Esforзos-Internos_2

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Esforço Cortante e 
Momento Fletor 
Esforços internos 
Esforços internos 
Devem atender a Terceira Lei de Newton (Ação e Reação) 
(a)
(c)
(b)
(d)
flexão positiva flexão negativa
cisalhamento negativocisalhamento positivo
Esforços internos 
Método das seções 
Método das seções 
1° Passo: Diagrama de corpo livre 
Método das seções 
2° Passo: Reações nos apoios 
Método das seções 
 𝐹𝑥 = 0 
𝐴𝑥 + 0 = 0 
𝐴𝑥 = 0 
 𝐹𝑦 = 0 
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − P − P = 0 
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 2P 
Método das seções 
 𝑀𝐴 = 0 
−𝑃
𝐿
3
− 𝑃
2𝐿
3
+ 𝐵𝑦𝐿 = 0 
𝐵𝑦 = P 
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − 2P =0 
𝐴𝑦 + 𝑃 = 2P 
𝐴𝑦 = P 
𝐴𝑥 = 0 
𝐵𝑦 = P 
𝐴𝑦 = P 
C D 
 𝐹𝑦 = 0 
Método das seções 
 𝐹 = 0 
𝑃 − 𝑉 = 0 
𝑉 = 𝑃 
 𝑀 = 0 
𝑀 − 𝑃𝑥 = 0 
𝑀 = 𝑃𝑥 
(a)
(c)
(b)
(d)
flexão positiva flexão negativa
cisalhamento negativocisalhamento positivo
3° Passo: Funções de V e M 
Método das seções 
 𝐹 = 0 
𝑃 − 𝑃 − 𝑉 = 0 
𝑉 = 0 
 𝑀 = 0 
𝑀 + 𝑃 𝑥 −
𝐿
3
− 𝑃𝑥 = 0 
𝑀 = 𝑃
𝐿
3
 
Método das seções 
 𝐹 = 0 
𝑃 − 𝑃 − 𝑃 − 𝑉 = 0 
𝑉 = −𝑃 
 𝑀 = 0 
𝑀 + 𝑃 𝑥 −
𝐿
3
− 𝑃 𝑥 −
2𝐿
3
− 𝑃𝑥 = 0 
𝑀 = −𝑃𝑥 + 𝑃𝐿 
Diagrama de esforços 
Diagrama de esforços 
𝑉 = 𝑃 
𝑀 = 𝑃𝑥 
𝑉 = 0 
𝑀 = 𝑃
𝐿
3
 
𝑉 = −𝑃 
𝑀 = −𝑃𝑥 + 𝑃𝐿 
C D B A 
𝑉 = 𝑃 
𝑀 = 𝑃𝑥 
𝑉 = 0 
𝑀 = 𝑃
𝐿
3
 
𝑉 = −𝑃 
𝑀 = −𝑃𝑥 + 𝑃𝐿 
C D B A 
Trecho CD: 
B 
Trecho AC: 
Trecho DB: 
Diagrama de esforços 
Relação entre força 
cortante e momento 
Esforços internos 
Esforços internos 
 𝑉𝑦 𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑉𝑦(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑞(𝑥) 
 Y
Vy(x)
F 0 Vy(x) q(x) x Vy(x) Vy(x) 0 q(x)
x

        


