Ficha 02_Sucessoes_AMI

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Cursos: Nível: I
Disciplina: Análise Matemática I Semestre: 2◦/2020
Docentes: Carga Horária: 6h/Semana
Ficha de Exercícios N◦ 2 Sucessões
1. Defina os seguintes conceitos:
(a) Sucessão
(b) Subsucessão
(c) Limite de uma sucessão
(d) Limite superior e inferior de uma sucessão
(e) Sucessão crescente e decrescente
(f) Sucessão limitada, limitada por cima e li-
mitada por baixo
(g) Infinitésimo e infinitamente grande
2. Qual é a sucessão cujo limite é o número? A que é igual este número, aproximadamente? Este é
um número racional ou irracional?
3. Calcule os cinco primeiros termos das sucessões seguintes:
(a) an =
n+ (−1)n
n
(b)
{
u1 = 5
un+1 = un + n
(c) cn = 1 +
1
2
+
1
22
+ · · ·+ 1
2n
, n ≥ 0
4. Estude a monotonia das seguintes sucessões
(a) an =
n+ 1
2n+ 4
(b) bn =
n
3n
(c) cn =
√
n+ 1−
√
n
(d) dn =
n!
nn
(e) en = (2− n)2
(f) fn =
{
n+ 1, se n < 100
1 + 2n
2n+ 6
, se n ≥ 100
5. Mostre que as sucessões são limitadas:
(a) an =
2
n
(b) bn =
n+ 2
n
(c) cn =
2
3
− 3
3n+ 2
6. Indique o termo geral das sucessões:
(a) 3, 6, 9, 12, · · ·
(b) 1, 2, 4, 8, 16, · · ·
(c) 0,
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
,
5
6
, · · ·
(d)
2
3
,
4
9
,
8
27
, · · ·
(e)
3
5
,− 4
25
,− 6
625
, · · ·
(f) 3,
5
2
,
7
3
,
9
4
, · · ·
7. Em uma progressão aritmética (PA), o primeiro termo é 2 e o sexto é 17. Qual é a razão dessa PA?
8. O primeiro termo de uma PA é 3 e o último é 9. Escreva o termo geral da PA, sabendo que o
número de termos é igual a razão.
9. Escreva uma progressão arimética cujo segundo termo é 18 e o décimo termo, −6.
10. Determine o valor de x, de modo que x+ 4, 2x+ 4 e 5x− 2, nessa ordem, formem uma progressão
aritmética.
11. A sequência x2, (x+ 2)2, (x+ 3) é uma progressão aritmética. Calcule o valor de x.
12. Na progressão aritmética (4, x, 10, y), calcule x e y.
13. Calcule a soma dos trinta primeiros termos da progressão arimética (2, 8, 13, 18).
14. Calcule a soma dos oito primeiros termos da progressão aritmética
(
16
3
,
29
6
,
13
3
, · · ·
)
.
Análise Matemática I 1 Ficha No2: Sucessões
15. Calcule x na equação 1 + 4 + 7 + · · ·+ x = 117.
16. Calcule o sétimo termo da progressão geométrica (PG)
(
3
2
, 1,
2
3
, · · ·
)
.
17. Calcule o primeiro termo de uma PG cujo décimo termo é 243 e a razão é 3.
18. Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas:
(a)
(
2,
2
25
,
2
625
, · · ·
)
(b)
(
3
7
,
1
7
,
1
21
, · · ·
) (c)
(√
5, 5, 5
√
5, · · ·
)
(d)
(
2
3
,
3
5
,
9
10
, · · ·
)
19. Em uma PG, de quatro termos, os extremos são 2 e 54. Calcule a razão.
20. Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27, · · · ).
21. Em uma PG, o quarto termo é 135 e o sétimo 3645. Calcule a soma dos oito primeiros termos.
22. Determinar 10n+1− 9(S+n) se S = 9+99+999+9999+ · · ·+9999 · · · 9 onde a última parcela contém
n algarismos.
