Aulas 9 e 10 - Fundamentos de Resistência dos Materiais

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FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – AULA 09
ESFORÇOS SOLICITANTES
FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – AULA 09
❑Os corpos sólidos não são rígidos e indeformáveis. A experiência mostra que, quando
submetidos a forças externas, os corpos se deformam, ou seja, variam de dimensões. Os
esforços internos que tendem a resistir às forças externas são chamados esforços
solicitantes.
❑Se as forças externas produzirem tensões abaixo do limite de elasticidade do material do
corpo sólido, ao cessarem, este readquire a forma e as dimensões originais. Esta
propriedade chama-se elasticidade e a deformação chama-se, então, elástica.
❑Se as forças, porém, passarem de um determinado valor, de modo que, ao cessarem, o
corpo não volta mais à forma primitiva, mantendo-se permanentemente deformado, diz-
se que o corpo foi solicitado além do limite de elasticidade.
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CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES
1. Força Normal (N)
❑Força Normal é a componente da força que age perpendicular à seção transversal. Se
for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação da
força, produz esforços de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando
encurtamento no sentido de aplicação da força, produz esforços de compressão.
❑As forças normais são equilibradas por esforços internos resistente e se manifestam sob
a forma de tensões normais (força por unidade de área), representadas pela letra grega
σ (Sigma), que serão de tração ou de compressão segundo a força normal N seja de
tração ou compressão.
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2. Força Cortante (V)
❑Força Cortante é componente da força, contida no plano da seção transversal que tende a
deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte (deslizamento da
seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente que opõem resistência às
forças cortantes são denominadas tensões de cisalhamento ou tensões tangenciais (força
por unidade de área), representadas pela letra grega  (Thau).
3. Momento Fletor (M)
❑Um corpo é submetido a esforços de flexão, quando solicitado por forças que tendem a
dobrá-lo, fleti-lo ou mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contém o eixo
longitudinal, ou seja, perpendicular à seção transversal.
4. Momento de Torção (T)
❑ A componente do binário de forças que tende a girar a seção transversal em torno de
eixo longitudinal é chamado Momento de Torção.
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Forças Externas
Um corpo pode ser submetido à várias forças externas, ou seja, pode sofrer a ação de vários
agentes externos. Estas forças podem assumir características distintas conforme sua
conformação de aplicação.
• Cargas acidentais em pontes, lajes, etc.
• Força do vento em edifícios altos;
• Empuxo da água em reservatórios.
• Cargas pontuais
• Cargas distribuídas uniformemente
• Cargas triangulares
• Cargas trapezoidais
• Cargas irregulares
Determinação das Forças
Atuantes
(Princípio da estática)
Comportamento do 
material
(Estabilidade e dimensões
da peça)
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As forças externas classificam-se como:
❑ Forças de superfície: Ocorrem quando há contato de superfície entre dois corpos. Em
todos os casos essas forças são distribuídas em ambos os corpos pela área de contato.
❑ Forças de Superfície: Forças geradas pelo contato de superfície entre dois corpos.
Avalia-se a dimensão desse carregamento como sendo distribuído por toda a área de
contato.
❑ Força de corpo: Ocorre quando um corpo exerce uma força sobre outro sem que se
tenha contato direto entre os dois corpos. Um exemplo é a força da gravidade,
medida como sendo uma força concentrada (peso passando pelo centro de
gravidade do corpo).
❑ Se a área de contato for muito pequena, o carregamento pode ser considerado como
sendo pontual (quando em duas direções ou linear quando em uma direção).
Exemplos:
1. Reservatório: Tem-se a interação entre dois corpos, a água e o reservatório (paredes e laje de fundo). No
reservatório atuam cargas oriundas do empuxo (pressão) da água distribuída ao longo da área de contato
entre ambos os corpos (área interna do reservatório).
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VIGAS
• Vigas são elementos de barras, submetidas a cargas transversais em relação a seu eixo e destinadas a vencer
vão.As cargas podem ser classificadas em relação à área em que são aplicadas em concentradas e distribuídas.
