ROTEIRO DE CÁLCULO PARA O LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO - PARTES 1 a 7

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA 
SETOR DE GEOMÁTICA 
 
 
 
GEA 102 Topografia Planimetria – 2020-1 
 
ROTEIRO DE CÁLCULO PARA O LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 
I. PLANEJAMENTO E ANÁLISE DE DOCUMENTOS 
Esta é uma das etapas mais importantes de um trabalho topográfico, pois é a partir da análise 
de documentos e entrevista com o cliente que vamos conhecer quais serão os nossos objetivos 
do trabalho. Daí um bom planejamento e estudo da logística de execução é possível criar um 
orçamento justo e confiável. Lembre-se que numa relação comercial de prestação de serviços 
estamos vendendo ao cliente uma ideia (projeto) que não é palpável, que ainda vai ser 
executado. Logicamente isso gera uma sensação de desconfiança que pode ser minimizada com 
demonstração de conhecimento na elaboração de uma proposta de trabalho que deixe bem claro 
as obrigações de cada parte. 
Sem esse convencimento inicial do seu cliente, as demais etapas não existirão! 
Os itens mais importantes a serem levados em consideração nesta etapa são: 
a. Análise da documentação do imóvel x realidade de campo 
Podemos afirmar sem grande margem de erro, que, 99% dos documentos registrados em 
cartório não espelham a real situação de campo. Isso ocorre, pois, nosso sistema de registro 
inicia sua cadeia de domínio nas Capitanias Hereditárias e desde então o país vem sendo 
subdividido de forma bastante irregular. Também precisamos considerar que os equipamentos 
de medição eram bastante raros e não se comparam em precisão com os instrumentos atuais. 
E como confrontar esta documentação com a realidade de campo, antes que o serviço seja 
executado? Neste ponto, o Google Earth nos dá um grande auxílio, propiciando informações 
espaciais do terreno de forma rápida e gratuita. 
b. Avaliação prévia do serviço 
Embora o Google Earth forneça dados cada vez melhores em termos de resolução e atualização, 
jamais deve ser usado como ferramenta de medição de áreas. Sabendo das suas limitações, é 
possível através desta ferramenta, estimar a área do terreno e confrontá-la com a documentação 
existente, verificar o tipo de vegetação que iremos encontrar nas divisas, diferenciar divisas 
artificiais (cercas, muros de pedra, valas, estradas, etc) das divisas naturais (córregos, serras, 
grotões, etc), estas últimas situadas em locais com maior dificuldade de medição. 
Outro fator a ser avaliado previamente é a forma do terreno. Para uma mesma área, quanto mais 
irregular for a figura geométrica, maior vai ser o seu perímetro. Um pivô central com área de 100 
ha, tem um perímetro de 3,5 km aproximadamente. Uma fazenda de mesma área, com formato 
irregular pode ter o perímetro 2x maior. 
 
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É muito comum se estimar preço dos serviços com base na área o que é totalmente equivocado 
pois o trabalho de topografia é de medição do perímetro 
c. Logística 
Grande parte dos custos de um serviço topográfico estão concentrados na etapa de campo. Aqui 
você deve pensar em todo o equipamento que deve estar disponível para a medição, incluindo 
veículo adequado para o deslocamento. Gastos com alimentação, hospedagem, confecção de 
marcos. Condições de acesso às divisas, condições climáticas, etc. 
 
II. ETAPA DE CAMPO 
Durante a etapa de coleta de dados, devemos conhecer os métodos de levantamento que 
poderão ser utilizados e nos preocupar com a qualidade das observações (Ângulos e Distâncias) 
que são coletadas no campo. 
Para o nosso trabalho escolhemos o levantamento topográfico usando o caminhamento por 
ângulos internos associado com o método de irradiação. 
• Caminhamento por ângulos horizontais internos → é quando demarcamos o nosso 
polígono em sentido contrário à graduação do equipamento; 
• Caminhamento por ângulos horizontais externos → é quando demarcamos o nosso 
polígono no mesmo sentido da graduação do equipamento. 
Para aferir a qualidade dos dados é necessário que tenhamos repetição (redundância) de 
observações. No entanto, aumentar a quantidade de observações significa aumentar o tempo de 
trabalho e consequentemente o custo final do serviço. De modo geral, é recomendável realizar 
pelo menos uma repetição de cada observação (ângulo horizontal e distância horizontal) na 
poligonal básica (formada pelas estações: E1, E2, etc). 
Cada grupo está recebendo uma caderneta de campo onde temos o seguinte: 
• Ângulos horizontais coletados 2x usando o método dos pares conjugados → leituras na 
posição direta (PD) e na posição inversa (PI) e distâncias coletadas 4x (Ré_PD; Ré_PI; 
Vante_PD e Vante_PI) 
O objetivo principal destas repetições é evitar erros grosseiros nas medições, lembrando que 
mesmo assim ainda permanecem os erros comuns de todo processo de medição e estes vão 
depender do equipamento que está sendo usado; e dos cuidados da equipe durante 
levantamento de dados. 
 
 
 
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III. ETAPAS DE ESCRITÓRIO 
III.1. Cálculo dos ângulos e distâncias médias 
a) Ângulo Horizontal (AH) 
A.H. = L FINAL – L INICIAL 
L INICIAL  Leitura de referência (Visada de RÉ) 
Geralmente usamos a leitura inicial em ZERO, mas pode ser qualquer outro valor 
 
L FINAL  Leitura nos pontos de interesse (Estações ou irradiações) 
 
Na poligonal, formada pelas estações, estamos usando a medição de ângulos horizontais com 
repetição pelo método de pares conjugados (PD x PI). Dessa forma teremos 2 ângulos 
teoricamente “iguais”, porem obtidos em 2 posições diferentes do equipamento. A finalidade é 
minimizar os erros normais de qualquer processo de medição e permitir a detecção de erros 
grosseiros através do desvio das observações em relação ao ângulo horizontal médio. 
 
b) Distância Horizontal (DH) 
onde: 
 
DI é a distância inclinada e Z é o ângulo Zenital 
Neste caso, apenas para a poligonal, vamos calcular a média das distâncias obtidas na visada 
de Ré (PD x PI) e média das distâncias obtidas no mesmo alinhamento de Vante (PD x PI). 
Depois fazemos a média entre os alinhamentos de Ré x Vante. 
 
Nas duas medições (AH e DH), a análise dos desvios nos permite avaliar se existem erros 
grosseiros nas medições. 
Chamo a atenção de todos aqui para o fato de que não realizamos repetições nas irradiações e, 
portanto, não podemos atestar a qualidade das medições nestes pontos. Assim, temos uma 
incoerência de procedimentos pois são estes pontos que irão formar o nosso projeto. 
Resumindo, um trabalho de topografia com excelentes parâmetros de qualidade (análise da 
poligonal) pode resultar num projeto ruim de representação do terreno (erro nas irradiações). Por 
outro lado, uma poligonal de má qualidade vai gerar um projeto de má qualidade mesmo com 
irradiações teoricamente corretas. 
 
 
D.H. = D.I. x sen (Z) 
 
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III.2. Análise do Erro de Fechamento Angular (E.F.A.) 
O E.F.A. é calculado de acordo com o somatório esperado para os ângulos horizontais em um 
polígono de N lados. 
Aqui precisamos saber se o método de caminhamento usado no levantamento, gerou ângulos 
horizontais internos ou externos. 
Recordando: 
• Caminhamento ou demarcação das Estações em sentido contrário à graduação do 
equipamento  ângulos horizontais internos. 
• Caminhamento ou demarcação das Estações no mesmo sentido da graduação do 
equipamento  ângulos horizontais externos. 
 
Esse erro é calculado de modo a permitir uma análise da qualidade do polígono e inclui os erros 
aleatórios de um processo de medição. 
a) Cálculo do E.F.A. 
 
 
SCAMPO  somatório dos ângulos horizontais médios do polígonoSTEÓRICA  somatório dos ângulos horizontais para um polígono de N lados 
• STEÓRICA = 180° x (N - 2)  ângulos horizontais internos 
• STEÓRICA = 180° x (N + 2)  ângulos horizontais externos 
 
b) Cálculo da tolerância ou limite para o E.F.A. 
onde: 
 
R = 1, 2 ou 3 dependendo do rigor desejado na análise (<R, < tolerância) 
P = Precisão angular das “medidas” 
N = Número de lados do polígono 
Na literatura, normalmente encontramos o valor de P como sendo a precisão do equipamento. 
No nosso caso (Leica TS02, P = 7 segundos). Vejamos o seguinte então: 
 
E.F.A. = SCAMPO – STEÓRICA 
L. E.F.A. = R x P x √𝑁 
7” 
A 
B’ 
B 
DH 
 
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Se eu tiver uma distância (DH) de 200 m: 
tan ∝ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 tan 7" =
𝐵−𝐵′
200𝑚
 𝐵 − 𝐵′ = 0,007𝑚 
 
Se eu tiver uma distância (DH) de 100 m: 
tan ∝ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 tan 7" =
𝐵−𝐵′
100𝑚
 𝐵 − 𝐵′ = 0,003𝑚 
B-B’ então pode ser dado como o desvio linear provocado pelo erro angular e ele é proporcional 
à distância. Ou seja, quanto maior for o DH, maior será o desvio linear provocado por um mesmo 
erro angular. 
Indo para a situação prática de campo, suponha que você está segurando um prisma em B, para 
um colega de trabalho que está com o equipamento em A. Embora tenham manuseado pouco 
os equipamentos e acessórios, posso afirmar que é extremamente difícil segurar o prisma sem 
balançar. E quanto mais alto estiver o bastão pior fica a situação (balança mais). Pegue uma 
régua e meça 5cm (pouco mais que 2 “dedo de cachaça”). Assim, invertendo a situação e 
definindo B-B’ como 5cm (balanço do prisma), teremos a seguinte situação: 
∝ = 𝑖𝑛𝑣 tan
𝐵−𝐵′
𝐷𝐻
 