∆𝑉𝑦 𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 
𝑉𝑦 𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 
 𝑀𝑧 = 0 − 𝑉𝑦 𝑥 ∆𝑥 − 𝑀𝑧 𝑥 − 𝑞(𝑥)∆𝑥
∆𝑥
2
+ 𝑀𝑧 𝑥 + ∆𝑀𝑧 𝑥 = 0 
∆𝑀𝑧(𝑥)
∆𝑥
= 𝑉𝑦(𝑥) 
Esforços internos 
 𝑀𝑧 𝑥 = 𝑉𝑦 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑀𝑧(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑉𝑦(𝑥) 
∆𝑀𝑧 𝑥 = 𝑉𝑦 𝑥 𝑑𝑥 
𝑀𝑧 𝑥 = 𝑉𝑦 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 
Dy = F Ay = F 
Esforços internos 
𝑑𝑉𝑦(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑞(𝑥) 
∆𝑉𝑦 𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑀𝑧(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑉𝑦(𝑥) 
∆𝑀𝑧 𝑥 = 𝑉𝑦 𝑥 𝑑𝑥 
𝑉𝑦 𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 
𝑀𝑧 𝑥 = 𝑉𝑦 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 
Observe: 
• Há singularidades onde há 
carregamentos concentrados. 
• As condições de contorno 
devem ser satisfeitas. 
• As reações de apoio devem 
aparecer no gráfico. 
• A força cortante é a derivada 
do momento fletor. 
• Convenção de sinais? 
(a)
(c)
(b)
(d)
flexão positiva flexão negativa
cisalhamento negativocisalhamento positivo
Esforços internos 
Exemplo 
Petrobras 
Uma viga biapoiada ABC está sujeita à 
ação de uma força concentrada F em sua 
extremidade, conforme mostrado na figura 
abaixo. 
a b
A B
C
F
Exemplo 
Apostila - Pág. 55 
Desprezando-se o peso próprio da viga, a força F produz, 
na seção B, um(a) 
 
a) momento fletor igual a 2Fa. 
b) momento fletor igual a 2Fb. 
c) momento fletor igual a zero. 
d) força cisalhante igual a F se a = b. 
e) força cisalhante igual a 2F se a = b 
a b
A B
C
F
Exemplo 
Exemplo 
 𝐹𝑦 = 0 
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − 𝐹 = 0 
 𝑀𝐴 = 0 
Ay By 
𝐵𝑦 . 𝑎 − 𝐹(𝑎 + 𝑏) = 0 
𝐵𝑦 = 𝐹
(𝑎 + 𝑏)
𝑎
 
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − 𝐹 = 0 
𝐴𝑦 = 𝐹 − 𝐹
(𝑎+𝑏)
𝑎
 
𝐴𝑦 = −𝐹
𝑏
𝑎
 
Ay By M 
Ay 
x 
V 
Exemplo 
𝐵𝑦 = 𝐹
(𝑎 + 𝑏)
𝑎
 𝐴𝑦 = −𝐹
𝑏
𝑎
 
𝐴𝑦 − 𝑉 = 0 
𝑉 = 𝐴𝑦 = −𝐹
𝑏
𝑎
 
𝑀 − 𝐴𝑦. 𝑥 = 0 
𝑀 = 𝐴𝑦. 𝑥 
𝑀 = −𝐹
𝑏
𝑎
. 𝑥 
Desprezando-se o peso próprio da viga, a força F produz, 
na seção B, um(a) 
 