• As cargas concentradas são aquelas cuja superfície de contato com o corpo que lhe resiste é desprezível
comparada com a área do corpo.
• As cargas distribuídas são aquelas aplicadas ao ongo de um comprimento ou sobre uma superfície, podendo ser
uniforme ou não uniforme.
• Uma viga, tipicamente, tem uma dimensão muito superior as demais, ou seja, tem um comprimento (l) bem
maior que a largura e altura da seção.
• A viga além de carregar o peso próprio (2.500 (Kg/m3) → 25(KN/m3)), deve carregar o peso de paredes,
eventuais cargas acidentais e outras oriundas da estrutura até ela. Nesses casos pode-se considerar que as
ações são distribuídas de forma linear sobre a mesma.
As cargas lineares são representadas pela
razão entre unidade de força e de distância
(peso/dist.).
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Cargas Distribuídas Linearmente
❑ As cargas distribuídas sobre vigas são cargas por unidade de comprimento. Estas cargas,
uniformes ou variáveis, podem ser representadas por uma carga concentrada equivalente
(R), cujo valor corresponde à área formada pela figura que representa a carga distribuída e
é aplicada em seu centro de gravidade (CG).
❑ A carga é considerada linear quando aplicada sobre uma superfície muito estreita, criando
uma linha de carga.
Exemplos:
4 m 4 m
5kN/m
10kN/m
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Cargas Concentradas
As cargas concentradas exercem uma força sobre uma área relativamente pequena, portanto,
são consideradas como pontuais. A carga concentrada é representada por um vetor com
intensidade, sentido e direção. No caso de nosso cofre temos, por exemplo:
• Direção perpendicular a laje
• Sentido para baixo
• Intensidade de 10KN
Cargas concentradas são expressas em unidades de força, ou seja, o produto entre a massa e
a ação da gravidade: m.g → [kg x m/s2] → [N]. Lembrando de 1Kgf = 10[N]
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As cargas distribuídas podem ser representadas por forças (cargas) pontuais. Isso é um artifício
necessário para que se possa calcular as demais tensões atuantes no corpo.
Exemplos: Uma viga de 4 metros de comprimento com 2 apoios A e B. Uma força distribuída de 10
(KN/m) é aplicada ao longo da viga. Qual a carga pontual equivalente (força resultante) e onde será
aplicada?
Conversão de Cargas Distribuídas em Cargas Concentradas
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FR = 10KN/m x 4m = 40KN
A força resultante será aplicada no
centro de gravidade do diagrama de
força distribuída.
Neste caso, a 2 metros do apoio A.
Diagrama equivalente
Na mesma viga são aplicadas 2 cargas distribuídas. Determinar as forças
resultantes e suas devidas posições.
• R1= 15KN/m x 1m = 15KN
• R2 = 10KN x 1m = 10KN,
Aplicadas em relação ao apoio A:
• R1= 0,5m
• R2= 3,5m
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Importante:
• Nem sempre as cagas distribuídas são uniformes.
• De fato elas podem variar ao longo da estrutura e nestes casos a força resultante é equivalente a área
do diagrama de forma da carga distribuída.
• O ponto de aplicação da carga será o centro de gravidade do diagrama.
TIPOS MAIS COMUNS DE DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS
1 - Carga triangular: são cargas com conformação de pressão típicas de reservatórios ou de aterros. O
valor da carga equivalenteé a área da triângulo.
R = [(4,0 m) x (20kN/m)]/2.: R = 20 kN
O ponto de aplicação da carga: d = 1/3 . (4,0 m) = 1,333 m
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2 – Carga trapezoidal: O valor da carga equivalente é a área do trapézio. Neste caso, pode-se
também substituir o trapézio por um a carga retangular e outra triangular.
