Lei de Gauss

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FLUXO ELÉTRICO 
O fluxo elétrico é uma grandeza proporcional ao número das linhas do campo elétrico 
que entram numa superfície 
O número de linhas N por unidade de área (densidade das linhas) é proporcional à 
intensidade do campo elétrico 
 que o número de linhas que entram a 
superfície da área A é proporcional ao 
produto EA 
E
A
N

O produto EA é chamado de fluxo elétrico 
EAE 
Unidades no SI: C/m N 2
(semelhante ao fluxo de água vA) 
A

E

2 
 
Quando a superfície A não for perpendicular ao 
campo elétrico (figura b) 
AE
EA
E
E



ou 
cos
θ é um ângulo entre o campo elétrico e a normal à 
superfície. 
θ = 0  a superfície é perpendicular ao campo e 
o fluxo elétrico é máximo. 
θ = 90  a superfície é paralela ao campo e o 
fluxo elétrico é zero. 
θ 
E

A

3 
iiiE AE cos
Fluxo elétrico através de uma pequena superfície 
Definição geral do fluxo elétrico através duma superfície 
iA


 
superfície
AdEE

Definição geral do fluxo elétrico 
iiE AE


ou 
4 
Fluxo elétrico duma superfície fechada 
dAEAdE nE  

representa uma integral sobre uma 
superfície fechada. 

é a componente do campo elétrico 
normal à superfície. 
nE
90
0 E
90
0 E
 90180 
0 E
entra quesai que NNE 
 quando existe mais linhas 
saindo do que entrando na 
superfície. 
0E
0E
 quando existe mais linhas 
entrando do que saindo da 
superfície. 
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 é um vetor que representa um 
elemento local de área 
LEI DE GAUSS 
Através da Lei de Gauss podemos calcular o campo elétrico para distribuições 
simétricas de cargas em problemas mais complexos. 
Consideramos uma carga pontual positiva q situada no centro de uma superfície 
esférica de raio r, 
As linhas do campo irradiam para fora e, 
portanto, são perpendiculares à superfície em 
cada ponto 
iiinE AEAEAE 
o0cos

iA


iA
O fluxo através da pequena área é 
dAEdAEnE   O fluxo resultante através de toda a superfície 
EAdAEE  Como E é constante sobre toda a superfície  
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EAE 
 módulo do campo elétrico em toda a parte da superfície esférica 
2
 
r
q
kE e
 área da superfície esférica 
24 rA 
Substituindo na expressão do fluxo teremos 
  qkr
r
q
kEA eeE  44
2
2







 
4
1
0


ekcomo 
4
4
4
0


q
qkeE  
0
q
E 
o fluxo resultante através duma superfície esférica é proporcional à carga q no interior da superfície 
É um resultado que não depende de r e diz que 
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Superfícies fechadas de várias formas englobando uma carga q 
 é uma representação matemática do fato de que: 
0
q
E 
• O fluxo resultante é proporcional ao número de linhas do campo 
 
• O número de linhas do campo é proporcional à carga no interior da superfície 
 
• Toda linha do campo a partir da carga tem de atravessar a superfície 
o número de linhas do campo elétrico através da 
superfície esférica S1 = ao número de linhas do campo 
elétrico através das superfícies não esféricas S2 e S3. 
Portanto, é razoável concluir que o fluxo resultante 
através de qualquer superfície fechada é independente da 
forma dessa superfície 
O fluxo resultante através de qualquer superfície 
fechada que envolve uma carga pontual q é dado por 
 
0
q
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Uma carga pontual localizada no exterior duma superfície fechada 
O número de linhas entrando na superfície é igual ao 
número de linhas saindo da superfície 
O fluxo elétrico resultante através de uma superfície 
fechada que não engloba nenhuma carga é nulo 
A Lei de Gauss afirma que o fluxo resultante através de 
qualquer superfície fechada é 
0
int.

q
AdEE  

onde qint representa a carga líquida no interior da superfície e , o campo elétrico em qualquer 
ponto sobre a superfície. 
A LEI DE GAUSS AFIRMA QUE O FLUXO ELÉTRICO RESULTANTE ATRAVÉS DE QUALQUER 
SUPERFÍCIE FECHADA É IGUAL À CARGA LÍQUIDA DENTRO DA SUPERFÍCIE DIVIDIDA POR 0 
No caso de haver muitas cargas pontuais dentro da 
superfície pode-se generalizar: 
Esta técnica é adequada para calcular o campo elétrico nas situações onde o grau de 
simetria é elevado 
E

