Distribuição Normal e Estatística

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Matemática
Tópicos Especiais
Estatística
Características:
• Curvas com forma de “sino”;
• Simétricas em torno de X=μ;
• Possuem ponto máximo em X=μ;
• Tendem a zero quando X tende a ±∞
Distribuição Normal 
Cada distribuição normal fica determinada pelos parâmetros 
µ(média) e σ(desvio padrão).
Notação:
Distribuição Normal 
Distribuição normal: A distribuição ou curva normal (de 
Gauss) é definida como segue:
• onde: -∞ < X < ∞ 
• μ= média da distribuição
• σ= desvio padrão da distribuição
• p = 3,1416....
• e = 2,71828...
Distribuição Normal 
Distribuição normal padronizada: facilita os cálculos de
probabilidade, evitando o uso da fórmula e projetando
qualquer análise mediante utilização de ESCORES (Z). Se x é
uma observação de uma distribuição que tem média μ e
desvio-padrão σ, o valor padronizado de x é:
A distribuição normal padronizada tem média igual a zero e 
desvio padrão igual a 1:
Distribuição Normal 
Tabela de curva normal
Há vários tipos de tabelas que nos oferecem as áreas 
(probabilidades) sob a curva normal. 
O tipo mais frequente é a tabela da faixa central, que dá a 
área sob a curva normal padrão entre Z = 0 e qualquer valor 
positivo de Z.
Distribuição Normal 
Distribuição Normal 
Exemplo: As alturas dos alunos de uma determinada escola
são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio
padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno
medir:
a) entre 1,50 m e 1,80 m;
b) mais de 1,75 m.
Distribuição Normal 
Solução:
Distribuição Normal 
b)
Distribuição Normal 
Exercício: Página 32 da apostila
Em um concurso público serão chamados para contratação imediata
20% dos candidatos com as maiores notas. As notas obtidas seguem
uma distribuição normal com média 5,5 e desvio padrão 3. A nota
mínima para que o candidato seja chamado para contratação imediata
é, aproximadamente:
(A) 7,0
(B) 7,5
(B) 8,0
(C) 8,5
(E) 9,0
Obs: Lembre-se que a tabela Z é bicaudal, ou seja (50%-20%) =30%. Na 
tabela, 0,30 corresponde a um Z de 0,85
Distribuição Normal 
Solução:
Normalizando-se a função para Z(0,1), temos que:
Mas a tabela Z é bicaudal, ou seja (50%-20%) =30% (ver tabela)
Na tabela, vemos que 0,30 corresponde a um Z de 0,85. Assim:
0,85=(X-5,5)/3
X=8,05
Resposta (C)
Distribuição Normal 
Exercício:
Constatou-se que o tempo médio para se fazer um teste-
padrão de matemática é aproximadamente normal, com 
média 80 minutos e desvio padrão de 20 minutos.
a) Que porcentagem de candidatos levará menos que 80 
minutos?
b) Que porcentagem não terminará o teste, se o tempo 
máximo concedido é de 2 horas?
c) Se 200 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar 
que terminem o teste na primeira hora?
*Dado P (Z=2)= 0,4772 e P (Z=1)= 0,3413
Distribuição Normal 
Solução:
a)
b) 
Distribuição Normal 
Solução:
c)
Distribuição Normal 
Exercício: Página 35 da apostila
Suponha os pesos dos pacotes de arroz normalmente
distribuídos com média 1Kg e desvio padrão 20g. Escolhendo
um pacote ao acaso, qual é a probabilidade de ele pesar
mais de 1030g?
(A) 13,4%
(B) 11,6%
(C) 10,0%
(D) 8,4%
(E) 6,7%
*Dado que P(Z=1,5)=0,43319
Exercícios
• Solução:
Μ=1000g
σ= 20g
P(X>1030) = ?
Z= (1030-1000)/20= 1,5
P(Z=1,5)=0,43319
P(Z>1,5)=0,5-0,43319= 0,067 ou 6,7%
Resposta (E)
Exercícios
Exercício: Página 32 da apostila
A tabela a seguir apresenta algumas estatísticas das ações de três
empresas dos setores de petróleo e química. Os dados referem-se às
últimas 80 semanas.
Exercícios
Considere as armações derivadas das estatísticas acima.
I - O coeficiente de variação das ações da empresa A é o mesmo que o das
ações da empresa C.
II - A rentabilidade média das ações da empresa B é maior do que das
demais e apresenta menor dispersão relativa, ou seja, menor risco.
III - A rentabilidade média das ações da empresa C é menor do que das
demais e apresenta menor dispersão relativa, ou seja, menor risco.
