PROFMULTIPLO_EF2_ANO7_MAT_B1_C2_Ãngulos cÃ_rculos e circunferências

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MATEMÁTICA
A
N
O
LIVRO DO PROFESSOR
Capítulo 2 Ângulos, círculos 
e circunferências, 132
Capítulo 1 Números inteiros 
e operações, 86
OBJETIVOS
•	 Explorar os números negativos e suas utiliza-
ções no cotidiano.
•	Determinar o módulo de um número inteiro e 
conceituar números opostos.
•	 Localizar pares ordenados no plano.
•	Resolver problemas que envolvam adição, 
subtração, multiplicação e divisão de números 
inteiros.
•	 Realizar cálculos que envolvam potenciação e 
raiz quadrada exata de números inteiros.
OBJETIVOS
•	 Efetuar operações com medidas de ângulos.
•	 Identificar ângulos adjacentes, complementa-
res, suplementares e opostos pelo vértice.
•	Construir figuras com régua e compasso.
•	 Identificar a circunferência e seus elementos.
Números positivos e números negativos . . . . . . . . 88
Números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Módulo de um número inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Comparação de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . 96
A representação de pares de números 
inteiros no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Adição com números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Mais sobre adição com números inteiros . . . . . . . 103
Subtração com números inteiros . . . . . . . . . . . . . . 106
Adição algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Multiplicação com números inteiros . . . . . . . . . . . 111
Divisão exata com números inteiros . . . . . . . . . . . 116
Expressões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Potenciação com números inteiros . . . . . . . . . . . . 119
Raiz quadrada exata de um número inteiro . . . . 122
Tratamento da informação – Gráfico de 
barras com números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Resolução de problemas – Simplificando o 
problema para descobrir um padrão . . . . . . . . . . . 126
Somando cultura – Fuso horário . . . . . . . . . . . . . . 128
Matemática e tecnologia – Gráfico de barras 
com números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Organizando o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Operações com medidas de ângulos . . . . . . . . . . 136
Mais operações com medidas de ângulos . . . . . . 138
Ângulos adjacentes, complementares e 
suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Bissetriz de um ângulo e ângulos opostos 
pelo vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Circunferência e círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Construções com régua e compasso . . . . . . . . . . . 149
Tratamento da informação – Construir 
gráficos de setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Resolução de problemas – Fazer um 
diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Somando cultura – A matemática da bicicleta . . 158
Matemática e tecnologia – Construção de 
ângulo e da bissetriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Organizando o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Exercícios integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Amplie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Matemática
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55GUIA DIDÁTICO
2capítulo Ângulos, círculos e circunferências
O acelerador de partículas Grande Colisor de Hádrons (cuja sigla 
em inglês é LHC) é a ferramenta mais moderna que os cientistas 
usam para compreender a formação do Universo e a estrutura 
dos átomos. Com ele, cientistas esperam reproduzir as condições 
físicas existentes em momentos posteriores ao Big Bang, a grande 
explosão que teria dado origem ao nosso Universo.
A linha amarela indica a localização do acelerador LHC, na fronteira entre a Suíça e a França, nos arredores de Genebra. Inaugurado 
em setembro de 2008, o LHC tem o formato de um anel e mede 26 659 metros de circunferência. Está situado dentro de um túnel que 
tem entre 50 metros e 175 metros de profundidade.
132
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INFORMAÇÃO ADICIONAL
Neste capítulo, os conceitos de cir-
cunferência, círculo e ângulo são 
retomados com o objetivo de am-
pliá-los e aprofundá-los. Serão apre-
sentadas as operações que envolvem 
medidas de ângulo expressas em 
graus, minutos e segundos. Os alu-
nos são estimulados a utilizar a régua 
e o compasso para realizar as primei-
ras constru ções geométricas. 
Neste capítulo, os temas abordados são:
• Ângulos
• Operações com medidas de ângulos
• Ângulos adjacentes, complemen-
tares e suplementares
• Bissetriz de um ângulo e ângulos 
opostos pelo vértice
• Circunferência e círculo
• Construções com régua e compasso
• Tratamento da informação: Cons-
truir gráficos de setores
• Resolução de problemas: Fazer 
um diagrama de Venn
• Somando cultura: A matemática 
da bicicleta
• Matemática e tecnologia: Cons-
trução de ângulo e da bissetriz
104 GUIA DIDÁTICO
para começar
1 De acordo com o texto, qual é a utilidade de aceleradores de partí-
culas para os cientistas? Compreender a formação do Universo e a estrutura dos átomos.
2 Qual é o formato do acelerador de partículas LHC?
3 Você sabe o que é um átomo? Caso não saiba, pesquise em livros 
ou na internet. Exemplo de resposta: Átomo é a partícula elementar que 
forma a matéria.
O LHC tem forma de anel, com 26 659 metros de circunferência.
Amplie
Acesse o link a seguir para saber 
mais sobre o LHC. 
http://oxbr.cc/69nphA
No túnel, as partículas 
alcançam mais de 
99,99% da velocidade 
da luz.
Essas estruturas são 
responsáveis por 
capturar as informações 
no momento da colisão 
das partículas.
133
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Leia com os alunos as informações 
sobre o LHC. Pergunte a eles o que 
sabem sobre as partículas elementa-
res. Provavelmente, a turma levantará 
o conceito de átomo. Explique que 
as partículas elementares são como 
as “peças” que formam os átomos e 
que os cientistas acreditam que, com-
preendendo as características dessas 
partículas, será possível compreender 
como surgiu o universo. 
Peça aos alunos que observem o for-
mato do LHC, ilustrado na página an-
terior. Como o laboratório que abriga 
esse aparelho é subterrâneo, seu for-
mato está indicado na fotografia pela 
linha amarela. Verifique se eles têm 
noção das dimensões do aparelho, 
cerca de 27 mil metros de circunferên-
cia. Comente que, para dar uma volta 
inteira ao redor do LHC, anda-se o 
equivalente, por exemplo, à distância 
da escola até certa região da cidade 
(mencione algum local conhecido por 
eles que diste cerca de 27 quilômetros).
Na atividade 2, da seção Para come-
çar, verifique se os alunos compreen-
dem o significado do comprimento 
da circunferência.
105GUIA DIDÁTICO
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G H
F
A
B
C
D
E
F
75º
75º
O B
A
vértice
lado
lado
CAP 2 Ângulos
OBJeTiVOs•	 Recordar a classificação de ângulos.
•	 Identificar ângulos.
•	 Reconhecer ângulos congruentes.
O ângulo é uma figura formada por duas semirretas de mesma 
origem. A origem das semirretas é chamada de vértice do ângulo, e 
cada uma das semirretas que o formam é um lado do ângulo.
No ângulo AOB temos:
• vértice: ponto O;
• lados: semirretas OA e OB.
O ângulo formado pelos ponteiros do 
relógio às 3 horas é de 90º, ou 
um quarto de volta.
Giros de uma volta ou frações de uma volta correspondem 
a ângulos. A unidade de medida utilizada para medir esses giros 
(e os ângulos correspondentes a eles) é o grau, cujo símbolo é º. 
Uma volta completa corresponde a um ângulo de 360º.
O instrumento usado para medir ângulos é o transferidor, ré­
gua circular (de 360º) ou semicircular (de 180º) graduada de grau 
em grau.
Para medir um ângulo com o transferidor, nós o posicionamos 
sobre o ângulo de modo que seu centro fique sobre o vértice do 
ângulo e um dos lados do ângulo fique alinhado com a linha de fé 
do transferidor. A marcação em que o outro lado do ângulo cruzar 
a escala do transferidor é a medida do ângulo.
PArA reCOrdAr
Classificação de 
ângulos
Um ângulo pode ser classifica-
do de acordo com sua medida.
• Um ângulo de 0° é um ângulo 
nulo.
• Um ângulo que mede entre 0o 
e 90o é um ângulo agudo.
• Um ângulo de 90o é um ângu-
lo reto.
• Um ângulo que mede entre 90o 
e 180o é um ângulo obtuso.
• Um ângulo de 180o é um ân-
gulo raso.
• Um ângulo que mede entre 180o 
e 360o é um ângulo côncavo.
Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados de congruentes.
O ângulo FGH mede 52º.
Os ângulos ABC e DEF são congruentes. Ambos 
medem 75º.
Observe o exemplo:
134
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OBJETIVOS
• Retomar o conceito de ângulo. 
• Mostrar como reconhecer 
ângulos congruentes.
• Rever as classificações dos 
ângulos.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Aproveite a oportunidade para recor-
dar com os alunos os conceitos sobre 
ângulo estudados no 6o ano. Verifique 
se eles reconhecem a definição de 
ângulo como figura formada por duas 
semirretas de mesma origem. Certifi-
que-se de que todos conhecem a 
nomenclatura dos ângulos (lados e 
vértice) e se relacionam o ângulo ao 
movimento de giro. Para isso, utilize 
um relógio de ponteiros e explore a 
ideia de giro de uma volta, de meia 
volta e de um quarto de volta.
Converse sobre o grau (unidade de 
medida angular). Por convenção, o 
ângulo de uma volta equivale a 360°. 
Se julgar pertinente, mostre à turma a 
graduação de uma volta. Para isso, gire 
uma régua sobre a lousa e trace um 
dos lados do ângulo. O outro lado será 
representado pela régua. Coloque a 
régua sobre o traço de um dos lados 
do ângulo e comece a movê-la, dei-
xando firme uma de suas pontas no 
vértice do ângulo. O movimento com-
pleto da régua até que sobreponha de 
novo o lado fixo do ângulo equivale 
ao giro de uma volta, ou seja, 360°.
Com o auxílio do transferidor, retome 
os procedimentos de medida de ân-
gulo. Proponha aos alunos que me-
çam os ângulos representados no fim 
da página e aproveite para explicar 
que são ângulos congruentes, pois 
têm a mesma medida. Oriente-os a 
observar que os ângulos congruentes 
podem não estar na mesma posição; 
entretanto, podemos girar qualquer 
um deles de tal maneira que recaia 
exatamente sobre o outro.
Explore o quadro Para recordar, que 
traz as classificações dos ângulos. Se 
possível, associe esses ângulos ao 
giro: por exemplo, o ângulo raso equi-
vale a 180° ou meia volta.
