Guidorizzi vol 3 capítulo 6 - Notas de Estudo

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Autor: Gabriel F. Ferrari https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Autor: Gabriel F. Ferrari
Área: Matemática
Disciplina: Cálculo III, IV
Guidorizzi Capítulo 6 Volume 3
Integral de Linha - Notas de Estudo
1 Apresentação
Olá caro estudante, Meu nome é Gabriel F. Ferrari Melo e produzo conteúdo voltado para
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2 Considerações Iniciais
Esse material são notas de estudo do livro de Cálculo do Guidorizzi volume 3 e Capítulo 6.
Essas notas foram desenvolvidas como uma ideia de revisão da referida disciplina bem como
seu aprofundamento.
3 Alguns Pontos do Capítulo
Os pontos aqui apresentados são apenas um breve resumo de cada uma das notas. Tendo
isso em vista, a leitura integral para um bom entendimento é altamente recomendável, visto o
desenvolvimento dos resultados de forma clara.
3.1 Seção 6.1 Integral de linha de um campo sobre uma curva
Nesse capítulo somos introduzidos a noção de Integral de linha, a qual é desenvolvida sob
a motivação do cálculo do trabalho de uma força ~F constante partindo de γ(a) até γ(b) onde
γ : [a, b]→ Ω é uma curva de classe C1. Em síntese, a integral de linha de ~F sobre a curva γ(t)
do ponto a até b é ∫
γ
~F · dγ =
∫ b
a
~F (γ(t)) · γ′(t)dt (1)
em que · denota o produto escalar.
3.2 Seção 6.2 Outra notação para a integral de linha
Ademais, podemos ainda determinar outra notação para a integral de linha de um campo
vetorial sobre uma curva, a qual recorre ao uso de diferenciais. Então, consideraremos o campo
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vetorial ~F = P (x, y, z)̂i+Q(x, y, z)ĵ+R(x, y, z)k̂ definido no aberto Ω ⊂ R3 e γ : [a, b]→ Ω
uma curva de classe C1 dada por γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) por:
∫
γ
~F · dγ =
∫ b
a
~F (γ(t)) · γ′(t)dt
=
∫ b
a
{P [x(t), y(t), z(t)] , Q [x(t), y(t), z(t)] , R [x(t), y(t), z(t)]} ·
(
dx
dt
,
dy
dt
,
dz
dt
)
dt
=
∫ b
a
[
P (x(t), y(t), z(t))
dx
dt
+Q(x(t), y(t), z(t))
dy
dt
+R(x(t), y(t), z(t))
dz
dt
]
=
∫ b
a
Pdx+Qdy +Rdz
3.3 Seção 6.4 Integral de Linha sobre uma curva de classe C1 por Partes
Esse capítulo mostra que para um campo vetorial ~F contínuo aberto Ω ⊂ Rn para uma curva
γ de classe C1 por partes então podemos escrever a integral de linha como:∫
γ
~F · dγ =
∫
γ1
~F · dγ +
∫
γ2
~F · dγ + . . .+
∫
γn
~F · dγ (2)
3.4 Seção 6.5 Integral de Linha relativa ao comprimento de arco
Seja γ : [a, b] → Rn uma curva de classe C1 e seja f uma função a valores reais, con-
tínua, definida na imagem de γ. Definimos a integral de linha de f sobre γ, com relação ao
comprimento de arco por: ∫
γ
f(X)ds =
∫ b
a
f(γ(t))||γ′(t)||dt (3)
Não só isso, mas temos duas aplicações interessantes nessa seção, as quais são: o cálculo de
massa de um fio delgado com densidade δ(x, y, z) e o momento de inércia I em relação a um
dado eixo. Essas que são apresentadas por:
M =
∫
γ
dm =
∫
γ
δ(x, y, z)ds =
∫
γ
δ(x, y, z)||γ′(t)||dt
I =
∫
γ
r2δ(x, y, z)ds =
∫
γ
r2δ(x, y, z)||γ′(t)||dt
(4)
em que r é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo de rotação.
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	1 Apresentação
	2 Considerações Iniciais
	3 Alguns Pontos do Capítulo
	3.1 Seção 6.1 Integral de linha de um campo sobre uma curva
	3.2 Seção 6.2 Outra notação para a integral de linha
	3.3 Seção 6.4 Integral de Linha sobre uma curva de classe C1 por Partes
	3.4 Seção 6.5 Integral de Linha relativa ao comprimento de arco