Estão corretas as armações
(A) I, apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
Exercícios
Solução:
Cálculo dos coeficientes de variação:
CA= 3,5/0,5=7%
CB= 3,9/0,6=6,5%
CC = 2,8/0,4=7%
Resposta (B)
Exercícios
Exercício: Página 35 da apostila
Na curva de distribuição de permeabilidades da rocha de um
reservatório, mostrada na figura, os atributos X, Y e Z,
respectivamente, são:
(A) mediana, média e moda.
(B) mediana, moda e média.
(C) moda, mediana e média.
(D) moda, média e mediana.
(E) média, mediana e moda.
Resposta: (C)
Exercícios
Solução:
• A moda sempre é o valor que mais aparece na distribuição, portanto,
será o máximo do pico;
• A mediana deverá estar sempre no meio da distribuição.
• A média será menor que a mediana devido a grande cauda existente.
Neste caso, sempre que tivermos uma distribuição assimétrica positiva
ou negativa, teremos:
Resposta C
Exercícios
Exercício: Página 36 da apostila
Estudando o número de infrações cometidas por postos de
gasolina em determinada cidade, numa amostra de 100
postos foram encontradas as seguintes quantidades de
infrações. Quais são, respectivamente, a média, a mediana, a
moda e a variância desta amostra?
(A) 0,7 1 0 0,94
(B) 0,7 1 1 0,94
(C) 0,8 0;5 0 0,96
(D) 0,8 1 0 0,96
(E) 0,8 1 1 0,96
Exercícios
Solução:
Média:
E(X)=(1x30+2x10+3x10)/100
E(X)= 0,8
Mediana: se ordenarmos os dados de acordo com o número de 
infrações, existirão 50 zeros nas 50 primeiras posições, seguidos 
de 30 uns. Como a mediana será a media entre os pontos mais 
centrais da população, ela será 0,5.
Moda: a moda é o elemento com maior frequência, portanto zero
Exercícios
Variância:
Var(X)= [50x(0-0,8)2]+ [30x(1-0,8)2]+[10x(2-0,8)2]+[10x(3-0,8)2]/100
Var(X)=(32+1,2+14,4+48,4)/100 = 0,96
Resposta (C)
Exercícios
Exercício: Página 36 da apostila
A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é o valor médio:
(A) da soma dos desvios de X e Y em relação ao valor absoluto de suas 
médias.
(B) da soma dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.
(C) do produto dos desvios de X e Y em relação ao quadrado de suas 
médias.
(D) do produto dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas 
médias.
(E) do quadrado do produto dos desvios de X e Y em relação às suas 
respectivas médias.
Exercícios
Solução:
O valor esperado do produto dos desvios é denominado
covariância entre as variáveis aleatórias x e y e é definida por:
Cov(x,y)=σxy
Resposta (D)
Exercícios
Matemática financeira
Tópicos
• Juros Simples
• Juros Compostos
• Valor presente Líquido
• Descontos
Definições:
• Juros: é a remuneração do capital emprestado,
podendo ser entendido, de forma simplificada,
como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.
• Taxa de juros: é a razão entre os juros recebidos
(ou pagos) no final de certo período de tempo e o
capital inicialmente aplicado (ou emprestado).
Onde: J é o juros e P é o capital inicial
Definições:
Capital: é qualquer valor expresso em moeda e 
disponível em determinada época.
Valor Presente ( Vp ): É a quantidade monetária 
inicial envolvida em uma transação.
Montante ( M ): É a quantidade monetária 
resultante de uma transação financeira, igual ao 
capital mais o valor dos juros.
Fluxo de Caixa: é um recebimento ou pagamento
de uma quantia em dinheiro.
Juros Simples
• Na capitalização em regime de juros simples, o
juros calculado varia linearmente em função do
tempo.
• Juros simples calculado no período (n):
• Montante ou valor futuro é o capital inicial
somado dos juros calculado no período:
Juros Compostos
• A taxa de juros incide sobre o capital inicial
somado dos juros acumulados até o período
anterior.
• Na capitalização em regime de juros compostos,
o juros calculado cresce exponencialmente em
função do tempo.
• O montante ou valor futuro no período n é
dado pela expressão:
• Sendo que o termo é chamado de fator
de capitalização.
Valor Presente Líquido: é uma fórmula matemática-
financeira utilizada para calcular o valor presentede uma
série de pagamentos futuros descontando um taxa de custo
de capital estipulada.
No qual, FC significa o fluxo de caixa de cada período, o i é 
a taxa de desconto escolhida e o t é o período analisado.