106 GUIA DIDÁTICO
AB
O
C D
Ângulos
exercícios propostos
1 Indique o número de ângulos internos das figuras.
c) d) 
a) b) 
5 ângulos internos.
2 ângulos internos.
Não apresenta ângulos internos.
8 ângulos internos.
2 Na figura ao lado, alguns pontos de uma malha 
pontilhada quadriculada foram nomeados.
a) Determine, com o transferidor, a medida dos 
ângulos AOD, AOC, BOD e BOC.
�AOD mede 72º, �AOC mede 90º, BOD� mede 90º e BOC� mede 108º.
b) Classifique cada ângulo do item a em agudo, obtuso ou reto.
AOD� é agudo, BOC� é obtuso, AOC� e BOD� são retos.
c) Qual é a soma das medidas de AOD� com �BOC?
180º
3 Observe as figuras, meça os ângulos com o auxílio do transferidor e 
responda às perguntas.
a) Quanto medem os ângulos agudos do triângulo? Qual é a soma 
dessas medidas?
Os ângulos medem 30º e 60º. A soma é 90º.
b) Quanto medem os ângulos destacados do paralelogramo? Qual é a 
soma dessas medidas?
Os ângulos medem 75º e 105º. A soma é 180º.
m
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No item c do exercício 1, espera-se 
que os alunos percebam que duas 
pontas não são ângulos, pois uma 
das fronteiras da figura é formada por 
uma linha curva.
Oriente os alunos a traçar os ângulos 
solicitados no exercício 2.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Com o auxílio do transferidor, construa um ângulo 
de 135º a partir de AB com vértice no ponto A.
A B
Resolução
Basta posicionar a linha de fé do transferidor sobre AB , e o 
ponto central sobre A. Em seguida, a partir do zero, marcar 
um ponto na indicação de 135° e, finalmente, unir o ponto 
marcado com o vértice A.
A B
107GUIA DIDÁTICO
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CAP 2
OBJeTiVOs
•	Analisar como se escrevem me-
didas de ângulos utilizando os 
submúltiplos do grau.
•	 Explorar operações aritméticas 
com medidas de ângulos.
Operações com medidas de ângulos
Graus, minutos e segundos
Veja, na imagem ao lado, o que Diogo encontrou ao medir um dos 
ângulos presentes em um projeto de seu pai utilizando o transferidor.
Para expressar a medida de um ângulo quando ela não é in­
teira, como a medida do ângulo presente no projeto do pai de 
Diogo, recorremos aos submúltiplos do grau: os minutos e os 
segundos. Um grau equivale a 60 minutos ('), e um minuto equi­
vale a 60 segundos (").
Para auxiliar nas conversões entre essas unidades, podemos 
utilizar o seguinte esquema: 
OBserVAçãO
Cuidado! Um ângulo de 47,72º 
por exemplo, não mede 47º e 72', 
nem 47º 7' 2". Para encontrar a 
medida dele em graus, minutos 
e segundos, inicialmente mul-
tiplicamos a parte decimal dos 
graus por 60. Como 0,72 ⋅ 60 = 
= 43,2, temos que 0,72º = 43,2' 
e, portanto, 47,72º = 47º 43,2'. 
Depois, multiplicamos a parte 
decimal dos minutos por 60, 
para transformá-la em segundos. 
Assim, como 0,2 ⋅ 60 = 12, temos 
que 0,2' = 12" e 43,2' = 43' 12". 
Portanto, 47,72º = 47º 43' 12".
Ao adicionar e subtrair medidas de ângulos, procedemos de 
maneira parecida ao que é feito com os números naturais: adicio­
namos (ou subtraímos) segundos com segundos, minutos com mi­
nutos e graus com graus.
Se for preciso fazer alguma troca entre as unidades, seguimos o 
esquema apresentado acima.
× 60
÷ 60
× 60
÷ 60
grau minuto segundo
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OBJETIVOS
• Levar os alunos a escrever 
medidas de ângulos usando os 
submúltiplos do grau e a notação 
na forma decimal. 
• Apresentar a adição e a subtração 
com medidas de ângulos.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Apresente o esquema de conver-
são de unidades desta página des-
tacando quais operações devem 
ser realizadas para transformar um 
submúltiplo do grau em outro. Ve-
rifique se os alunos compreendem 
que 1 grau é maior do que 1 minuto, 
e este, por sua vez, é maior do que 1 
segundo. Portanto, para converter-
mos uma medida de grau para mi-
nuto, efetuamos uma multiplicação. 
Da mesma maneira, a conversão de 
minuto para segundo é resultado de 
uma multiplicação. Raciocínio aná-
logo pode ser feito para determinar 
quando dividir uma medida por 60. 
Como 1 segundo é menor do que 1 
minuto, que por sua vez é menor do 
que 1 grau, efetuamos uma divisão 
por 60 quando queremos converter 
para minuto uma medida dada em 
segundo e para converter para grau 
uma medidadada em minuto.
Não deixe de trabalhar o quadro Ob-
servação, que explora a medida de 
ângulo em graus expressa na forma 
decimal, e a correspondente medida 
expressa em graus, minutos e segundos.
108 GUIA DIDÁTICO
operações com medidas de ângulos
Operações com medidas de ângulos
Adição de medidas de ângulos
Vamos calcular a soma 4º 45' 7" + 10º 5' 13".
Primeiramente, adicionamos segundos com segundos: 7" + 13" = 
= 20". Depois, minutos com minutos: 45' + 5' = 50'. E, finalmente, 
graus com graus: 4º + 10º = 14º. Portanto, a soma é 14º 50' 20".
 4º 45' 7"
10º 5' 13"
14º 50' 20"
+
Agora, vamos calcular 16º 48' 15" + 27º 32' 52".
Iniciamos pela soma dos segundos: 15" + 52" = 67". Como esse 
valor ultrapassa 1' = 60", fazemos uma substituição: 67" = 60" + 7" = 
= 1' + 7". Assim, precisamos somar o minuto resultante da substi­
tuição aos minutos (+1'). Ao somar os minutos, obtemos 1' + 48' + 
+ 32' = 81', que é maior do que 1º = 60'. Então, fazemos a substitui­
ção 81' = 60' + 21' = 1º + 21' e somamos 1o aos demais graus inteiros, 
obtendo 1º + 16º + 27º = 44º. Logo, a soma é 44º 21' 7".
Subtração de medidas de ângulos
Vamos calcular a diferença entre 12º 40' 58" e 6º 35' 13".
Analogamente à adição, efetuamos primeiramente a sub­
tração dos segundos: 58" − 13" = 45". Em seguida, efetuamos a 
subtração dos minutos, 40' − 35' = 5', e, finalmente, a dos graus, 
12º − 6º = 6º. Logo, a diferença é 6º 5’ 45".
12o 40' 58"
 6o 35' 13"
 6o 5' 45"
−
Agora, vamos calcular 45º 30' 12" − 36º 43' 27".
Como não podemos subtrair 27" de 12", trocamos 1' dos 30' por 
60": 60" + 12" = 72". Assim, 72" − 27" = 45". Da mesma maneira, apli­
camos a troca para os minutos: 60' + 29' = 89' e 89' − 43' = 46'. Final­
mente, concluímos a operação calculando 44º − 36º = 8º. Logo, a 
diferença é 8º 46' 45".
16º 48' 15"
27º 32' 52"
 7"
+ 67" = 60" + 7"
+ 1'
16º 48' 15"
27º 32' 52"
44º 21' 7"
+ 81' = 60' + 21'
+ 1'+ 1º
45º 30' 12"
36º 43' 27"
 45"
− 72" − 27" = 45"
29'
60" + 12"
45º 30' 12"
36º 43' 27"
 8º 46' 45"
− 89' − 43' = 46'
44º
60' + 29'
29'
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Espera-se que, inicialmente, os alunos 
tenham dificuldades em operar me-
didas de ângulos expressas em graus, 
minutos e segundos. Isso porque 
estão acostumados a realizar a adição 
e a subtração no sistema de numera-
ção de base 10. 
Para efetuar tais operações envolven-
do medidas de ângulos, os alunos 
devem operar na base sexagesimal. 
Isso significa aplicar o procedimento 
que eles estão habituados em nova 
base, ou seja, as trocas ou reagrupa-
mentos são feitos na base 60. Essa 
transição requer atenção e clareza 
nos procedimentos de cálculo.
Ao montar o dispositivo da adição ou 
da subtração, coloque cada ordem 
em sua respectiva coluna, assim 
como é feito com as unidades do sis-
tema decimal. Verifique se os alunos 
percebem que no sistema decimal 
cada ordem é ocupada por valores 
que variam de 0 a 9 (10 valores, pois 
o sistema é decimal), e que as ordens 
no sistema sexagesimal recebem va-
lores que variam de 0 a 59 (60 valores, 
pois o sistema é sexagesimal).
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Calcule:
a) 43° 24' + 57'
b) 56' 43" + 56"
c) 21° 34'− 10° 15'
d) 48' 28" − 35"
Resolução
a) °
°
43 24
57
44 21
1°
'
'
'
+
+
 c) °
°
°
21 34
10 15
11 19
'
'
'
−
b) 56 43
56
57 39
1
' ''
''
' ''
'
+
+ d) 48 28
35
47 53
47 60 28 88
' ''
''
' ''
' '' '' ''
−
+ =
109GUIA DIDÁTICO
CAP 2
OBJeTiVOs
•	 Escrever medidas de ângulos uti-
lizando os submúltiplos do grau.
•	Explorar e efetuar operações 
aritméticas com medidas de 
ângulos.
Mais operações com medidas de ângulos
Multiplicação de número natural por uma 
medida de ângulo
Para efetuar a multiplicação de um número natural por uma me­
dida de ângulo, multiplicamos segundos, minutos e graus, nessa or­
dem, pelo número natural. Sempre que necessário, fazemos as trocas 
entre as unidades, seguindo o esquema apresentado na página 136.
Exemplo
Vamos calcular o triplo do ângulo de 6º 20' 24".
Primeiramente, calculamos o triplo de 24" = 3 × 24" = 72". Como 
esse valor excede 1' = 60", trocamos 60" dos 72" por 1', ficando com 
12" para serem colocados no resultado, na posição dos segundos. 
