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Prof. Guilherme Augusto Pianezzer
Cálculo Diferencial
Aula 6
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Conversa Inicial
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O que esperar deste curso?
Cálculo diferencial
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Funções crescentes e decrescentes
Extremos relativos
O teste da derivada segunda
Aplicação em um problema real
Máximos e mínimos globais
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Funções crescentes e 
decrescentes
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Como definir funções crescentes e 
decrescentes e relacioná-las à 
operação de derivada?
1 2
3 4
5 6
2
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Ao longo de nossos estudos, você deve ter 
percebido que a derivada tem uma forte relação 
com o comportamento da função. Investigamos, 
por exemplo, que uma taxa de variação de 
financiamento de 1,5%/𝑎𝑛𝑜, indica que a taxa de 
financiamento está aumentando ao longo do 
tempo, isto é, está crescendo ao longo do tempo. 
Ou, quando encontramos que = −30 milhas/hora, 
estamos indicando que a distância 𝑥 está 
diminuindo ao longo do tempo, ou seja, está 
decrescendo
Lembre-se!
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Vamos ao quadro ver a definição de função 
crescente e decrescente
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Dizemos que uma função definida no 
intervalo (𝑎, 𝑏) é crescente quando:
∀𝑥 , 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑥 então 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑥
Função crescente
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Dizemos que uma função definida no 
intervalo (𝑎, 𝑏) é decrescente quando: 
∀𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑥 então 𝑓 𝑥 > 𝑓(𝑥 )
Função decrescente
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Lembre-se que a definição da derivada de 
uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é dada por:
= lim
→
( )
Mas, se considerarmos Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥 , 
escrevemos:
= lim
→
( )
Definição de derivada
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Se 𝑓 𝑥 > 0, para todo 𝑥 no intervalo (𝑎, 𝑏), 
então, 𝑓 é uma função crescente
Se 𝑓 𝑥 < 0, para todo 𝑥 no intervalo (𝑎, 𝑏), 
então, 𝑓 é uma função decrescente
Se 𝑓 𝑥 = 0 no intervalo (𝑎, 𝑏), então, 𝑓 é uma 
função constante
Teorema
7 8
9 10
11 12
3
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Suponha que precisemos determinar os 
intervalos nos quais a função 𝑦 = 𝑥 é 
crescente ou decrescente
Exemplo 1
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Gráfico da função 𝑦 = 𝑥 ,crescente em 0, ∞ e 
decrescente em −∞, 0
3 
2 
1 
-1
-2 -1 0 1 2
Fonte: Pianezzer, 2020
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Vamos considerar a seguinte função:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3𝑥 − 24𝑥 + 32
Exemplo 2
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Gráfico da função 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 − 24𝑥 + 32, 
crescente em −∞, −2 ∪ 4, ∞ e
decrescente em −2,4
60 
40 
20
-20 
-40 
-60
-20 0 20
Fonte: Pianezzer, 2020
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Extremos relativos
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Como investigar características dos pontos 
de máximos e mínimos relativos?
13 14
15 16
17 18
4
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Definimos o ponto de máximo relativo como o 
ponto 𝑥 = 𝑐 em que 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓(𝑥) para qualquer 𝑥
no intervalo (𝑎, 𝑏) dado
Definimos o ponto de mínimo relativo como o 
ponto 𝑥 = 𝑐 em que 𝑓 𝑐 ≤ 𝑓(𝑥) para qualquer 𝑥
no intervalo (𝑎, 𝑏) dado
Pontos de máximo e mínimo
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20
Vamos ao quadro observar o que ocorre 
nesses pontos
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𝑥 é considerado um ponto crítico de 𝑓(𝑥) se 
𝑓 𝑥 = 0, podendo ser:
Ponto de mínimo
Ponto de máximo
Ponto de inflexão
Teorema
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O teste da derivada segunda
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Como classificar os pontos críticos em ponto 
de máximo, ponto de mínimo ou ponto de 
inflexão?
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Vamos ao quadro compreender o que está 
ocorrendo em um ponto de máximo e em um 
ponto de mínimo
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21 22
23 24
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Dado 𝑥 um ponto crítico em que 𝑓 𝑥 = 0:
Se 𝑓 𝑥 > 0, então, 𝑥 é um ponto de 
mínimo local
Se 𝑓 𝑥 < 0, então, 𝑥 é um ponto de 
máximo local
Se 𝑓 𝑥 = 0, então, 𝑥 é um ponto de 
inflexão
Teorema
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Podemos usar essa técnica para encontrar e 
classificar os pontos críticos da função
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 − 24𝑥 + 32
Exemplo 3
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Aplicação em um problema real
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Como investigar a otimização em um 
problema real?
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Considere uma função que descreve o índice de 
criminalidade à medida que o tempo passa. 
Suponha que seja dado por:
𝑁 𝑡 = −0,1𝑡 + 1,5𝑡 + 100
Em que 𝑡 = 0 é medido em anos e representa o 
ano de 1997, enquanto 𝑁 representa o índice de 
criminalidade medido em quantidade de crimes. 
Então, poderíamos investigar quando o índice de 
criminalidade obteve seu menor valor
Problema 1
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Máximos e mínimos globais
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27 28
29 30
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Como encontrar os pontos de máximo e 
mínimo globais (absolutos) de determinado 
intervalo?
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No problema anterior, intuitivamente, a 
quantidade de crimes foi máxima em 2007 e 
mínima em 1997, mas isso não é 
necessariamente verdade, visto que a figura 
a seguir apresenta o gráfico de 𝑁 𝑡 = −0,1𝑡 +
1,5𝑡 + 100
Características do problema anterior
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Gráfico da função 𝑁 𝑡 = −0,1𝑡 + 1,5𝑡 + 100
250 
200 
150 
100 
50 
0 
-50
-50 50
Fonte: Pianezzer, 2020
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Vamos verificar o comportamento 
da função 
𝑃 𝑥 = −0,02𝑥 + 300𝑥 + 200.000
No domínio de 0 < 𝑥 < 20.000
Exemplo 4
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Na Prática
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Resolva os seguintes problemas:
1. Um carpinteiro recebeu a missão de 
construir uma caixa aberta de fundo 
quadrado. O material usado para fazer os 
lados da caixa custa R$ 3,00 o metro 
quadrado e o material usado para fazer o 
fundo custa R$ 4,00 o metro quadrado. 
Quais são as dimensões da caixa de maior 
volume que pode ser construída por R$ 
60,00?
Na Prática
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33 34
35 36
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2. Um tanque tem a forma de um cone 
invertido, tendo altura de 4 m e raio da base 
(isto é, do topo) de 1 m. O tanque se enche 
de água à taxa de 2 m³/min. Com que 
velocidade sobe o nível da água no instante 
em que ela tem 3 m de profundidade?
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3. Uma caixa sem tampa, de base quadrada, 
deve ser construída de forma que o seu 
volume seja 2.500 m³. O material da base 
vai custar R$ 1.200,00 por m² e o material 
dos lados, R$ 980,00 por m². Determine as 
dimensões da caixa de modo que o custo do 
material seja mínimo
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4. Uma caixa de base quadrada, sem tampa, 
deve ter 1 m³ de volume. Determine as 
dimensões que exigem o mínimo de material 
(despreze a espessura do material e as 
perdas na construção da caixa) 41
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Finalizando
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Finalizando
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39 40
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