Aplicaes_de_EDOs_de_2_ordem

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Material de Apoio – Unidade II 
Disciplina: Cálculo III (PLSE 2020/5) – Prof. Valdiego 
 
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Aplicações de EDOs de Ordem Superior 
(Vibração de Molas) 
 
Considere o movimento de um objeto com uma 
massa m na extremidade de uma mola que está na 
vertical ou na horizontal sobre um nível da superfície. 
A Lei de Hooke, que nos diz que, se a mola estiver 
esticada (ou comprimida) x unidades do comprimento 
natural, então ela exerce uma força proporcional a x. 
𝐹(𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎) = −𝑘 ⋅ 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimento livre: 
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Ignorando as forças de resistência externa (força de 
atrito), então, pela 2ª Lei de Newton: 
𝐹𝑅 = ∑𝐹𝑖 
𝑚 ⋅ 𝑎 = 𝐹𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 
𝑚 ⋅ 𝑎 = −𝑘 ⋅ 𝑥 
𝑚 ⋅ 𝑥′′ = −𝑘 ⋅ 𝑥 
𝑚 ⋅ 𝑥′′ + 𝑘 ⋅ 𝑥 = 0 
Onde: 
m: massa do objeto 
k: constante da mola 
x: posição no instante t 
t: tempo 
 
 
Nesse caso, temos um PVI com as seguintes 
condições iniciais: 
𝑥(𝑡0) = 𝑥0, 𝑥
′(𝑡0) = 𝑣0 
 
 
 
Exemplo 1: Uma mola com massa de 2 kg tem um 
comprimento natural de 0,5m. Uma força de 25,6N é 
necessária para mantê-la esticada a um comprimento 
de 0,7m. Se uma mola for esticada para um 
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comprimento de 0,7m e então for solta com 
velocidade inicial 0, determine a posição da massa 
em qualquer tempo t. 
Solução: Nesse caso, temos que o movimento pode 
ser descrito pelo PVI 
𝑚 ⋅ 𝑥′′ + 𝑘 ⋅ 𝑥 = 0, 𝑥(0) = 0,2 𝑥′(0) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução Geral da EDO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Acompanhe também o vídeo do trecho a seguir, 
copiando e colando o link abaixo no seu navegador: 
https://drive.google.com/file/d/1dZC79PDWBjaRbsZAUcGJuPlhO8f_36RH/view?usp=sharing 
 
 Movimento amortecido: 
Agora, consideremos o movimento de uma mola que 
está sujeita a uma força de atrito ou a uma força de 
amortecimento, de acordo com os desenhos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
https://drive.google.com/file/d/1dZC79PDWBjaRbsZAUcGJuPlhO8f_36RH/view?usp=sharing
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Vamos supor que, além da força restauradora da 
mola, atue uma força de amortecimento que seja 
proporcional à velocidade do objeto de massa m e 
atue na direção oposta ao movimento. 
Pela 2ª Lei de Newton, temos que 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝐹𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 
𝑚 ⋅ 𝑎 = −𝑐 ⋅ 𝑣 − 𝑘 ⋅ 𝑥 
𝑚 ⋅ 𝑥′′ = −𝑐 ⋅ 𝑥′ − 𝑘 ⋅ 𝑥 
𝑚 ⋅ 𝑥′′ + 𝑐 ⋅ 𝑥′ + 𝑘 ⋅ 𝑥 = 0 
m: massa 
c: constante de amortecimento 
k: constante da mola 
 
Exemplo 2: Suponha que a mola do Exemplo 1 esteja 
imersa em fluido com constante de amortecimento 
𝑐 = 40. Determine a posição da massa em qualquer 
instante 𝑡, se ela iniciar da posição de equilíbrio e for 
dado um empurrão para iniciá-la com velocidade 
inicial 0,6 m/s. 
Solução: Nesse caso, o nosso PVI será 
 
 
 
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“Mão na Massa” 
Vamos praticar? 
1) Uma mola tem comprimento natural 0,75 m e 5 kg 
de massa. Uma força de 25 N é necessária para 
manter a mola esticada até um comprimento de 1 m. 
Se a mola for esticada para um comprimento de 1,1 
m e então solta com velocidade 0, encontre a posição 
da massa após t segundos. 
Resposta: 𝑥 = 0,35 𝑐𝑜𝑠(2√5 𝑡) 
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2) Uma mola com uma massa de 8 kg presa a ela é 
mantida esticada 0,4 m além de seu comprimento 
natural por uma força de 32 N . A mola começa em 
sua posição de equilíbrio com velocidade inicial de 1 
m/s. Localize a posição da massa em qualquer 
momento t. 
3) Uma mola presa a uma massa de 2 kg tem uma 
constante de amortecimento 14 e uma força de 6N é 
necessária para manter a mola esticada 0,5 m além 
de seu comprimento natural. A mola é esticada 1 m 
além de seu comprimento natural e então é solta com 
velocidade 0. Localize a posição da massa em 
qualquer momento t. 
Resposta: 𝑥 = −
1
5
𝑒−6𝑡 +
6
5
𝑒−𝑡. 
4) Uma força de 13 N é necessária para manter uma 
mola presa a uma massa de 2 kg esticada 0,25 m 
além de seu comprimento natural. A constante de 
amortecimento da mola é c = 8. 
(a) Se a massa começa na posição de equilíbrio com 
velocidade de 0, 5 m/s, encontre a posição no instante 
t. 
(b) Utilize um software para fazer o gráfico da função 
posição da massa.