A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem

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Simulação e Tomada 
de Decisão
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Roberto Luiz Garcia Vichinsky
Revisão Textual:
Profa. Ms. Fátima Furlan
A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
• Tomada de Decisões – Conceitos Gerais
• O Processo de Modelagem
 · O objetivo desta unidade é expor os conceitos básicos do processo 
de tomada de decisão e dos princípios de modelagem matemática 
de situações-problemas dentro do enfoque da Pesquisa Operacional. 
OBJETIVO DE APRENDIZADO
A Tomada de Decisão e o Processo 
de Modelagem
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
UNIDADE A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
Contextualização
Tomar decisões é um processo muito comum e frequente em nosso cotidiano, 
decidimos o que comer, o que vestir, o que assistir na TV, dentre outras coisas. 
O ato de decidir parece um processo tão trivial que até nos faz indagar: por que 
estudá-lo? Para responder essa pergunta, imagine-se dentro do seguinte dilema: 
Você trabalha em uma empresa conceituada, ganhando muito bem, feliz com 
suas atribuições profissionais e com grande perspectiva de crescimento profis-
sional. Certo dia, você recebe a ligação de um antigo amigo, gerente de uma 
empresa concorrente, que lhe faz uma proposta de emprego, cujo salário inicial 
é 50% maior que o seu salário atual. O que você faria?
Qualquer um ficaria encantado com a proposta, afinal, 50% sobre um bom 
salário é algo que balança. Porém, essa decisão deve ser tomada com muita cau-
tela, pois não é como decidir o que vestir ou o que comer. É algo mais complexo 
que envolve muitas variáveis e que poderá trazer consequências mais drásticas 
do que simplesmente passar frio ou ter uma indigestão. Para você tomar uma 
decisão em relação a essa proposta, é necessário levantar e analisar algumas ques-
tões, como: a empresa é conceituada e consolidada no mercado? Você terá a 
mesma satisfação em desempenhar sua função nessa empresa? Existe perspectiva 
de crescimento profissional? Qual é o custo de locomoção entre sua residência 
e a empresa?
Além dessas questões, você também deve considerar outros aspectos, como 
os emocionais (exemplo: afeição pela empresa atual) e éticos (exemplo: compro-
misso com projeto em andamento).
Agora, estenda essa ideia para o âmbito de uma organização empresarial, 
onde os problemas são muito maiores e envolvem uma quantidade muito grande 
de variáveis a serem analisadas. Nesse caso, fica evidente a necessidade do em-
prego de técnicas estruturadas para o desenvolvimento do processo de tomada 
de decisão. Reflita sobre isso! 
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Tomada de Decisões – Conceitos Gerais
Conceituar o processo de tomada de decisão nos parece algo irrelevante, pois 
o ato de decidir é um processo que permeia as nossas vidas e é por nós praticado 
nas mais diversas situações cotidianas, como por exemplo: decidir que roupa vestir; 
escolher entre refrigerante e suco; escolher a fila supostamente mais rápida em 
um supermercado; decidir entre acelerar ou parar o carro em um sinal amarelo; 
dentre outras várias situações. Porém, por mais que nos pareça dispensável a 
conceituação do processo de tomada de decisão, cabe aqui algumas considerações 
que nos ajudarão a compreender a importância desse estudo.
Podemos definir “decisão” como o resultado de um processo que nos leva 
a resolução de um determinado problema. Esse processo inicia-se a partir da 
detecção do problema, momento em que os sintomas de uma situação indesejável 
são percebidos e o problema é então identificado. Em linhas gerais, podemos 
dizer que a tomada de decisão é um processo que tem como objetivo a escolha 
da melhor solução para um determinado problema, seja ele de ordem pessoal 
ou organizacional. 
Dentro do ambiente empresarial, um problema pode ser definido como uma 
situação, chamada aqui de “situação-problema”, que requer ações por parte 
da empresa para solucioná-la. Essas situações, apesar de levarem a marca de 
“problema”, podem ter origem em uma oportunidade detectada no ambiente 
externo, como por exemplo, imagine que diante do fechamento de uma grande 
empresa concorrente, a nossa organização deseja aproveitar o nicho de mercado 
deixado por ela. O aproveitamento dessa oportunidade será tratado como uma 
situação-problema dentro do processo de tomada de decisão. Portanto, uma 
situação-problema pode ter origem no ambiente externo (oportunidades e ameaças) 
ou no ambiente interno (problema organizacional). 
