APOSTILA 6 -9ºANO REGULAR reduzida

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PROJETO FAMÍLIA ESCOLA
Anos Finais do Ensino Fundamental: 9°Ano
Aluno(a): __________________________________________________________
Nome da Escola: ____________________________________________________
Disciplina: MATEMÁTICA Turma:____
Número de Aulas por semana 5: Total de Semanas:5 
___________________________________________________________________
Prezado aluno(a)!
	Informamos que a 6ª Apostila será uma síntese dos conteúdos mais relevantes trabalhados nas apostilas anteriores. Ao final da mesma, você realizará uma avaliação que será de fundamental importância na busca de novos caminhos para minimizar os impactos e danos na educação. Por esse motivo, contamos com a sua dedicação e o seu empenho na realização das atividades aqui propostas. 
Um forte abraço e até breve.SEMANA 24 
CONJUNTOS
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, de dados, de números, de informações. Os conjuntos normalmente são indicados por letras maiúsculas do alfabeto.
Vamos focar no conjunto dos números. Sabemos que o conjunto dos números é infinito e que podemos formar diferentes conjuntos a partir de algumas características comuns que os números possuem. Vamos lá!
A representação abaixo apresenta os conjuntos numérico que conhecemos.
Dica: Diferentes formas de representar os números racionais:
· 
· 
Relembrando algumas operações com os números Reais:
 32
Relembrando: 
_________________________________Exercícios ____________________________________
1- Escreva verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) O número 10 é um número inteiro.
( ) 2,5 é um número natural.
( ) é um número inteiro.
( ) 2,5 é um número racional.
2- Observe o polinômio a seguir: . Para x = 7 e y = 4, qual é o valor correspondente dessa expressão?
3- Sabendo que , qual o valor de ?
4- Quanto é 3²?
RADICIAÇÃO
Quando surgiu a potenciação, surgiu também sua operação inversa, e a ela foi dada o nome de radiciação.
A raiz quadrada de um número positivo é um número positivo que elevado ao quadrado resulta em .
 = 6, pois 6x6 = 36.
 = 8, pois 8x8 = 64.
 = 10, pois 10x10 = 100.
 Propriedades dos radicais:
 Para efetuar a adição algébrica com radicais semelhantes, fixa-se o radical semelhante e soma os fatores externos.
Exemplos:
 _Conservamos o radical , pois ele é o semelhante entre as parcelas e somamos os fatores externos 3 e 7.
· . Conservamos o radical , pois ele é o que repete e somamos os fatores externos 1 e 2.
Racionalização de denominadores
Racionalizar o denominador de uma fração é obter uma outra fração equivalente com denominador racional, pois, uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados por um mesmo número, diferente de zero.
· 1º Caso: O denominador é um radical de índice 2.
Exemplo 1: .
· 2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2.
Exemplo 2: .
Quem tiver possibilidade de assistir o vídeo abaixo no youtube, é só copiar o link no navegador do seu aparelho.
https://www.youtube.com/watch?v=D7HShlaXInI
__________________________ Exercícios ____________________________________
5- Resolva as operações abaixo:
a) 
b) 
c) 
6- Calcule o valor da expressão para x = .
Números quadrados perfeitos
 Entenda que um número será quadrado perfeito quando ele for um número inteiro e o seu quadrado gerar outro número inteiro positivo.
Então a pergunta é quando um número será um quadrado perfeito?
Quando o resultado da raiz quadrada desse número for um número inteiro
Exemplo: 9 é quadrado perfeito, pois =3.
 3 não é quadrado perfeito, pois a raiz de 3 não possui resultado exato.
· Somente o número quadrado perfeito possui raiz quadrada exata.
· Todo número quadrado perfeito que for par, possuirá raiz quadrada par e se for ímpar possuirá raiz quadrada ímpar.
_____________________________ Exercícios _________________________________
7- Qual dos seguintes números é quadrado perfeito?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) =
f) 900=
g) 1024=
8- No século XXI, o primeiro ano quadrado perfeito é:
a) 
b) 2004
c) 2009
d) 2016
e) 2025
SEMANA 25 
TRIÂNGULOS
	Triângulos são polígonos que apresentam três lados.
Elementos de um triângulo
No triângulo ABC, ao lado, destacamos seus elementos:
· A, B e C são os vértices.
· são os lados.
· são os ângulos internos.
	