Sugestão: Faça a transformação 9 = 10− 1; 99 = 100− 1; 999 = 1000− 1; · · ·
23. Calcule a soma dos termos das seguintes PG infinitas:
(a)
(
1,
1
2
,
1
4
, · · ·
)
(b)
(
1,
1
5
,
1
25
, · · ·
)
24. O que entende por vn ∈ Vr(a)?
25. Usando a definição de limite prove que:
(a) lim
n
2n− 1
=
1
2
(b) lim
6n2
2n2 + 5
= 3
(c) lim
1
3n
= 0
(d) lim
(√
n+ 1−
√
n
)
= 0
(e) lim(n2 + 1) = +∞
(f) lim
(
2− n3
)
= −∞
26. Dada a sucessão un =
5n− 3
n+ 2
(a) Explique o que entende por limun = 5.
(b) A partir de que ordem a distância entre os termos e 5 é inferior a 0, 002?
(c) Quantos termos não pertencem a V0,002(5)?
27. Dada a sucessão un =
n− 1
n
.
(a) Averigue se 0, 92 é termo da sucessão.
(b) Mostra que a sucessão é monótona crescente.
(c) Justifique que a sucessão é limitada.
28. Dada a sucessão un =
2n
n+ 2
(a) Averigua se é monótona.
(b) Mostra que ∀n ∈ N, 23 ≤ un ≤ 2.
29. Dada a sucessão de termo geral un =
3n+ 1
2n
(a) Determine os termos de ordem 1 e 15
(b) Calcule a soma dos três primeiros termos da sucessão.
(c) Averigue se
23
15
é termo da sucessão.
(d) Prove que ∀n ∈ N, 32 < un ≤ 2.
Análise Matemática I 2 Ficha No2: Sucessões
30. Dada a sucessão de números reais de termo geral un =
2n+ 1
n
:
(a) Prove, aplicando a definição, que limun = 2.
(b) Determine a menor ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são valores aproxi-
mados de 2 a menos de: i. 0, 01 ii. 0, 002
31. Calcule os limites
(a) lim
(
1 +
1
n2
)n3
(b) lim
32n + 4n+1
5n − 22n
(c) lim
√
n2 + 7n− 1
n+ 2
(d) lim
[√
n(n+ 1)−
√
n(n− 1)
]
(e) lim
1 +
√
2 + · · ·+
√
n
n2 + 1
(Nota: use o teorema da sucessão enquadrada)
(f) lim
n+ sinn
n
(Nota: use o teorema da sucessão enquadrada)
32. Calcule os limites inferior e superior das sucessões
(a) vn = 1 + cos ((n+ 1)π)
(b) wn =

1
n , n primo
1
2 n não primo
33. Mostre que não é verdade que lim
n
2n+ 1
= 3.
34. Prove que a sucessão an = (−1)n não tem limite.
35. Calcule o limite das seguintes sucessões
(a) an =
1 + n+ n2
3n− n2
(b) bn =
1 + n2√
n4 + 1
(c) cn =
n2
√
n+ 1
n2 + 1
(d) dn =
√
n2 + 1− n
(e) en =
√
n2 + 3 −√
n2 + 2n+ 2
(f) fn =
√
n2 + n+ 3
n+ 1
(g) gn =
5n+1 + 4n+1
5n + 4n
(h) hn =
(
1 + 12n
)n
(i) in =
(
1 +
1
n
)3n
(j) jn =
(
1− 1n
)2n
36. Calcule os limites
(a) lim
n+ 1
n− 2
(b) lim
3
n2 − 2
(c) lim
n2 + 2n− 1
3n− 2
(d) lim
3 · 52n − 2
4 · 25n + 5
(e) lim 3
√
8n3 + 2n− 1
n3 − 2
(f) lim
(3n2 + 4)2
2n4 − 2n3 − 5
(g) lim
n10 + 9n7 + 1
(n− 2)3(n6 − 2n2)
(h)
(6n− 5)2(n+ 2)3
(n2 + 25)(3n3 − 7)
(i) lim
(√
n+ 2−
√
n+ 1
)
(j) lim
(
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
)
(k) lim
(
1 + 2 + 3 + · · ·+ n
n2 + 3
)
(l) lim
1
n
(
1 +
1
2
+ · · ·+ 1
n
)
(m) lim
(
1
n2
+
2
n2
+ · · ·+ n− 1
n2
)
(n) lim
ln(n+ 2)
ln(n+ 1)
(o) lim n
√
(n− 1)!
2n− 1
(p) lim
n
√
n2
n!
(q) lim
(
2n− 3
2n+ 3
)n
(r) lim
(
3n− 1
9n2
)3n−7
Análise Matemática I 3 Ficha No2: Sucessões