O processo de tomada de decisão faz parte de um conjunto de atividades 
denominado “ciclo de solução de problema”, o qual tem início na detecção de uma 
situação-problema e termina com a implementação da melhor solução encontrada 
para resolvê-la. A Figura 1 ilustra esse processo. 
Figura 1 - Ciclo de solução de problema
Observe que o processo decisório (tomada de decisão) é uma fase do ciclo de 
solução do problema alimentada pelas alternativas de solução, as quais são geradas 
por um processo de estudo da situação-problema. Deve-se salientar que, mesmo 
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UNIDADE A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
após a implementação da solução escolhida, a “situação desejada” ainda pode 
apresentar problemas significativos que exijam um novo estudo, sendo necessária 
a repetição dos procedimentos para a solução desses novos problemas.
Importante!
Assim como ocorre nas nossas vidas cotidianas, as decisões em ambiente empresarial 
são bastante frequentes e tratadas com muito cuidado, já que toda decisão tem suas 
consequências e riscos. Por essa razão, é comum dentro de uma organização a preparação 
de equipes capacitadas e mecanismos eficientes para garantir que o processo decisório 
se desenvolva de forma rápida, natural e eficiente.
Trocando ideias...
Aspectos Básicos do Processo Decisório
Vejamos agora os principais aspectos que caracterizam um processo decisório. 
A compreensão desses aspectos é importante para que possamos ter uma visão 
mais ampla sobre os elementos envolvidos em uma decisão. 
I) Sequencialidade
O processo decisório é considerado sequencial, ou seja, ele evolui linearmente 
sobre uma série de fatos anteriores e procedimentos construídos durante o curso 
dos trabalhos. Dependendo da natureza do problema, várias soluções consideráveis 
podem ser encontradas, exigindo da equipe decisora um alto grau de sinergia 
na escolha da decisão final, a qual pode contemplar apenas uma solução ou a 
combinação de várias soluções possíveis.Algumas vezes esse processo demanda 
um longo período de tempo, outras vezes o período de tempo exigido é menor. 
Entretanto, em qualquer caso, a tomada de decisão é vista como um processo 
sequencial evolutivo, que gera conhecimento sobre a situação-problema com base 
nos conhecimentos anteriormente adquiridos. 
II) Complexidade
A tomada de decisão é considerada um processo complexo em função da 
variedade de elementos envolvidos. Dentre eles podemos destacar os próprios 
membros da equipe responsável pela decisão (que têm, por vezes, interesses 
conflitantes); os sistemas de comunicação e informações empresariais utilizados 
como recursos pela equipe; o código de ética; as crenças e os valores da empresa. A 
integração e o grau de importância desses elementos no processo decisório variam 
de acordo com a natureza da situação-problema e do nível de decisão desejado. A 
complexidade do processo de tomada de decisão é evidenciada em situações onde, 
por exemplo, os integrantes da equipe decisória têm visões diferentes e conflitantes 
em relação à solução do problema, ou o processo exige dados não disponíveis 
no sistema de informação empresarial, ou as possíveis soluções para o problema 
ferem as crenças e os valores da empresa, dentre outras situações que influenciam 
negativamente o andamento do processo.
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III) Objetividade e Subjetividade
A tomada de decisão, em grande parte, é um processo objetivo desenvolvido 
dentro de uma metodologia sistematizada, onde os procedimentos elaborados e os 
conhecimentos adquiridos sobre determinada situação-problema são armazenados 
e disponibilizados seguindo os preceitos do método científico, sendo assim, esses 
procedimentos e conhecimentos podem ser reutilizados em quaisquer outros 
processos decisórios similares. Entretanto, uma tomada decisão geralmente 
inclui uma parcela subjetiva oriunda da experiência profissional, da intuição ou 
do conhecimento empírico dos decisores, sendo esses fatores, muitas vezes, 
responsáveis pelo sucesso de uma decisão.
IV) Institucionalidade
A tomada de decisão é considerada um processo gerencial peculiar dentro 
de uma organização. Raramente esse processo se desenvolve igualmente em 
duas empresas diferentes, pois, a estrutura organizacional, a cultura, a visão e a 
competência dos administradores de cada uma dessas empresas, em algum ponto, 
são diferentes, e sendo esses os fatores que influenciam as decisões, podemos 
deduzir que o processo decisório é particular para cada empresa. Com foco nas 
modernas práticas de administração, as organizações procuram colocar o processo 
de tomada de decisão dentro de um ambiente institucional, levando-o ao nível 
das técnicas atuais, como por exemplo, a gestão estratégica e os programas de 
qualidade total.