	Classificação dos triângulos
Os triângulos podem ser classificados quanto às medidas de seus lados e quanto às medidas de seus ângulos internos. Observe a seguir os dois tipos de classificação. 
	
Classificação quanto às medidas dos lados: 
	Classificação quanto às medidas dos ângulos internos
	
	
_____________________ Exercícios ______________________________________
9- Os triângulos podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com relação aos seus lados. Dois triângulos colocados lado a lado possuem as seguintes características: o primeiro possui um ângulo de 90° e o segundo possui dois lados iguais. As classificações respectivamente corretas para esses triângulos são:
a) 
b) Retângulo e isósceles
c) Retângulo e escaleno
d) Retângulo e equilátero
e) Obtusângulo e escaleno
10- Os triângulos podem ser classificados quanto a seus ângulos ou quanto a medida de seus lados. Dois triângulos observados apresentam as seguintes características: o primeiro possui um ângulo de maior que 90º e o segundo possui todos os lados com medidas iguais. As classificações respectivas desses triângulos são:
a) Obtusângulo e equilátero.
b) Obtusângulo e equilátero.
c) Retângulo e escaleno.
d) Retângulo e isósceles.
Teorema de Pitágoras
	Podemos observar a partir das classificações dos triângulos apresentadas acima que ao nomear um triângulo quanto aos seus ângulos e identificá-lo como triângulo retângulo temos um triângulo que possui um ângulo de 90°, logo temos dois lados perpendiculares.
	Chamamos esses dois lados perpendiculares de catetos. Já o lado que se encontra oposto ao ângulo de 90° chamamos de hipotenusa. 
	
Observe o triângulo retângulo abaixo: 
	
	
Temos nesse triângulo que:
· Os catetos são os lados que medem 3 cm e 4 cm.
· A hipotenusa é o lado que mede 5 cm, pois é o lado que encontra-se oposto ao ângulo de 90°
	Podemos, então, enunciar o Teorema de Pitágoras:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Vamos entender melhor!
Agora, para aplicar o teorema de Pitágoras, basta colocar o valor encontrado para a hipotenusa elevado ao quadrado e dizer que esse resultado é igual à soma de um cateto ao quadrado mais o outro cateto ao quadrado.
___________________________ Exercícios _____________________________
11- Carla ao procurar seu gatinho o avistou em cima de uma árvore. Ela então pediu ajuda a sua mãe e colocaram uma escada junto à árvore para ajudar o gato a descer.
.
6 m
8 m
Sabendo que o gato estava a 8 metros do chão e a base da escada estava posicionada a 6 metros da árvore, qual o comprimento da escada utilizada para salvar o gatinho?
a)8 metros.
b) 10 metros.
c) 12 metros.
d) 14 metros.
12- (FLORIPA) Observe abaixo o desenho do escorregador de um parque aquático. De acordo com esse desenho, qual é a medida x, em metros, do comprimento do escorregador?
Relações métricas no triângulo retângulo
_________________________________Exercícios_____________________________
1) 
13- No triângulo retângulo seguinte, determinar as medidas a, b, h e m indicadas: 
14- Calcule o valor de x e y no triângulo abaixo:
Relações trigonométricas
As razões trigonométricas são seno, cosseno e tangente de um ângulo no triângulo retângulo. 
__________________________________Exercícios __________________________________
15- Em cada caso, calcule o valor da medida desconhecida, indicada pela letra d:
 
16- Duas escadas estão encostadas em dois muros, como mostra na figura abaixo. Quanto medem o comprimento de cada escada? (Dados: sen 50º = 0,7, cos 50º = 0,6, tg 50º=1,2, sen48º = 0,75, cos 48º = 0,65 e tg 48º = 1,11)
SEMANA 26 
Equações do segundo grau
As equações do 2º grau na variável x, isto é, equações que se apresentam na forma:
Os coeficientes a, b e c podem assumir qualquer valor real; entretanto, o coeficiente a não pode ser nulo.
Observe que:
· a representa o coeficiente de x²;
· b representa o coeficiente de x;
· c representa o termo independente.
As equações do 2º grau podem ser classificadas em:
COMPLETAS:
· Quando e ax² + bx + c = 0
INCOMPLETAS: 
· Quando ax² + c = 0
· Quando ax² + bx = 0
· Quando e ax² = 0
RESOLUÇÃO:
 
