2021 1 - Estatística e Probabilidade - Probabilidades II - Correção dos exercícios

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - ARA0019
Prof. Me. Antonio Fábio
PROBABILIDADE (correção dos exercícios):
- Probabilidade Condicional;
- Independência Estatística;
- Teorema da Probabilidade Total
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
1) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido face 5 em um 
dos dois dados?
1ª Solução:
Se a soma é 6, o novo espaço amostral reduzido é: S = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}.
A probabilidade de ter ocorrido face 5 em um dos dados é: 
2
5
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
1) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido face 5 em um 
dos dois dados?
2ª Solução:
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A: ter ocorrido face 5 em um dos dois dados;
A = ሼ
ሽ
(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5),(5, 1), (5, 2), (5, 3),
(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5) ⇒ 𝑛 A = 11
B: soma ser igual a 6;
B = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2),(5, 1) ⇒ 𝑛 B = 5
A ∩ B = (1, 5), (5, 1) ⇒ 𝑛 A ∩ B = 2
P(A|B) =
P A ∩ B
P(B)
=
2
36
5
36
=
2
36
×
36
5
=
2
5
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
2) Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco 
bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:
a) ambas sejam pretas;
b) ambas sejam vermelhas;
c) a 1ª. ser preta e a 2ª. branca;
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
2) Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco 
bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:
a) ambas sejam pretas;
3
10
×
2
9
=
6
90
=
1
15
= 0,0667 ou 6,67%
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
2) Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco 
bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:
a) ambas sejam vermelhas;
5
10
×
4
9
=
20
90
=
2
9
= 0,2222 ou 22,22%
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
2) Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco 
bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:
a) a 1ª ser branca e a 2ª ser preta;
2
10
×
3
9
=
6
90
=
1
15
= 0,0667 ou 6,67 %
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
3) Um casal planeja ter três filhos; qual a probabilidade de nascerem:
a) Três homens?
b) Dois homens e uma mulher?
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
3) Um casal planeja ter três filhos; qual a probabilidade de nascerem:
a) Três homens?
1ª Solução:
S = HHH, HHM, HMH, HMM, MMM,MHM, MMH, MHH ; P 3 homens =
1
8
2ª Solução:
P 3 homens =
1
2
×
1
2
×
1
2
=
1
8
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
3) Um casal planeja ter três filhos; qual a probabilidade de nascerem:
b) Dois homens e uma mulher?
1ª Solução:
S = HHH, HHM, HMH, HMM, MMM,MHM, MMH, MHH ; P 2 homens e 1 mulher =
3
8
2ª Solução:
P 2 homens e 1 mulher = P HHM, HMH, MHH = 3 ×
1
2
×
1
2
×
1
2
=
3
8
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
4) Lançam-se três moedas não viciadas e o resultado colocado na forma (a, b, c), onde a é o resultado da 1ª moeda, b
o moeda, b o resultado da 2ª moeda e c o resultado da 3ª moeda. Encontre a probabilidade de ocorrer coroa em
todas elas, se ocorre coroa na 1ª moeda:
Solução:
Se ocorre coroa na 1ª moeda, o espaço amostral reduzido é:
S = ሼ(Co, Co, Co), (Co, Ca, Ca), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)ሽ
P Co, Co, Co =
1
4
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
5) Se P(A) = 30%, P(B) = 40%, determine P (A B), sabendo que:
a) A e B são eventos independentes;
b) A e B são eventos mutuamente exclusivos;
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
5) Se P(A) = 30%, P(B) = 40%, determine P (A B), sabendo que:
a) A e B são eventos independentes;
1ª Solução:
Se A e B são eventos independentes, P A ∩ B = P A × P B
P A ∩ B = P A × P B = 0,3 × 0,4 = 0,12 ou 12%
12%18% 28%
42%
P A ∪ B = 18% + 12%+ 28% = 58%
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
5) Se P(A) = 30%, P(B) = 40%, determine P (A B), sabendo que:
a) A e B são eventos independentes;
2ª Solução:
Se A e B são eventos independentes, P A ∩ B = P A × P B
P A ∩ B = P A × P B = 0,3 × 0,4 = 0,12 ou 12%
൞
P A = 30%
P B = 40%
P A ∩ B = 12%
P A ∪ B = P A + P B − P A ∩ B
P A ∪ B = 30% + 40%− 12%
P A ∪ B = 58%
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
5) Se P(A) = 30%, P(B) = 40%, determine P (A B), sabendo que:
b) A e B são eventos mutuamente exclusivos:
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos: 
P A ∪ B = P A + P B
P A ∪ B = 30% + 40%
P A ∪ B = 70%
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
6) Um lote contém 10 peças, sendo 7 boas (B) e 3 com defeito (D). Ao acaso, duas peças são retiradas, sem reposição, 
para uma inspeção. Qual é a probabilidade de se obter duas peças defeituosas?
