EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE FUNÇÃO QUADRÁTICA

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1. Considerando a função quadrática no tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑥 + 5, determine o que se pede. 
a. O valor de 𝑎, sabendo que 𝑓(2) = 27 
b. O valor de 𝑓(−1) 
c. O valor de 𝑥 para que 𝑓(𝑥) = 53 
2. Determine as raízes das funções a seguir 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12 
b. 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 − 𝑥 − 12 
c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 7𝑥 − 30 
d. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 26𝑥 + 40 
3. A demanda pelos produtos de uma empresa pode ser determinada pela expressão 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 +
2𝑥 + 5, sendo que 𝑃 é a demanda pelos produtos, em milhar, e 𝑥 é o mês em que isso acontece. 
Com base nessas condições, responda às perguntas. 
a. Qual é a demanda por esse produto no mês 5? 
b. Em algum dos meses a demanda por esse produto foi igual a zero? 
c. Em qual(is) mês(es) a demanda por esse produto é igual a 61 mil unidades? 
4. Se a função quadrática 𝑔(𝑥) = (3𝑚 + 1)𝑥2 + 2𝑥 − 6 tem duas raízes reais e distintas, determine a 
condição para 𝑚. 
5. Se a função ℎ(𝑥) = −2𝑥2 + 5𝑥 + 3𝑝 é estritamente negativa, qual é o intervalo para 𝑝? 
6. Considerando que 𝑥1 e 𝑥2 são raízes da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥
2 + 2𝑥 − 1, determine 
a. 𝑥1 + 𝑥2 
b. 𝑥1 ∙ 𝑥2 
c. (𝑥1)
2 + (𝑥2)
2 d. 
1
𝑥1
+
1
𝑥2
 
7. Considerando uma função quadrática do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 5𝑥 − 6, com 𝑓(3) = 27, determine 
a. 𝑎 
b. 𝑓(4) 
c. 𝑥 para termos 𝑓(𝑥) = 12 
8. Considerando que em uma função do 2º grau do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, temos 𝑓(3) = 0 e 𝑓(−1) =
−2, determine os valores de 𝑎 e 𝑏. 
9. Uma empresa mantém a temperatura no interior de uma câmara fria descrita pela função 𝑇(𝑡) =
3𝑡2
4
−
15𝑡
4
+ 3, com 0 ≤ 𝑡 ≤ 6 sendo 𝑇 a temperatura, em Celsius, e 𝑡 o tempo, em horas. Em virtude 
de padrões de funcionamento, a cada vez que essa temperatura atinge a marca de 0oC, soa um 
alarme. Determine em que momentos o alarme deve soar. 
10. Sabendo que a função 𝑓(𝑥) = (𝑚 − 4)𝑥2 + 2𝑥 − 1 só intercepta o eixo 𝑥 uma vez, determine o valor 
de 𝑚. 
11. (IFCE) A função quadrática 𝑓(𝑥) tem gráfico com vértice de abscissa igual a 1. Sabendo que 𝑓(6) =
10, é correto afirmar que o valor de 𝑓(−4) é 
a. 15 
b. 12 
c. −10 
d. 10 
e. 6 
12. Determine a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 que dá origem ao gráfico a seguir. 
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1. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑥 + 5 
a. Valor de 𝑎 quando 𝑓(2) = 27 
𝑓(2) = 𝑎. (2)2 + 2 + 5 = 27 
𝑓(2) = 4𝑎 + 7 = 27 
4𝑎 + 7 = 27 
4𝑎 = 20 
𝑎 =
20
4
 