Classificação dos Processos de Tomada Decisão
São vários os critérios utilizados por diversos autores para classificar os processos 
decisórios. Adotaremos aqui o modelo apresentado por Eduardo L. de Andrade, por 
se tratar de uma abordagem ampla, que classifica as decisões em função dos níveis 
organizacionais da empresa e do grau de complexidade envolvido no processo. 
ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos Para a Análise 
de Decisão. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos, 2011. p. 4.Ex
pl
or
Nessa classificação são considerados dois critérios: o nível estratégico e o 
grau de estruturação. O primeiro está relacionado à importância e abrangência 
da decisão perante a empresa, e o segundo relaciona-se ao nível de objetividade 
e sistematização requerido pelo processo. A Figura 2 mostra a classificação dos 
processos decisórios apresentada pelo autor citado, incluindo um exemplo de 
problema para cada um dos tipos de decisão. 
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UNIDADE A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
Figura 2 - Classificação e exemplos de decisões
Fonte: ANDRADE, 2011, p.4
Quanto mais importante é a decisão para a empresa, mais alto será o nível de 
estruturação requerido pelo processo decisório. Para ilustrar, tomemos o exemplo 
da questão “localização de uma nova fábrica”, exposto na Figura 2, que representa 
um problema corporativo que exige do processo decisório um alto grau de estrutu-
ração. Nesse exemplo, a decisão sobre o local onde a nova fábrica será instalada 
tem grande importância para a organização, pois os efeitos da escolha causarão 
impactos generalizados na empresa, sendo esses impactos relacionados, por exem-
plo, às seguintes questões: acessibilidade (existe fácil acesso dos funcionários e 
fornecedores ao local da fábrica?), cadeia de suprimentos (como as demandas de 
produção serão atendidas nessa nova fábrica?), sistema de informação (como serão 
integrados os sistemas de informação na nova fábrica?), tributos (quais são os tribu-
tos e alíquotas municipais e estaduais referentes à região da nova fábrica?), dentre 
outras importantes questões. Nesse caso, o processo de decisão deve ser conduzido 
dentro de um alto grau de racionalidade e objetividade, minimizando os aspectos 
subjetivos e os interesses pessoais que possam influenciar negativamente a decisão.
Por outro lado, a questão “escolha de capa de revista”, que exemplifica um proble-
ma de ordem operacional com baixo grau de estruturação (Figura 2), não se apresenta 
como um problema importante, pois, a escolha de uma ou outra capa de revista não 
causará impactos significativos à organização. Nesse caso, o processo decisório é 
simples e não exige, portanto, um alto grau de estruturação.
Dentro do exposto, é importante salientar que nos processos decisórios que 
exigem médio ou alto grau de estruturação, é imprescindível o uso de técnicas de 
apoio preconizadas pela Pesquisa Operacional2 (PO). Para processos de médio 
grau de estruturação, a PO sugere o uso das técnicas de Simulação e Análise de 
Riscos. Para processos de alto grau de estruturação, são sugeridas as técnicas de 
Programação Linear e Teoria das Filas, dentre outras. 
TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8ª edição. Pearson, 2007.
Ex
pl
or
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O Processo de Modelagem 
Definição de Modelo
Modelos são artifícios utilizados para a representação de uma situação real ou de 
uma situação desejada, e têm como objetivo o fornecimento de dados relevantes e 
necessários ao entendimento e à análise dessas situações. Existem basicamente três 
tipos de modelos, sendo eles: físicos, analógicos e matemáticos.
Os modelos físicos representam uma situação real (objeto de estudo) através 
de uma construção concreta (física) que incorpora todos os dados necessários ao 
entendimento dessa situação. Podemos citar como exemplos as maquetes que 
representam, em menor escala, os futuros empreendimentos imobiliários.
Os modelos analógicos normalmente representam as grandezas ou os fenômenos 
físicos, como por exemplo: um gráfico que representa um sinal sonoro, um relógio 
que representa a passagem de tempo, um velocímetro que registra a velocidade 
instantânea de um veículo, um eletrocardiograma que representa o ritmo cardíaco 
do paciente, dentre outros.
