CAP 4 BAYES

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CAPÍTULO 4 
PROBABILIDADE DE BAYES 
 
1. Partição de um espaço amostral 
 
 Os eventos 1 2 3, , ,..., kB B B B , formam uma partição do espaço amostral S, se: 
 a)  ( ) 0,para 1,2,3,...,ip B i k  
 b) , para i jB B i j   
 c)
1
k
i
i
B S

 
 
Exemplo 1: 
No lançamento de um dado tem-se o espaço amostral  1,2,3,4,5,6S  e 
definimos os eventos      1 2 31 , 2,3,4 e 5,6 .B B B   Os eventos 1 2 3, eB B B formam 
uma partição de S, pois, valem as três condições: a), b) e c). 
 
 
Teorema 1: Se os eventos 1 2 3, , ,..., kB B B B , formam uma partição do espaço amostral S e 
,A S então 
 
1
( ) ( / ). ( )
k
i i
i
p A p A B p B

 
Demonstração: A figura ilustra uma partição de S com A S . Assim podemos escrever: 
 
 
1 2( ) ( ) ... ( )kA A B A B A B       , como A é a união de conjuntos disjuntos, usamos 
a definição de probabilidade: 
 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )kp A p A B p A B p A B       (I) e para cada termo das parcelas 
usamos a probabilidade do produto, assim 
 
 1 1 1( ) ( / ). ( )p A B p A B p B  
 2 2 2( ) ( / ). ( )p A B p A B p B  
 3 3 3( ) ( / ). ( )p A B p A B p B  
 ............................................. 
 ( ) ( / ). ( )k k kp A B p A B p B  . Substituindo em (I) segue: 
1B
2B
3B 4B
kB
A
 89 
( )p A  1 1( / ). ( )p A B p B + 2 2( / ). ( )p A B p B + 3 3( / ). ( )p A B p B +...+ ( / ). ( )k kp A B p B e colocando 
em forma somatório tem-se: 
1
( ) ( / ). ( )
k
i i
i
p A p A B p B

 . 
Exemplo 2: 
Na cidade de Catu existem três lojas que revendem televisores. A loja A revende 
25%, a loja B, 35% e a C, 40% dos televisores. Um cliente deseja comprar um televisor 
de LCD com 42 polegadas, em virtude do bom atendimento e da localização dessas 
lojas, a probabilidade de comprar na loja A é 10%, na loja B é 12% e na loja C é 18%. 
Qual a probabilidade de ter adquirido um televisor de 42 polegadas? 
Solução: Seja L: televisor de LCD com 42 polegadas 
 
Do enunciado podemos escrever: 
( ) 0,25; ( / ) 0,1p A p L A  
( ) 0,35; ( / ) 0,12p B p L B  e, portanto: ( )p L 0,25x0,1+0,35x0,12+0,4x0,18=0,139 
( ) 0,4; ( / ) 0,18p C p L C  
2. Teorema de Bayes 
 Se os eventos 1 2 3, , ,..., kB B B B , formam uma partição do espaço amostral S e seja 
,A S então 
 
1
( / ) ( )
( / )
( / ) ( )
j j
j k
i i
i
p A B p B
p B A
p A B p B



 
Da definição de probabilidade condicional, podemos escrever: 
 
( )
( / )
( )
j
j
p A B
p B A
p A

 
1
( / ) ( )
( / ) ( )
j j
k
i i
i
p A B p B
p A B p B


 
Exemplo 3: 
Adotando o mesmo enunciado do exemplo 1, podemos fazer a seguinte pergunta: 
Um televisor de LCD com 42 polegadas foi adquirido, qual a probabilidade de tem sido 
comprado na loja C? 
 
Solução: Devemos determinar ( / )p C L 
( / ) ( )
( )
p L C p C
p L
=
0,4x0,18
0,139
=
0,072
0,518
0,139
 
 
A
L
B C
 90 
Exemplo 4: 
Sejam as urnas e as bolas. Uma urna é escolhida ao acaso e uma bola é retirada. Se a 
bola retirada for branca, qual probabilidade de ter vindo da urna 2U ? 
 
