dividir a resposta acima 
por 2! 2!. A resposta é: 
15!
2! 2! 3! 3! 5! 𝟐! 𝟐! =
15!
(2!)X(3!)N5! 
(NC-UFPR 2006/TCE-PR) 
De quantas maneiras diferentes 12 estudantes podem ser divididos em 3 equipes, sendo que 
cada uma das equipes deve ser composta de quatro estudantes? 
a) 8425 
b) 3260 
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c) 12640 
d) 5775 
e) 34650 
Comentário 
 
Vamos começar com as partições ordenadas. Há 12 pessoas e vamos dividir em 3 equipes com 4 
pessoas cada. O número de partições ordenadas é: 
 
k 124, 4, 4l =
12!
4! 4! 4! 
 
Entretanto, não há ordem entre as equipes. Haveria ordem se, por exemplo, o problema 
designasse funções diferentes para cada equipe. Assim, devemos calcular o número de partições 
não-ordenadas. Para tanto, basta dividir o cálculo anterior por 3!, que é o número de equipes 
com mesma quantidade de elementos. 
 
12!
4! 4! 4! 𝟑! =
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4!
4! ∙ 4! ∙ 4! ∙ 3! 
Vamos fazer algumas simplificações. Observe que 4! = 24 e 3! = 6. 
Podemos cortar 6 com 3!, 4! com 4!. Podemos simplificar ainda 12 com 4! e 8 com 4!. 
=
11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 7 ∙ 5
2 ∙ 3 
 
= 5.775 
Gabarito: D 
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11. PERMUTAÇÕES CAÓTICAS 
 
Esse assunto é um tópico avançado de Análise Combinatória e só vi duas questões de concursos 
que exigiam a sua cobrança. 
(FCC 2019/Prefeitura do Recife – Assistente de Gestão Pública) 
Os quatro funcionários de uma repartição trabalham cada um em uma mesa, todos na mesma 
sala. O chefe da repartição determinou que os funcionários trocassem de mesa entre si. Os 
funcionários podem ser realocados na sala de modo que nenhum funcionário passe a ocupar a 
mesa que ocupava antes da realocação 
a) de 4 maneiras diferentes. 
b) de 24 maneiras diferentes. 
c) de 9 maneiras diferentes. 
d) de 6 maneiras diferentes. 
e) de 12 maneiras diferentes. 
Comentário 
Aparentemente é uma questão bem tranquila. Puro engano! 
O assunto envolvido nessa questão não é tratado

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