 
_________________________________ Exercícios _________________________________
17- Qual é o valor numérico de A quando A = para x = 2?
18- Calcule o valor desconhecido nas equações a seguir:
a) 
b) .
c) (2y + 8) (2y - 8) = 0
d) 
19- A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse número.
20- O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Quais são esses números?
SEMANA 27 
RAZÃO ENTRE SEGMENTOS OU ENTRE OUTRAS MEDIDAS
 Razão: é o quociente entre duas grandezas/ números.
 Quociente: é o resultado de uma divisão.
Razão entre a e b
· Basta fazer a divisão do primeiro pelo segundo, veja:
 ou a: b
Segmento é uma parte da reta marcada por dois pontos. 
 Os pontos que fazem parte da reta são sempre marcados por letras maiúsculas.
Segmento de reta AB:
Exemplo: Num concurso público estadual, possui 20000 candidatos para 500 vagas. Qual é a 
razão entre o número de candidatos e o número de vagas?
RESOLUÇÂO: candidatos por vaga.
Proporção
É uma igualdade entre duas razões.
Através da multiplicação cruzada podemos verificar se duas razões são proporcionais.
· Caso obtenha uma sentença verdadeira: os segmentos são proporcionais.
· Caso a sentença obtida não seja verdadeira: os segmentos não são proporcionais.
Exemplo: Em uma equipe olímpica, 25 atletas são rapazes. Qual é o número de moças, se o a razão entre o número de rapazes e moças e 5/3.
RESOLUÇÃO: 5x = 75 x = 15 moças.
 ______________________________ Exercícios ______________________________
20) Um automóvel percorre 84 Km com 7 litros de gasolina. Calcule a razão entre a distância percorrida e o consumo desse automóvel.
21- Resolva a seguinte proporção e encontre o valor de x:
Semelhança Duas figuras são semelhantes quando todos os comprimentos de uma delas são iguais aos da outra, multiplicados por um número constante. Se há ângulos, os ângulos correspondentes de duas figuras devem ser congruentes (mesma medida).
Redução: razão entre os lados correspondentes é menor que 1.
Ampliação: razão entre os lados correspondentes é maior que 1.
Polígonos Semelhantes
Polígonos são regiões planas fechadas, constituídas de lados, vértices e ângulos. Os pentágonos a seguir são semelhantes, observe as relações
Observe a ampliação do pentágono ABCDE, onde ele foi ampliado em 100%.
Observe os polígonos abaixo onde foi feita uma ampliação.
 
Os pares de ângulos A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ e E e E’ são chamados de ângulos correspondentes. Observe que eles são congruentes (tem a mesma medida).
Os pares de lados AB e A’B’, BC e B’C’, CD e C’D’, DE e D’E’ e EA e E’A’, são chamados de lados correspondentes. Observe que eles são proporcionais, ou seja, tem a mesma razão:
 
Assim, concluímos que o polígono A’B’C’D’E’ é semelhante ao polígono ABCDE e indicamos por A’B’C’D’E’~ABCD (~ símbolo de semelhança).
Como foi obtida a ampliação em 100%, os lados do polígono A’B’C’D’E’, possuem o dobro da medida dos lados do polígono ABCDE, dizemos que a razão de semelhança é de .
 Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando possuem o mesmo número de lados e se adéquam às seguintes condições:
· Ângulos correspondentes congruentes (tem a mesma medida);
· Lados correspondentes proporcionais (razão de semelhança igual).
 ___________________ Exercícios _______________________________________
22- A malha quadriculada abaixo apresenta a letra L. Afigura 2 é uma ampliação da figura 1. Quantas vezes o perímetro da figura 2 é maior que o perímetro da figura 1?
23- Dado o retângulo ABCD e o retângulo EFGH abaixo, sabendo que eles são semelhantes:
 