Em seguida, efetuamos o triplo de 20' e somamos 1' da troca reali­
zada anteriormente ao resultado obtido: 30 × 20' + 1' = 61'. Como 
61' = 1º + 1', colocamos 1' na posição dos minutos do resultado. 
Por fim, calculamos o triplo dos graus e adicionamos 1º da troca 
anterior ao resultado: 3 × 6º + 1º = 19º. Logo, o triplo de 6º 20' 24" 
é 19º 1' 12".
CálCulO menTAl
Qual é a metade de 46o 28' 12"?
23o 14' 6"
Divisão de medida de ângulo por número 
natural
Para efetuar a divisão de uma medida de ângulo por um nú­
mero natural, temos de dividir graus, minutos e segundos por esse 
número. Uma divisão é imediata quando as quantidades de graus, 
minutos e segundos são múltiplos do divisor. Caso a divisão não 
seja imediata, os restos das divisões dos graus, dos minutos e dos 
segundos pelo número natural devem ser transformados, como 
mostra o exemplo a seguir.
6º 20' 24"
 × 3
 12"
+ 1'
72" = 60" + 12"
+ 1'+ 1º
61' = 60' + 1'
6º 20' 24"
 × 3
19º 1' 12"
138
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OBJETIVO
• Apresentar a multiplicação de um 
número natural por uma medida 
de ângulo e a divisão de medida de 
ângulo por número natural.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Se julgar pertinente, apresente aos 
alunos outra estratégia para a multi-
plicação de um número natural por 
uma medida de ângulo. O processo 
consiste em multiplicar separada-
mente a medida expressa em grau, 
minuto e segundo pelo número na-
tural. Por exemplo, ao multiplicar 
6° 20' 24" por três, fazemos:
6° × 3 = 18°
20' × 3 = 60' = 1°
24" × 3 = 72" = 1' 12"
Por fim, para obter o resultado de 
3 × (6° 20' 24"), adicionamos os re-
sultados parciais: 
18° + 1° + 1' 12" = 19° 1' 12".
Explore o quadro Cálculo mental 
para evidenciar o procedimento apli-
cado no cálculo da divisão de um 
ângulo por um número inteiro. Note 
que o cálculo pedido é elementar, 
pois não é necessário efetuar trocas 
de unidade entre os submúltiplos.
110 GUIA DIDÁTICO
mais operações com medidas de ângulos
Mais operações com medidas de ângulos
Exemplo
Vamos calcular 42º 33' 20" ÷ 8.
Inicialmente, dividimos os graus por 8. Obtemos 5º como 
quociente e 2º como resto. Depois, transformamos 2º em minu­
tos (2 × 60' = 120') e somamos o resultado obtido a 33' para con­
tinuar a conta.
exercícios propostos
1 Quantos segundos equivalem a 14º 21' 3''?
51 693"
2 Escreva em minutos e segundos a medida 1 040'.
17' 20"
3 Calcule e dê a resposta em graus, minutos e segundos.
a) 4º + 215' b) 32' 45" × 4
 7º 35' 2º 11'
c) 203º 25" − 195º 14' 20" d) 75º ÷ 12
 7º 46' 5" 6º 15'
1 14 ⋅ 3 600" + 21 ⋅ 60" + 33" = 51 693"
2 1040 60
440 17
20
3 a) 215 60
35 3
4º + 3º 35' = 7º 35'
b) 32' 45"
4
128' 180"
×
180" = 3' e 128' + 3' = 131' = 120' + 11' = 
= 2º 11'
c) 203º 60' 25"
195º 14' 20"
 7º 46' 5"
−
d) 75 12
3 6
3º = 180'
180 12
60 15
0
42º 33' 20" 8
2º 5º
120'
33'
153'
+
Ao dividir 153' por 8, obtemos 19' como quociente e 1' como res­
to. Por fim, transformamos 1' em 60" e somamos a 20" para efetuar a 
última divisão e finalizar o cálculo. Portanto, o resultado é 5º 19' 10".
42º 33' 20" 8
2º 5º 19' 10"
120'
33'
153'
1'
60"
20"
80"
0"
+
+
m
a
t
e
m
á
t
ic
a
139
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Certifique-se de que os alunos com-
preendam que na divisão da medida 
de um ângulo por um número natu-
ral, quando há resto, devem transfor-
má-lo para a unidade imediatamente 
anterior e adicioná-lo ao valor corres-
pondente dessa unidade, para depois 
continuar a divisão. 
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Calcule:
a) 35' 42" × 3
b) 10° 32' 12" × 5
c) 70" ÷ 5
d) 4° 12' ÷ 3
Resolução
a) 
35 42
3
1° 47 6
1° 2
' ''
' ''
'
×b) 
10° 32 12
5
52° 41 0
2° 1
' ''
' ''
'
×
c) 70" ÷ 5 = 14"
d) 4° 12' ÷ 3 = 1° 24°
Dividindo 4° por 3, obtém-se 1° e resto 1°, 
que deve ser transformado para a ordem 
imediatamente anterior, portanto, 1° = 60' , 
então dividimos 
72' (12' + 60' ) por 3. Assim, 72' ÷ 3 = 24'. 
Portanto, 4° 12' ÷ 3 = 1° 24' .
111GUIA DIDÁTICO
A
B
O
D
E 
C
M
F
HG
55º
J
LK Q
R
P
S
27º35º
63º
CAP 2
OBJeTiVOs
•	 Reconhecer ângulos adjacentes.
•	 Explorar os conceitos de ângulos 
complementares e de ângulos 
suplementares.
Ângulos adjacentes, complementares 
e suplementares
Ângulos adjacentes
Observe os ângulos a seguir, em que todos têm o mesmo 
vértice O.
Alguns ângulos, além do vértice, têm um lado em comum, isto é, 
uma mesma semirreta faz parte de ambos. É o caso, por exemplo, dos 
pares de ângulos AOB e BOC, que têm a semirreta OB em comum, e 
dos ângulos COD e COE, que têm a semirreta OC em comum.
No caso dos ângulos AOB e BOC, eles não apresentam pontos 
internos comuns. Já os ângulos COD e COE apresentam pontos in­
ternos comuns, como o ponto M.
Dois ângulos são adjacentes quando apresentam um lado em comum 
e não possuem pontos internos comuns.
Desse modo, podemos dizer que os ângulos AOB e BOC são 
adjacentes, e que os ângulos COD e COE não são adjacentes. Além 
disso, de acordo com a figura:
	 •	 	O	 ângulo	BOD não é adjacente ao ângulo AOC (pois eles 
têm pontos internos comuns), mas é adjacente aos ângulos 
AOB e DOE.
	 •	Os	ângulos	AOC, BOC e DOE são adjacentes ao ângulo COD.
Ângulos complementares
Observe os ângulos FGH, JKL, PQR e RQS, cujas medidas estão 
indicadas a seguir.
• O ângulo COD é adjacente 
ao ângulo AOB ou ao ângulo 
AOD? Por quê? 
• Os ângulos AOC e BOE são 
adjacentes? Por quê?
Para refletir
O ângulo COD não é adjacente ao ângulo 
AOB porque eles não têm um lado em 
comum e também não é adjacente ao 
ângulo AOD porque, apesar de terem 
um lado em comum, apresentam pontos 
internos comuns.
Os ângulos AOC e BOE não são 
adjacentes porque não têm um lado 
em comum. Além disso, também têm 
pontos internos comuns.
Note que a soma das medidas dos ângulos FGH e JKL é 90º, 
pois 55º + 35º = 90º, assim como a dos ângulos PQR e RQS, pois 
27º + 63º = 90º. 
140
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OBJETIVOS
• Levar os alunos a identificar 
ângulos adjacentes. 
• Promover uma discussão 
sobre os conceitos de 
ângulos complementares 
e suplementares.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Para explorar o conceito de ângulos 
adjacentes, leve os alunos a pensar no 
significado da palavra adjacente, em-
pregada quando queremos nos refe-
rir a algo que está junto, como no 
exemplo “A empresa adquiriu o terre-
no adjacente à fábrica para ampliá-la”. 
Certifique-se de que os alunos com-
preendam que dois ângulos adjacen-
tes são “ângulos vizinhos”, mas um não 
pode estar sobre o outro, e eles devem 
ter um lado comum. Aproveite o qua-
dro Para refletir para verificar se todos 
os alunos assimilaram o conceito de 
ângulos adjacentes.
Destaque para os alunos que, se dois 
ângulos são complementares, pode-
mos transpor um deles de maneira 
que seus vértices e um de seus lados 
coincidam. Assim, obtemos ângulos 
adjacentes, e os dois juntos formam 
um ângulo equivalente ao ângulo 
reto ou de um quarto de volta.
112 GUIA DIDÁTICO
A
CB
45º
D
FE
135º
O
MNP
133º
47º
A
CB
45º
D
FE
135º
O
MNP
133º
47º
Ângulos adjacentes, complementares e suplementares
Dois ângulos cuja soma de suas medidas é 90º são chamados de 
ângulos complementares.
Dois ângulos cuja soma das medidas é 180º são chamados de 
ângulos suplementares.
Portanto, os ângulos FGH e JKL são complementares, assim 
como os ângulos PQR e RQS. Por isso, podemos dizer ainda que:
•	O	ângulo	FGH é complementar do ângulo JKL.
•	55º é complemento de 35º.
•	O	ângulo	PQR é complementar do ângulo RQS.
•	27º é complemento de 63º.
Ângulos suplementares
Observe os ângulos ABC, DEF, MNO e ONP, cujas medidas es­
tão indicadas na figura.
Note que a soma das medidas dos ângulos ABC e DEF é 180º, 
pois 45º + 135º = 180º, assim como a dos ângulos MNO e ONP, pois 
133º + 47º = 180º. 
Portanto, os ângulos ABC e DEF são suplementares, assim 
como os ângulos MNO e ONP. Por isso, podemos dizer ainda que:
•	O	ângulo	ABC é suplementar do ângulo DEF.
•	45º é suplemento de 135º.
•	O	ângulo	MNO é suplementar do ângulo ONP.
•	133º é suplemento de 47º.
cálculO menTAl
• Qual é o complemento de 
80º? E de 20º? 
• Qual é o suplemento de 
30º? E de 140º? 150º. 40º.