Os modelos matemáticos ou simbólicos são representações de um determinado 
evento real por meio de expressões ou equações matemáticas que envolvem variáveis 
e constantes observadas nesse mesmo evento. Podemos citar como exemplo a 
equação que define a distância percorrida por um corpo em queda livre:
Onde: d é a distância percorrida; 
 g é a aceleração da gravidade;
 t é o tempo transcorrido.
Essa equação nada mais é do que um modelo matemático clássico que representa 
um fenômeno físico observado no mundo real, onde são consideradas as variáveis e 
constantes significativas (distância, tempo e aceleração da gravidade) dentro de uma 
relação matemática que pode ser aplicada em qualquer outra situação similar. 
São justamente os modelos matemáticos que nos interessam dentro do estudo 
da tomada de decisão. Diante de situações-problemas no ambiente empresarial, 
a Pesquisa Operacional preconiza a utilização de técnicas apropriadaspara a 
elaboração de modelos simbólicos que representem a situação real a ser analisada. 
Esses modelos devem considerar apenas as variáveis relevantes do cenário real a 
ser estudado, e é neste ponto que os gestores enfrentam as primeiras dificuldades 
do processo: definir quais são as variáveis relevantes.
O número de variáveis envolvidas em uma situação-problema é proporcional 
à sua complexidade: quanto mais complexa for a situação, maior será o número 
de variáveis envolvidas, e vice-versa. A tarefa inicial do processo de modelagem 
é justamente identificar as variáveis relevantes e necessárias para a elaboração 
do modelo, desprezando-se todas as informações da situação real que não são 
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UNIDADE A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
importantes para o processo de tomada de decisão. Dessa forma, podemos dizer 
que um modelo é uma representação simplificada ou reduzida de um cenário real, 
conforme ilustra a Figura 3.
Figura 3 - Redução do cenário real a um modelo simbólico
Com o crescente desenvolvimento das Tecnologias de Informação e Comuni-
cação (TICs), destacando-se dentre elas a Internet e os Sistemas de Informações 
Gerenciais (SIGs), a quantidade de informações disponível sobre um determinado 
cenário real é muito grande, o que torna a tarefa de identificação das variáveis 
relevantes um processo complexo e demorado, exigindo dos profissionais respon-
sáveis pela análise uma boa capacidade de discernimento para a concepção de um 
cenário reduzido apenas às variáveis relevantes.
Estrutura do Modelo Matemático
Na representação de situações-problemas no ambiente empresarial, os modelos 
matemáticos devem assumir uma estrutura na qual as variáveis relevantes, obtidas 
no cenário real, são classificadas em dois tipos básicos: variáveis de decisão e 
parâmetros. O primeiro tipo incorpora as variáveis consideradas incógnitas para 
o processo decisório (serão determinadas no curso do processo) e o segundo tipo 
incorpora os dados fixos e conhecidos (que não sofrerão alterações durante o processo 
decisório). Além dessa distinção, os modelos matemáticos devem incorporar outras 
variáveis necessárias ao processo de tomada de decisão. A princípio, são duas as 
variáveis necessárias: variável de restrição e variável de medida de performance 
dos objetivos.
As variáveis de restrição têm a função de estabelecer os limites de valores 
das variáveis de decisão, considerando as limitações do sistema e os valores 
possíveis (ou viáveis) dessas variáveis. Por outro lado, as variáveis de medida de 
performance dos objetivos, chamadas simplesmente de “função objetivo”, têm 
a finalidade de definir o grau de qualidade da decisão em função das variáveis 
de decisão.
Em resumo, um modelo matemático incorpora quatro conjuntos de elementos 
principais, como ilustra a Figura 4.
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Figura 4 - Elementos principais de um modelo
Importante!