Exemplo 1: Determinar o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica, que está 
num campo elétrico uniforme 
E

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AdE
E

 Φ dAE cos
2180cosΦ REEdAdAEE  
a  
b  
20cosΦ REEdAdAEE  

090cosΦ   dAEE

c  
O fluxo através de toda a superfície é 00 22  RERE 
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Exemplo 2: A partir da lei de Gauss, calcule o campo e1étrico devido a uma carga 
pontual isolada q. 
O campo elétrico de uma carga pontual 
positiva é radial para fora por simetria e, 
portanto, é normal à superfície em todo 
ponto. 
Consequentemente, é paralelo a 
em todo ponto sobre a superfície e, então 
E

Ad

EdAAdE 

Pela lei de Gauss 
0
q
dAEAdEE  

Por simetria, E é constante em toda parte sobre a superfície, então pode ser removido da integral. 
Consequentemente 
0
24


q
rEdAEdAE  
onde usamos o fato de que a área da superfície de uma esfera é . Agora, obtemos o campo 
elétrico: 
22
04 r
q
k
r
q
E e

 que é o campo elétrico de uma carga pontual que 
desenvolvemos a partir da lei de Coulomb . 
24 r
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CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO 
Num condutor elétrico, tal como o cobre, as cargas (eletrões) que não estão presas a nenhum 
átomo são livres para se mover dentro do material 
Quando nenhum movimento de carga ocorre dentro do condutor, este está em equilíbrio 
eletrostático e tem quatro propriedades que vamos analisar a seguir 
• O CAMPO ELÉTRICO É NULO EM QUALQUER PONTO DENTRO DO CONDUTOR 
Considere uma placa condutora num campo elétrico E

As cargas induzidas sobre as superfícies da placa 
produzem um campo elétrico que se opõe ao 
campo externo, fornecendo um campo resultante nulo 
dentro do condutor 
pE

E

pE

Se o campo elétrico não fosse nulo  cargas livres 
no condutor que seriam aceleradas sob ação da 
força elétrica 
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• SE O CONDUTOR ISOLADO TIVER UMA CARGA LÍQUIDA, A CARGA EM EXCESSO FICA 
INTEIRAMENTE SOBRE SUA SUPERFÍCIE 
Utilizaremos a lei de Gauss para verificar a segunda 
propriedade do condutor em equilíbrio eletrostático 
Desenhamos uma superfície gaussiana dentro do condutor 
tão próxima da superfície quanto desejarmos 
0
int.

q
AdEE  

Como em qualquer ponto E = 0  ΦE = 0 portanto qin = 0 
De acordo com a Lei de Gauss 
 a carga só pode ficar na superfície do condutor 
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• O CAMPO ELÉCTRICO IMEDIATAMENTE EXTERIOR AO CONDUTOR CARREGADO É 
PERPENDICULAR À SUPERFÍCIE DO CONDUTOR E TEM UMA MAGNITUDE  / 0, ONDE  É A 
CARGA POR UNIDADE DE ÁREA NESSE PONTO 
Nenhum fluxo atravessa a face plana do cilindro dentro do 
condutor porque E = 0 em qualquer ponto dentro do 
condutor. 
Logo, o fluxo resultante através da superfície gaussiana é o 
fluxo através da face plana fora do condutor onde o campo é 
perpendicular à superfície. 
Para essa face, o fluxo é EA, onde E é o campo elétrico na 
face externa do condutor e A é a área da face do cilindro 
00
int 



Aq
EAEdA
E
 Aplicando a essa superfície Lei de Gauss 
 
0
A
EA Assim 
0

E
Supomos uma superfície Gaussiana na forma de um cilindro 
pequeno 
 
• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS 
LOCAIS ONDE É MÍNIMO O RAIO DE CURVATURA DA SUPERFÍCIE 
A verificação dessa quarta propriedade requer conceitos que só veremos mais adiante 
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Exemplo : Padrão do campo elétrico de uma placa condutora carregada 
próxima de um cilindro condutor com carga oposta. 
 
 (1) as linhas do campo elétrico são 
perpendiculares aos condutores. 
(2) não há linhas dentro do cilindro (E= 0). 
Observe que 
Pequenospedaços de fibra suspensos em óleo se 
alinham com as linhas do campo elétrico.