3
10
×
2
9
=
6
90
=
1
15
= 0,0667 ou 6,67%
7) Sejam dois eventos A e B tais que P(A) = 0,3 e P(A  B) = 0,5. Determine o valor de P(B) considerando que A e B são 
eventos mutuamente exclusivos: 
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos: 
P A ∪ B = P A + P B
0,5 = 0,3 + P B ⇒ P B = 0,2
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
8) Sejam dois eventos A e B tais que P(A) = 0,3 e P(A  B) = 0,5. Determine o valor de P(B) considerando que A e B são 
independentes:
P A ∪ B = P A + P B − P A ∩ B e P A ∩ B = P A × P B
Logo: P A ∪ B = P A + P B − P A × P B
Considerando P B = 𝑥, temos:
0,5 = 0,3 + 𝑥 − 0,3𝑥
1𝑥 − 0,3𝑥 = 0,5 − 0,3
0,7𝑥 = 0,2 → 𝑥 =
0,2
0,7
→ 𝑥 = 0,2857 → 𝑥 = 28,57%
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
9) O quadro abaixo representa a classificação de um grupo de 30 mulheres, segundo o estado civil e a cor dos cabelos:
Sejam os eventos:
C: A pessoa é casada;
S: A pessoa é solteira;
V: A pessoa é viúva;
D: A pessoa é divorciada;
L: A pessoa é loira;
M: A pessoa é morena;
R: A pessoa é ruiva.
Se uma pessoa é escolhida ao acaso, determine as
seguintes probabilidades:
a) P C f) P M|V
b) P C ∩ L g) P V|M
c) P C|L h) P S|R
d) P L|C i) P R|S
e) P V ∩ L j) P R ∩ 𝑆
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
9) O quadro abaixo representa a classificação de um grupo de 30 mulheres, segundo o estado civil e a cor dos cabelos:
16
7
2
5
10 14 6 30
Sejam os eventos:
C: A pessoa é casada;
S: A pessoa é solteira;
V: A pessoa é viúva;
D: A pessoa é divorciada;
L: A pessoa é loira;
M: A pessoa é morena;
R: A pessoa é ruiva.
Se uma pessoa é escolhida ao acaso, determine as
seguintes probabilidades:
a) P C f) P M|V
b) P C ∩ L g) P V|M
c) P C|L h) P S|R
d) P L|C i) P R|S
e) P V ∩ L j) P R ∩ 𝑆
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
9) O quadro abaixo representa a classificação de um grupo de 30 mulheres, segundo o estado civil e a cor dos cabelos:
16
7
2
5
10 14 6 30
Sejam os eventos:
C: A pessoa é casada;
S: A pessoa é solteira;
V: A pessoa é viúva;
D: A pessoa é divorciada;
L: A pessoa é loira;
M: A pessoa é morena;
R: A pessoa é ruiva.
Se uma pessoa é escolhida ao acaso, determine as
seguintes probabilidades:
a) P C = f) P M|V =
b) P C ∩ L = g) P V|M =
c) P C|L = h) P S|R =
d) P L|C = i) P R|S =
e) P V ∩ L = j) P R ∩ S =
16
30
5
30
5
10
5
16
0
30
= 0
1
2
1
14
1
6
1
7
1
30
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
10) A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é 60%. A probabilidade de que um aluno B resolva o 
mesmo problema é 40%. Determine as seguintes probabilidades: 
a) A e B resolvam o problema;
b) somente A resolva o problema;
c) somente B resolva o problema;
d) nenhum resolva o problema;
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
10) A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é 60%. A probabilidade de que um aluno B resolva omesmo problema é 40%. Determine as seguintes probabilidades: 
a) A e B resolvam o problema;
P A ∩ B = P A × P B
P A ∩ B = 0,6 × 0,4 = 0,24 ou 24%
Fazendo o diagrama para resolver os itens b, c e d;
24 %36 % 16 %
24 %
b) somente A resolva o problema;
36 %
c) somente B resolva o problema;
16 %
d) Nenhum resolva o problema;
24 %
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
11) Júlia pertence a um grupo de 50 mulheres classificado de acordo com a cor dos cabelos e dos olhos de cada uma 
delas. A tabela a seguir mostra a relação delas segundo suas características:
Quando João encontrou Júlia, seus cabelos estavam completamente molhados da chuva, mas ele notou que ela 
tinha olhos castanhos. Qual é a probabilidade de Júlia ser morena?