Conjunto de elementos de um modelo matemático:
• Variáveis de decisão: são as incógnitas do problema;
• Parâmetros: são os dados fixos e conhecidos do problema;
• Variáveis de restrição: são os limitadores das variáveis de decisão;
• Função objetivo: define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
Em Síntese
Para ilustrar o processo de identificação e classificação dos elementos estruturais 
de um modelo simbólico, vamos imaginar o seguinte cenário:
A empresa LL-Sucos, fabricante de sucos naturais, produz dois tipos de produtos: 
suco Limoranja e suco Laranjão. Para a manufatura desses produtos são utilizados 
como ingredientes apenas laranja e limão. São conhecidos os seguintes dados:
a) Para a produção de uma unidade do suco Limoranja emprega-se 700g de 
limão bruto e 300g de laranja bruta, e para a produção de uma unidade do 
suco Laranjão emprega-se 200g de limão bruto e 800g de laranja bruta;
b) O quilo da laranja custa R$ 3,00 e o quilo do limão custa R$ 2,00;
c) Uma unidade de limão é menor que uma unidade de laranja;
d) O suco Limoranja é vendido por R$ 5,00 e o suco Laranjão por R$ 6,00; 
e) No mês, a disponibilidade de laranja é de 5.200Kg e do limão é de 8.400Kg;
f) O suco Limoranja tem um sabor mais ácido em relação ao suco Laranjão.
Deseja-se saber qual a quantidade de cada suco deve ser produzida para que a 
empresa LL-Sucos obtenha o lucro máximo.
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UNIDADE A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
Analisando o cenário apresentado, podemos identificar e classificar as variáveis 
relevantes à solução do problema da seguinte forma:
 · Variáveis de decisão: quantidade de cada suco a produzir (são as incógnitas 
do problema);
 · Parâmetros: custo da laranja, custo do limão, preços de venda dos sucos 
e quantidades de laranja e limão consumidas na produção (são os dados 
fixos e conhecidos do problema);
 · Variáveis de restrição: disponibilidade de laranja e limão no mês (são os 
dados que limitam as variáveis de decisão);
 · Função objetivo: função matemática que representa a maximização do lucro 
com base nas variáveis de decisão.
Podemos observar ainda que duas informações do cenário real apresentado 
não são importantes para a construção do modelo simbólico. São as informações 
descritas nos itens c (comparação dos tamanhos do limão e da laranja) e f (compa-
ração dos sabores do suco Limoranja e Laranjão). Esses dados são considerados 
irrelevantes e devem ser descartados, pois, para o problema proposto, que é a 
maximização do lucro, não nos interessa saber se o limão é menor ou mais ácido 
que a laranja.
Outras características importantes de um modelo matemático são as naturezas 
das variáveis de decisão (que podem ser contínuas ou discretas) e dos parâmetros 
(que podem ser determinísticos ou probabilísticos).
As variáveis de decisão contínuas são aquelas que podem assumir um número 
infinito de valores dentro de sua faixa de restrição. Por exemplo, se a restrição 
para a produção de um determinado produto estiver entre 50Kg e 60Kg, a variável 
de decisão de natureza contínua pode assumir qualquer valor dentro dessa faixa, 
ou seja, pode assumir infinitos valores. Por outro lado, as variáveis de decisão de 
natureza discreta assumem um número finito de valores, por exemplo, se a faixa 
de restrição estiver entre 50Kg e 60Kg, e a produção é medida por quilogramas 
inteiros, a variável de decisão só poderá assumir 11 valores possíveis, ou seja, um 
valor inteiro entre 50Kg e 60Kg.
São classificados como parâmetros determinísticos aqueles cujos valores são 
fixos e conhecidos. Para exemplificar, vamos retornar ao exemplo da empresa 
LL-Sucos. Podemos dizer que os preços de venda dos sucos Limoranja (R$ 5,00) 
e Laranjão (R$ 6,00) são parâmetros determinísticos, ou seja, são conhecidos e 
permanecerão fixos durante todo o processo decisório. Por outro lado, classificamos 
como parâmetros probabilísticos aqueles cujos valores não são conhecidos ou 
apresentam certo grau de incerteza. Aproveitando o mesmo exemplo da empresa 
LL-Sucos, podemos considerar os custos da laranja (R$ 3,00 o quilo) e do limão 
(R$ 2,00 o quilo) como parâmetros probabilísticos, pois, apesar de conhecermos 
inicialmente os seus valores, existe certo grau de incerteza em relação aos preços 
futuramente praticados pelo fornecedor.