Se eu tiver uma distância (DH) de 100 m e um desvio do prisma de 5cm: 
∝ = 1′43" 
Se eu tiver uma distância (DH) de 200 m e um desvio do prisma de 5cm: 
∝ = 52" 
∝ então pode ser dado como o desvio angular (erro) provocado pelo desvio linear na posição do 
prisma e ele é inversamente proporcional à distância. Ou seja, quanto maior for o DH, menor 
será o erro angular provocado por um mesmo desvio da posição do prisma (por exemplo 5cm). 
Como cada ângulo é formado por 2 leituras (L INICIAL e L FINAL), esse erro pode dobrar de tamanho. 
Na prática, portanto, as nossas medidas angulares carregam erros operacionais que superam 
bastante a precisão do equipamento. Isso pode ser melhorado através de repetições e cuidado 
maior nas medições, por exemplo usando um suporte para evitar a movimentação do prisma. 
Feito essas considerações, para o trabalho em questão vamos adotar o seguinte limite ou 
tolerância na avaliação se as medições estão boas, ou não: 
 L. E.F.A. = 8’ 
L. E.F.A. = 2 x 2’ x √4 
 
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c) Correção do Erro de Fechamento Angular ou simplesmente Erro Angular 
A correção consiste em alterar os ângulos medidos fazendo com que a SCAMPO se iguale à 
STEÓRICA. A distribuição do erro pode ser feita de diversas formas: 
• distribuição uniforme (divide-se o erro pelo número de ângulos) 
• distribuição inversamente proporcional à distância (alinhamentos mais curtos tem chance 
de formar erros maiores, e vice versa) 
• distribuição por critérios estatísticos (ex: Mínimos quadrados) 
A correção segue sempre o sinal contrário do Erro. Se EFA for positivo a correção é feita 
subtraindo os valores, e vice versa. 
LEMBREM-SE: CORREÇÃO SÓ SE APLICA EM POLÍGONOS “FECHADOS”. IRRADIAÇÕES 
NÃO SÃO CORRIGIDAS. 
 
III.2 CÁLCULO DA DIREÇÃO DE REFERÊNCIA (AZIMUTE DE “PARTIDA”) 
Como foi visto nas aulas teóricas, os ângulos horizontais podem ser classificados quanto ao seu 
referencial em: 
• Ângulos horizontais com referencial arbitrário; 
• Ângulos horizontais com referencial padronizado na LINHA NORTE-SUL ou ângulos de 
DIREÇÃO. 
Os primeiros são aqueles medidos no levantamento topográfico e os últimos são usados para 
elaboração dos projetos. O motivo para isso é simples: precisamos de projetos que possam ser 
reproduzidos ou comparados e, por isso, os ângulos horizontais coletados no campo devem ser 
REORIENTADOS e passam a ser chamados de AZIMUTE ou RUMO. 
 A pergunta que não quer calar! Se vamos utilizar os ângulos de direção (AZIMUTE ou 
RUMO) nos projetos, por que eles não são medidos no campo? A resposta é a dificuldade 
de determinação da linha de referência padronizada. 
Existem 3 tipos de referência padronizada (LINHA NORTE – SUL) 
a) Linha N-S magnética → determinada com uso de uma bússola; 
b) Linha N-S geográfica ou “verdadeira” → determinada através de observações 
astronômicas (posição do Sol ou de outras estrelas de maior grandeza); 
c) Linha N-S de quadrícula → originada no processo de transformação de coordenadas 
geográficas (Lat/Long que são obtidas nos levantamentos com equipamentos GNSS), 
para coordenadas projetadas no plano. Nesta transformação, os meridianos e paralelos 
 
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que são linhas que acompanham a curvatura terrestre, são projetados no plano formando 
um reticulado (grade). 
 
 
 
 
 
 
 Maiores detalhes sobre as vantagens e desvantagens de cada referencial, as formas de 
determinação e as transformações entre eles estão demonstrados no material teórico. 
 
Como vamos georreferenciar nosso projeto usando a projeção no plano UTM, nosso referencial 
será a Linha Norte – Sul de quadrícula. 
 
 
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Imagine então que você tenha uma grande mesa de madeira que represente o mundo inteiro e 
pequenas folhas de papel que representem projetos topográficos. Usando a topografia 
convencional, estes projeto estariam jogados sobre a mesa de uma forma totalmente 
desorganizada. Poderíamos inclusive, empilhar (sobrepor) projetos feitos em locais totalmente 
distintos (Minas e São Paulo, por exemplo). Quando trabalhamos com projetos 
georreferenciados, cada imóvel ou projeto tem uma posição específica dentro do globo terrestre 
e não podem ser sobrepor se forem de localizações diferentes. 
Como se dá o georreferenciamento de um projeto feito pela topografia convencional então? 
Pegue a folha do seu projeto que está jogada sobre a mesa, escolha um ponto do seu projeto e 
bata um prego sobre ele. Sua folha estará fixa na mesa (mundo) mas ainda podemos girar esta 
folha. Se escolhermos outro ponto do projeto e batermos um segundo prego sobre ele, nossa 
folha não pode se movimentar mais e portanto o seu projeto estará georrefrenciado, ou seja, ele 
passa a ter uma localização específica no globo terrestre e como ele não gira ele também estará 
ORIENTADO em relação ao referencial (linha N-S) de quadrícula. 
Vejamos então a imagem da nossa área de trabalho: 
 
Poderíamos escolher quaisquer 2 pontos identificáveis deste projeto para fazer o 
georreferenciamento. Esta imagem foi intencionalmente rotacionada e como não existem 
referências de localização (coordenadas), de escala e de orientação, isto é apenas um croqui 
(rascunho) do meu terreno. 
 
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Na figura a seguir foram inseridas referências de orientação (linha N-S) no canto superior direito 
e escala, dadas pela localização de 2 pontos (E0 e E1). Com isso tenho meu projeto 
georreferenciado. 
Lembrem-se que ponto não tem distância e muito menos escala. Ponto tem a sua posição num 
sistema qualquer de referência que podeser arbitrário (topografia convencional) ou 
georrefrenciado. 
Um alinhamento é uma linha imaginária que une dois pontos. No levantamento topográfico, os 
alinhamentos são criados nas medidas entre as Estações e entre Estações e irradiações. Veja o 
exemplo na caderneta de campo a seguir: 
ALINHAMENTOS ÂNGULO 
HORIZONTAL 
(XXX°YY'ZZ") 
DISTÂNCIA 
HORIZONTAL 
(metros) 
OBSERVAÇÕES 
ESTAÇÃO PONTO VISADO 
E1 E2 88°02'30" 132,458 Alinhamento entre Estações 
E1 1 134°28'03" 71,420 Alinhamento entre Estação e irradiação 
 
 
E3
E2
E1
E0
5
4
1
2
3
6
9
13
14
15
16
17
18
19
7
10
11
12
20
21
28
27
25
24
23
22
34
31
32
33
29
8
26
30
N
S
EW
N
W N
E
SW
SE
X X
YE0
YE1
Y(N)
X(E)
 
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Ao analisarmos um mapa ou planta topográfica, nós teremos então a visão dos pontos (E0, E1, 
1, 2, 3, etc) ou dos alinhamentos (E1→E2, E2→E3, E1→1, E1→2, E2→10, etc). 
É muito importante saber: 
 PONTOS possuem medidas absolutas (posição, localização), que são independentes 
entre si e relacionadas apenas ao referencial adotado (sistema de eixos X e Y). As 
medidas absolutas são expressas como COORDENADAS ABSOLUTAS. 
 ALINHAMENTOS possuem medidas relativas, que são dependentes entre si. Por 
exemplo, no alinhamento E1→E2, o ponto E2 é marcado em relação ao E1. No 
alinhamento E2→E3, o ponto E3 é marcado em relação ao E2 e assim também com os 
pontos irradiados. As medidas relativas podem ser expressas como COORDENADAS 
RELATIVAS. Estas podem ser: 
• POLARES (Direção e Distância) 
• RETANGULARES (ΔX e ΔY) 
 
 Notem no desenho a seguir, que o alinhamento forma 2 triângulos retângulos com os 
eixos. Na Topografia SEMPRE iremos trabalhar com o triângulo retângulo formado no 
eixo y, equivalente ao nosso referencial N-S; origem da contagem dos ângulos de direção. 
 