𝑎 = 5 
b. Valor de 𝑓(−1) 
Com 𝑎 = 5, temos 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 𝑥 + 5. Em 𝑓(−1), temos 
𝑓(−1) = 5(−1)2 + (−1) + 5 
𝑓(−1) = 5 − 1 + 5 
𝑓(−1) = 9 
c. O valor de 𝑥 para que 𝑓(𝑥) = 53 
Para 𝑓(𝑥) = 53, temos 
5𝑥2 + 𝑥 + 5 = 53 
5𝑥2 + 𝑥 − 48 = 0 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4 ∙ 5 ∙ (−48) = 961 
Para encontrar as raízes, temos 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
𝑥′ =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
=
−1 + √961
2 ∙ 5
=
−1 + 31
10
=
30
10
= 3 
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
=
−1 − √961
2 ∙ 5
=
−1 − 31
10
=
−32
10
= −
16
5
 
Logo, a solução é 𝑆 = {3, −
16
5
} 
2. Determine as raízes das funções a seguir 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12 
Os coeficientes são: 𝑎 = 1; 𝑏 = 1; 𝑐 = −12 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4 ∙ 1 ∙ (−12) = 49 
Para encontrar as raízes, temos 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
𝑥′ =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
=
−1 + √49
2 ∙ 1
=
−1 + 7
2
=
6
2
= 3 
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
=
−1 − √49
2 ∙ 1
=
−1 − 7
2
=
−8
2
= −4 
Logo, a solução é 𝑆 = {3, −4} 
b. 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 − 𝑥 − 12 
Os coeficientes são: 𝑎 = 6; 𝑏 = −1; 𝑐 = −12 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−1)2 − 4 ∙ 6 ∙ (−12) = 289 
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Para encontrar as raízes, temos 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
𝑥′ =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
=
−(−1) + √289
2 ∙ 6
=
1 + 17
12
=
18
12
=
3
2
 
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
=
−(−1) − √289
2 ∙ 6
=
1 − 17
12
=
−16
12
= −
4
3
 
Logo, a solução é 𝑆 = {
3
2
, −
4
3
} 
c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 7𝑥 − 30 
Os coeficientes são: 𝑎 = 2; 𝑏 = −7; 𝑐 = −30 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−7)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−30) = 289 
Para encontrar as raízes, temos 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
𝑥′ =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
=
−(−7) + √289
2 ∙ 2
=
7 + 17
4
=
24
4
= 6 
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
=
−(−7) − √289
2 ∙ 2
=
7 − 17
4
=
−10
4
= −
5
2
 
Logo, a solução é 𝑆 = {6, −
5
2
} 
d. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 26𝑥 + 40 
Os coeficientes são: 𝑎 = 4; 𝑏 = −26; 𝑐 = 40 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−26)2 − 4 ∙ 4 ∙ 40 = 36 
Para encontrar as raízes, temos 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
𝑥′ =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
=
−(−26) + √36
2 ∙ 4
=
26 + 6
8
=
32
8
= 4 
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
=
−(−26) − √36
2 ∙ 4
=
26 − 6
8
=
20
8
=
5
2
 
Logo, a solução é 𝑆 = {4,
5
2
} 
3. A demanda pelos produtos de uma empresa pode ser determinada pela expressão 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 +
2𝑥 + 5, sendo que 𝑃 é a demanda pelos produtos, em milhar, e 𝑥 é o mês em que isso acontece. 
Com base nessas condições, responda às perguntas. 
a. Qual é a demanda por esse produto no mês 5? 
Devemos encontrar 𝑝(5). Logo, 
𝑝(5) = 3(5)2 + 2 ∙ 5 + 5 
𝑝(5) = 75 + 10 + 5 
𝑝(5) = 90 
Logo, a demanda foi de 90 mil no mês 5. 
b. Em algum dos meses a demanda por esse produto foi igual a zero? 
Devemos calcular 𝑝(𝑥) = 0, logo 
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3𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0, os coeficientes são: 𝑎 = 3; 𝑏 = 2; 𝑐 = 5 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (2)2 − 4 ∙ 3 ∙ 5 = 4 − 60 = −56 
Logo, não houve mês no qual a demanda foi igual a zero. 
c. Em qual(is) mês(es) a demanda por esse produto é igual a 61 mil unidades? 
Devemos calcular 𝑝(𝑥) = 61, logo 
3𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 61 
3𝑥2 + 2𝑥 − 56 = 0 
Os coeficientes são: 𝑎 = 3; 𝑏 = 2; 𝑐 = −56 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (2)2 − 4 ∙ 3 ∙ (−56) = 676 
Para encontrar as raízes, temos 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
𝑥′ =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
=
−2 + √676
2 ∙ 3
=
−2 + 26
6
=
24
6
= 4 
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
=
−2 − √676
2 ∙ 3
=
−2 − 26
6
=
−28
6
= −
14
3
 