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Construção do Modelo Matemático
Para a construção de modelos matemáticos que representem cenários reais 
ou almejados de situações em ambiente empresarial, devemos empregar técnicas 
de Pesquisa Operacional (PO), sendo que a técnica mais utilizada é a chamada 
Programação Linear, na qual a função objetivo e as variáveis de restrição são 
representadas por meio de funções lineares. Dentre as diversas técnicas de 
modelagem simbólica oferecidas pela PO, além da Programação Linear (que 
adotaremos neste curso), destacam-se as seguintes: Programação Inteira (onde 
as variáveis assumem valores inteiros - discretos), Programação Dinâmica (onde 
a situação-problema é fragmentada em problemas menores no intuito de facilitar o 
processo de análise), Programação Não Linear (onde as funçõesdo sistema não 
são lineares), dentre outras.
Apesar do cunho matemático que sugere soluções fáceis por meio de equações, 
um modelo simbólico de PO não oferece formas fechadas para as soluções, 
e sim, algoritmos que são aplicados ao modelo de forma repetitiva até que a 
solução ótima seja encontrada ou, na inexistência dessa, até que a solução mais 
viável seja encontrada. 
Para ilustrar a construção de um modelo simbólico, vamos retornar ao caso 
da empresa fictícia LL-Sucos, onde a situação-problema envolve a maximização 
do lucro. Neste caso, devemos primeiramente apurar o lucro de cada um dos 
produtos com base nos parâmetros obtidos do cenário real. A Tabela 1 apresenta 
esse processo.
Tabela 1 - Apuração dos lucros dos produtos da empresa fictícia LL-Sucos
Produto: Limoranja Produto: Laranjão
Custo da Laranja 0,3Kg X R$ 3,00 = R$ 0,90 0,8Kg X R$ 3,00 = R$ 2,40
Custo do Limão 0,7Kg X R$ 2,00 = R$ 1,40 0,2Kg X R$ 2,00 = R$ 0,40
Custo total R$ 2,30 R$ 2,80
Preço de venda R$ 5,00 R$ 6,00
Lucro por unidade R$ 2,70 R$ 3,20
Após a apuração dos lucros, conforme demonstrado na Tabela 1, devemos 
escrever a função objetivo, para a qual atribuiremos o identificador Z. Para as 
incógnitas do problema, que são as variáveis de decisão, atribuiremos o identificador 
X1 (quantidade do produto Limoranja a ser produzida) e o identificador X2 (quantidade 
do produto Laranjão a ser produzida). Dessa forma teremos os seguintes dados:
Variáveis de decisão (incógnitas do problema): 
X1 (quantidade do produto Limoranja a ser produzida).
X2 (quantidade do produto Laranjão a ser produzida).
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UNIDADE A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
Parâmetros:
R$ 2,70 (lucro por unidade do produto Limoranja).
R$ 3,20 (lucro por unidade do produto Laranjão).
0,7Kg de limão (para produção de 1 unidade do produto Limoranja).
0,3Kg de laranja (para produção de 1 unidade do produto Limoranja).
0,2Kg de limão (para produção de 1 unidade do produto Laranjão).
0,8Kg de laranja (para produção de 1 unidade do produto Laranjão).
Variáveis de restrição:
5.200Kg (disponibilidade de laranja no mês).
8.400Kg (disponibilidade de limão no mês). 
Função objetivo:
Z (maximização do lucro).
A próxima etapa do processo consiste em escrever a função objetivo Z, cuja 
finalidade, neste caso, é a maximização do lucro, ou seja, aumentar os lucros o 
máximo possível. Sabendo-se que o lucro por unidade do produto Limoranja é de 
R$ 2,70 e do produto Laranjão é de R$ 3,20, temos:
Lucro total do produto Limoranja = 2,70.X1
Lucro total do produto Laranjão = 3,20.X2
Observe que a equação que determina o lucro total do produto Limoranja é a 
multiplicação do lucro unitário (R$ 2,70) pela quantidade produzida (X1). Assim 
como a equação que determina o lucro total do produto Laranjão é a multiplicação 
do lucro unitário (R$ 3,20) pela quantidade produzida (X2). Sendo assim, a função 
objetivo deve representar a soma dos lucros totais dos dois produtos, sendo escrita 
da seguinte forma:
Maximizar Z = 2,7.X1 + 3,20.X2
O próximo passo é construir as expressões que representam as restrições 
do problema. Essas restrições, no nosso caso, correspondem às quantidades 
disponíveis de matéria-prima (laranja e limão) no período considerado (mês). 