10º. 70º.
m
A
T
e
m
á
T
ic
A
141
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Destaque para os alunos que, se dois 
ângulos são suplementares, pode-
mos transpor um deles de maneira 
que seus vértices e um de seus lados 
coincidam. Assim, obtemos ângulos 
adjacentes, e os dois juntos formam 
um ângulo equivalente ao ângulo 
raso ou de meia volta.
Explore o quadro Cálculo mental 
para verificar se os alunos assimilaram 
o conceito de ângulos complemen-
tares e suplementares. 
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Determine o complemento e o 
suplemento dos ângulos a seguir:
a) 52°
b) 40° 50'
c) 23° 12' 40"
Resolução
a) 90° − 52° = 38°
 180° − 52° = 128°
b) 90° − 40° 50' = 49° 10'
 180° − 40° 50' = 139° 10'
c) 90° − 23° 12' 40" = 66° 47' 20"
 180° − 23° 12' 40" = 156° 47' 20"
113GUIA DIDÁTICO
O
D
A
B
C
OBserVAçãO
Duas semirretas são opostas 
quando têm origem comum e 
estão sobre a mesma reta, em 
sentidos opostos.
A O B
A semirreta OA é oposta à 
semirreta OB.
45o
45o
45o
45o
pArA recOrdAr
cAp 2
OBJeTiVOs
•	 Explorar o conceito de bissetriz 
de um ângulo.
•	 Identificar ângulos opostos pelo 
vértice.
•	Analisar a propriedade dos ân-
gulos opostos pelo vértice.
Bissetriz de um ângulo
Para fazer uma dobradura, Maria Vitória fez uma dobra em 
um quadrado de papel, indicada pela linha pontilhada na figura 
a seguir.
Bissetriz de um ângulo e 
ângulos opostos pelo vértice
Essa linha pontilhada da dobra dividiu dois ângulos do qua­
drado exatamente ao meio. Por isso, podemos dizer que essa linha 
determina a bissetriz de cada um desses ângulos.
A bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice do ângulo 
que o divide em dois ângulos de medidas iguais.
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles 
são as semirretas opostas aos lados do outro ângulo.
Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes no plano definem quatro ângulos, 
conforme mostra a figura a seguir.
Dados dois desses ângulos, eles podem ser adjacentes (quando 
têm um lado comum) ou opostos pelo vértice (quando não têm um 
lado comum).
Na figura, temos que:
•	Os	ângulos	AOB e COD são opostos pelo vértice.
•	Os	ângulos	BOC e AOD são opostos pelo vértice.
Posições relativas entre 
retas no plano
No plano, duas retas podem 
ser:
• Coincidentes: quando estão 
uma sobre a outra.
• Paralelas: quando nunca se 
cruzam.
• Concorrentes: quando se 
cruzam.
142
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OBJETIVOS
• Apresentar o conceito de bissetriz 
de um ângulo.
• Dar aos alunos condições para 
que identifiquem ângulos 
opostos pelo vértice.
• Mostrar a propriedade dos 
ângulos opostos pelo vértice.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Reproduza com os alunos o exemplo 
da folha de papel e mostre que o vin-
co obtido depois da dobra divide o 
ângulo inicial em duas partes iguais. 
Mas atenção: para que o vinco obtido 
seja a bissetriz do ângulo, é necessá-
rio que o papel tenha formato qua-
drado. Se possível, providencie para 
a aula alguns pedaços de papel já 
recortados no formato correto.
Explore o quadro Para recordar para 
retomar as possíveis posições relativas 
entre duas retas no plano. Com essa 
informação, espera-se que os alunos 
percebam que duas retas não parale-
las se encontram em algum ponto e 
que nesse ponto são formados quatro 
ângulos. O ponto de encontro dessas 
retas é o vértice dos ângulos forma-
dos. Além disso, cada um dos ângulosé adjacente a outros dois.
Explique aos alunos que podemos 
pensar nos ângulos opostos pelo vér-
tice como reflexos um do outro em 
um espelho plano posicionado sobre 
o vértice.
114 GUIA DIDÁTICO
r
s
a
b
c
d
Bissetriz de um ângulo e ângulos opostos pelo vértice
Propriedade dos ângulos opostos pelo vértice
Considere os quatro ângulos de medidas a, b, c e d, definidos 
pelas retas r e s ao lado.
De acordo com a figura, temos que a e b são suplementares e 
b e c também são suplementares. Então, a é o suplemento de b, 
assim como c é o suplemento de b, de onde concluímos que 
a = c.
Do mesmo modo, temos que c e d são suplementares, assim 
como b e c. Sendo assim, b é o suplemento de c, assim como d é 
suplemento de c, de onde concluímos que b = d.
Sabendo que a = c e b = d, concluímos o seguinte:
Ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são 
congruentes.
Exemplo
Na figura a seguir, as barras marcadas no portão de ferro po­
dem ser representadas como retas concorrentes. O ângulo de 
medida x é oposto pelo vértice ao ângulo de 100º. Por isso, temos 
que x = 100º. Além disso, z é o suplemento de 100º, e, portanto, 
z = 80º (pois 180º − 100º = 80º). Como os ângulos de medidas y e z 
são opostos pelo vértice, eles têm medidas iguais, ou seja, y = 80º.
100o
z y
x
m
a
t
e
m
á
t
ic
a
143
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Se julgar pertinente, trace na lousa 
duas retas concorrentes, indique a 
medida de um dos ângulos e peça 
aos alunos que completem as medidas 
dos outros três. Espera-se que eles 
percebam que o ângulo oposto pelo 
vértice ao ângulo dado é congruente 
a ele e os outros dois ângulos são 
suplementares ao ângulo dado.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• As retas coplanares r e s se 
encontram no ponto P. Determine 
a medida dos ângulos formados 
nesse encontro, sabendo que um 
dos ângulos mede 43°.
Resolução
O ângulo oposto pelo vértice ao ângulo 
de medida 43° também mede 43°, pois 
são congruentes. Os outros dois ângulos 
são suplementos dos ângulos de medida 
43°, ou seja, medem 180° − 43° = 137°.
115GUIA DIDÁTICO
O
A
B
C
D
E
K
J
L
M N
O
70º
40º
30º
110º
CAP 2
OBJeTiVOs
•	Reconhecer e calcular a medida 
de ângulos adjacentes, com-
plementares, suplementares e 
opostos pelo vértice.
•	 Explorar o conceito de bissetriz 
de um ângulo.
Exercícios
exercícios propostos
1 De acordo com a figura a seguir, determine todos os ângulos adja-
centes ao ângulo BOC.
a) ( ) Os ângulos JKL e JKM são adjacentes.
b) ( ) Os ângulos JKN e NKO são adjacentes.
c) ( ) A semirreta KL é a bissetriz do ângulo JKN.
d) ( ) Os ângulos NKO e JKL são suplementares.
e) ( ) Os ângulos LKM e MKN são complementares.
3 Calcule o que se pede em cada item.
a) O complemento de 55º 24' 55". 34º 35' 5"
b) O suplemento de 98º 12' 54". 81º 47' 6"
c) O complemento do suplemento de 123º 45'. 33º 45'
4 Resolva os problemas a seguir.
a) O triplo da medida de um ângulo é 76º 30'. Quanto mede o comple-
mentar desse ângulo?
64º 30'
b) O dobro do suplemento de um ângulo é 50º. Quanto mede o ângulo?
155º
3 a) 90º = 89º + 60' = 89º + 59' + 60"
 Assim:
 
89º 59' 60"
55º 24' 55"
34º 35' 5"
−
 b) 180º = 179º + 60' = 179º + 59' + 60"
 Assim:
 
179º 59' 60"
 98º 12' 54"
 81º 47' 6"
−
 c) Suplemento de 123º 45':
 
179o 60'
123o 45'
 56o 15'
−
 Complemento de 56º 15':
 
89º 60'
56º 15'
33º 45'
−
4 a) 76º 30' 3
1º
90'
0'
25º 30'
 Complemento de 25º 30':
 
89º 60'
25º 30'
64º 30'
−
 b) O suplemento do ângulo é 25º 
(50 : 2 = 25º). Então, o ângulo 
mede 155º (180º − 25º = 155º).
F
F
V
V
V
Ângulos AOB, COD e COE.
2 Observe a figura a seguir e classifique cada sentença em verdadeira 
(V) ou falsa (F).
144
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OBJETIVOS
• Possibilitar o cálculo da medida 
de ângulos observando as 
relações entre ângulos 
complementares, suplementares 
e opostos pelo vértice. 
• Enfatizar o conceito de bissetriz 
de um ângulo dado.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No item a do exercício 2, certifique-se 
de que os alunos percebam que o 
ângulo JKL está inteiramente contido 
no ângulo JKM. Portanto, esses ângu-
los não podem ser adjacentes. Logo, 
a afirmação é falsa. 
Para a resolução do exercício 3, retome, 
se julgar pertinente, os procedimentos 
para realizar a operação de subtração 
com medidas de ângulos expressas em 
grau, minuto e segundo.
No exercício 4, espera-se que os alu-
nos determinem a medida do ângu-
lo em questão para depois calcular o 
seu complemento, no item a, e o 
suplemento, no item b. 
116 GUIA DIDÁTICO
52º x
A
C
B
D
x
110º
A
B
C D
AC
D
x
r
B
x
A
B
C
D
55º
a
b
r s
100º
a
b
r
s
ab
r
s
b
35º
a
r
s
t
exercícios
5 Em cada caso, determine a medida x sabendo que a semirreta AB é a 
bissetriz do ângulo CAD.
a) b) 
c) d) 
6 Determine as medidas a e b em cada caso.
x = 52º
x = 55º
x = 135º
x = 135º
a) b) 
c) d) 
a = 125º e b = 55º.
a = 80º e b = 100º.
a = b = 90º.
a = 145º e b = 55º.
5 a) x = m �(BAC) = 52º
 b) m( )BAC� = 90°
2
 = 45º
 Logo, x = 180º − 45º = 135º.
 c) x = 
2
m(CAD) = 55º
 d) m(CAD) = 360º − 90º = 270º
 Logo, x = °270
2
 = 135º.