Logo, a solução é 𝑆 = {4, −
14
3
} 
Para isso, o mês 4 teve demanda igual a 61 mil unidades. 
4. Se a função quadrática 𝑔(𝑥) = (3𝑚 + 1)𝑥2 + 2𝑥 − 6 tem duas raízes reais e distintas, determine a 
condição para 𝑚. 
Já que a função possui duas raízes distintas, pode-se dizer que 𝛥 > 0, portanto 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 
(2)2 − 4 ∙ (3𝑚 + 1) ∙ (−6) > 0 
4 − 72𝑚 + 24 > 0 
72𝑚 + 28 > 0 
72𝑚 > −28 
𝑚 > −
28
72
 
𝑚 > −
7
18
 
Logo, 𝑚 > −
7
18
 para que exista duas raízes distintas. 
5. Se a função ℎ(𝑥) = −2𝑥2 + 5𝑥 + 3𝑝 é estritamente negativa, qual é o intervalo para 𝑝? 
Como 𝑎 > 0, a concavidade da parábola está para baixo, basta que 𝛥 < 0 para assumir valores estritamente 
negativos. Portanto, 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 
52 − 4 ∙ (−2) ∙ 3𝑝 < 0 
25 + 24𝑝 < 0 
24𝑝 < −25 
𝑝 < −
25
24
 
6. Considerando que 𝑥1 e 𝑥2 são raízes da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥
2 + 2𝑥 − 1, determine 
Os coeficientes são: 𝑎 = 3; 𝑏 = 2; 𝑐 = −1 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (2)2 − 4 ∙ 3 ∙ (−1) = 4 + 12 = 16 
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Para encontrar as raízes, temos 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
=
−2 + √16
2 ∙ 3
=
−2 + 4
6
=
2
6
=
1
3
 
𝑥2 =
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
=
−2 − √16
2 ∙ 3
=
−2 − 4
6
=
−6
6
= −1 
Logo, a solução é 𝑆 = {
1
3
, −1} 
a. 𝑥1 + 𝑥2 
𝑥1 + 𝑥2 =
1
3
+ (−1) = −
2
3
 
b. 𝑥1 ∙ 𝑥2 
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
1
3
∙ (−1) = −
1
3
 
c. (𝑥1)
2 + (𝑥2)
2 
(
1
3
)
2
+ (−1)2 =
1
9
+ 1 =
10
9
 
d. 
1
𝑥1
+
1
𝑥2
 
1
1
3
+
1
−1
= (
1
1
∙
3
1
) + (−1) = 3 − 1 = 2 
7. Considerando uma função quadrática do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 5𝑥 − 6, com 𝑓(3) = 27, determine 
a. 𝑎 
Com 𝑓(3) = 27, vamos substituir 3 onde tem 𝑥 na função, logo 
𝑎(3)2 + 5 ∙ 3 − 6 = 27 
9𝑎 + 15 − 6 = 27 
9𝑎 = 18 
𝑎 =
18
9
 
𝑎 = 2 
b. 𝑓(4) 
Para 𝑓(4), temos 
2(4)2 + 5 ∙ 4 − 6 = 32 + 20 − 6 = 46 
Portanto, 𝑓(4) = 46 
c. 𝑥 para termos 𝑓(𝑥) = 12 
2𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 12 
2𝑥2 + 5𝑥 − 18 = 0 
Os coeficientes são: 𝑎 = 2; 𝑏 = 5; 𝑐 = −18 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (5)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−18) = 25 + 144 = 169 
Para encontrar as raízes, temos 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
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𝑥1 =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
=
−5 + √169
2 ∙ 2
=
−5 + 13
4
=
8
4
= 2 
𝑥2=
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
=
−5 − √169
2 ∙ 2
=
−5 − 13
4
=
−18
4
= −
9
2
 