 Vermelhas Brancas 
1U 3 5 
2U 2 1 
3U 2 3 
 
Solução: Indiquemos por B bola branca 
 
 
Como são três urnas, suas probabilidades são iguais a 1/3: 
 1 1( ) 1/3; ( / ) 5/8p U P B U  
 2 2( ) 1/3; ( / ) 1/3p U P B U  , logo podemos escrever: 
 3 3( ) 1/3; ( / ) 3/5p U P B U  
 2
1/3x1/3
( / )
1/3x5/8 1/3x1/3 1/3x3/5
p U B  
 
1/3 40
0,2139
5/8 1/3 3/5 187
 
 
 
 
Exemplo 5: 
 Em um viveiro têm-se três gaiolas com as seguintes aves: 
 canários sabiás tico-ticos 
Fêmeas 3 4 1 
Machos 3 2 5 
 
Uma ave fugiu da gaiola e verificou-se que é fêmea, qual a probabilidade de ser sabiá ? 
Solução: Indiquemos por F ser fêmea, então 
 
 ( ) 1/3; ( / ) 3/6p C P F C  
 ( ) 1/3; ( / ) 4/6p S P F S  , escrevemos: 
 ( ) 1/3; ( / ) 1/6p T P F T  
1/3.4/6
( / )
1/3.3/6 1/3.4/6 1/3.1/6
p S F  
 
 
4
0,5
8
 
C S T
F3 4 1
3 2
5
B
1U 2U 3U
5 1 3
3 2 2
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Exercícios de aplicação 14: 
 
1. Na sala do Curso de Estatística 30% dos rapazes e 10% das garotas têm mais que 
1,65 m de altura. Sabe-se que 60% dos alunos são rapazes. Se um aluno é selecionado 
aleatoriamente e tem mais que 1,65 m de altura, qual a probabilidade dele ser garota? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma urna A tem 3 moedas de ouro e 2 de prata e uma urna B tem 4 moedas de ouro e 
3 moedas de prata. Uma moeda é selecionada ao acaso e verifica-se que é de ouro. Qual a 
probabilidade de ter vindo da urna B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Na sala do 1° semestre da Disciplina de Estatística 20% dos rapazes e 12% das garotas 
estão estudando Matemática. Um estudante é escolhido ao acaso e observa-se que é 
estudante de Matemática. Qual a probabilidade do estudante ser rapaz sabendo-se que 60% 
do corpo discente é formado por rapazes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 92 
4. Em uma assembléia estão reunidos os alunos dos 3 primeiros semestres e tem as 
seguintes proporcionalidades 20% ,30% e 50% dos alunos respectivamente. Sabe-se que 
10%, 5% e 2% respectivamente por série são portadores da gripe suína.Se um aluno dessa 
assembléia selecionado aleatoriamente é portador da gripe suína, então a probabilidade de 
ser aluno do 2º semestre é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 0,11. (B) 0,22. (C) 0,33. (D) 0,44. (E) 0,55. 
5. No terreiro de um sítio existem os seguintes animais: 
 
 Aves Suínos Ovinos 
Fêmeas 3 2 3 
Machos 4 3 5 
 
Um animal fugiu do terreiro e verificou-se que é fêmea, qual a probabilidade de ser 
uma ave? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 93 
6. Em um colégio 6% dos homens e 3% das mulheres têm descendência japonesa. Por outro 
lado 60% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é selecionado ao acaso e tem 
descendência japonesa, qual a probabilidade de ser homem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Em uma cidade obteve-se os seguintes dados: apenas uma em cada 100 pessoas adultas 
tem nível superior. Das pessoas que têm nível superior, 80% têm emprego público, enquanto 
apenas 30% das que não têm nível superior têm emprego público. Uma pessoa da população 
é selecionada ao acaso e verifica-se que tem emprego público. A probabilidade de que essa 
pessoa venha a ter nível superior é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 26,0%. 
(B) 56,6%. 
(C) 12,6%. 
(D) 0,6%. 
(E) 2,6%.