 
 
 
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No desenho acima ampliamos a região do alinhamento E0→E1. Um detalhe importante a ser 
notado é que o sistema de eixos relativo tem agora sua origem no ponto E0, que representa o 
início do alinhamento. Assim, todas as medidas que foram feitas desta ESTAÇÃO, estão 
“amarradas” neste referencial relativo. Elas poderão ser projetadas tanto na parte positiva, 
quanto na parte negativa destes eixos, em função das 4 direções que podem ser assumidas a 
partir de E0 (NE, SE, SW ou NW). Se fosse um alinhamento de RÉ, teríamos a notação de 
E1→E0, e a origem do sistema relativo seria deslocada para E1. Neste caso, os valortes 
núméricos das coordenadas relativas seriam idênticos, porém na direção oposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 COMO CALCULAMOS A DIREÇÃO DE UM ALINHAMENTO USANDO 
COORDENADAS ABSOLUTAS? 
No campo, utilizando um equipamento GNSS (Sistema Global de 
Navegação por Satélites – GPS, GLONASS, GALILEU, BEIDOU, etc), 
determinamos as coordenadas absolutas de 2 pontos (E1 e E0), que vão 
nos permitir calcular a direção e distância (coordenadas relativas 
RETANGULARES e POLARES) do alinhamento E0→E1 da seguinte 
forma: 
 
Dados: 
XE0 = 502477,58 metros YE0 = 76525345,69 metros 
 
XE1 = 502543,32 metros YE1 = 76525421,97 metros 
ΔX E0→E1 = + 65,74 metros ΔY E0→E1 = + 76,28 metros 
 
ΔX E0→E1 = X E1 (FINAL) – X E0 (INICIAL) = 502543,32 - 502477,58 = + 65,74 metros 
ΔY E0→E1 = Y E1 (FINAL) – Y E0 (INICIAL) = 76525421,97 - 76525345,69 = + 76,28 metros 
Direção NE 
ΔX+ e ΔY+ 
Direção SE 
ΔX+ e ΔY- 
Direção NW 
ΔX- e ΔY+ 
Direção SW 
ΔX- e ΔY- 
E
 
W
 
N
 
S
 
 
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Um detalhe MUITO IMPORTANTE é que as 
coordenadas retangulares absolutas são sempre 
positivas e indicam a localização dos pontos 
num dado referencial. 
As coordenadas retangulares relativas possuem 
sinais que indicam a direção dos alinhamentos. 
 
Usando o triângulo formado pelo alinhamento e suas projeções (retângulo no eixo y), temos as 
seguintes relações trigonométricas: 
sin 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
cos 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
tan 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
Usando Pitágoras, temos: 
𝐷𝐻 = √∆𝑋2 + ∆𝑌2 
 
Para o cálculo do ângulo de direção (𝜃), temos as seguintes opções: 
𝜃 = sin−1 (
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
) 
𝜃 = cos−1 (
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
) 
𝜃 = tan−1 (
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
) 
Como temos os 2 catetos (ΔX e ΔY), usaremos o arco-tangente 
𝜃E0→E1 = tan
−1 (
65,74
76,28
) = 40,7556º = 40º45’20” 
 
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O resultado destas operações sempre retorna com a 
direção expressa em RUMO. Depois transformamos em 
Azimute. 
Os sinais das projeções (ΔX e ΔY) definem o quadrante 
do ângulo de Rumo. 
Como (ΔX e ΔY) são positivos, isso indica que o 
alinhamento está no quadrante NE 
𝜽𝐄𝟎→𝐄𝟏 = 𝟒𝟎°𝟒𝟓’𝟐𝟎” 𝐍𝐄 
 
Como o alinhamento está no quadrante NE, o azimute neste quadrante é igual ao RUMO. 
 
Antes continuar com as demais etapas, vamos calcular os passos vistos até agora usando como 
exemplo um modelo mais simples do nosso levantamento, com as mesmas 4 Estações, mas 
com apenas 11 irradiações. Por economia tempo e espaço, minha caderneta está restrita aos 
dados básicos da planimetria que iremos utilizar nos cálculos (Ângulo horizontal e Distância 
horizontal). 
 
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Croqui: 
 
 
 
 
 
 
E3
E2
E1
E0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
26
2 Irradiações (pontos de interesse - detalhes)
Irradiações (pontos de interesse - limites do terreno)
E1 Estação (local de instalação do equipamento)
Poligonal (linha imaginária que une as Estações)
Divisas do terreno (especificar tipos)
Edificações
Árvores
Postes
 
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CADERNETA DE CAMPO – Exercício 
ESTAÇÃO 
PONTO 
VISADO 
ÂNGULO 
HORIZONTAL 
(XXX°YY'ZZ") 
DISTÂNCIA 
HORIZONTAL 
(XX,xxx m) 
OBSERVAÇÕES 
E1 E0 0°00'00" 100.674 Visada de Referência (RÉ → Posição Direta = PD) 
E1 E0 180°00'03" 100.682 Visada de Referência (RÉ → Posição Inversa = PI) 
E1 E2 91°34'50" 153.750 Visada de Vante (PD) 
E1 E2 271°35'15" 153.729 Visada de Vante (PI) 
E1 1 340°49'38" 15.789 esquina avenida (divisa) 
E1 2 79°54'31" 72.514 avenida (divisa) - liga 1 
E2 E1 0°00'05" 153.774 RÉ (PD) 
E2 E1 179°59'57" 153.760 RÉ (PI) 
E2 E3 76°45'30" 110.522 Vante (PD) 
E2 E3 256°45'10" 110.479 Vante (PI) 
E2 3 134°51'17" 43.028 avenida (divisa) 
E2 4 100°39'31" 23.244 avenida (divisa) 
E2 5 32°02'08" 32.838 avenida (divisa) 
E2 6 15°56'24" 55.712 avenida (divisa) - liga sequência até 3 e liga 2 
E3 E2 359°59'50" 110.545 RÉ (PD) 
E3 E2 180°00'01" 110.482 RÉ (PI) 
E3 E0 100°13'55" 131.333 Vante (PD) 
E3 E0 280°14'18" 131.451 Vante (PI) 
E3 7 300°15'20" 73.830 árvore (divisa) - liga 3 por cerca 
E3 8 258°55'09" 54.899 rua (divisa) - liga 7 por linha seca 
E3 9 246°57'03" 41.088 rua (divisa) 
E3 10 150°45'20" 58.989 rua (divisa) - liga sequência até 8 
E0 E3 0°00'00" 131.380 RÉ (PD) 
E0 E3 180°00'10" 131.297 RÉ (PI) 
E0 E1 91°27'28" 100.720 Vante (PD) 
E0 E1 271°27'30" 100.711 Vante (PI) 
E0 11 298°39'23" 71.681 rua (divisa) - liga 10 e 1 
 
 
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CÁLCULO DAS MÉDIAS (ÂNGULOS HORIZONTAIS) 
Alinhamentos 
Tipo de 
Visada1 
Ângulo 
Horizontal 
MÉDIA Desvios 
E1→E2 
(Ré em E0) 
PD 91°34'50" 
91°35'01" 
-11” 
PI 91°35'12" +11” 
E2→E3 
(Ré em E1) 
PD 76°45'25" 
76°45'19" 
+06” 
PI 76°45'13" -06” 
E3→E0 
(Ré em E2) 
PD 100°14'05" 
100°14'11" 
-06” 
PI 100°14'17" +06” 
E0→E1 
(Ré em E3) 
PD 91°27'28" 
91°27'24" 
+04” 
PI 91°27'20" -04” 
 
1 PD = ângulo horizontal na posição direta PI = ângulo horizontal na posição inversa 
2 Desvios nos ângulos maiores que 1-2’ indicam erros “grosseiros” de medição. 
 Desvio = Observação - Média 
 
Ângulo Horizontal = L Final – L Inicial 
• L Final  no ponto de interesse (Estação ou pontos irradiados) 
• L Inicial  sempre na visada de referência (RÉ) 
 
Exemplo: Alinhamento E1→E2 
 
Ângulo Horizontal (PD) = 91°34'50" - 0°00'00" = 91°34'50" 
Ângulo Horizontal (PI) = 271°35'15"- 180°00'03" = 91°35'12" 
Ângulo Horizontal Médio = 91°35'01" 
 
Se alguma destas operações resultar em número negativo  Adicionar 360° 
 
 
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CÁLCULO DAS MÉDIAS (DISTÂNCIAS HORIZONTAIS) 
Alinhamentos 
Tipo de 
Visada 
Distância 
Horizontal 
MÉDIAS 
Média Geral 
do 
Alinhamento 
Desvios1 
E1→E2 
(Vante) 
PD 153.750 
153,740 
153,753 
-0,003 
PI 153.729 -0,024 
E2→E1 
(Ré) 
PD 153.774 
153,767 
+0,021 
PI 153.760 +0,007 
E2→E3 
(Vante) 
PD 110.522 
110,501 
110,507 
+0,015 
PI 110.479 -0,028 
E3→E2 
(Ré) 
PD 110.545 
110,514 
+0,038 
PI 110.482 -0,025 
E3→E0 
(Vante) 
PD 131.333 
131,392 
131,365 
-0,032 
PI 131.451* +0,086* 
E0→E3 
(Ré) 
PD 131.380 
131,339 
+0,015 
PI 131.297 -0,068 
E0→E1 
(Vante) 
PD 100.720 
100,716 
100,697 
+0,023 
PI 100.711 +0,014 
E1→E0 
(Ré) 
PD 100.674 
100,678 
-0,023 
PI 100.682 -0,015 
 
1 Desvios nas distâncias acima de 5-10cm são considerados como erros grosseiros, 
provocados principalmente pela inclinação do bastão. 
 
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* Veja que a observação da distância de E3→E0 (PI) poderia ser descartada pois apresenta 
maior discrepância em relação as demais medidas. 
COORDENADAS POLARES - POLIGONAL BÁSICA 
 
Estaçã
o 
Ponto 
Visado 
Ângulo Horiz. 
(Média) 
Correção 
Ang. Horizontal 
Corrigido 
Azimute 
D.H. 
(média) 
E1 E2 91°35'01" - 29” 91°34'32" 153,753 
E2 E3 76°45'19" - 29” 76°44'50" 110,507 
E3 E0 100°14'11" - 29” 100°13'42" 131,365 
E0 E1 91°27'24" - 28” 91°26'56" 40°45'20" 100,697 
SOMA 360°01'55" - 01'55" 360°00'00" 496,322 
 
Para que possamos transformar os ângulos de campo (referencial na RÉ) para ângulos de 
direção (Azimute ou Rumo  referencial padronizado), precisamos determinar no campo 
a direção em 1 dos alinhamentos (preferencialmente entre 2 Estações  POLIGONAL). 
Neste caso a determinação foi através de 2 pontos georreferenciados, o que significa que 
estamos trabalhando com o norte de quadrícula (NQ). O Azimute determinado no 
alinhamento E0→E1 = 40°45'20". 
Os demais azimutes serão calculados em função dos ângulos horizontais medidos 
no campo (Ver item III.3.2). 
 
