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Vetores
Soma de vetores – 2
12/03/2020
A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é
verdadeira ou falsa cada opção
BL = MC ( )
𝐷𝐸 = −𝐸𝐷 ( )
𝐾𝑁 = 𝐹𝐼 ( )
𝐴𝐵 ⊥ 𝐸𝐺 ( )
𝑃𝐸 ⊥ 𝐸𝐶 ( )
|𝐴𝐽| = |𝐴𝐶| ( )
|𝐴𝑂| = 2|𝑁𝑃| ( )
Revisando.... 
Relembrando Soma algébrica
Relembrando da aula passada...
Vetor Resultante – Dois vetores ortogonais
cos 𝜃 =
𝐶00
𝐇
tg 𝜃 =
CO0
C𝐀
sen 𝜃 =
𝐶00
𝐇
Cateto Oposto 
Cateto Adjacente
Hipotenusa
H
Direção e sentido do vetor resultante
Ângulo do vetor soma
com relação ao norte
ângulo do vetor soma
com relação ao leste
Sully, o Herói do Rio Hudson
https://www.youtube.com/watch?v=9n6hcBc4bgE https://www.youtube.com/watch?v=pp_tpmwAU_A
Exercício
Um avião decola do aeroporto de New Jersey e percorre 10 km para o norte e depois 5 km 
para o leste até fazer um pouso de emergência no rio Hudson. Um helicóptero de resgate 
partindo do mesmo aeroporto deve ser enviado ao local do acidente pelo caminho mais 
rápido.
a) Trace o vetor deslocamento do avião para o norte e para o leste. 
b) Trace o vetor deslocamento do avião de resgate (use a regra da soma poligonal e do 
paralelogramo para traçar o vetor deslocamento resultante).c) Calcule a distância percorrida 
pelo avião de resgate? d) Em qual direção (ângulo com relação ao norte) está indo o avião 
de resgate?
Exercício
Um avião decola do aeroporto de New Jersey e percorre 10 km para o norte e depois 5 km 
para o leste até fazer um pouso de emergência no rio Hudson. Um helicóptero de resgate 
partindo do mesmo aeroporto deve ser enviado ao local do acidente pelo caminho mais 
rápido.
a) Trace o vetor deslocamento do avião para o norte e para o leste. 
b) Trace o vetor deslocamento do avião de resgate (use a regra da soma poligonal e do paralelogramo 
para traçar o vetor deslocamento resultante) c) Calcule a distância percorrida pelo avião de resgate? 
d) Em qual direção (ângulo com relação ao norte) está indo o avião de resgate ?
Vetor Resultante – Dois vetores ortogonais
Módulo do vetor resultante
Pitágoras
Qual a distância 
percorrida pelo avião?
10 km, N
5 km, L
10 km
5 km
R
10 km
5 km
R
𝑅! = 10! + 5!
𝑅 = 125
𝑅 = 10,95 km
𝑑 = 10 + 5 = 15 km
Qual a distância 
percorrida pelo 
avião de resgate?
𝜃
Rou+ =
Soma poligonal
Regra 
do 
paralelogramo
𝑐! = 𝑎! + 𝑏!
Vetor Resultante – Dois vetores ortogonais
Em qual direção se dirigiu o 
avião de resgate?
10 km
5 km
R
𝜃
cos 𝜃 =
𝐶00
𝐇
tg 𝜃 =
CO0
C𝐀
sen 𝜃 =
𝐶00
𝐇
Cateto Oposto 
Cateto Adjacente
Hipotenusa
H
tg θ = "
#$
= 0,5
Qual é o ângulo cuja tangente 
é igual a 0,5?
𝜃 (tan%# 1 ) = arc tg 0,5 = 26,6°
Resultante de vetores (vetores paralelos ou 
ortogonais) 
�⃗�!
�⃗�"
�⃗�# (velocidade do avião)
�⃗�#
�⃗�"
�⃗�" (velocidade do vento)
Legenda
�⃗�! (velocidade Resultante)
�⃗�#
#
"
�⃗�"
�⃗�# �⃗�!
�⃗�"
�⃗�#
�⃗�!
�⃗�"
�⃗�#
�⃗�#
�⃗�"
O avião A, B ou C chegará 
primeiro?
Vento de cauda Vento contrário Vento lateral (transverso)
A B C
Soma vetorial - O vetor velocidade 
Resultante �⃗�& descreve a trajetória do avião
Vetor soma ou vetor resultante
Vetores em direções diferentes 
Regra do paralelogramo (caso geral)
Sejam dois vetores não paralelos
1) Primeiro juntamos as origens dos vetores no 
mesmo ponto 
Obtendo o vetor soma ou resultante
2) Vamos completar o paralelogramo na figura, 
projetando os respectivos vetores nos lados que estão
faltando para fechar o paralelogramo
Qualquer quadrilátero: retângulo, quadrado e o paralelogramo clássico
Paralelogramo
3) Traçamos o vetor soma começando na origem do vetores
e terminando na outra extremidade do paralelogramo 
(diagonal maior do paralelogramo)
início
𝑆 = 𝑢 + �⃗�
Módulo do vetor Soma (caso geral)
𝑠! = 𝑢! + 𝑣! + 2𝑢𝑣 cos 𝜃
𝑢
𝑣
𝑠
�⃑�
𝑢
𝜃
onde 𝜃 é o ângulo entre os dois vetores da soma vetorial!
𝑆
O que acontece com essa expressão quando 𝜃 = 90°? 
Trace o vetor resultante nessa situação 
𝑆 = 𝑢 + �⃗�
Módulo do vetor Soma (caso geral)
𝑠! = 𝑢! + 𝑣! + 2𝑢𝑣 cos 𝜃
𝑢
𝑣
𝑠
�⃑�
𝑢
𝜃
onde 𝜃 é o ângulo entre os dois vetores da soma vetorial!
𝑆
O que acontece com essa expressão quando 𝜃 = 90°? 
Trace o vetor resultante nessa situação 
𝑆 = 𝑢 + �⃗�
Módulo do vetor Soma (caso geral)
𝑠! = 𝑢! + 𝑣! + 2𝑢𝑣 cos 𝜃
𝑢
𝑣
𝑠
�⃑�
𝑢
𝜃
onde 𝜃 é o ângulo entre os dois vetores da soma vetorial!
𝑆
𝑆 = 𝑢 + �⃗�
Exemplo 1
Uma patinadora se encontra na origem do sistema de coordenadas 
cartesiano e, durante sua apresentação, desloca-se para o leste por 3 
metros, e em seguida percorre 10 m na direção e sentido que faz 60° com o 
eixo 𝑥. 
a) Represente geometricamente a soma vetorial do trajeto da patinadora. 
b) Qual é a distância da patinadora do final do trajeto à origem do sistema 
de coordenadas? 
Exemplo 1
Uma patinadora se encontra na origem do sistema de coordenadas 
cartesiano e, durante sua apresentação, desloca-se para o leste por 3 
metros, e em seguida percorre 10 km na direção e sentido que faz 60°
com o eixo 𝑥. 
b) Qual é a distância da patinadora do final do trajeto à origem do 
sistema de coordenadas? 
c) Ao final do trajeto, em que ponto do sistema de coordenadas a patinadora está localizada? 
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