Logo, a solução é 𝑆 = {2, −
9
2
} 
8. Considerando que em uma função do 2º grau do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, temos 𝑓(3) = 0 e 𝑓(−1) =
−2, determine os valores de 𝑎 e 𝑏. 
Para 𝑓(3) = 0, temos 
(3)2 + 3𝑎 + 𝑏 = 0 
9 + 3𝑎 + 𝑏 = 0 
3𝑎 + 𝑏 = −9 
Para 𝑓(−1) = −2, temos 
(−1)2 − 𝑎 + 𝑏 = −2 
1 − 𝑎 + 𝑏 = −2 
−𝑎 + 𝑏 = −3 
Com as equações obtidas, temos o seguinte sistema 
{
3𝑎 + 𝑏 = −9
−𝑎 + 𝑏 = −3
 
Ao utilizar o método da adição, vamos multiplicar a segunda equação por (−1). Portanto, 
{
3𝑎 + 𝑏 = −9
−𝑎 + 𝑏 = −3 (−1)
 {
3𝑎 + 𝑏 = −9
𝑎 − 𝑏 = 3
 
Ao somar as equações, obtemos 
4𝑎 = −6 
𝑎 = −
6
4
 
𝑎 = −
3
2
 
Com o valor de 𝑎 encontrado, vamos substituir na segunda equação a fim de encontrar o valor de 𝑏. Logo, 
−(−
3
2
) + 𝑏 = −3 
𝑏 = −3 −
3
2
 
𝑏 = −
9
2
 
Portanto, 𝑎 = −
3
2
 e 𝑏 = −
9
2
. 
9. 𝑇(𝑡) =
3𝑡2
4
−
15𝑡
4
+ 3, com 0 ≤ 𝑡 ≤ 6 sendo 𝑇 a temperatura, em Celsius, e 𝑡 o tempo, em horas. Em 
virtude de padrões de funcionamento, a cada vez que essa temperatura atinge a marca de 0oC, soa 
um alarme. Determine em que momentos o alarme deve soar. 
Devemos calcular 𝑇(𝑡) = 0. Logo, 
3𝑡2
4
−
15𝑡
4
+ 3 = 0 
3𝑡2 − 15𝑡 + 12 = 0 
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Os coeficientes são: 𝑎 = 3; 𝑏 = −15; 𝑐 = 12 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−15)2 − 4 ∙ 3 ∙ 12 = 225 − 144 = 81 
Para encontrar as raízes, temos 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2𝑎
 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
=
−(−15) + √81
2 ∙ 3
=
15 + 9
6
=
24
6
= 4 
𝑥2 =
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
=
−(−15) − √81
2 ∙ 3
=
15 − 9
6
=
6
6
= 1 
Logo, a solução é 𝑆 = {4,1}. Ou seja, o alarme irá soar em 1h e 4h de funcionamento. 
10. 𝑓(𝑥) = (𝑚 − 4)𝑥2 + 2𝑥 − 1 só intercepta o eixo 𝑥 uma vez, 𝑚 =? 
Visto que a função intercepta o eixo 𝑥 uma vez, pode-se dizer que o discriminante é igual a zero, ou seja, 
∆ = 0. Logo, 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 
22 − 4 ∙ (𝑚 − 4) ∙ (−1) = 0 
4 + 4𝑚 − 16 = 0 
4𝑚 = 12 
𝑚 =
12
4
 