Solução 1:
• R1= (15 x 4)/2= 30KN
• R2 = 5 x 4 = 20KN
• FR = R1 + R2 = 50KN
Posição de R1e R2:
• R1 = 1/3x4= 1.33m
• R2 = 4/2= 2m
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A carga é aplicada no centro 
de gravidade: 
Solução 2:
Tratamos a carga como um único trapézio. Lembrando que a área de um trapézio é: (p+q)/2 . l
Assim: q = [(20 + 5)/2]. 4 = 50KN
A carga é aplicada no centroide do trapézio:
Portanto: (4/3). [(2.20.5)/(20+5)] = 1.6 m
Tanto a solução 1 como a 2 produzem
um sistema estrutural (estático) idêntico.
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Cargas Distribuídas por Área
Como citado anteriormente, as cargas distribuídas por área são as que são aplicadas em
superfícies de contato relativamente grande, portanto, devem ser consideradas como tal. Para
termos a carga resultante, temos que multiplicar a carga distribuída pela área de contato.
No caso acima temos: 75 kN/m³ x 3m² → FR = 25 kN
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CLASSIFICAÇÃO DA ESTRUTURA
❑ Hipostática: número de
reações de vínculos inferior
ao número de equações de
equilíbrio.
❑ Isostática: número de
reações de vínculos igual ao
número de equações de
equilíbrio.
❑ Hiperestática: número de
reações de vínculos superior
ao número de equações de
equilíbrio.
Exercício Resolvido (1): Represente graficamente os diagramas de força cortante
e momento fletor para as vigas mostradas na figura.
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a)
b)
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Exercício Resolvido (2): Construir os diagramas de esforço cortante e momento
fletor para a viga abaixo.
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Resposta:
1º) Calcular as reações de apoio:
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2º) Selecionar dois trechos para realizar os cortes:
Trecho 2: 6,0 m  x  8,0 m
Trecho 1: 0  x  6,0 m
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3º) Diagramas de esforço cortante e momento fletor:
Para esforço cortante (V):
Para momento fletor (M):
Trecho 2: 6,0 m  x  8,0 m
Trecho 1: 0  x  6,0 m
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Exercício Resolvido (3): Determinar os diagramas de esforços de toda a barra
abaixo. Indicar explicitamente os valores e os pontos mais relevantes de esforços
normais, cortantes e momentos fletores nos desenhos em destaque.
Dados: q = 28 kN/m e P = 5 kN.
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Resposta:
1º) Calcular reações de apoio
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2º) Selecionar dois trechos para realizar os cortes:
Trecho 1: 0  x  1,0 m
Trecho 2: 1,0 m  x  4,0 m
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Trecho 3: 4,0 m  x  5,0 m
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3º) Diagramas de esforço normal, cortante e momento fletor:
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g
q Q = g + q
Para o estudo das linhas de influência que predizem o estudo e a concepção sobre
cargas móveis, então precisamos inicialmente, entender o que cargas permanentes e
cargas acidentais e as diferenças entre o tratamento matemático para ambas as situações.
Para as cargas acidentais ou permanentes utilizamos as equações fundamentais da estática
e as equações universais:
Fx = 0
Fy = 0 Reações de Apoio
M = 0
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑄
𝑑𝑄
𝑑𝑥
= −𝑞
𝑑2𝑀
𝑑𝑥
= −𝑞
Traçar os diagramas de momento, cortante, 
normal e torçor
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LINHAS DE INFLUÊNCIA
P = 1
S1
Q
S2
Mmáx = Q.l²/8
S
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LINHAS DE INFLUÊNCIA
P = 1
S
x
L = 4,0 m
y
S 1,0 m
1,0 m
z
𝑧
1,0
=
3,0
4,0
Z = 0,75
LINHAS DE INFLUÊNCIA
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1 – CONCEITOS E DEFINIÇÕES
❑ Uma linha de influência representa a variação da reação, cortante, momento ou deflexão
em um ponto específico em um membro à medida que uma força concentrada se desloca
sobre o membro. Possuem um papel importante no projeto de pontes, vigas de pontes
rolantes, transportadores e outras estruturas em que as cargas se deslocam através de seu
vão.
