roteiro_aula__matriz_inversa__e_determinate__2015

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UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO 
ROTEIRO DE AULA : MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
Prof. Mariane K Giareta
2.Matriz inversa A-1 
2.1 Definição: 
Considere uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A-1 é a inversa de A se, e somente se, 
Se A-1 existe, dizemos que A é invertível. Caso A-1 não exista dizemos que A é singular.
Exemplo
Determinar, se existir a matriz inversa de A nos casos a seguir:
a) 
b) 
Por que algumas matrizes possuem inversas e outras não? 
2.2 Regra Prática para cálculo da matriz inversa – válida somente para matrizes de ordem 2.
2.3 Exercícios:
a)Dadas as matrizes 
b)Sejam as matrizes . Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é:
a) 3/2  		 b) 2/3 		 c) ½ 			 d) 3/4  		e) 1/4 
c) Dadas as matrizes , calcule a seguinte expressão AB-6A -1
3. Determinantes
3.1. Definição :
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Define-se o determinante de A (denotado por det(A) ou A) a função que associa a toda matriz quadrada a um numero real.
3.2 Determinante de Ordem 2x2
 ou det(A) = termo principal – termo sencundário
Exemplos
Calcular os determinantes a seguir:
3.3 Determinante de Ordem 3 – Regra de Sarrus
	
	
det(A)= 
Exemplos:
1)Calcular o valor dos determinantes
			b)
Exercícios
1)Determinar o conjunto solução das equações:
a)				b)
2) Para que valores de x a matriz 
3) Resolva a equação 
3.4. Propriedades dos determinantes:
Teorema 
a) Os determinantes de uma matriz e de sua transposta são iguais;
b) Se uma matriz B é obtida de uma matriz A trocando-se as duas linhas (ou colunas) de A, então det(B)=-det(A);
c) Se duas linhas ou colunas de A são iguais ou proporcionais o det(A)=0;
d) Se A tem linha(coluna) nula o determinante é nulo;
e) Se B é obtida de A multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um número real c, então det(B)= c.det(A);
f) Se B é obtida de A somandondo-se uma linha com outra pré-multiplicada por um número real, então det(B)= det(A);
g) Se A é uma matriz triangular, então o determinante de A é igual ao termo principal.
h) O determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes;
i) O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante de A.
Exemplo: Sejam A e B matrizes de ordem 3, tais que det(A)= -2 e det(B)=5, determine:
a) det(2 A)
b) det(BT)
c) det (A-1)
3.5. Determinantes de ordem superior n≥3
 3.5.1 Regra de Chió
A regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n através de uma matriz de ordem n-1 (uma ordem abaixo).
Existe uma condição importante para a aplicação do processo da regra de Chió, temos que escolher o elemento da matriz, aij igual a 1.
· 
A regra de Chió é dada da seguinte forma:
• Circule a linha i e a coluna j da matriz.
• Dos elementos que restaram na matriz, subtraia o produto dos dois elementos destacados (um da linha e o outro da coluna) correspondentes a este elemento restante. Por exemplo, no elemento a23 você realizará o produto do elemento da segunda linha da coluna que foi circulada pelo elemento da terceira coluna da linha que foi circulada.
• Com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será obtida uma nova matriz, com ordem menor, entretanto com determinante igual à matriz original.
· Por fim, efetue o resultado do determinante pela potência 
Dica: Assista vídeo (https://www.youtube.com/watch?v=HyT-54ScyFM)
Exemplo
 
3.5.2 Cofator e o Teorema de Laplace
3.5.2.1 Cofator Aij
Cofator é um número associado a um elemento aij de uma matriz quadrada.
Para definir cofator é necessário primeiro definir o menor principal ou menor complementar Mij, associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada.
Menor Principal ou Menor Complementar
Seja a matriz quadrada , definimos como menor principal (ou complementar) ao determinante da  matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz A, representamos o menor principal por Mij
Exemplos:
Dada a matriz , vamos:
a) Determinar o menor principal M11, associado ao elemento a11.
O menor principal associado ao elemento a11 é a matriz que se obtém eliminando a linha e a coluna e quem está o elemento a11.
O elemento a11 é o número 1. Eliminando a sua linha e a sua coluna obtemos a matriz A’,  associado ao elemento a11, que é a matriz quadrada formada pelos elementos restantes, isto é:
O menor complementar será portanto o determinante de M11. Assim, temos que M11 = 6
O cofator 
Assim,
Calcular os cofatores:
3.5.2.2 Aplicação dos Cofatores no Cálculo de Determinante
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]nxn com n≥ 3 pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores.
   Assim, fixando 
, temos:
em que  é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .
Sugestão: Vídeo (https://youtu.be/Qw8Onq4OVYQ)
Exemplo:
a)
b) 
3.5.3 Cofator e Matriz Inversa
 3.5.3.1 Matriz de cofatores
Chamamos de matriz dos cofatores, e representamos por C a matriz formada por todos os cofatores de uma matriz original A.
Exemplo:
Seja A a matriz original dada a seguir:
Obter Todos os cofatores de A 
3.5.3.2 Matriz Adjunta
È a matriz transposta a Matriz dos Cofatores
3.5.3.3 Matriz Inversa pela Adjunta
A matriz inversa é obtida da relação, 
1
1
4
2
2
5
1
0
0
3
4
3
2
0
1
2
1
)
-
-
a
1
3
0
1
0
5
7
1
7
0
1
4
0
2
1
2
)
-
-
-
-
b
4
0
1
2
0
0
0
3
1
4
2
1
3
1
1
2
)
-
-
c
1
4
2
0
3
0
0
1
3
1
2
4
0
1
2
3
-
-
-
-
1
2
0
0
2
1
2
0
0
2
1
2
0
3
2
1
-
-
-
-