Fascículo_20_ 2º_Ano_Matemática [Equação da reta] (1)

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Equação da Reta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) de acordo com ISDB 
 
GOVERNO de Pernambuco. Secretaria de Educação e Esportes. 
Matemática: Equação da Reta. – Recife: EDUCA-PE, 2020. 
14 p.: il. 
2º Ano Ensino Médio. Midiateca EDUCA-PE. 
Fascículo 20 (Aula Ao Vivo). 
1. Matemática – Ensino Médio. 2. Forma Reduzida da Equação da Reta. I. Título. 
CDU – 51(075.3) 
 
Elaborado por Hugo Carlos Cavalcanti | CRB-4 2129 
Expediente 
 
Governador de Pernambuco 
Paulo Henrique Saraiva Câmara 
Vice-governadora de Pernambuco 
Luciana Barbosa de Oliveira Santos 
Secretário de Educação e Esportes de Pernambuco 
Frederico da Costa Amancio 
 
 
 
 
Autor 
Prof. Luis Roberto Cavalcanti do Amaral 
 
Revisão de Língua Portuguesa 
Prof.ª Aline Vieira de Oliveira Couto 
 
Projeto gráfico 
Clayton Quintino de Oliveira 
 
Diagramação 
Caio Renato Tavares da Silva
 
 
 
 
 
 
 
 
OLÁ, QUERIDOS ESTUDANTES! 
VOCÊS SABIAM QUE ATRAVÉS DE 2 
PONTOS ESCREVEMOS UMA RETA? 
 
 VAMOS ESTUDAR O PLANO 
CARTESIANO? 
 
 
 
 
Primeiro, vamos entender o que é um PLANO CARTESIANO 
 
O Plano Cartesiano é um objeto matemático plano e composto por duas retas 
numéricas perpendiculares, ou seja, retas que possuem apenas um ponto em 
comum, formando um ângulo de 90° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta-numerica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta-numerica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-angulo.htm
 
 
 
 
 
 
 
O que seria uma reta? 
 
Uma reta é um conjunto de pontos que não faz curva. Em uma reta, 
existem infinitos pontos, o que também indica que a reta é infinita. 
 
 
Pegando apenas os pontos A (1, 3) e B (3, 7) num plano cartesiano, vamos escrever a 
equação da reta formada pela união desses dois pontos 
 
 
 7 
 6 
 5 
 4 
 3 
 2 
 1 
 
 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 
 
Fo
n
te
: C
lip
ar
t.
co
m
 
2 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/definicao-conjunto.htm
 
 
 
 
 
Notamos que esses pontos formam uma reta e identificamos uma função afim 
(1°grau) 
 
Como vamos fazer para representar essa reta algebricamente? 
 
PASSO A PASSO 
 
1° Vamos substituir esses pontos na equação algébrica de uma função afim 
 
2° Lembrando que y = ax + b 
 
3° Montaremos um sistema de equação do 1°grau 
 
4° Encontraremos os valores de a e b da função, consequentemente, encontramos a 
forma algébrica 
 
 
 
Vamos Praticar? 
 
 
Pelo exemplo, temos os pontos A (1,3) e B (3,7) substituindo na equação 
y = a x +b teremos: 
 
7 = 3a + b 
 
3 = a + b{
𝑎 + 𝑏 = 3
3𝑎 + 𝑏 = 7
 
 
3 
 
 
 
 
 
Montando o sistema e resolvendo, encontraremos a = 2 e b = 1, lembrando que 
podemos usar qualquer método adição, substituição... o método que você se sinta 
melhor em utilizar. 
 
Então, a reta formada pelos pontos (1,3) e (3,7) será dada por 2x – y + 1 = 0, a qual 
chamamos de forma geral da reta 
 
 
 FORMA GERAL 2x – y +1 =0 
 
 
Quando isolamos o termo de “y”, dizemos que a reta está na forma reduzida 
 
 
 FORMA REDUZIDA DA RETA y = 2x +1 
 
 
 
 VOCÊ SABIA QUE PODEMOS ENCONTRAR DE OUTRA 
 MANEIRA A FORMA ALGÉBRICA DE UMA RETA? 
 