❑ Representam o efeito de uma carga em movimento apenas em um ponto especificado em
um membro, enquanto diagramas de cortante e momento representam o efeito de cargas
fixas em todos os pontos ao longo do eixo do membro.
❑ Consistem em um diagrama cujas ordenadas, que são plotadas como uma função da
distância ao longo do vão, fornecem o valor de uma força interna, uma reação ou um
deslocamento em um ponto específico de uma estrutura quando uma carga unitária de 1kN
se move pela estrutura.
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2 –APLICAÇÕES
Uma vez construída a linha de influência, podemos utilizá-la:
1º) Para determinar onde devemos colocar carga móvel em uma estrutura para maximizar
a força (cortante, momento etc.) para a qual a linha de influência é desenhada.
2º) para avaliar a magnitude da força (representada pela linha de influência) produzida
pela carga móvel. Embora represente a ação de uma única carga em movimento, a linha de
influência também pode ser usada para estabelecer a força em um ponto produzida por
várias cargas concentradas ou por uma carga uniformemente distribuída.
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3 - LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA VIGAS
1. Cargas. Uma vez que a linha de influência para uma função tenha sido construída, será então possível
posicionar as cargas vivas sobre a viga que produzirão o valor máximo da função. Dois tipos de cargas
serão considerados:
2. Força concentrada. Para qualquer força concentrada F atuando sobre a viga em qualquer posição x, o
valor da função pode ser encontrado multiplicando a ordenada da linha de influência na posição x pela
magnitude de F.
3. Carga uniforme. O valor de uma função causada por uma carga uniforme distribuída é simplesmente a
área sob a linha de influência para a função multiplicada pela intensidade da carga uniforme.
4 - ESFORÇOS MÁXIMOS
Conhecido o carregamento permanente e dado um determinado "trem - tipo" constituído de cargas
concentradas e distribuídas, pode-se determinar os valores máximos dos esforços numa seção.
Na pesquisa destes valores máximos deve-se considerar o carregamento permanente em toda a estrutura
e o carregamento acidental (trem - tipo) nas posições mais desfavoráveis.
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INFLUÊNCIA MÁXIMA EM UM PONTO EM CONSEQUÊNCIA DE UMA 
SÉRIE DE CARGAS CONCENTRADAS
O efeito máximo causado por uma força concentrada móvel é determinado multiplicando
a ordenada do pico da linha de influência pela magnitude da força.
Força Cortante: considere a viga com apoios simples com a linha de influência associada
para o cortante no ponto C na figura a seguir. Por tentativa e erro cada um dos três casos
possíveis pode, portanto, ser investigado.
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INFLUÊNCIA MÁXIMA EM UM PONTO EM CONSEQUÊNCIA DE UMA SÉRIE 
DE CARGAS CONCENTRADAS
EXERCÍCIO PROPOSTO 1: traçar as linhas de influência para o esforço cortante e
momento fletor, calcular os pontos máximo e mínimo devido ao carregamento móvel na
seção C.
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X 6 - X
1º) PASSO: escolher a seção dereferência para traçar as linhas de influências para esforço
cortante e momento fletor.
2º) PASSO: escolher um lado de referência (vínculo) para se obter a partir deste a reação
de apoio e os valores para traçar as linhas de influência para o esforço cortante e
momento fletor.
P = 1kN
X 6 - X
P = 1kN
Obtendo a reação de apoio em A: 𝑉𝐴 =
1 ∙ (6 − 𝑋)
6
− 1 =
6 − 𝑋
6
− 1
0  X  4,0 m
Para X = 0: 0,0
Para X = 4,0: -0,667
0,0
-0,667
2 - XX
P = 1kN
Obtendo a reação de apoio em A:
𝑉𝐴 =
1 ∙ (2 − 𝑋)
6
=
(2 − 𝑋)
6
0  X  2,0 m
Para X = 0: 0,333
Para X = 2,0: 0
0,333
0,0 0,0
LI V(x)
-0,667
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2:
Calcular as reações para as vigas abaixo e traçar os diagramas de esforço cortante e
momento fletor.
a) b)