a) momento fletor igual a 2Fa. 
b) momento fletor igual a 2Fb. 
c) momento fletor igual a zero. 
d) força cisalhante igual a F se a = b. 
e) força cisalhante igual a 2F se a = b a b
A B
C
F
Exemplo 
Em B: 
𝑀 = −𝐹
𝑏
𝑎
. 𝑥 = −𝐹𝑏 𝑉 = −𝐹
𝑏
𝑎
= −𝐹 
Em módulo V é igual a F 
Exemplo 
Petrobras 
O diagrama que representa a distribuição dos 
momentos fletores atuantes ao longo da viga 
biapoiada, mostrada na figura, é: 
Exemplo 
Pelo diagrama de 
corpo livre: 
Ax = 0 
Ay < 0 
By > 0 
By 
Ay 
F 
Ay 
Diagrama de momento fletor 
Diagrama de força cortante 
Exemplo 
Exemplo 
Petrobras 
x 
x1 x2 L 
+ M + M 
+ C 
+ C 
M1 
Mmax 
M 
A figura abaixo representa o 
diagrama de Momento Fletor (M) 
para uma viga homogênea, de 
comprimento L, submetida a 
determinado carregamento, e a 
convenção utilizada para os 
sinais do Momento Fletor e 
Esforço Cortante (C). O 
diagrama de Esforço Cortante 
para essa viga está representado 
em 
Apostila - Pág. 49 
Exemplo 
Exemplo 
Exemplo 
Exemplo 
Petrobras 
Exemplo 
A figura abaixo representa o diagrama dos 
momentos fletores de uma viga biapoiada nos 
pontos de apoio A e B. Desprezando-se o peso 
próprio da viga, assinale a opção correta. 
Exemplo 
a) O esforço cortante no ponto A, em módulo, é superior a 4 kgf. 
b) A força na viga corresponde a uma carga distribuída de valor igual a 
4 kgf/m que atua em um ponto do vão situado a 2 m a partir do 
ponto B. 
c) A reação do apoio no ponto B é, em módulo, igual a +2 kgf. 
d) No ponto do vão da viga, que está a 2 m do ponto B, o diagrama de 
esforço cortante apresenta uma descontinuidade de 6 kgf, em 
módulo. 
e) Na seção transversal da viga correspondente ao do ponto C, o 
esforço cortante é igual a - 4 kgf. 
Exemplo 
Sabemos que: 
𝑑𝑀𝑧(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑉𝑦(𝑥) 
Chamando de D o ponto onde o momento fletor é igual a 8 kgf.m, 
temos o seguinte: 
Trecho AD: 
𝑉𝑦 𝑥 =
∆𝑀𝑧
∆𝑥
=
8 𝑘𝑔𝑓.𝑚 − 0
4 𝑚
= 2 𝑘𝑔𝑓 
Trecho DB: 
𝑉𝑦 𝑥 =
∆𝑀𝑧
∆𝑥
=
0 − 8 𝑘𝑔𝑓.𝑚
2 𝑚
= −4 𝑘𝑔𝑓 
Agora vamos julgar as alternativas: 
Exemplo 
a) O esforço cortante no ponto A, em módulo, é superior a 4 kgf. 
b) A força na viga corresponde a uma carga distribuída de valor igual a 
4 kgf/m que atua em um ponto do vão situado a 2 m a partir do 
ponto B. 
c) A reação do apoio no ponto B é, em módulo, igual a +2 kgf. 
d) No ponto do vão da viga, que está a 2 m do ponto B, o diagrama de 
esforço cortante apresenta uma descontinuidade de 6 kgf, em 
módulo. 
 Resposta: O módulo da descontinuidade é igual a -4-2=-6kgf. Ou seja, 
há uma força concentrada no ponto D, de módulo igual a 6 kgf. 
a) Na seção transversal da viga correspondente ao do ponto C, o 
esforço cortante é igual a - 4 kgf. 
𝑉𝐴𝐷 𝑥 = 2 𝑘𝑔𝑓 
𝑉𝐷𝐵 𝑥 = −4 𝑘𝑔𝑓 
Exemplo 
Petrobras 
Exemplo 
O momento fletor, em N.m, e a força cortante, em N, no ponto A, de 
contato com a parede, são, respectivamente: (Dado: aceleração da 
gravidade g = 10 m/s2) 
(A) 50 e 100 
(B) 150 e 150 
(C) 150 e 50 
(D) 100 e 150 
(E) 100 e 50 
Uma haste de comprimento L = 1,5 m e massa 
M’ = 10 kg sustenta um bloco de massa M = 5,0 
kg, como mostra a figura. 
Exemplo 
M VA 
MA 
 𝑀𝐴 = 0 
−𝑀𝐴 − 𝑀
′𝑔
𝐿
2
− 𝑀𝑔 𝐿 = 0 
𝑀𝐴 = −𝑔𝐿
𝑀′
2
+ 𝑀 
𝑀𝐴 = −10 × 1,5 ×
10
2
+ 5 
𝑀𝐴 = −150 𝑁.𝑚 
 𝐹𝑦 = 0 
−𝑉𝐴 − 𝑀
′𝑔 − 𝑀𝑔 = 0 
𝑉𝐴 = −𝑔(𝑀
′ +𝑀) 
𝑉𝐴 = −10(10 + 5) 
𝑉𝐴 = −150 N