Sabendo-se que a quantidade de laranja empregada na produção de uma unida-
de do suco Limoranja é de 0,3Kg e do suco Laranjão é de 0,8Kg, e tendo como 
limitação a quantidade de 5.200Kg de laranja por mês, a expressão de restrição 
deve sinalizar que a soma das quantidades de matéria-prima utilizadas na produ-
ção total de ambos os produtos no período, não pode ser superior à quantidade 
de matéria-prima disponível. Sendo assim, a expressão de restrição da matéria-
-prima “laranja” deve ser escrita da seguinte forma:
0,3.X1 + 0,8.X2 ≤ 5.200 
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Seguindo os mesmos passos, devemos escrever a expressão de restrição referente 
à matéria-prima “limão”. Sabendo-se que a quantidade de limão empregada na 
produção de uma unidade do suco Limoranja é de 0,7Kg e do suco Laranjão é 
de 0,2Kg, e tendo como limitação a quantidade de 8.400Kg de limão por mês, a 
expressão de restrição deve ser escrita da seguinte forma:
0,7.X1 + 0,2.X2 ≤ 8.400
Temos ainda outra restrição que se mostra de forma implícita no sistema, ou seja, 
apesar de não estar declarada sabemos que ela existe. Trata-se da não negatividade 
das variáveis de decisão X1 e X2. Os valores assumidos por essas variáveis não 
podem ser negativos, portanto, devemos incluir no modelo a seguinte expressão 
de restrição:
X1, X2 ≥ 0 
Concluídos os procedimentos citados, finalmente temos o modelo matemático 
completo que representa a situação-problema da empresa LL-Sucos, o qual deve 
ser escrito da seguinte forma:
Maximizar Z = 2,7.X1 + 3,20.X2 (função objetivo)
Sujeito a
 0,3.X1 + 0,8.X2 ≤ 5.200 (restrição de laranja)
 0,7.X1 + 0,2.X2 ≤ 8.400 (restrição de limão)
 X1, X2 ≥ 0 (restrição de não negatividade)
Exemplos de Modelagem Matemática
Para fixação dos conceitos de modelagem matemática, são apresentados a 
seguir dois casos hipotéticos de situações-problemas com seus respectivos modelos 
simbólicos. A função objetivo do primeiro caso refere-se à maximização de lucro e 
a do segundo caso refere-se à minimização de custo. 
1º caso 
Situação problema
A marcenaria CABAN fabrica dois tipos de produtos: cadeira e banqueta. Para 
a produção desses produtos, são empregados como matérias-primas os seguintes 
tipos de madeira: perobinha, imbuia e cedro. Para a manufatura de uma cadeira 
são utilizados 200cm de perobinha, 100cm de imbua e 80cm de cedro, e para a 
manufatura de uma banqueta são utilizados 300cm de perobinha, 40cm de imbuia 
e 30cm de cedro. O custo por metro da perobinha é de R$ 3,00, o da imbuia é de 
R$ 4,50 e o do cedro é de R$ 3,50. O preço de venda da cadeira é de R$ 43,30 e 
o da banqueta é de R$ 32,85. Sabendo-se que o estoque da marcenaria dispõe de 
500m de perobinha, 300m de imbuia e 250m de cedro, quantas unidades de cada 
item devem ser produzidas para que a empresa obtenha o lucro máximo?
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UNIDADE A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
Solução
Para solucionar (modelar) este problema, devemos primeiramente apurar os 
lucros unitários sobre as vendas dos produtos. A Tabela 2 apresenta o processo de 
apuração desses lucros.
Tabela 2 - Apuração dos lucros dos produtos da marcenaria CABAN
Produto: Cadeira Produto: Banqueta
Custo da perobinha 2m X R$ 3,00 = R$ 6,00 3m X R$ 3,00 = R$ 9,00
Custo da imbuia 1m X R$ 4,50 = R$ 4,50 0,4m X R$ 4,50 = R$ 1,80
Custo do cedro 0,8m X R$ 3,50 = R$ 2,80 0,3m X R$ 3,50 = R$ 1,05
Custo total R$ 13,30 R$ 11,85
Preço de venda R$ 43,30 R$ 32,85
Lucro por unidade R$ 30,00 R$ 21,00
O próximo passo é a identificação e classificação das variáveis do cenário a 
ser modelado:
Variáveis de decisão (incógnitas do problema):
X1: quantidade de cadeiras a produzir. 
X2: quantidade de banquetas a produzir. 
Parâmetros:
R$ 30,00: lucro por unidade de cadeira.
R$ 21,00: lucro por unidade de banqueta.