Valor Presente Líquido
Exercício: Página 38 da apostila
O banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia de
R$ 12.000;00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros
simples, para pagamento único no final de 90 dias. De
acordo com as condições do empréstimo, o cliente deverá
pagar ao Banco, em reais, o montante total de:
(A) 12.600,00
(B) 12.800,00
(C) 13.200,00
(D) 13.600,00
(E) 13.800,00
Exercícios
Solução:
P=12.000,00
i=0,05
n=3 meses
S=12000x(1+0,05x3)= 13.800,00
Resposta (E)
Exercícios
Exercício: Página 38 da apostila
Um investidor aplicou a quantia de 20.000,00 a uma taxa de 3% ao
mês, por um período de 60 dias. Considerando que a aplicação foi
realizada com capitalização composta mensal, no final do período
o investidor acumulará, em reais, um valor bruto de:
(A) 21.218,00
(B) 21.320,00
(C) 22.208,00
(D) 23.620,00
(E) 24.310,00
Exercícios
Solução:
P=20.000,00
i=0,03
n= 2meses
S = 20000x(1+0,03)2= 21.218,00
Resposta (A)
Exercícios
Exercício: Página 39 da apostila
Um investidor aplicou a importância de R$ 2.000,00,
gerando uma remuneração de R$ 400,00 ao final de um
período de 1 ano. De acordo com o regime de juros simples
com capitalização anual, a taxa anual de juros dessa
operação foi:
(A) 5%
(B) 10%
(C) 12%
(D) 20%
(E) 25%
Exercícios
Solução:
P=2.000,00
n=12 meses
S=2.400,00
2400=2000x(1+ix12)
i=17%
Resposta (D)
Exercícios
Exercício: Página 39 da apostila
A Transalpina S.A., empresa de transportes aéreos, está 
estudando um projeto de investimento com as seguintes 
características:
* Valor do investimento inicial: R$ 45.000.000,00
* Retornos anuais esperados:
1 ano: R$ 28.600.000,00
2 ano: R$ 19.360.000,00
3 ano: R$ 10.648.000,00
Exercícios
Exercício: Página 39 da apostila
Sabendo-se que a taxa composta de retorno esperada pela 
empresa é de 10% ao ano, o Valor Presente Líquido (VPL) do 
projeto, em reais, é:
(A) 2.500.000,00
(B) 4.946.500,00
(C) 4.500.000,00
(D) 5.000.000,00
(E) 5.115.000,00
Exercícios
Solução:
Resposta: (D)
Exercícios
Exercício: Página 40 da apostila
Uma prestação é composta por duas partes: os juros e o valor
amortizado. Esses juros correspondem a 25% do valor
amortizado. Os juros correspondem a que porcentagem
da prestação?
(A) 75%
(B) 50%
(C) 25%
(D) 20%
(E) 15%
Exercícios
Solução:
P = J + A
Ele nos diz que J = 0,25.A, logo A = 4.J
Substituindo na fórmula inicial:
P = J + 4.J
P = 5.J
J = 0,2.P ---> Portanto J equivale a 20% de P.
Resposta (D)
Exercícios
Exercício: Página 40 da apostila
Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$
400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se a taxa
de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor
descontado), em reais, será igual a:
(A) 400,00
(B) 352,00
(C) 256,00
(D) 144,00
(E) 48,00
Exercícios
Solução:
O desconto simples deve ser tratado como o juros simples, 
porém subtrai-se do valor inicial:
D =P(1-ixn)
D=400(1-0,12x3)=256
Resposta (C)
Exercícios
Método de 
Newton-Raphson
Introdução
No caso de polinômios de alto grau e de funções mais 
complicadas é impraticável localizar suas raízes exatas.
– Para contornar este problema, foram criados métodos 
iterativos de aproximações de raízes de funções com 
qualquer precisão pré-fixada.
– O método de Newton-Raphson é rápido, e encontra 
raízes que tocam o eixo. Porém, é necessário o cálculo 
da derivada da função, o que nem sempre é fácil.
Método de Newton-Raphson
Algoritmo
Método de Newton-Raphson
Exemplo
Seja f(x) = x3 + 9x + 3; 
x0 = 0,5; 
ε1 = ε2= 1 x10
-4; ε ϵ (0,1)
Aplicar o método de Newton-Raphson para obtenção das 
raízes aproximadas.
Método de Newton-Raphson
Solução:
f(x) = x3 - 9x + 3
Derivando:
f‘(x)=3x2-9
Sabe-se que x0=0,5, então
f(0,5)= (0,53)-(9x0,5)+3= -1,375
f‘(0,5)=3x(0,52)-9=-8,25
Aplicando-se:
X1=0,5-0,1667=0,3333
Método de Newton-Raphson
Para x1=0,3333, temos que
f(0,3333)= (0,33333)-(9x0,3333)+3= 0,03732
f‘(0,3333)=3x(0,33332)-9=-8,6667
X2=0,3333+0,0043=0,3376
Então:
f(0,3376)= (0,33763)-(9x0,3376)+3=0,00007
f‘(0,3376)=3x(0,33762)-9=-8,65807
X3=0,3376+0,00000808=0,3376
Método de Newton-Raphson