6 a) a = 180° − 55° = 125°; b = 55°.
 b) a = b = 90°
 c) a = 180° − 100° = 80°; b = 100°.
 d) a = 180° − 35°;
 b = 180o − 90° − 35° = 55°
m
a
t
e
m
á
t
ic
a
145
OUP_7ANO_EF2_MATEMATICA_B1_C2_0SD_R2.indd 69 29/01/14 15:57
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Se julgar pertinente, antes de iniciar 
a resolução dos exercícios dessa pá-
gina, retome com os alunos a simbo-
logia que indica o ângulo reto.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Responda às questões a seguir.
a) Se podemos calcular o 
complemento do suplemento de 
um ângulo, o que podemos afirmar 
sobre a medida desse ângulo?
b) Se podemos calcular o suplemento 
do complemento de um ângulo, 
o que podemos afirmar sobre a 
medida desse ângulo?
Resolução
a) Se podemos calcular o complemento 
do suplemento de um ângulo, então 
o suplemento do ângulo é um ângulo 
agudo. Se o suplemento de um 
ângulo é agudo, podemos concluir 
que ele é um ângulo obtuso.
b) Podemos afirmar que é um ângulo 
agudo.
117GUIA DIDÁTICO
O
centro
A
B
C
D
E
diâmetro raio
corda
arco
O
centro
Circunferência de centro O. Círculo de centro O.
CAP 2
OBJeTiVOs
•	Distinguir circunferência e círculo.
•	Reconhecer elementos associa-
dos à circunferência e ao círculo.
O aro de uma cesta de basquete e o pneu de bicicleta lembram 
circunferências. A moeda brasileira e a pizza lembram círculos.
Circunferência e círculo
Circunferência é a figura formada por todos os pontos de um plano 
que estão à mesma distância de certo ponto do plano, chamado cen-
tro da circunferência.
Círculo é a região do plano formada por uma circunferência e todos os 
pontos de seu interior.
O centro da circunferência que define um círculo também é o 
centro do círculo. Note que podemos identificar os seguintes ele­
mentos associados a uma circunferência:
•	 Centro:	ponto	que	está	à	mesma	distância	de	qualquer	ponto	
da circunferência.
•	 Raio:	segmento	de	reta	que	liga	o	centro	até	um	ponto	qual­
quer da circunferência.
•	 Corda:	segmento	de	reta	que	une	dois	pontos	quaisquer	da	
circunferência.
•	 Diâmetro:	corda	que	passa	pelo	centro	da	circunferência.
•	 Arco:	trecho	da	circunferência	determinado	por	dois	pontos	
dela.
OBserVAçãO
Raio da circunferência
Como a distância do centro a 
qualquer ponto da circunferên-
cia é sempre a mesma, todos 
os raios têm a mesma medida. 
Por isso, dizer “circunferência de 
raio 10 cm” significa dizer que 
todos os raios dessa circunfe-
rência medem 10 centímetros.
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OBJETIVOS
• Discutir a diferença entre 
circunferência e círculo. 
• Rever os elementos de uma 
circunferência. 
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Represente na lousa uma circunferên-
cia e um círculo. Depois, solicite aos 
alunos que indiquem objetosque 
lembrem a forma das figuras repre-
sentadas. Elabore duas listas na lousa 
com os objetos citados: uma com os 
objetos que lembram a forma da cir-
cunferência e outra com os que lem-
bram a forma do círculo. Pergunte à 
turma sobre as diferenças entre os 
objetos das listas. Espera-se que os 
alunos percebam que em uma das 
listas os objetos são constituídos ape-
nas de contorno e que na outra são 
constituídos de contorno e pontos 
interiores. Em seguida, apresente os 
conceitos de circunferência e círculo. 
Com um compasso, desenhe uma 
circunferência na lousa. Fixe a ponta-
-seca do compasso em um ponto 
demarcado como ponto O − indique 
esse ponto como centro da circun-
ferência. Explique que todos os pon-
tos sobre a circunferência estão à 
mesma distância do centro (para isso, 
mostre que essa distância é igual à 
abertura do compasso). Pode-se tra-
çar também a circunferência com o 
auxílio de um pedaço de barbante. 
Fixe uma das pontas em O, coloque 
o giz na outra ponta e gire um dos 
braços, de maneira que o barbante 
permaneça sempre esticado.
Destaque que o raio é um segmento 
que une o centro da circunferência à 
sua borda. Como todos os raios têm 
a mesma medida, muitas vezes usa-
mos a palavra “raio” para indicar a 
medida desse segmento e facilitar 
nossa comunicação. Mostre que o 
diâmetro é uma corda que passa, 
necessariamente, pelo centro da cir-
cunferência. Logo, a medida do diâ-
metro é sempre igual ao dobro da 
medida do raio. 
118 GUIA DIDÁTICO
O
45º
A
B
O
120ºA
Barco menor
arco maior
Gráfico de setores
Na construção de um gráfico de 
setores dividimos o círculo em 
regiões que são setores circula-
res. Cada porcentagem do total 
tem um setor circular corres-
pondente para a construção do 
gráfico. Para representar 50% do 
total, usamos um setor circular 
de 180º; para representar 25% 
do total, usamos um setor cir-
cular de 90º, e assim por diante.
Mais ainda
Sertanejo
Rock
MPB
Samba
Outros
3%
6%
50%
25%
16%
Gêneros musicais preferidos 
dos alunos do 7o ano
circunferência e círculo
Ângulo central
Um ângulo central de uma circunferência é qualquer ângulo 
cujo vértice seja o centro da circunferência. Os lados de um ângu­
lo central dividem a circunferência em dois arcos. A medida de um 
arco AB, em graus, é igual à medida do ângulo central AOB ao qual 
está associado. Essa medida é representada por �m mAB AOB )()( = .
Na figura, o ângulo central AOB divide a circunferência em dois 
arcos: um menor e outro maior. Denotamos cada um dos arcos 
definidos pelos pontos A e B por arco AB (ou, simplesmente, AB ).
OBserVAçãO
Exceto quando explicitado, trataremos sempre do arco menor definido 
por dois pontos da circunferência.
Sendo assim, para nos referir à medida, em graus, do arco menor AB na 
figura anterior, diremos apenas medida do arco AB. Sabendo que essa 
medida é igual à medida do ângulo central AOB, ou seja, m(
�
AB) = 120º, 
caso seja necessário fazer referência à medida do outro arco defini-
do pelo ângulo AOB, diremos que a medida do arco maior é igual a 
360º − m(
�
AB) = 240º.
Setor circular
Da mesma maneira que o ângulo central divide a circunfe­
rência em dois arcos, também divide o círculo determinado pela 
circunferência em duas partes. Cada uma delas é chamada de 
setor circular. Observe a figura ao lado. 
Note que o ângulo central AOB divide o círculo em dois setores 
circulares, um colorido de laranja e o outro de amarelo. O colorido 
de laranja é um setor circular de 45º (pois está associado ao ângulo 
central AOB), e o colorido de amarelo é um setor circular de 315º 
(pois 360º − 45º = 315º).
Fonte: Colégio Maria Joana de Nogueira.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ao final da aula, certifique-se de que 
os alunos diferenciam arcos de uma 
circunferência e setores circulares, re-
lacionando o arco à circunferência e o 
setor ao círculo, ambos definidos pelo 
ângulo central.
Aproveite o quadro Mais ainda para 
dar um exemplo de setores circulares 
na representação gráfica.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Analise se cada afirmação a seguir 
é verdadeira ou falsa.
a) Um círculo de raio igual a 
4 cm é formado pela união da 
circunferência de raio igual a 
4 cm e de seus pontos internos.
b) Quaisquer dois raios formam um 
diâmetro da circunferência.
c) Um diâmetro não é uma corda.
d) O arco definido por um diâmetro 
corresponde a metade do 
comprimento da circunferência.
e) Um ângulo central define dois 
arcos em uma circunferência. 
Se o menor mede 100°, então 
o maior mede 260°.
f ) Um círculo foi dividido em três 
setores iguais. Portanto, o ângulo 
central associado a cada setor 
mede 120°.
Resolução
a) Verdadeira.
b) Falsa. Para que dois raios formem um 
diâmetro, o ângulo entre eles deve 
medir 180°. 
c) Falsa. Todo diâmetro também é uma 
corda.
d) Verdadeira.
e) Verdadeira.
f ) Verdadeira.
119GUIA DIDÁTICO
O
O
A
C
B
80º
O
A
C
B
72º
CAP 2 Exercícios
exercícios propostos
1 Determine que figura geométrica plana cada um dos seguintes 
objetos lembra.
a) b) 
c) d)
Setor circular.
Círculo.
Circunferência.
Arcos.
2 Na circunferência ao lado desenhe, com o 
auxílio da régua, um raio, um diâmetro e 
uma corda.
Um exemplo de resposta pode ser visto na figura.
3 Em cada circunferência, determine as medidas dos arcos menor e 
maior definidos pelo ângulo central AOB.
a) b)
4 A figura ao lado é o esboço de um gráfico de 
setores. Qual porcentagem refere-se ao setor 
azul? E ao lilás?
25%. 20%.
A semirreta OB é bissetriz 
do ângulo central AOC.
A semirreta OC é bissetriz 
do ângulo central AOB.
3 a) arco menor: 2 ⋅ m �( )AOC = 160º
 arco maior: 360º − 160º = 200º
 b) arco menor: 270
º
2
 = 135º 
 arco maior: 360º − 135º = 225º
4 90º corresponde a 90
º
360º
= =1
4
25
100 = 
= 25%.
Já 72º corresponde a 72
º
360º
= =1
5
20
100 = 
= 20%.
Arco menor: 160º; arco maior: 200º.
 
Arco menor: 135º; arco maior: 225º.
 
OBJeTiVOs
•	Distinguir circunferência e círculo.
•	Reconhecer elementos associa-
dos à circunferência e ao círculo.
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OBJETIVOS
• Propor aos alunos situações 
para diferenciar a circunferência 
do círculo. 
• Dar aos alunos condições para 
que reconheçam elementos 
associados à circunferência e 
ao círculo. 
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No exercício 4, incentive os alunos a 
perceber que é possível calcular men-
talmente a porcentagem referente ao 
setor azul, pois ele representa 1
4
 do 
círculo.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Considere uma pizza que foi 
dividida em oito pedaços iguais. 
Determine:
a) a medida do ângulo central 
associado a cada pedaço de pizza.
b) a medida do ângulo central 
associado a três pedaços de pizza.