2m (200cm): quantidade de perobinha para fabricação de 1 cadeira.
1m (100cm): quantidade de imbuia para a fabricação de 1 cadeira.
0,8m (80cm): quantidade de cedro para a fabricação de 1 cadeira.
3m (300cm): quantidade de perobinha para fabricação de 1 banqueta.
0,4m (40cm): quantidade de imbuia para a fabricação de 1 banqueta.
0,3m (30cm): quantidade de cedro para a fabricação de 1 banqueta.
Variáveis de restrição:
500m: quantidade de perobinha disponível no estoque.
300m: quantidade de imbuia disponível no estoque.
250m: quantidade de cedro disponível no estoque.
Função objetivo:
Z: maximização do lucro.
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Finalmente, podemos escrever o modelo matemático, conforme segue:
Maximizar Z = 30.X1 + 21.X2 (função objetivo)
Sujeito a
 2.X1 + 3.X2 ≤ 500 (restrição de perobinha)
 X1 + 0,4X2 ≤ 300 (restrição de imbuia)
 0,8.X1 + 0,3.X2 ≤ 250 (restrição de cedro)
 X1, X2 ≥ 0 (restrição de não negatividade)
2º caso 
Situaçãoproblema
Um produtor agrícola necessita de no mínimo 32 unidades de fertilizante 
fosfatado e de 36 unidades de fertilizante potássico para atender as necessidades 
de fertilização semanal de sua lavoura. Em seu estoque, o produtor tem esses 
fertilizantes em duas versões: vidro (fertilizante liquido) e caixa (fertilizante em 
pó), sendo que cada vidro contém 4 unidades do produto fosfatado e 6 unidades 
do produto potássico, e cada caixa contém 8 unidades do produto fosfatado e 6 
unidades do produto potássico. Sabendo-se que cada unidade de vidro custa R$ 
3,00 e cada unidade de caixa custa R$ 2,50, quais quantidades de vidros e caixas 
devem ser utilizadas semanalmente para que o produtor tenha o menor custo, 
atendendo as necessidades de sua lavoura em relação à fertilização?
Solução
Variáveis de decisão (incógnitas do problema):
X1: quantidade de vidros (fertilizante líquido) a utilizar. 
X2: quantidade de caixas (fertilizante em pó) a utilizar. 
Parâmetros:
R$ 3,00: custo de 1 unidade de vidro.
R$ 2,50: custo de 1 unidade caixa.
4: unidades do fertilizante fosfatado em um vidro.
6: unidades do fertilizante potássico em um vidro.
8: unidades do fertilizante fosfatado em uma caixa.
6: unidades do fertilizante potássico em uma caixa.
Variáveis de restrição:
32: unidades de fertilizante fosfatado (mínimo necessário).
36: unidades de fertilizante potássico (mínimo necessário).
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UNIDADE A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
Função objetivo:
Z: minimização do custo.
Modelo matemático
Minimizar Z = 3.X1 + 2,5.X2 (função objetivo)
Sujeito a
 4.X1 + 8.X2 ≥ 32 (restrição de fertilizante fosfatado)
 6.X1 + 6.X2 ≥ 36 (restrição de fertilizante potássico)
 X1, X2 ≥ 0 (restrição de não negatividade)
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Assista aos vídeos sobre Pesquisa Operacional e Tomada de Decisão:
O que é Pesquisa Operacional?
https://youtu.be/tX6Rw7KJGjE
Ibmec Idea Discute: Tomada de Decisão
https://youtu.be/kJLHNLpUMIE
 Leitura
Leia também os artigos “A Evolução do Processo Decisório” e “Aplicação da Programação 
Linear para Minimização de Custos no Processo Produtivo de uma Vidraçaria”, disponíveis 
no site da ABEPRO (Associação Brasileira de Engenharia de Produção).
A Evolução do Processo Decisório
https://goo.gl/rzn3tU
Aplicação da Programação Linear para Minimização de Custos no Processo Produtivo de uma Vidraçaria
https://goo.gl/n5FDjf
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UNIDADE A Tomada de Decisão e o Processo de Modelagem
Referências
ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos Para 
a Análise de Decisão. 4. ed. Rio de Janeiro: Ltc-Livros Técnicos e Científicos, 2011.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9. ed. 
Porto Alegre: Mc Graw-Whill, 2013.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. 4. ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.
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