Segunda lista de exercício de Equações Diferenciais de 2ª (Segunda ordem)

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais de Segunda Ordem
Maio 2020
Exerćıcios
1. Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante , circuito sintonizado ou
circuito LCR) é um circuito elétrico que consiste em um resistor (R), um indutor (L) e um
capacitor (C), conectado em série ou em paralelo. Esta configuração forma um oscilador
harmônico.
Os circuitos sintonizados têm muitas aplicações, particularmente para circuitos oscilantes
e em engenharia de rádio e comunicação. Eles podem ser usados para selecionar uma certa
faixa estreita de frequências do espectro total de ondas de rádio do ambiente. A figura 1
ilustra uma associação em paralelo desse circuito:
Figura 1: Circuito RLC associado em paralelo
Seja I uma corrente continua de valor I0, α =
1
2RC
a frequência de neper e ω0 =
1√
LC
a
frequência natural ou de ressonância. Mostre que:
1
a)A equação diferencial do circuito é dada por:
d2V
dt2
+ 2α
dV
dt
+ ω20V = 0
b)Para o caso de um circuito supercŕıtico (α > ω0) a solução é do tipo:
V (t) = e−αt(A coshω1t+B sinhω1t)
c)Para o caso de um circuito subcŕıtico (α < ω0) a solução é do tipo:
V (t) = e−αt(c1 cosω1t+ c2 sinω1t)
Onde consideramos que ω1 =
√
α2 − ω20.
2. Um circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar com
uma frequência angular ω0. Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume
que não há dissipação de energia devido à resistência elétrica. Tais circuitos comportam-
se como ressonadores eletrônicos, sendo um componente chave em muitas aplicações, tais
como osciladores, filtros e misturadores de frequência. Esse circuito é muito usado em
transmissores sem fio como as comunicações de rádio tanto para emissão quanto recepção.
A figura 2 ilustra um arranjo em paralelo desse circuito:
2
Figura 2: Circuito LC associado em paralelo
Considerando que o circuito forneça uma corrente cont́ınua de valor I = I0. Se V (0) = V0
e V ′(0) = 0. Mostre que a energia potencial armazenada pelo capacitor C é dada por:
U =
1
2
QV 20 cos
2 ω0t
3. Considere um oscilador harmônico amortecido (ω0 = γ), partindo do repouso. Calcule
para esse oscilador:
a)A aceleração
b)A energia mecânica
c)Considerando o teorema da energia cinética, o trabalho realizado pelo oscilador
4. Seja σ =
R
2L
o fator de carga de um circuito RLC associado em série. Mostre que se o
circuito for supercŕıtico (σ > ω0), a pontência dissipada pelo resistor R será dada por:
3
P = RQ20e
−2σt sinh2 ω1t
(
ω20
ω1
)2
Onde as condições de contorno são Q(0) = Q0 e I(0) = 0. Além disso, considere que
ω1 =
√
σ2 − ω20.
5. Considere um oscilador harmônico amortecido (ω0 = γ), partindo do repouso, sob a ação
de uma força externa senoidal dada por Fext = F0 sinωt. Mostre que o deslocamento x(t)
para esse oscilador é dado pela função:
x(t) =
F0
m
[
(ω20 − ω2)2 + (2γω)2
] {(ω20 − ω2)(sinωt− ωe−γt) + 2γω [e−γt(1 + γ)− cosωt]}
4