Resolução
a) =º º360
8
45
b) 3 · 45° = 135°
120 GUIA DIDÁTICO
ponta-seca ponta de grafite
A
B
rC D
CAP 2
OBJeTiVOs
•	Analisar como é feito o transpor-
te de medidas de ângulos e de 
segmentos de reta.
•	 Explorar a construção de ângulos 
e da bissetriz de um ângulo dado.
Construções com régua e compasso
O instrumento utilizado para desenhar circunferências é o com­
passo. O compasso possui duas hastes rígidas unidas em uma extre­
midade, de modo a ser possível regular a abertura. No outro extremo, 
uma das hastes possui uma ponta de metal, chamada ponta­seca, 
e a outra haste tem uma ponta de grafite.
OBserVAçãO
Todos os pontos de uma cir-
cunferência estão à mesma 
distância do centro. Essa pro-
priedade permite que façamos 
muitas construções geométri-
cas com o compasso.
Para desenhar uma circunferência, definimos inicialmente o 
ponto que será o centro da circunferência e fixamos sobre ele a 
ponta­seca do compasso. A medida do raio é dada pela abertura 
das hastes. Em seguida, traçamos a circunferência com a ponta 
de grafite.
Transporte de medida de segmento
Um dos procedimentos mais comuns no desenho de figuras é 
traçar um segmento de reta com a mesmamedida de outro segmen­
to de reta dado. O uso do compasso auxilia nesse procedimento.
Para transportar a medida de um segmento de reta AB dado 
para uma reta r, marque um ponto C em r. O ponto C é um dos 
extremos do segmento de reta a ser traçado. Depois, com a ponta­
­seca do compasso em A, abra­o até que a ponta de grafite fique 
sobre B. Mantendo essa abertura, posicione a ponta­seca do com­
passo em C e trace um arco que intersecte r. O ponto D, que é a 
intersecção do arco com a reta r, é o outro extremo do segmento. 
Dessa maneira, a medida do segmento de reta CD traçado é igual à 
medida do segmento de reta AB.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Converse com os alunos sobre uma 
das funções do compasso, que é tra-
çar circunferências e arcos de circun-
ferência. Depois, proponha algumas 
atividades para que eles se familiari-
zem com esse instrumento. Oriente-os 
a traçar circunferências no caderno. 
Depois, peça que construam uma 
circunferência de raio de 5 centímetros, 
por exemplo. Para isso, eles devem 
associar a distância entre o grafite e a 
ponta-seca do compasso à medida 
do raio da circunferência a ser traça-
da. As construções apresentadas nes-
te bloco didático são novidade para 
os alunos, e muitos podem apresen-
tar dificuldades ao usar o compasso 
e a régua. Portanto, sugerimos que 
todas as construções sejam realizadas 
passo a passo e com supervisão, para 
esclarecer eventuais dúvidas. 
Explique aos alunos que nas constru-
ções geométricas puras é permitido 
somente o uso da régua (não gra-
duada) e do compasso. A régua é 
usada apenas para desenhar uma reta 
que passa por dois pontos dados; o 
compasso, para desenhar as circunfe-
rências e os arcos com raio determi-
nado por um segmento cujo centro 
é um ponto dado. Nessas constru-
ções, esses instrumentos não podem 
ser utilizados de outra maneira. 
Faça na lousa, passo a passo, o trans-
porte de medida de segmento, de 
modo que os alunos reproduzam a 
construção em uma folha de papel.
OBJETIVOS
• Instrumentalizar o aluno com o 
uso do compasso.
• Apresentar os procedimentos 
para o transporte de medidas de 
ângulos e segmentos.
• Mostrar como construir ângulos 
com o auxílio do compasso.
• Apresentar os procedimentos 
para determinar a bissetriz de um 
ângulo dado.
AMPLIE
Eduardo Wagner. Construções Geométricas. 
Coleção do Professor de Matemática. So-
ciedade Brasileira de Matemática.
O livro traz mais informações sobre cons-
truções feitas com régua e compasso.
121GUIA DIDÁTICO
O
A
B M
N
O
A
B M
N
C
D
P
C
E
D
P
B
O A
B
O A
P
CAP 2
Transporte de medida de ângulo
Outro procedimento muito comum nas construções de figu­
ras é transportar a medida de um ângulo, o que também pode ser 
feito usando o compasso. Veja como transportar a medida de um 
ângulo AOB dado, de modo a construir um ângulo ECD sobre uma 
semirreta CD dada.
Com a ponta­seca em O e qualquer 
abertura do compasso, trace um arco 
que intersecte os lados do ângulo AOB 
e marque os pontos M e N, resultantes 
dessas intersecções. Mantendo a mes­
ma abertura, posicione a ponta­seca 
em C, trace um arco que intersecte a se­
mirreta CD e nomeie o ponto determi­
nado como P. Finalmente, com abertu­
ra igual a MN e ponta­seca em P, trace 
um arco que intersecte o arco traçado 
anteriormente. O ponto determinado 
é o ponto E. Com a régua, trace a se­
mirreta CE. Dessa maneira, a medida 
do ângulo ECD é igual à medida do ân­
gulo AOB.
Construção da bissetriz de um ângulo
Dado um ângulo qualquer, sempre é possível traçar sua bis­
setriz usando apenas régua e compasso. Para fazer essa constru­ 
ção, posicione a ponta­seca do compasso no vértice do ângulo 
dado, trace um arco qualquer e marque os pontos A e B, que são 
as intersecções do arco com os lados do ângulo. Com a ponta­seca 
em A e abertura maior do que a metade de AB, trace um arco no 
interior do ângulo. Mantendo a abertura, posicione a ponta­seca 
em B, trace um arco que intersecte o anterior e nomeie o ponto 
obtido como P. Com a régua, trace a semirreta OP, que é a bissetriz 
do ângulo dado.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Explique aos alunos que, do mesmo 
modo que podemos transpor a me-
dida de um segmento sobre uma 
reta, podemos transpor a medida de 
um ângulo, construindo um novo 
ângulo, congruente ao primeiro. Para 
isso, é necessário que haja um ângu-
lo e uma semirreta suporte, que será 
um dos lados do novo ângulo.
Desenhe na lousa um ângulo qual-
quer e a semirreta suporte. Com os 
alunos, faça todos os passos do pro-
cedimento para transposição de um 
ângulo. Depois, construam a bissetriz 
de um ângulo.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Tal construção da bissetriz se justifica 
porque, ao traçarmos um arco de cir-
cunferência de vértice O, determina-
mos sobre os lados do ângulo os 
pontos B e C. Note que o triângulo 
OBC é isósceles. Portanto, os ângulos 
internos desse triângulo, B e C, são 
congruentes. Ao definirmos uma nova 
abertura, traçamos dois arcos centra-
dos em B e C, respectivamente, e de-
terminamos um ponto D de tal 
maneira que BCD seja isósceles. Por-
tanto, os ângulos internos desse 
triângulo, B e C, são congruentes.
O
B
C
D
Pelo caso de congruência LLL, verifica-
-se que os triângulos OCD e OBD são 
congruentes. Portanto, COD ≅ BOD e 
CDO ≅ BDO. Logo, OD divide os ân-
gulos O e D em dois ângulos con-
gruentes. Assim, OD está contido na 
bissetriz do ângulo O.
122 GUIA DIDÁTICO
O P O
Q
P
60º
60º
60º
O O 90º = 60º + 30º
Construção de um 
ângulo de 90o
Um ângulo de 90o tem metade 
da medida de um ângulo raso. 
Sendo assim, outra maneira de 
construir um ângulo de 90o ape-
nas com régua e compasso é 
traçar a bissetriz de um ângulo 
raso:
Mais ainda
A O B
Trace uma reta e marque um ponto O 
sobre ela. Esse ponto será o vértice do 
ângulo de 180o e também o do ângulo 
de 90o. Com uma abertura qualquer do 
compasso e a ponta-seca em O, trace 
um arco que intersecte a reta em dois 
pontos, os pontos A e B.
A O B
C
Com outra abertura no compasso, 
maior do que AO, trace dois arcos de 
mesma abertura: um centrado em A e 
outro centrado em B, garantindo que 
eles se cruzem uma vez. Marque o 
ponto C, intersecção dos arcos, e, com a 
régua, trace a semirreta OC, bissetriz do 
ângulo AOB. O ângulo BOC é um ângulo 
de 90o, assim como o ângulo AOC.
construções com régua e compasso
Construção de um ângulo de 60o
É possível construir um ângulo de 60º utilizando apenas régua 
e compasso. Para isso, inicialmente, use a régua para traçar uma 
semirreta de origem O. Com a ponta­seca em O e uma abertura 
qualquer do compasso, desenhe um arco que intersecte a semirre­
ta. Marque o ponto P, que é a intersecção do arco com a semirreta. 
Mantendo a abertura, posicione a ponta­seca em P e trace um arco 
que intersecte o primeiro arco traçado. Marque o ponto Q, que é 
a intersecção dos dois arcos. Com a régua, trace a semirreta OQ. 
Então, o ângulo QOP assim definido mede 60º.
Construção de um ângulo de 90o
Uma maneira de construir um ângulo de 90º é combinar as 
duas construções anteriores. Vamos construir inicialmente um 
ângulo de 60º e adicionar a ele um ângulo de 30º.
Para isso, construa um ângulo de 60º com vértice em O. De­
pois, usando um dos lados do ângulo já traçado, construa outro 
ângulo de 60º adjacente ao primeiro. A seguir, construa a bissetriz 
do segundo ângulo de 60º. O ângulo formado entre o lado do pri­
meiro ângulo e a bissetriz recém­traçada mede 90º.
Com base nas construções apresentadas, como você construiria um 
ângulo de 30º com régua e compasso?
Para refletir Exemplo de resposta: Basta construir um ângulo de 60º e 
traçar sua bissetriz.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Depois de construir os ângulos de 60° 
e 90° com a turma, explore o quadro 
Para refletir. Se julgar pertinente, so-
liciteaos alunos que construam o 
ângulo de 30° para testar suas hipó-
teses. É esperado que eles construam 
o ângulo de 30° traçando a bissetriz 
do ângulo de 60° que acabaram de 
construir.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
A construção do ângulo de medida 
60° se justifica, pois a soma dos ân-
gulos internos de um triângulo é 180°, 
e no triângulo equilátero todos os 
ângulos internos são congruentes. 