 
Se pegarmos os dois pontos do gráfico e criarmos um ponto extra (x, y), podemos 
utilizar o determinante formado pelos 3pontos 
 
Você sabia que um ponto é 
chamado de AFIXO 
 
ax +by +c =0 
y = ax + b 
4 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DA RETA PELO MÉTODO DETERMINANTE 
 
 
 
Calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus 
significa: 
 
1º passo: repetir a 1ª e a 2ª coluna da matriz. 
 
2º passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal. 
 
3º passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária. 
 
4º passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da 
diagonal secundária. 
 
Exemplo: 
 
Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos:A (–1, 2) e B (–2, 
5). 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0 
[– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0 
– 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0 
–3x – y – 1 = 0 
 
 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A (–1, 2) e B (–2, 5) é dada pela 
expressão: –3x – y – 1 = 0. 
 
 
VAMOS FAZER NOSSO EXEMPLO INICIAL? 
 
 
PONTOS (1,3) e (3,7) 
1 3 1 1 3
3 7 1 3 7
𝑥 𝑦 1 𝑥 𝑦
 
 
Ficamos, portanto, com 7 +3x +3y -7x -y -9 =0 
 
-4 x +2 y - 2 = 0, dividindo por 2, temos a forma geral 
 
 2x - y +1 =0 
 
 
 
6 
 
 
 
 
Outros exemplos: 
 
Encontre a reta representada no plano cartesiano a seguir. Considere A (-1, 2) e B 
(2,3). 
 
 
 
Notemos que a reta possui um valor de a positivo, pois aprendemos que quando a 
função é crescente o valor de a é positivo. No próximo fascículo, vamos aprender 
mais sobre coeficientes angulares (valor de a) e coeficiente linear (valor de b). 
 
Vamos a resolução :{
−𝑎 + 𝑏 = 2
2𝑎 + 𝑏 = 3
 teremos 3a = 1 a = 1/3 
 
e b = 5/3 y = 1x/3 +5/3 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA 
 
 x – 3y +5 =0 EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
 
 
 
 
 
 
7 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e 
perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas 
cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias 
nos eixos são dadas em quilômetros. 
 
 
 
Fo
n
te
: P
ix
ab
ay
.c
o
m
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô 
subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), 
localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento 
 
que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, 
medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da 
comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente 
satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto: 
 
 
A) (-5,0) 
 
B) (-3,1) 
 
C) (-2,1) 
 
D) (0,4) 
 
E) (2,6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
Na figura a seguir, uma das retas tem equação x = 4. Sabendo-se que a distância 
entre O e P é 5, a equação da reta que passa pelos pontos O e P é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 4X - y =0 
 
B) 2x -3y =5 
 
C) 3x – 4 y =0 
 
D) 3x – 4y = 3 
 
E) 4x – 3y = 5 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fo
n
te: P
ixab
ay.co
m
 
11 
Apenas os pontos B (–3; 1), D (0; 4) e E (2; 6), correspondentes às 
alternativas propostas, pertencem à reta de equação y = x + 4. 
 
A distância do ponto P ao ponto B é: 
 
 √[–5 – (–3)]² + (5 – 1)² = √20 < 5 
 
Logo, a estação prevista em (–3; 1) satisfaz o pedido da comunidade. 
 
 
Alternativa: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
2. 
 
A equação da reta passando por OP é 3x- 4y = 0. 
 
Vamos considerar que a interseção da reta x = 4 com o eixo das 
abscissas seja Q. 
 
A distância entre os pontos O e Q é igual a 4. 
 
Sabendo que a distância entre O e P é igual a 5 e que 
o triângulo formado pelas retas é retângulo. Então, pelo Teorema de 
Pitágoras: 
5² = 4² + PQ² 
25 = 16 + PQ² 
PQ² = 9 
PQ = 3. 
 
Assim, podemos concluir que P é o ponto P = (4,3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação de uma reta é da forma y = ax + b. Substituindo os pontos O = 
(0,0) e P = (4,3), obtemos o seguinte sistema: 
 
{b = 0 
{4a + b = 3. 
 
Substituindo o valor de b na segunda equação: 
 
4a = 3 
a = 3/4. 
 
Portanto, a equação da reta é: 
 
y = 3x/4 
4y = 3x 
3x - 4y = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Alternativa: C 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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