 
 
SCAMPO = 360°01'55" 
STEÓRICA = 180° x (N-2) onde N = 4 Estações 
STEÓRICA = 360° 
E.F.A. = 360°01'55" - 360°00’00” = + 0°01'55"  inferior ao LEFA. Portanto, pode e deve 
ser corrigido. 
E.F.A. = SCAMPO – STEÓRICA L. E.F.A. = 2 x 2’ x √𝑁 = 8’ 
 
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Correção: 0°01'55" / 4 Estações = 115” / 4 = 28,75”  como não vamos trabalhar com 
fração de segundos, este valor foi arredondado, de modo a totalizar 01'55". No caso 
deste exercício a correção será feita subtraindo o valor de modo que SCAMPO = STEÓRICA. 
 
III.3 CÁLCULO DAS COORDENADAS POLARES 
As coordenadas polares são valores relativos representadas pela direção e distância dos 
alinhamentos. Na verdade, a única mudança em relação aos dados básicos de campo (Ângulo 
Horizontal e Distância Horizontal), é que os ângulos serão reorientados; mudando o referencial 
da visada de RÉ para uma linha padronizada (Linha Norte Sul). Aos ângulos referenciados na 
linha Norte – Sul chamamos de Azimute ou Rumo. 
III.3.1 Cálculo das Distâncias Horizontais (DH) 
Embora a Estação Total mostre em seu visor, as distâncias horizontais; o equipamento coleta 
dados inclinados de acordo com a posição da luneta (Distâncias inclinadas  DI) e estas 
medidas precisam ser corrigidas para o plano horizontal (DH) de acordo com uma das 
seguintes equações: 
 
 Ângulo da luneta zenital (Z) 
 Ângulo da luneta nadiral (N) 
 Ângulo da luneta vertical (+ ou -) 
D.H. = D.I. x sen (Z) 
D.H. = D.I. x sen (N) 
D.H. = D.I. x sen (N) 
 
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Na planimetria os ângulos da luneta são usados apenas para a correção da distância. Na 
altimetria, são usados no cálculo das distâncias verticais. 
Para o trabalho, as irradiações já estão com as medidas de distância horizontal. Na poligonal, 
são dados as distâncias inclinadas e o ângulo zenital para o cálculo das Distâncias Horizontais 
(DH). 
 
 III.3.2 Cálculo das direções (Azimutes) 
Os azimutes são calculados simplesmente rotacionando os ângulos horizontais de campo, 
através da seguinte REGRA GERAL (válida para poligonal e irradiações). 
AZ Alinhamento = (AZ Alinhamento de Ré + AH Alinhamento) ± 180° ou - 540° 
 
 
AH = ângulo horizontal que está sendo transformado em Azimute 
 
 
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Se o resultado (AZ Alinhamento de Ré + AH Alinhamento) > 180°  subtrair 180° 
Se o resultado (AZ Alinhamento de Ré + AH Alinhamento) < 180°  somar 180° 
Se o resultado (AZ Alinhamento de Ré + AH Alinhamento) > 540°  subtrair 540° 
 
O fundamental desta regra é saber identificar o azimute de referência (AZ Alinhamento de Ré) de 
cada ESTAÇÃO. 
Voltando a tabela das coordenadas polares do nosso exercício (pag. 17), vamos calcular os 
azimutes que estão faltando. 
Uma vez que foi determinado o AZ E0→E1 = 40°45'20", este azimute servirá para calcular todos 
os azimutes dos alinhamentos medidos da estação E1 pois ao “estacionar” o equipamento no 
ponto E1, usei o ponto E0 como referência. Portanto: 
 Na estação E1: AZ Alinhamento de Ré = AZ E0→E1 
 Na estação E2: AZ Alinhamento de Ré = AZ E1→E2 
 Na estação E3: AZ Alinhamento de Ré = AZ E2→E3 
 Na estação E0: AZ Alinhamento de Ré = AZ E3→E0 
 
 
Na estação E1: 
AZ E1→E2 = (AZ E0→E1 + AH E1→E2 ) ± 180° ou - 540°  POLIGONAL 
AZ E1→E2 = 40°45'20" + 91°34'32" = 132°19'52" < 180°  somar 180° 
AZ E1→E2 = 312°19'52" 
 
AZ E1→1 = (AZ E0→E1 + AH E1→1 ) ± 180° ou - 540°  IRRADIAÇÃO 
AZ E1→1 = 40°45'20" + 340°49'38" = 381°34'58" > 180°  subtrair 180° 
AZ E1→1 = 201°34'58" 
 
 
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AZ E1→2 = (AZ E0→E1 + AH E1→2 ) ± 180° ou - 540°  IRRADIAÇÃO 
AZ E1→2 = 40°45'20" + 79°54'31" = 120°39'51" < 180°  somar 180° 
AZ E1→2 = 300°39'51" 
 
Na estação E2: 
AZ E2→E3 = (AZ E1→E2 + AH E2→E3 ) ± 180° ou - 540°  POLIGONAL 
AZ E1→ E3 = 209°04'42" 
 
AZ E2→3 = (AZ E1→E2 + AH E2→3 ) ± 180° ou - 540°  IRRADIAÇÃO 
AZ E2→n = (AZ E1→E2 + AH E2→3 ) ± 180° ou - 540°  IRRADIAÇÃO 
 
Na estação E3: 
AZ E3→E0 = (AZ E2→E3 + AH E3→E0 ) ± 180° ou - 540° = 129°18'24" 
AZ E3→n = (AZ E2→E3 + AH E3→n ) ± 180° ou - 540° 
 
Na estaçãoE0: 
AZ E0→E1 = (AZ E3→E0 + AH E0→E1 ) ± 180° ou - 540° = 40°45'20" 
Note que a componente angular poligonal está corrigida. Desta forma o azimute de 
“chegada” calculado pela regra, deve ser igual ao azimute de “partida” determinado 
no campo (NM, NG ou NQ). 
AZ E0→n = (AZ E3→E0 + AH E0→E1 ) ± 180° ou - 540°  IRRADIAÇÃO 
 
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COORDENADAS POLARES - POLIGONAL BÁSICA 
Estação 
Ponto 
Visado 
Ângulo 
Horizontal 
(Média) 
Correção 
Ang. Horizontal 
Corrigido 
Azimute 
D.H. 
(média) 
E1 E2 91°35'01" - 29” 91°34'32" 312°19'52" 153,753 
E2 E3 76°45'19" - 29” 76°44'50" 209°04'42" 110,507 
E3 E0 100°14'11" - 29” 100°13'42" 129°18'24" 131,365 
E0 E1 91°27'24" - 28” 91°26'56" 40°45'20" 100,697 
SOMA 360°01'55" - 01'55" 360°00'00" 496,322 
 
Azimute “inicial” (Partida) = 40°45'20"  determinado no CAMPO!! 
 
COORDENADAS POLARES - IRRADIAÇÕES 
Estação 
Ponto 
Visado 
Ângulo 
Horizontal 
Azimute 
D.H. 
(m) 
E1 1 340°49'38" 201°34'58" 15.789 
E1 2 79°54'31" 300°39'51" 72.514 
E2 3 134°51'17" 267°11'09" 43.028 
E2 4 100°39'31" 232°59'23" 23.244 
E2 5 32°02'08" 164°22'00" 32.838 
E2 6 15°56'24" 148°16'16" 55.712 
E3 7 300°15'20" 329°20'02" 73.830 
E3 8 258°55'09" 287°59'51" 54.899 
E3 9 246°57'03" 276°01'45" 41.088 
E3 10 150°45'20" 179°50'02" 58.989 
E0 11 298°39'23" 247°57'47" 71.681 
 
 
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III.4 CÁLCULO DAS COORDENADAS RETANGULARES 
Nesta etapa, vamos eliminar a grandeza angular dos nossos dados, simplificando assim a 
elaboração do projeto. Inicialmente convertemos as coordenadas polares para retangulares 
considerando um sistema de eixos cartesianos relativo (com origem na Estação), ou seja, origem 
dos alinhamentos medidos. Depois, usaremos um artifício matemático para transformar os 
valores relativos (alinhamentos), em valores absolutos (pontos). 
a) COORDENADAS RETANGULARES RELATIVAS 
 
Não é o Denzel Washington, mas acha que já viu isso antes? É verdade!! Acabaram-se quase 
todas as novidades. Quando realizamos o cálculo do azimute de referência utilizando as 
coordenadas absolutas de 2 pontos, fizemos o processo inverso. Transformamos coordenadas 
retangulares absolutas (X,Y) em coordenadas retangulares relativas (ΔX, ΔY) e estas, em 
coordenadas polares (𝜽 e DH). 
Assim, permanece a necessidade de compreensão das relações trigonométricas no triângulo 
retangulo formado pela projeção dos alinhamentos (90º no eixo y). 
 