Portanto, a medida dos ângulos inter-
nos de um triângulo equilátero é 60°.
Assim, dada uma semirreta de ori gem 
O, com uma abertura qualquer do 
compasso centrado em O, determi-
namos o ponto P sobre a semirreta 
inicial, de medida igual à do arco que 
chamaremos de a. Centrando o com-
passo em P e construindo um arco de 
medida a, determinamos o conjunto 
de pontos do plano que distam a de 
P. O ponto Q obtido pela intersecção 
dos dois arcos dista a dos pontos O e 
P. Portanto, OPQ é um triângulo equi-
látero, e o ângulo O mede 60°.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Descreva duas maneiras diferentes 
de construir um ângulo de 45° 
usando régua e compasso.
Resolução
Uma maneira é determinar a bissetriz do 
ângulo de 90°. A outra seria construir um 
ângulo de 60° e traçar sua bissetriz para 
determinar um ângulo de 30°. Traçando 
a bissetriz do ângulo de 30°, obtém-se 
um ângulo de 15°. O ângulo de 45° é 
igual ao ângulo de 60° menos o ângulo 
de 15°.
123GUIA DIDÁTICO
rA B
C
P Q
RS
CAP 2
OBJeTiVOs
•	 Transportar medidas de ângulos 
e de segmentos de reta.
•	Construir ângulos e a bissetriz de 
um ângulo dado.
•	Desenhar figuras planas com ré-
gua e compasso.
Exercícios
exercícios propostos
1 Desenhe uma figura com o uso de régua e compasso, seguindo os 
passos abaixo.
I Use a régua para determinar um segmento de reta AB sobre a reta r, 
de modo que AB = 5 cm.
II Com a ponta-seca do compasso em A e a ponta de grafite em B, trace 
um arco que se estenda na parte superior da reta r.
III Com a ponta-seca do compasso em B e a ponta de grafite em A, 
trace um arco que cruze o primeiro arco traçado. Marque o ponto C, 
intersecção dos dois arcos traçados.
IV Com a régua, trace os segmentos de reta AC e BC.
 Em seguida, responda: que figura foi construída?
 Um triângulo equilátero.
2 Use régua e compasso para construir um quadrado de 6 cm de lado.
2 Roteiro de construção:
I Marque os pontos P e Q sobre 
uma reta, tal que PQ = 6 cm.
II Construa ângulos de 90º com 
vértices em P e em Q.
III Defina S e R sobre os lados dos 
ângulos construídos, de modo 
que PS = QR = 6 cm.
IV Trace o segmento de reta RS, 
determinando o quadrado.
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OBJETIVOS
• Rever os procedimentos para 
transporte de medida de ângulo 
e de segmento de reta. 
• Retomar a construção de alguns 
ângulos e de bissetrizes usando 
régua e compasso.
• Proporcionar condições para que 
o aluno construa figuras planas 
com régua e compasso.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Caso os alunos apresentem dificulda-
des para identificar a figura geométrica 
construída no exercício 1, mostre que 
o ponto C pertence a um arco de uma 
circunferência de raio 5 centímetros 
centrada em A. Logo, AC = 5 cm. De 
maneira análoga, o ponto C também 
pertence a um arco de circunferência 
centrada em B. Assim, BC = 5 cm. Por-
tanto, os três lados do triângulo são 
congruentes.
Comente com os alunos que o lado 
do quadrado construído no exercício 2 
não precisa estar paralelo à horizontal. 
Sua posição depende apenas da in-
clinação da reta suporte do primeiro 
lado a ser traçado.
124 GUIA DIDÁTICO
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
C
B A
B
CA
A
BC
75º30º
exercícios
3 Construa a bissetriz de cada um dos ângulos dados com régua e 
compasso.
a) b) 
c) d)
4 A seguir são dados três segmentos de reta. Com a régua e o 
compasso, desenhe um triângulo cujas medidas dos lados sejam 
iguais às medidas dos segmentos dados.
5 Construa um ângulo de 75º. Para essa construção você pode usar um 
dos seguintes fatos: 75º = 150º ÷ 2, 75º = 45º + 30º ou 75º = 60º + 15º.
3 a) I Com a ponta-seca no vértice do 
ângulo e uma pequena abertura, 
trace um arco que intersecte os 
lados do ângulo, definindo os 
pontos A e B.
 II Com a ponta-seca em A e, 
em seguida em B, trace arcos 
com mesma abertura que se 
intersectem em C.
 III A semirreta definida pelo vértice 
do ângulo e pelo ponto C é a 
bissetriz procurada.
 Obs.: os itens b, c e d apresentam 
construções análogas às do item a.
5 1a maneira:
I Trace uma reta e marque um ponto O 
sobre ela.
II Com vértice em O com um lado sobre a 
reta, construa um ângulo de 60º.
III Trace a bissetriz do ângulo de 60º, 
obtendo um ângulo de 30º que tem 
um lado sobre a reta inicial.
IV Construa a bissetriz do ângulo de 150º 
(suplemento do ângulo citado em III), 
obtendo o ângulo de 75º pedido.
2a maneira:
I Trace uma reta e marque um ponto O 
sobre ela.
II Com vértice em O com um lado sobre 
a reta, construa um ângulo de 90º e 
trace também sua bissetriz.
III Adjacente ao ângulo de 90º traçado 
em II, com vértice também em O, 
construa um ângulo de 60º e trace 
também sua bissetriz.
IV O ângulo formado pelas bissetrizes 
dos ângulos de 60º e de 90º é o 
ângulo de 75º pedido.
3a maneira:
I Trace uma reta e marque um ponto O 
sobre ela.
II Com vértice em O com um lado sobre 
a reta, construa um ângulo de 60º e, 
adjacente a este, outro ângulo de 60º.
III Trace a bissetriz do segundo ângulo 
de 60º construído em II, obtendo 
um ângulo de 90º e, novamente, na 
metade do ângulo adjacente ao de 
60º, obtendo um ângulo de 15º.
IV O ângulo formado pela bissetriz 
recém-traçada e um lado do primeiro 
ângulo de 60º é o ângulo de 75º 
pedido.
4 Roteiro de construção:
I Trace uma reta e marque o ponto C 
sobre ela.
II Com a ponta-seca em C e abertura 
BC, trace o arco que determina o 
ponto B na reta.
III Com a ponta-seca em B e abertura 
AB, trace um arco e, com a ponta-seca 
em C e abertura AC, trace outro arco 
que intersecte o primeiro.
IV Marque A, ponto de intersecção dos 
arcos, e trace os segmentos AC e AB, 
obtendo o triângulo pedido.
m
a
t
e
m
á
t
ic
a
153
OUP_7ANO_EF2_MATEMATICA_B1_C2_0SD_R2.indd 77 29/01/14 15:57
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Se possível, explore o exercício 5 
mostrando aos alunos as três manei-
ras diferentes de construir o ângulo 
de 75°.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Descreva os passos para construir 
um triângulo ABC cujas medidas 
dos lados sejam iguais às medidas 
dos segmentos representados 
abaixo, usando apenas régua (não 
graduada) e compasso.
 a b c
 a b c
 a b c
Resolução
I. Sobre uma reta r, marque um ponto 
B e transporte o segmento de medida 
a para a reta, traçando um arco de 
circunferência com o compasso de 
abertura de medida a e ponta-seca 
no ponto B. Marque o ponto C da 
intersecção do arco com a reta r, de 
modo que BC = a.
II. Para transportar o segmento de medida 
b, com o compasso com abertura de 
medida b e ponta-seca no ponto B, trace 
o arco acima da reta r. 
III. Transporte o segmento de medida 
c. Para isso, abra o compasso nesta 
medida e, com a ponta-seca no ponto 
C, trace um arco acima da reta r, 
marcando o ponto A de intersecção 
dos arcos. 
Assim, os pontos A, B e C são os vértices do 
triângulo ABC.
125GUIA DIDÁTICO
 Nas tardes de quarta-feira Lucas participa de algumas atividades na escola. Observe as posições do ponteiro 
das horas em cada relógio.
12
6
9
8
7
1
210
11
3
4
5
12
6
9
8
7
1
210
11
3
4
5
Período total de
atividades
Aula de música e
oficina de Artes
Prática de esportes
12 1
0
11
67
22
3
44
5
0
12 1
0
11
67
2
3
44
5
0
1 Use um transferidor para medir o ângulo:
a) correspondente ao giro do ponteiro das horas que indica o período total de atividades. 120°
b) correspondente ao giro do ponteiro das horas que indica o período destinado à aula de música e oficina de 
Artes. 60°
c) correspondente ao giro do ponteiro das horas que indica o período destinado à prática de esportes. 
60°
 Converse com os colegassobre os resultados que você obteve. Você identifica alguma relação entre esses 
resultados?
2 Considere o ângulo formado pelo giro do ponteiro das horas do relógio do início ao fim das atividades de 
uma tarde de quarta-feira.
O ponteiro do relógio ao apontar para o número 2, dá a ideia de uma semirreta que divide este ângulo em 
dois ângulos congruentes. 
a) Como é chamada essa semirreta? Marque com X.
 ( ) mediatriz ( ) bissetriz ( ) lado
b) Use um transferidor para medir os ângulos representados a seguir e pinte a região interna daqueles em que 
a semirreta vermelha corresponda à resposta do item a.
A
BO
C
DO
E
FO
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos comparem as medidas dos ângulos e percebam que do mesmo modo 
que cada atividade dura metade do tempo total de atividades, o ponteiro, ao apontar o número 2, dá a ideia de 
uma semirreta que divide o ângulo maior em dois ângulos de medidas iguais.
X
Deve-se pintar o interior dos ângulos COD e EOF.
MAT CAP 2 Repertório conceitual: bissetriz
PR_OUP_7ANO_EF2_MATEMATICA_B1_C2_RC.indd 15 15/08/13 12:13
OBJETIVO
• Promover a reflexão dos alunos 
sobre a palavra “bissetriz”.
AMPLIE
Atividades do 
repertório conceitual:
http://oxbr.cc/CFwBRj
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Em cada item, determine a 
medida do ângulo representado 
com o auxílio de um transferidor 
e desenhe a bissetriz 
correspondente. Em seguida, 
complete os espaços.
a) 
A
B
O
A medida do ângulo AOB é 
A bissetriz do ângulo AOB determina 
dois ângulos de medida igual a 
b) 
E
FO
A medida do ângulo EOF é 
A bissetriz do ângulo EOF determina 
dois ângulos de medida igual a 
Resolução
a) 84°; 42°.