a) 
b) Calcule o valor de x.
c) Calcule o perímetro do retângulo EFGH.
Casos de Semelhança
Para verificar a semelhança entre dois triângulos basta que ambos apresentem algumas das condições necessárias, que serão mostradas a seguir:
Caso AA (Ângulo, Ângulo)
Caso LAL (Lado, ângulo, Lado)
Caso LLL (Lado, Lado, Lado)
_______________________ Exercícios ______________________________
24- Determine o valor de x em cada um dos casos abaixo:
25- Verifique em cada par de triângulos abaixo o caso de semelhança:
1. 
1. 
1. 
____________________________________________________________________________
Avaliação Intermediária de Matemática
1- Observe as afirmações e assinale a afirmativa correta:
a) O número 3,888... pertence ao conjunto dos números irracionais.
b) O número pertence ao conjunto dos números irracionais.
c) Todo número racional também é um número irracional.
d) O número pertence ao conjunto dos números irrracionais.
e) O número 5,8080... pertence ao conjunto dos números naturais.
2- Calcular o perímetro (Soma de todos os lados) do retângulo abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3- Qual é o valor da raiz quadrada do número ?
4- (PMST1101/009 – 2012) Em um dos efeitos visuais, para promover o início de vendas dos apartamentos, um feixe retilíneo de luz parte do topo do prédio e atinge o solo em um determinado ponto, conforme indicado na figura. Desse modo, pode-se concluir, corretamente, que a altura do prédio, em metros, indicada por h na figura, é:
a) 
b) 20 m
c) 24 m
d) 16 m
e) 48 m
5- (PUC-SP) Para determinar a altura de um edifício, um observador coloca-se a 30 m de distância e assim o observa, segundo um ângulo de 30°, conforme a figura. Calcule a altura do edifício, medida a partir do solo. (Dados: seno 30º = , cosseno 30º = e tan 30º = ).
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
6- (UNISINOS-RS) Do alto de uma torre de 25 metros, instalada numa colina de 300 metros de altura, um guarda florestal avista um foco de incêndio, sob um ângulo de 18° com a horizontal. A distância F, distância aproximada do foco de incêndio à base da colina em que está o guarda florestal, é de: (Dados: Sen 18º = 0,31, cos 18º = 0,95 e Tan 18º =0,32).
a) 10 000 m
b) 1 083 m 
c) 1015,6 m 
d) 1 km
7- Considere uma barraca de camping com as medidas indicadas, conforme no desenho abaixo.
A medida “h” relativa à altura dessa barraca é:
a) 
b) 1,2 m
c) 1,7 m
d) 2,5 m
e) 3,0 m
8- Observe as equações a seguir:
· 
· X + 3 = 0
· 2x + x - 5 =0
· 
· 
Das equações acima, a equação que é classificada como equação do segundo grau possui coeficientes a =____; b =____; c =____ iguais a:
a) 
b) a = 2; b = 1; c = 0 
c) a = 1: b = 3; c = - 4.
d) a = 1; b = -2; c = - 5 
e) a = 1; b = 0; c = 3 
9- Na equação a soma das duas raízes é:
a) -2
b) -1
c) 2
d) 1 
10- O dobro do quadrado de um número mais esse número é igual a 1. Descubra esse número.
a) (-1 e 2)
b) (-1 e ½)
c) (½ e 4)
d) (- 4 e 4
11- A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 0. Calcule esses números.
a) (0 e 2)
b) (7 e 4)
c) (-4 e 6)
d) (5 e -4)
12- Descubra quais são esses números: “O quadrado de um número menos 64 é igual a zero”. Quais são esses números?
a) (-1 e 1)
b) (4 e -1)
c) (8 e -8)
d) (-3 e 6)
13- Em uma propriedade rural, um fazendeiro cria galinhas e equinos. Sabe-se que ele tem 45 galinhas. Qual é o número de equinos nessa fazenda, sabendo que a razão entre o número de galinhas e equinos é de .
a) 
b) 25
c) 27
d) 45
e) 50
14- A costureira Verônica, farádois xales semelhantes: um maior para sua cliente Sandra e um menor para a filha dela. As dimensões década xale estão indicados abaixo:
Se o comprimento do xale de Sandra é o dobro do comprimento do xale de sua filha, então a medida x vale, em cm:
a) 
b) 25 cm
c) 30 cm
d) 35 cm
e) 40 cm
15- Os dois triângulos, 1 e 2, representados na figura abaixo são semelhantes. Assinale a opção que classifica corretamente o caso de semelhança que nos permite afirmar a semelhança entre eles:
a) 
b) LAL
c) LLL
d) AA
e) ALA
f) LLA
 
Referências:
Andrine, Álvaro; Praticando Matemática; EB.
Bianchini, Edwaldo; Matemática Bianchini, Moderna.
Carvalho, Eliane Durães de; Magalhães, Elias Bittar; Apostila de Matemática, Promove.
Giovannni Júnior, José Ruy; Benedicto Castrucci; A CONQUISTA DA MATEMÁTICA; 4. ed.; FTD.
=
+
-
+
5
5
5
5
3
3
2
3
2
3
5
=
¸
3
5
15
30
=
3
2
5
 
ax² + bx + c = 0