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sin 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
cos 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
tan 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
Usando Pitágoras, temos: 
𝐷𝐻 = √∆𝑋2 + ∆𝑌2 
 
 
a.1) Transformação POLAR → RETANGULAR 
 
sin 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 sin 𝜃 =
∆𝑋
𝐷𝐻
  ∆𝑋 = sin 𝜃 × 𝐷𝐻 
cos 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 cos 𝜃 =
∆𝑌
𝐷𝐻
  ∆𝑌 = cos 𝜃 × 𝐷𝐻 
É comum encontrar também as seguintes notações para as coordenadas retangulares relativas: 
x = sin 𝜃 × 𝐷𝐻 
y = cos 𝜃 × 𝐷𝐻 
 
MUITO IMPORTANTE !! 
Lembrem-se que na transformação POLAR → 
RETANGULAR a grandeza angular foi eliminada. 
Como saberemos a direção que estamos seguindo? 
Os sinais das coordenadas retangulares relativas 
indicam a direção dos alinhamentos. 
Outro detalhe importante: 
• na transformação RETANGULAR → POLAR a direção resultante (𝜃) sempre é RUMO; 
• na transformação POLAR → RETANGULAR a direção (𝜃) pode ser dada em RUMO ou 
AZIMUTE. 
Se (𝜃) for RUMO, verifique os quadrantes para atribuir os sinais x ou ΔX e de y ou ΔY; 
Se (𝜃) for AZIMUTE os sinais das projeções serão dados automaticamente. 
 
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Exemplos: 
• Azimutes variando de 0º a 90º  corresponderia a Rumo NE 
x ou ΔX (+) y ou ΔY (+) 
• Azimutes variando de 90º a 180º  corresponderia a Rumo SE 
x ou ΔX (+) y ou ΔY (-) 
• Azimutes variando de 180º a 270º  corresponderia a Rumo SW 
x ou ΔX (-) y ou ΔY (-) 
• Azimutes variando de 270º a 360º  corresponderia a Rumo NW 
x ou ΔX (-) y ou ΔY (+) 
 
a.2) Cálculo e correção do Erro de Fechamento Linear (E.F.L) 
A transformação POLAR → RETANGULAR nos permite determinar analíticamente o erro nas 
medidas lineares e com isso podemos corrigí-lo antes da elaboração do projeto. Também neste 
caso, temos um limite ou tolerância que precisamos obedecer antes de realizar a correção. 
Um polígono fechado (sem erro angular ou linear) deveria começar e terminar em um mesmo 
ponto. Independente do tamanho ou formato de uma poligonal fechada, o somatório de suas 
projeções (positivas e negativas) nos eixos x e y obrigatoriamente resulta em ZERO. O mesmo 
deslocamento na direção LESTE precisa ser compensado em igual valor na direção OESTE e o 
mesmo deslocamento na direção NORTE precisa ser compensado em igual valor na direção 
SUL. 
Já realizamos a correção angular (SCAMPO = STEÓRICA), porém ainda restam os erros nas medidas 
lineares. Na prática isso pode ser visto da seguinte forma: 
Erro nas abscissas (ex) = ∑ 𝑥 ≠ 0 e/ou 
Erro nas ordenadas (ey) = ∑ 𝑦 ≠ 0 
É como se numa viajem de turismo pelo Brasil ou pelo mundo, decolamos de Guarulhos e 
pousamos em Campinas. Há uma distância entre o nosso ponto de partida e o ponto de chegada. 
Na topografia isso é conhecido como Erro de Fechamento, como a componente angular foi 
corrigida anteriormente, atribuímos a “culpa” disso às medidas lineares. 
Por Pitágoras, a distância entre dois pontos é: 𝐷𝐻 = √∆𝑋2 + ∆𝑌2 
 
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𝐸. 𝐹. 𝐿 = √𝑒𝑥2 + 𝑒𝑦2 
A tolerância ou Limite para o erro de fechamento linear é dado de duas maneiras empíricas. 
A primeira, definida como Limite para o Erro de Fechamento Linear (L.E.F.L) segue o 
mesmo padrão usado para a grandeza angular, com as seguintes modificações: 
onde: 
 
R = 1, 2 ou 3 dependendo do rigor desejado na análise (<R, < tolerância) 
L = Precisão linear das “medidas” 
K = Perímetro em kilômetro  ∑ 𝐷𝐻 /1000 
Vamos usar para o trabalho prático, o seguinte critério: 
onde: 
 
 
A segunda forma de avaliar o erro linear é usando o conceito de Precisão Linear. 
Exemplo: Precisão linear 1/1000 significa que o erro máximo aceitável seria de 1m a cada 
1000 de poligonal. Se erramos 0,8m numa poligonal com 1200m, teríamos uma precisão 
linear de 1/1.500, ou seja, mantemos sempre a unidade no numerador. 
Trabalhos com estação total devem estar com precisão linear melhor que 1/2000. 
Finalmente, se o EFL < LEFL o se a precisão resultante foi melhor que a precisão exigida, 
fazemos a correção do erro linear separadamente nas abscissas e ordenadas, de modo que 
∑ 𝑥 = 0 ∑ 𝑦 = 0 
Para que isso ocorra, a correção deve ter sinal contrário ao erro e deve obedecer os sinais já 
existentes nas coordenadas retangulares relativas (vejam o exemplo do exercício ao final deste 
tópico). A distribuição do erro linear pode ser feita de diversas formas: 
• distribuição uniforme (divide-se o erro pelo número de alinhamentos da poligonal) 
• distribuição proporcional à distância (alinhamentos mais longos tem chance ter erros 
maiores, e vice versa) 
• distribuição por critérios estatísticos (ex: Mínimos quadrados) 
 
L. E.F.L. = R x L x √𝐾 
L. E.F.L. = 2 x 0,2 x √𝐾 
 
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Coordenadas Retangulares Relativas - Poligonal 
Est PV 
Coordenadas polares Coordenadas Retangulares RELATIVAS (metros) 
Azimute 
 
DH (m) 
Abscissas relativas(x) 
x = DH.sen Azimute 
Ordenadas relativas (y) 
y = DH.cos Azimute 
Medidas Correção Corrigidas Medidas Correção Corrigidas 
E1 E2 312°19'52" 153,753 -113,66 -0,01 -113,67 +103,54 -0,01 +103,53 
E2 E3 209°04'42" 110,507 -53,71 ----- -53,71 -96,58 ----- -96,58 
E3 E0 129°18'24" 131,365 +101,65 -0,01 +101,64 -83,22 -0,01 -83,23 
E0 E1 40°45'20" 100,697 +65,74 ----- +65,74 +76,28 ----- +76,28 
SOMA -------- 496,322 +0,02 -0,02 0,00 +0,02 -0,02 0,00 
 
Erro nas abscissas (ex) = ∑ 𝑥 = +0,02𝑚 
Erro nas ordenadas (ey) = ∑ 𝑦 = +0 , 02𝑚 
𝐸. 𝐹. 𝐿 = √𝑒𝑥2 + 𝑒𝑦2 
 E.F.L = 0,03m 
L. E.F.L. = 2 x 0,2 x √0,496 = 0,28m 
Precisão Linear  1/16.544 
 
Para as irradiações o cálculo é o mesmo, porém sem nenhuma correção. 
x = sin 𝜃 × 𝐷𝐻 
y = cos 𝜃 × 𝐷𝐻 
 
 
 
 
 
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b) COORDENADAS RETANGULARES ABSOLUTAS 
O cálculo das coordenadas retangulares absolutas é apenas um artifício matemático que 
transforma os valores relativos dos alinhamentos (dependentes) em valores absolutos de 
pontos (independentes). Isso facilita a elaboração do projeto e evita o acúmulo de erros no 
desenho do projeto. 
O cálculo é feito através da soma algébrica dos valores relativos dos alinhamentos com o valor 
absoluto da Estação na qual esses alinhamentos foram medidos. A soma algébrica é feita 
levando-se em consideração os sinais das coordenadas retangulares relativas. 
Assim, na poligonal, teremos: 
 𝑋E1 = 𝑋E0 + 𝑥E0→E1 ou 𝑋E1 = 𝑋E0 + ∆𝑋E0→E1 
 𝑌E1 = 𝑌E0 + 𝑦E0→E1 ou 𝑌E1 = 𝑌E0 + ∆𝑌E0→E1 
 ... 
 𝑋𝐸𝑛 = 𝑋𝐸𝑛−1 + 𝑥𝐸𝑛−1→𝐸𝑛 ou 𝑋𝐸𝑛 = 𝑋𝐸𝑛−1 + ∆𝑋𝐸𝑛−1→𝐸𝑛 
 𝑌𝐸𝑛 = 𝑌𝐸𝑛−1 + 𝑦𝐸𝑛−1→𝐸𝑛 ou 𝑌𝐸𝑛 = 𝑌𝐸𝑛−1 + ∆𝑌𝐸𝑛−1→𝐸𝑛 
 
Para as irradiações, o processo é o mesmo lembrando que, de uma mesma estação derivam 
várias irradiações. Portanto: 
• todas as irradiações de E1 terão seus valores relativos somados algebricamente com as 
coordenadas retangulares Absolutas (X e Y) de E1; 
• todas as irradiações de E2 terão seus valores relativos somados algebricamente com as 
coordenadas retangulares Absolutas (X e Y) de E2; 
• ... 
• todas as irradiações de En terão seus valores relativos somados algebricamente com as 
coordenadas retangulares Absolutas (X e Y) de En. 
 
“SOMA ALGÈBRICA É AQUELA QUE LEVA EM CONSIDERAÇÃO OS SINAIS” 
Na tabela abaixo, temos dados relativos (alinhamentos) e dados absolutos (pontos). A 
notação das coordenadas absolutas é pontual. As setas vermelhas indicam a que ponto 
pertence a coordenada absoluta em uma determinada linha da tabela. 
 