Se ela tem olhos castanhos, o espaço amostral fica reduzido a 26 mulheres.
A probabilidade da Júlia ser morena sabendo que ela tem olhos castanhos, é igual a:
Azuis Castanhos
Loira 17 9
Morena 4 14
Ruiva 3 3
Olhos
Cabelos 
14
26
=
7
13
= 0,538 ou 53,8 %
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
12) Um grupo de três pessoas é formado pela escolha aleatória de cinco indivíduos: Júlio, Pedro, Rafael, Joana e 
Fernanda. Se Joana não pertence ao grupo, qual é a probabilidade de Rafael pertencer?
Solução:
Júlio (Ju), Pedro (P), Rafael (R), Joana (Jo) e Fernanda (F). 
Grupos de três pessoas: (Pode ser feito com Análise Combinatória, C5,3)
(Ju, P, R); (Ju, P, Jo); (Ju, P, F); (Ju, R, Jo); (Ju, R, F); (Ju, Jo, F); (P, R, Jo); (P, R, F); (P, Jo, F); (R, Jo, F) → 10 grupo;
Se Joana não pertence ao grupo, o espaço amostral fica reduzido a:
S = { (Ju, P, R), (Ju. P, F), (Ju, R, F), (P, R, F)} → 4 grupos
Qual a probabilidade de Rafael vencer?
A = {(Ju, P, R), (Ju, R, F), (P, R, F)} → 3 grupos;
Resposta:
3
4
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
13) Sejam dois eventos independentes A e B tais que P(A) = 0,1 e P(B) = 0,2. Qual a probabilidade de que nenhum 
deles ocorra?
A probabilidade que os dois ocorram é: P A ∩ B = P A × P B = 0,1 × 0,2 = 0,02 ou 2%
A probabilidade de que nenhum deles ocorra é: 100% − 2% = 98% ou 0,98.
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
14) A Regra de Bayes fornece uma fórmula exata para se calcular uma condicional quando há condicionais “na outra
ordem”.
P 𝐵|𝐴 =
P 𝐴 ∩ 𝐵
P 𝐴
=
P 𝐴|𝐵 . P 𝐵
P 𝐴
Se P(A) = 0,17, P(B) = 0,2, P(A|B) = 0,25, determine P(B|A):
Solução:
P 𝐵|𝐴 =
P 𝐴|𝐵 . P 𝐵
P 𝐴
=
0,25 × 0,2
0,17
=
0,05
0,17
= 0,2941 ou 29,41%
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
15) Em uma turma tem 20 homens e 50 mulheres. Entre os homens, 10 estudam Economia e, entre as mulheres, 14 
estudam Economia. Os demais estudam Administração. Ao sortear um aluno dessa turma:
a) Qual a probabilidade de ser homem e estudar Administração?
b) Sabendo que o aluno sorteado estuda Administração, qual a probabilidade de ser homem?
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
15) Em uma turma tem 20 homens e 50 mulheres. Entre os homens, 10 estudam Economia e, entre as mulheres, 14 
estudam Economia. Os demais estudam Administração. Ao sortear um aluno dessa turma:
a) Qual a probabilidade de ser homem e estudar Administração?
20 homens → 10 estudam Economia e 10 estudam Administração;
50 mulheres → 14 estudam Economia e 36 estudam Administração;
Sejam os eventos: H: ser homem; M: ser mulher; E: estudar Economia e A: estudar Administração.
Probabilidade de ser homem: 20/70
Probabilidade de ser homem e estudar administração:
20
70
×
10
20
=
1
7
PROBABILIDADE (correção dos exercícios)
15) Em uma turma tem 20 homens e 50 mulheres. Entre os homens, 10 estudam Economia e, entre as mulheres, 14 
estudam Economia. Os demais estudam Administração. Ao sortear um aluno dessa turma:
b) Sabendo que o aluno sorteado estuda Administração, qual a probabilidade de ser homem?
Se o aluno sorteado é de Administração, o espaço amostral fica reduzido a 46 estudantes de Administração.
Sabendo que ele é estudante de Administração, a probabilidade dele ser homem é 
10
46