𝑚 = 3 
11. A função quadrática 𝑓(𝑥) tem gráfico com vértice de abscissa igual a 1. Sabendo que 𝑓(6) = 10, é 
correto afirmar que o valor de 𝑓(−4) é 
O vértice da parábola é 𝑥 = 1, isso significa que a reta 𝑥 = 1 é o eixo de simetria da parábola. Dessa forma, 
temos o gráfico (obtido pela ferramenta GeoGebra). 
Vejamos que 𝑓(6) = 10 no gráfico é o ponto 𝐴(6,10). 
Com isso, observamos que do vértice ao ponto 
𝐴(6,10), temos 5 unidades de distância. Da mesma 
forma, a distância do ponto 𝐵(−4,10) ao eixo de 
simetria são 5 unidades. Logo, o valor de 𝑓(−4) é 
igual a 10. Alternativa D 
 
 
 
 
 
 
 
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12. Determine a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 que dá origem ao gráfico a seguir. 
Pelo gráfico, temos os seguintes pontos: 
𝑃(−6,0);𝑄(3,0); 𝑅(−2,4) . Ao substituir os pontos na 
forma da função quadrática, temos 
Para 𝑃(−6,0) 
𝑎(−6)2 + 𝑏(−6) + 𝑐 = 0 
36𝑎 − 6𝑏 + 𝑐 = 0 
Para 𝑄(3,0) 
𝑎(3)2 + 𝑏(3) + 𝑐 = 0 
9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0 
Para 𝑅(−2,4) 
𝑎(−2)2 + 𝑏(−2) + 𝑐 = 4 
4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 4 
Com as equações obtidas, temos o seguinte sistema linear 
{
36𝑎 − 6𝑏 + 𝑐 = 0
9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0
4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 4
 
Para resolvê-lo, vamos obter a matriz aumentada do sistema e realizar operações elementares. 
(
36 −6 1 0
9 3 1 0
4 −2 1 4
) 
Agora, vamos subtrair a linha 1 multiplicada por 
1
4
 da linha 2 para obter valores na linha 2 
(
36 −6 1 0
9 3 1 0
4 −2 1 4
) 𝐿2 − (
1
4
) 𝐿1 → 𝐿2 (
36 −6 1 0
0
9
2
3
4
0
4 −2 1 4
) 
Vamos subtrair a linha 1 multiplicada por 
1
9
 da linha 3 para obter valores na linha 3 
(
36 −6 1 0
0
9
2
3
4
0
4 −2 1 4
) 𝐿3 − (
1
9
) 𝐿1 → 𝐿3 
(
 
 
36 −6 1 0
0
9
2
3
4
0
0 −
4
3
8
9
4
)
 
 
 
Vamos subtrair a linha 2 multiplicada por (−
8
27
) da linha 3 para obter valores na linha 3 
(
36 −6 1 0
0
9
2
3
4
0
4 −2 1 4
) 𝐿3 − (
8
27
) 𝐿2 → 𝐿3 
(
 
 
36 −6 1 0
0
9
2
3
4
0
0 0
10
9
4
)
 
 
 
Dessa forma, temos o sistema 
{
 
 
 
 
36𝑎 − 6𝑏 + 𝑐 = 0
9
2
𝑏 +
3
4
𝑐 = 0
10
9
𝑐 = 4
 
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Da equação 3, temos 𝑐 =
18
5
. Vamos substituir esse valor na equação 2 
9
2
𝑏 +
3
4
𝑐 = 0 ⇒
9
2
𝑏 +
3
4
∙
18
5
= 0 ⇒ 𝑏 = −
3
5
 
Com o valor de 𝑏 e 𝑐, vamos substituir na equação 1 
36𝑎 − 6𝑏 + 𝑐 = 0 ⇒ 36𝑎 − 6 (−
3
5
) +
18
5
= 0 ⇒ 𝑎 = −
1
5
 
Assim, vamos substituir os valores dos coeficientes encontrados na forma da função. Portanto, 
𝑓(𝑥) = −
1
5
𝑥2 −
3
5
𝑥 +
18
5
 é a função que corresponde ao gráfico.