 
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COORDENADAS RETANGULARES (Poligonal básica) 
Est PV 
Coordenadas 
polares 
Coordenadas Retangulares RELATIVAS (metros) 
Coordenadas retangulares ABSOLUTAS 
(metros) 
Azimute 
 
DH 
(m) 
Abscissas Relativas (x) 
x = DH.sen Azimute 
Ordenadas Relativas (y) 
y = DH.cos Azimute 
Sem 
correção 
Correção Corrigidas 
Sem 
correção 
Correção Corrigidas X Y 
E1 E2 -113,67 +103,53 502429.65 7652525.50 
E2 E3 -53,71 -96,58 502375.94 7652428.92 
E3 E0 +101,64 -83,23 502477.58 7652345.69 
E0 E1 +65,74 +76,28 502543.32 7652421.97 
SOMA 0,00 0,00 
 
ex = +0,02 metros ey = +0,02 metros 
e.f.l. = 0,03 metros L.e.f.l. = 0,28 metros 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
 - coordenadas retangulares com 2 casas decimais - os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento 
 - função trigonométrica com 4 casas decimais (no mínimo) 
 
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COORDENADAS RETANGULARES (Irradiações) 
 
Est PV 
Coord. Polares 
Coordenadas 
Retangulares 
RELATIVAS (metros) 
Coord. Retangulares 
ABSOLUTAS (m) 
Azimute 
 
DH 
(m) 
Abscissas 
(x) 
Ordenada
s (y) X Y 
E1 1 201°34'58" 15.789 -5,81 -14,68 502537,51 7652407,29 
E1 2 300°39'51" 72.514 -62,37 +36,98 502480,95 7652458,95 
E2 3 267°11'09" 43.028 -42,98 -2,11 502386,67 7652523,39 
E2 4 232°59'23" 23.244 -18,56 -13,99 502411,09 7652511,51 
E2 5 164°22'00" 32.838 +8,85 -31,62 502438,50 7652493,88 
E2 6 148°16'16" 55.712 +29,30 -47,39 502458,95 7652478,11 
E3 7 329°20'02" 73.830 -37,66 +63,51 502338,28 7652492,43 
E3 8 287°59'51" 54.899 -52,21 +16,96 502323,73 7652445,88 
E3 9 276°01'45" 41.088 -40,86 +4,32 502335,08 7652433,24 
E3 10 179°50'02" 58.989 +0,17 -58,99 502376,11 7652369,93 
E0 11 247°57'47" 71.681 -66,44 -26,90 502411,14 7652318,79 
 
Importante: Tente visualizar no desenho estes dados 
 
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III.5 PROJETO (DESENHO DA PLANTA TOPOGRÁFICA) 
O projeto será elaborado utilizando as coordenadas retangulares absolutas. É o método de 
desenho mais fácil e seguro pois trabalha com valores pontuais (independentes). Neste 
caso, se alguma estação for marcada equivocadamente, o erro não será repassado aos 
pontos seguintes do projeto. 
Atualmente os projetos são elaborados em formato digital utilizando alguma ferramenta 
própria para elaboração de projetos (Ex AutoCAD, Métrica, Datageosis, etc). Dado as 
limitações do ERE, ficará a cargo de cada grupo escolher a maneira de elaborar o seu 
projeto. 
Descrevo a seguir o roteiro para elaboração do projeto à moda antiga (manualmente). 
Utilizaremos os mesmos dados do exemplo de que estamos desenvolvendo neste roteiro. 
Vocês vão precisar apenas de um papel milimetrado (Formato A3) e lápis. Recomendo a 
leitura do material sobre escalas. 
III.5.1 Processo manual 
a) Calcular as dimensões reais do retângulo envolvente do terreno, considerando os 
valores absolutos dos eixos X e Y (Considerar os dados da poligonal e das 
irradiações). 
Maior Abscissa Absoluta = 502543.32 (E1) ↑ ≈ 502550 metros 
Menor Abscissa Absoluta = 502323,73 (P7) ↓ ≈ 502320 metros 
Dimensão real do terreno no Eixo X = 502550 – 502320 = 230 metros 
 
Maior Ordenada Absoluta = 7652525.50 (E2) ↑ ≈ 7652530 metros 
Menor Ordenada Absoluta = 7652318.79 (P11) ↓ ≈ 7652310 metros 
Dimensão real do terreno no Eixo Y = 7652530 – 7652310 = 220 metros 
 
Veja que o cálculo deste “retângulo envolvente” não precisa ser exato, por isso 
arredondamos os valores para a dezena acima e abaixo apenas com intenção de facilitar 
nossos cálculos. Desta forma o terreno que foi levantado no nosso exemplo, ficará dentro 
das dimensões máximas de 230 metros (Eixo X) e 220 metros (Eixo Y). 
 
 
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33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Em função do retângulo envolvente (valores reais), calcular a escala mais adequada 
para um determinado tamanho de papel (Formato); ou ainda, calcular qual o papel 
(Formato) mais adequado para uma escala previamente escolhida. 
Como foi solicitado que o projeto seja entregue no papel A3, qual a escala mais 
adequada para este projeto? 
Na tabela a seguir temos as dimensões dos formatos mais utilizados em projetos 
topográficos e a posição que estas folhas devem ser usadas para que possamos fazer 
as dobras de acordo com a Norma Técnica. Todos os formatos, após dobrados ficarão 
no tamanho de uma folha A4 para encadernação. 
 
Formato Dimensões (mm) Posição da Folha 
A4 210 x 297 Retrato 
A3 297 x 420 Paisagem 
A2 420 x 594 Paisagem 
A1 594 x 840 Paisagem 
A0 840 x 1188 Paisagem 
 
b.1) Cálculo do espaço útil disponívelno formato (descontar margens e selo) 
 
Eixo X: 
Total: 420 mm 
Margens: 25+10 = 35 mm 
Selo: 100 mm (a largura máxima do selo é de 175 mm = 1ª dobra do papel) 
Útil no eixo X: 285 mm 
 
 
Norte (Y) 
Este (X) 
2
2
0
 m
e
tro
s
 
230 metros 
Terreno 
> XABS < XABS 
>YABS 
<YABS 
 
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Eixo Y: 
Total: 297 mm 
Margens: 10+10 = 20 mm 
Selo: 70 mm (pode variar de acordo com a quantidade de informações) 
Útil no eixo Y: 207 mm 
 
b.2) Cálculo da ESCALA. 
Todo cálculo de escala associa a grandeza representada no projeto com sua 
correspondência no Mundo Real. 
Desenho Real 
1 parte x? partes (denominador da escala → adimensional) 
285mm = 0,285m 230 metros (dimensão real do terreno no eixo X) 
 
Desenho Real 
1 parte y? partes (denominador da escala → adimensional) 
207mm = 0,207m 220 metros (dimensão real do terreno no eixo Y) 
 
ÁREA:
Resp. Técnico
MUNICÍPIO:
SERVIÇO:
ESCALA:
DATA:
Proprietário
ÁREA ÚTIL PARA O DESENHO
(pode extrapolar para as áreas em azul)
 
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Com base nas regras de 3 acima, calculamos uma escala considerando o eixo X e outra 
considerando o eixo Y. Dentre as 2 escalas calculadas ficamos com a que for mais 
restritiva (Maior denominador). 
Escala para o eixo X → 1:807,02 
Escala para o eixo Y → 1:1062,80 
A escala do desenho deveria ter então um denominador com valo INTEIRO acima de 
1062,80 (ex: 1200, 1500, 2000). Veja que quanto maior o denominador, menor será a 
escala e menos detalhes teremos no nosso projeto. Seria interessante então aproveitar 
ao máximo o espaço útil do papel de modo a conseguir a maior escala possível. 
Neste caso, temos como usar a parte em azul da lateral esquerda do selo aumentando 
assim (70mm) o espaço disponível no eixo Y que apresenta valores mais restritivos. 
Desenho Real 
1 parte y? partes (denominador da escala → adimensional) 
277mm = 0,277m 220 metros (dimensão real do terreno no eixo Y) 
Escala para o eixo Y → 1:794,22 
Nossa escala final então será de 1:1000 (denominador > 807,02 e > 794,22). Nesta 
escala vamos ocupar 23cm do papel no eixo X (equivalente a 230 metros) e 22cm do 
papel no eixo Y (equivalente a 220 metros). 
 
c) Num papel A3 em branco ou preferencialmente milimetrado, colocamos de forma 
centralizada os eixos X e Y no espaço disponível para o desenho; respeitando as 
margens e selo. O selo deve ficar sempre no canto inferior direito do formato de modo 
que fique sempre visível com as informações do projeto, mesmo depois de dobrado. 
 
A graduação dos eixos fica a critério do projetista e tem que OBRIGATORIAMENTE 
respeitar a escala. Normalmente aproveitamos as marcações do papel milimetrado ou 
graduamos o papel em branco a cada 1cm ou outro valor a escolha: 
Escala 1:1000 → 1cm = 1000cm → 1cm = 10m (cada 1mm = 1m) 
Escala 1:2000 → 1cm = 2000cm → 1cm = 20m (cada 1mm = 2m) 
... 
Escala 1:5000 → 1cm = 5000cm → 1cm = 50m (cada 1mm = 5m) 
... 
 
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36 
 
A graduação inicia-se nos valores extremos inferiores (<X e 
<Y) e termina nos valores extremos superiores (>X e >Y) 
 
 
d) Depois de graduado os eixos, basta “plotar” os pontos de acordo com suas 
respectivas coordenadas retangulares absolutas. NUNCA faça cálculo de escala para 
coordenadas retangulares absolutas (valores pontuais). A escala só deve ser usada 
para alinhamentos (valores relativos) ou para o cálculo de áreas no desenho (medidas 
de superfície). Medidas angulares NÃO são afetadas pela escala do projeto. 
Ao marcar os pontos num projeto feito a mão, os valores das coordenadas absolutas 
deverão ser “arredondados” em função do ERRO GRÁFICO dado pela escala do projeto. 
Erro gráfico ou Erro de graficismo (EG) é a menor dimensão que pode ser 
representada em um desenho (ponto). É o erro que se comete ao demarcar pontos no 
desenho tendo em conta a acuidade visual e a habilidade manual de um desenhista, 
além da qualidade dos instrumentos de desenho. No desenho técnico esse valor é em 
torno de 0,2 a 0,25 mm 
Precisão da Escala está diretamente relacionada ao denominador da escala (M) e ao 
erro de graficismo adotado, e pode ser expressa como: X = EG x M. É importante, pois 
define o tamanho dos objetos que poderão ou não ser representados no projeto. 
ÁREA:
Resp. Técnico
MUNICÍPIO:
SERVIÇO:
ESCALA:
DATA:
Proprietário
23 cm
2
2
 cm
< X > X
> Y
< Y
 
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37 
 
Para efeitos práticos vamos considerar que o nosso erro gráfico será dado pela lapiseira 
0,5mm. Desta forma, na escala 1:1000, não poderemos representar objetos menores que 
0,5m (0,5mm x 1000 = 500mm = 0,5m). Assim as nossas coordenadas também devem ser 
arredondadas para valores compatíveis com o erro gráfico. 
 Exemplo: 
• coordenada XE1 = 502543,32m ≈ 502543,50m 
• coordenada YE1 = 7652421,97m ≈ 7652422,00m 
 
De modo geral, quanto maior a área, menor será a escala de representação e 
consequentemente menos detalhes podem aparecer no projeto. 
Desenhe primeiro os pontos da poligonal, pois são pontos que foram analiticamente 
verificados e constituem as referências (Estações) para as demais medidas (irradiações). 
Os pontos das irradiações devem ser “ligados” para formar a área do terreno ou para 
representar as demais feições de interesse do projeto. 
 
 
E3
E2
E1
E0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ÁREA:
Resp. Técnico
MUNICÍPIO:
SERVIÇO:
ESCALA:
DATA:
Proprietário
23 cm
2
2
 cm
< X > X
> Y
< Y
 
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III.6 CÁLCULO DE ÁREA 
O cálculo de área em trabalhos topográficos é feito preferencialmente usando métodos 
analíticos (Gauss ou Determinante), pois são métodos exatos baseados nas coordenadas 
dos pontos de divisa de um terreno. 
No passado foram muito utilizados, o método mecânico (Planímetro polar) e método 
geométrico. Esse último baseado na decomposição da figura representativa da área do 
terreno em figuras geométricas mais simples (triângulos, retângulos e trapézios). 
 
III.6.1 CÁLCULO DE ÁREA - Processo analítico – (Gauss) 
a) Organizar uma planilha com as coordenadas retangulares absolutas dos pontos que 
irão formar o polígono representativo da área do terreno (apenas os pontos de divisa). 
Os pontos obrigatoriamente precisam ser colocados na sequência em que aparecem 
no desenho (P1, P2, ...Pn), independente da ordem que foram medidos no 
levantamento topográfico (3, 4, ..., 7). Para o cálculo de área não importa o ponto 
inicial e nem a ordem em que organizamos a planilha (horário ou anti-horário), no 
entanto, usamos parte desta planilha (Diferença Binária) para criar um documento 
chamado Memorial Descritivo. Este documento, por convenção, deve começar pelo 
extremo norte da propriedade (> YABS) e seguir a descrição do perímetro em sentido 
horário. Desta forma, seguiremos esta mesma orientação para o nosso trabalho 
prático. 
 
b) Cálculo da Soma Binária é a soma das coordenadas retangulares absolutas dos 
pontos extremos de cada alinhamento de divisa (Ex. P3→P4, P4→P5, ..., P7→P3). 
Note que a planilha de área representa um polígono fechado, portanto não tem 
começo e fim. 
XPN = XPN+1 + XPN YPN = YPN+1 + XPN 
Ex: 
XP1 = XP2 + XP1 YP1 = YP2 + XP1 
XP2 = XP3 + XP2 YP2 = YP3 + XP2 
.... 
XPN = XP1 + XPN YPN = YP1 + XPN 
 
 
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39 
 
c) Cálculo da Diferença Binária é a diferença das coordenadas retangulares absolutas 
dos pontos extremos de cada alinhamento de divisa (Ex. P3→P4, P4→P5,..., 
P7→P3). Note que a planilha de área representa um polígono fechado, portanto não 
tem começo e fim. 
XPN = XPN+1 - XPN YPN = YPN+1 - XPN 
Ex: 
XP1 = XP2 - XP1 YP1 = YP2 - XP1 
XP2 = XP3 - XP2 YP2 = YP3 - XP2 
.... 
XPN = XP1 - XPN YPN = YP1 - XPN 
Observação: 
A diferença binária equivale as coordenadas retangulares relativas dos alinhamentos de 
divisa, e servirão para o cálculo das coordenadas polares destes alinhamentos, no 
memorial descritivo. Cuidado, pois, se invertermos a ordem do cálculo da diferença binária, 
é como se estivéssemos invertendo o sentido da descrição do terreno. 
 
d) Cálculo das Áreas Duplas. Áreas porque vamos ter 2 colunas com o mesmo valor e 
Duplas porque todo cálculo analítico fornece a área do terreno em dobro. Então, todo 
resultado de cálculo de área por qualquer processo analítico, deve ser dividido por 2. 
 
X.YPN = XPN . YPN Y.XPN = YPN . XPN 
Ex: 
X.YP1 = XP1 . YP1 Y.XP1 = YP1 . XP1 
X.YP2 = XP2 . YP2 Y.XP2 = YP2 . XP2 
.... 
X.YPN = XP1 + XPN YPN = YP1 + XPN 
 
 
 
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PLANILHA DE CÁLCULO DE ÁREA - Processo analítico – (Gauss) 
Pontos Coordenadas 
Absolutas 
Soma Binária Diferença Binária Áreas Duplas 
 X (m) 
* 502... 
Y (m) 
* 7652... 
X Y X 
(m) 
Y 
(m) 
X . Y Y . X 
3 = P1 386,67 523,39 797,76 1034,90 +24,42 -11,88 -9.477,39 +25.272,26 
4 = P2 411,09 511,51 849,59 1005,39 +27,41 -17,63 -14.978,27 +27.557,74 
5 = P3 438,50 493,88 897,45 971,99 +20,45 -15,77 -14.152,79 +19.877,20 
6 = P4 458,95 478,11 996,46 885,40 +78,56 -70,82 -70.569,30 +69.557,02 
1 = P5 537,51 407,29 948,65 726,08 -126,37 -88,50 -83.955,53 -91.754,73 
11 = P6 411,14 318,79 787,25 688,72 -35,03 +51,14 +40.259,97 -24.125,86 
10 = P7 376,11 369,93 711,19 803,17 -41,03 +63,31 +45.025,44 -32.954,07 
9 = P8 335,08 433,24 658,81 879,12 -11,35 +12,64 +8.327,36 -9.978,01 
8 = P9 323,73 445,88 662,01 938,31 +14,55 +46,55 +30.816,57 +13.652,41 
7 = P10 338,28 492,43 724,95 1015,82 +48,39 +30,96 +22.444,45 +49.155,53 
SOMA 4017,06 4474, 45 8034,12 8948,90 0 0 -46.259,49 +46.259,49 
* Como as coordenadas absolutas possuem uma parte constante (X=502... e Y=7652...), podemos 
simplificar os cálculos, desconsiderando o valor constante 
A conferência dos cálculos é feita pela linha do somatório. Nela, a soma das colunas da soma binária 
deve ser o dobro da soma das coordenadas dos pontos, a soma das colunas da diferença binária deve 
ser igual a zero e a soma das colunas das áreas duplas deve resultar em dois valores iguais, porém de 
sinais contrários. É importante ressaltar, que se algum ponto ou coordenada for colocado na planilha 
de forma errada, as contas da planilha serão conferidas, mas o resultado final será uma área 
incorreta. 
ÁREA (m2): 23.129,75 
 
ÁREA (ha): 2,3130 
 
 
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41 
 
III.6.2 CÁLCULO DE ÁREA - Processo analítico – (Determinante) 
Qualquer que seja o processo analítico escolhido, a etapa fundamental é a organização da 
planilha de coordenadas retangulares absolutas dos pontos representativos da divisa do 
terreno. No cálculo matricial, esta planilha deve ser entendida como uma matriz de 2 colunas 
(X e Y) e n linhas (nº de pontos de divisa). Apesar de ser um método mais simples, tem 
como desvantagem o fato de que não é possível a verificação dos cálculos como é feito no 
método de GAUSS. 
A área é obtida multiplicando ½ pelo módulo do determinante das coordenadas dos 
vértices. O determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado fazendo a multiplicação dos 
elementos da diagonal principal e subtraindo pela multiplicação dos elementos da diagonal 
secundária: 
 
|
|
𝑋1 𝑌1
𝑋2 𝑌2
𝑋3 𝑌3
⋮ ⋮
𝑋𝑛−1 𝑌𝑛−1
𝑋𝑛 𝑌𝑛
|
|
 
 
Área = ½ . | (X1.Y2 + X2.Y3 + ... + Xn.Y1) – ( Y1.X2 + Y2.X3 + ... Yn.X1) | 
Note que devemos ter o número de multiplicações igual ao número de vértices. Assim a 
coordenada X do último ponto multiplica a coordenada Y do primeiro ponto e vice versa. 
Para o exemplo dado, teremos: 
Área = ½ . | (1.769.655,61 – 1.815.915,10) | = ½ . | - 46.259.49 | = 23.129,75 m² 
ÁREA (m2): 23.129,75 
ÁREA (ha): 2,3130 
 
 
 
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SETOR DE GEOMÁTICA 
 
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III.7 MEMORIAL DESCRITIVO 
O memorial descritivo é um documento de fundamental na topografia, a partir do qual são 
criados os documentos de propriedade do imóvel. A grande maioria dos registros de imóveis 
possui o que denominamos de “descrição precária”, pois não permite a identificação objetiva 
do imóvel. Durante muito tempo os memoriais descritivos eram genéricos e pouco 
detalhados, levando aos proprietários de imóveis, uma certa insegurança jurídica. 
Atualmente, os memoriais devem ser feitos de modo que a figura representativa da área do 
terreno possa ser reconstruída com suas informações. Aos poucos estão sendo banidas as 
expressões como “mais ou menos” e “aproximadamente” nos documentos cartoriais. 
Assim como o desenho pode ser feito a partir dos 3 tipos de coordenadas (Polares, 
retangulares relativas e retangulares absolutas); necessitamos destas informações para 
elaborar o memorial descritivo. Comumente uma propriedade é descrita através das 
coordenadas polares, porque estes dados são mais facilmente assimilados por pessoas 
comuns, com pouco ou nenhum conhecimento de topografia. Nos serviços 
georreferenciados o dado principal são as coordenadas retangulares absolutas pois são elas 
que indicam a LOCALIZAÇÃO geográfica do imóvel, tornando o imóvel, uma feição única no 
globo terrestre. Essa característica, além de permitir uma descrição mais detalhada e 
inequívoca do imóvel, garante maior segurança jurídica e propicia a utilização dos mapas 
em diversas outras atividades (licenciamentos, certificações, agricultura de precisão, dentre 
outras). 
Na tabela de cálculo de área já temos as coordenadas absolutas dos pontos de divisa e as 
coordenadas relativas dos alinhamentos de divisa (denominadas como diferença binária). O 
cálculo das coordenadas polares segue o mesmo princípio no início do trabalho para 
determinação do Azimute de referência usando coordenadas do GPS (absolutas). Naquele 
momento não precisávamos da distância entre os pontos pois esta já havia sido medida no 
campo. Lembre-se que a distância é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos 
são as diferenças binárias (X e Y). 
𝑫. 𝑯. = √X𝟐 + Y𝟐 
 
 
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MEMORIAL DESCRITIVO 
Imóvel: Área do Entorno do Departamento de Engenharia Localização: Lavras - MG 
Proprietário: UFLA 
Área UTM: 2,3130 ha Coordenadas UTM – Fuso 23S (MC 45ºW) 
Perímetro: 606,26 metros 
Pontos de 
Divisa 
X (m) Y (m) Alinhamentos 
de Divisa 
∆X 
(m) 
∆Y 
(m) 
Rumo Azimute Distância 
(m) 
Confrontante 
ou 
Vizinho 
Tipo de divisa 
P1 502386,67 7652523,39 P1 → P2 +24,42 -11,88 6403’28” SE 11556’32” 27,16 Av Sul Livre (meio fio) 
P2 502411,09 7652511,51 P2 → P3 +27,41 -17,63 5715’04” SE 12244’56” 32,59 Av Sul Livre (meio fio) 
P3 502438,50 7652493,88 P3 → P4 +20,45 -15,77 5221’45” SE 12738’15” 25,82 Av Sul Livre (meio fio) 
P4 502458,95 7652478,11 P4 → P5 +78,56 -70,82 4757’58” SE 13202’02” 105,77 Av Sul Livre (meio fio) 
P5 502537,51 7652407,29 P5 → P6 -126,37 -88,50 5715’04” SW 23715’04” 154,28 R ABI Livre (meio fio) 
P6 502411,14 7652318,79 P6 → P7 -35,03 +51,14 5459’44” NW 30300’16” 61,99 R da Mata Livre (meio fio) 
P7 502376,11 7652369,93 P7 → P8 -41,03 +63,31 3256’47” NW 32703’13” 75,44 R da Mata Livre (meio fio) 
P8 502335,08 7652433,24 P8 → P9 -11,35 +12,64 4155’19” NW 31804’41” 16,99 R da Mata Livre (meio fio) 
P9 502323,73 7652445,88P9 → P10 +14,55 +46,55 1721’27” NE 1721’27” 48,77 Administração Livre 
P10 502338,28 7652492,43 P10 → P1 +48,39 +30,96 5755’07” NE 5755’07” 57,45 Administração Livre 
 
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Vejam na tabela anterior que, além dos dados técnicos do levantamento (coordenadas 
polares e retangulares), temos 2 colunas com informações adicionais sobre os confrontantes 
e tipos de divisa. 
A coluna de confrontação é hoje a grande dor de cabeça dos topógrafos, isso porque a 
grande maioria dos documentos registrados tem descrição precária e para corrigi-los 
passamos por um processo de retificação de área onde os confrontantes ou vizinhos 
precisam concordar de forma expressa com os limites demonstrados no projeto topográfico 
(assinando a planta ou carta de anuência). Outra mudança significativa, é que a pessoa do 
confrontante passa a ter importância secundária em relação ao imóvel (Matrícula) que ela 
ocupa. Isso tem permite que o memorial se mantenha atualizado por mais tempo uma vez 
que a matrícula permanece mesmo no caso de venda ou falecimento do proprietário. Nos 
casos de divisão de um imóvel, as novas matrículas que são criadas obrigatoriamente 
trazem indicação do imóvel de origem. 
O tipo de divisa ajuda na caracterização do imóvel. Nos trabalhos de certificação do 
georreferenciamento no INCRA, o tipo de divisa é importante pois existem recomendações 
diferentes para medições realizadas em divisas naturais e divisas artificiais, sendo que nas 
últimas há um rigor maior com relação a precisão das suas medidas. 
A seguir temos um modelo de memorial feito no formato convencional. Ele acaba sendo um 
documento bastante extenso e cansativo e que traz exatamente as mesmas informações 
contidas no memorial de formato tabular. 
Lembrem-se sempre que quando utilizamos coordenadas georreferenciadas, precisamos ter 
associado a elas um sistema de referência. O sistema de referência oficial do Brasil é 
denominado de SIRGAS 2000. Portanto, tanto a planta como o memorial descritivo, devem 
trazer claras as informações do tipo de coordenadas utilizado (UTM) e sistema de referência 
associado (SIRGAS 2000). 
 
 
 
 
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MEMORIAL DESCRITIVO 
Imóvel: Área do Entorno do Departamento de Engenharia 
Localização: Lavras - MG 
Proprietário: UFLA 
Área UTM: 2,3130 ha Perímetro: 606,26 metros 
 
DESCRIÇÃO DO PERÍMETRO – ÁREA TOTAL 
 
Inicia-se no vértice P1, de coordenadas E: 502386,67m e N: 7652523,39m – localizado no 
extremo norte da propriedade. Deste, segue por divisa livre (meio fio) confrontando com a 
Av Sul, com os seguintes azimutes e distâncias: 11556’32” e 27,16m até o vértice P2 (E: 
502411,09m e N: 7652511,51m); 12244’56” e 32,59m até o vértice P3 (E: 502438,50m e N: 
7652493,88m); 12738’15” e 25,82m até o vértice P4 (E: 502458,95m e N: 7652478,11m); 
13202’02” e 105,77 até o vértice P5 (E: 502537,51m e N: 7652407,29m). Deste, vira-se à 
direta e segue por divisa livre (meio fio) confrontando com a Rua da ABI, com o azimute de 
23715’04” e distância 154,28m até o vértice P6 (E: 502411,14m e N: 7652318,79m). Deste, 
vira-se à direta e segue por divisa livre (meio fio) confrontando com a Rua da Mata, com os 
seguintes azimutes e distâncias: 30300’16” e 61,99m até o vértice P7 (E: 502376,11m e N: 
7652369,93m); 32703’13” e 75,44m até o vértice P8 (E: 502335,08m e N: 7652433,24m); 
31804’41” e 16,99m até o vértice P9 (E: 502323,73m e N: 7652445,88m). Deste, vira-se à 
direita e segue por linha seca (livre), confrontando com Administração; com os seguintes 
azimutes e distâncias: 1721’27” e 48,77m até o vértice P10 (E: 502338,28m e N: 
7652492,43m); 5755’07” e 57,45m até o vértice P1 (E: 502386,67m e N: 7652523,39m); 
fechando assim, o polígono acima descrito com um perímetro de 606,26 metros e área 
superficial de 2,3130 ha (Dois hectares, trinta e um ares e trinta centiares). 
Todas as coordenadas aqui descritas estão georreferenciadas ao Sistema Geodésico 
Brasileiro, representadas no sistema UTM, referenciadas ao Meridiano Central 45° WGr, 
tendo como datum o SIRGAS 2000. Todos os azimutes, distâncias, área e perímetro foram 
calculados no plano de projeção UTM. 
 
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III.8 LOCAÇÃO (OPCIONAL)