A
B
O
b) 170°; 85°.
E
FO
126 GUIA DIDÁTICO
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Organize os alunos em duplas para compar-
tilhar ideias sobre as atividades propostas e 
refletir sobre o conceito de bissetriz de um 
ângulo.
Explique que a imagem dos relógios será re-
ferência para as duas atividades da página. 
Se possível, leve para a aula um relógio de 
parede para que os alunos possam verificar 
o giro do ponteiro das horas. Mostre que, 
nessa situação, consideramos apenas o giro 
do ponteiro das horas que sai do 12 e chega 
no 4. Associada a essa atividade, sugere-se 
retomar o procedimento relativo à medição 
de ângulos. Para medir os ângulos formados 
pelos alunos no relógio, use um transferidor.
O objetivo da primeira atividade é usar o 
transferidor na medição de ângulos e verificar 
experimentalmente uma situação em que 
um ângulo é dividido em dois ângulos de 
medidas iguais. Observe se os alunos perce-
bem a relação entre a congruência dos dois 
ângulos de 60° e o fato de os intervalos de 
tempo correspondentes serem iguais. Ou 
seja, nas tardes de quarta-feira, Lucas estuda 
música e artes durante duas horas e depois 
pratica esporte também por duas horas. Es-
pera-se que eles obtenham essas medidas e 
conversem sobre isso.
Na atividade 2, os alunos são convidados a 
recordar o conceito de bissetriz apresentado 
na página 142 do Livro 1. Por meio da medi-
ção dos ângulos, na primeira atividade, preten-
de-se motivar a correlação entre o conceito e a 
verificação de que esse tipo de semirreta divide 
um ângulo em dois ângulos de medidas iguais. 
Ao realizar o item b, a turma pode aproveitar a 
ideia sugerida na primeira atividade e usar o 
transferidor para medir os ângulos obtidos pela 
secção determinada pela semirreta vermelha.
Se julgar pertinente, peça à turma que deter-
mine a bissetriz do primeiro ângulo represen-
tado e que registre no livro as medidas obtidas 
na verificação. Faça a correção das atividades 
com os alunos, incentivando-os a socializar as 
impressões e as conclusões a que chegaram.
Depois de corrigir as atividades e debater as 
ideias, peça aos alunos que preencham a ficha 
relacionada a essa atividade. Para avaliarem 
esse registro, é interessante apresentar a defi-
nição de bissetriz presente no Dicionário Oxford 
Escolar de Matemática, reproduzida a seguir:
A
D
B
C
A
B
C
P
A semirreta CD 
é a bissetriz 
do ângulo ACB, 
ou seja, o ângulo ACD 
é congruente ao 
ângulo DCB.
bissetriz
1. Semirreta com origem no vértice 
de um ângulo e que o divide em dois 
ângulos de medidas iguais.
2. Em um triângulo, é o segmento 
de reta contido na bissetriz de um dos 
ângulos internos do triângulo e que 
liga o vértice ao lado oposto.
VEJA TAMBÉM: 
ângulo, ângulo interno, congruente, 
segmento de reta, semirreta AP é a bissetriz de BÂC.
127GUIA DIDÁTICO
8%
MOZARELA
4%
NAPOLITANA
16%
FRANGO COM 
CATUPIRY21%
PORTUGUESA
21%
MARGUERITA
30%
CALABRESA
10
azeitonas
é a média por redonda.
(São Paulo e Rio de 
Janeiro são mais 
econômicos: usam 
apenas 8 azeitonas 
por pizza.)
275
gramas
é a quantidade 
de mozarela 
usada por pizza.
Tratamento da informaçãoCAP 2
Construir gráfico de setores
Situação
Leia o texto a seguir.
Gráfico de pizza
Há 50 mil pizzarias no Brasil, entre es-
tabelecimentos formais e informais. Me-
tade delas fica em São Paulo, seguida por 
Rio de Janeiro, Rio Grande do Sul, Minas 
Gerais e Bahia. Cada cidade tem suas pre-
ferências, mas aqui a SUPER montou a 
redonda ideal, definida a partir dos sabo-
res mais pedidos nos restaurantes de todo 
o Brasil, neste gráfico de pizza de pizzas.
Disponível em: <http://super.abril.com.br/alimentacao/
grafico-pizza-676265.shtml>. Acesso em: 31/12/2012.
análise
a) Seguindo o exemplo acima, calcule as medidas, em graus, dos 
demais setores circulares que farão parte do gráfico:
Portuguesa: 75,6º; Frango com catupiry: 57,6º; Napolitana: 14,4º;
Mozarela: 28,8º; Calabresa: 108º.
b) Com o auxílio da régua e do transferidor, complete o gráfico, 
desenhando os demais setores circulares do gráfico lado a lado. 
Vamos construir o gráfico de setores corres­
pondente à fotografia acima. Para isso, precisa­
mos calcular as medidas, em graus, dos setores 
circulares que farão parte do gráfico. Como o cír­
culo todo tem 360º e representa 100% dos dados, 
para saber quantos graus referem­se a cada por­
centagem, basta multiplicá­la por 360º.
Por exemplo, a parte do gráfico referente à 
pizza marguerita é um setor de 75,6º, pois 21% 
de 360º = 0,21 × 360º = 75,6º. Então, com o au­
xílio de régua e de transferidor, desenhamos 
um setor de aproximadamente 75,6º (pode ser 
entre as marcações de 75º e 76º) para a pizza 
marguerita.
a) 0,21 ⋅ 360º = 75,6º
 0,16 ⋅ 360º = 57,6º
 0,04 ⋅ 360º = 14,4º
 0,08 ⋅ 360º = 28,8º
 0,3 ⋅ 360º = 108º
saBores de pizza mais pedidos no Brasil
Fonte: Superinteressante.
21% MARGUERITA
21% PORTUGUESA
30% CALABRESA
8% MOZARELA
4% NAPOLITANA
16% FRANGO COM CATUPIRY
OBJeTiVO
•	Construir gráficos de setores com 
base em dados fornecidos.
154
OUP_7ANO_EF2_MATEMATICA_B1_C2_0SD_R2.indd 78 29/01/14 15:57
OBJETIVO
• Discutir os procedimentos para 
a construção de um gráfico de 
setores aplicando os conceitos 
de setor circular, ângulo central 
e porcentagem.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Leia com os alunos o texto sobre o 
consumo de pizza no Brasil e formu-
le algumas questões referentes às 
informações contidas na imagem. 
Por exemplo, sobre o assunto trata-
do, a fonte dos dados, a pizza prefe-
rida, a pizza menos pedida etc. 
Verifique se eles percebem a relação 
entre o tamanho da fatia de pizza e 
a porcentagem representada por ela. 
Explique que na construção de um 
gráfico de setores precisamos deter-
minar o ângulo de cada setor de 
acordo com a porcentagem repre-
sentada por ele. Por exemplo, o ta-
manho do setor que vai representar 
30% deve ser maior do que o setor 
que vai representar 21%. 
Retome que o círculo todo tem 360°, 
o que representa o total (100%), e 
mostre o procedimento usado para 
determinar o ângulo central do setor 
circular referente à preferência do sa-
bor marguerita. 
Explique que o procedimento para 
determinar os ângulos centrais refe-
rentes à representação dos outros 
sabores é o mesmo, isto é, multiplica-
mos a porcentagem (na forma deci-
mal) por 360°. 
Se julgar conveniente, oriente os alu-nos a usar a calculadora para efetuar 
os cálculos referentes ao item a do 
quadro Análise.
128 GUIA DIDÁTICO
Comédia
Drama
Desenho animado
Preferência de f ilmes dos frequentadores
da Biblioteca João Fernando
Romance
Aventura
Tratamento da informação
aTividade
• Na biblioteca onde Marilda trabalha há diversos filmes nacionais 
disponíveis para empréstimo na videoteca. Para conhecer melhor 
o gosto dos frequentadores da biblioteca, durante um mês Ma-
rilda fez uma pesquisa com os visitantes, perguntando qual era o 
gênero de filme preferido de cada um. A tabela mostra o resultado 
da pesquisa.
PrEfErênCia dE filMES dOS frEquEnTadOrES 
da BiBliOTECa JOãO fErnandO
Gênero Porcentagem
 Comédia 36%
 Drama 28%
 Aventura 24%
 Romance 8%
 Desenho animado 4%
Fonte: Biblioteca João Fernando.
 Para apresentar o resultado obtido aos frequentadores, Marilda 
decidiu construir um gráfico de setores.
a) Qual gênero ocupará o maior setor do gráfico? Comédia.
b) Qual é a medida aproximada, em graus, que corresponderá ao 
setor referente ao gênero romance? 29º
c) Desenhe o gráfico de setores correspondente.
Fonte: Biblioteca João Fernando.
b) 0,08 ⋅ 360º = 28,8º ≃ 29º
c) 0,36 ⋅ 360º = 129,6º ≃ 130º
 0,28 ⋅ 360º = 100,8º ≃ 101º
 0,24 ⋅ 360º = 86,4º ≃ 86º
 0,04 ⋅ 360º = 14,4º ≃ 14º
m
a
t
e
m
á
t
ic
a
155
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• A professora de Carlos fez uma 
pesquisa para saber o sabor de 
sorvete preferido pela turma e 
organizou os dados em uma tabela.
PREFERÊNCIA DE SABORES DE 
SORVETE DA TURMA DE CARLOS
Sabor Número de alunos
Chocolate 12
Morango 8
Flocos 8
Napolitano 6
Outros 6
Fonte: Enquete da professora de Carlos.
 No dia em que a pesquisa foi 
realizada, todos os alunos da turma 
estavam presentes e responderam 
à enquete da professora. Cada um 
escolheu apenas um sabor. Sabendo 
disso, faça o que se pede.
a) Calcule a quantidade de alunos da 
turma de Carlos.
b) Determine, em porcentagem, as 
preferências de sabores de sorvete 
da turma de Carlos.
c) Represente os dados da tabela em 
um gráfico de setores.
Resolução
a) 12 + 8 + 8 + 6 + 6 = 40. Portanto, a 
turma de Carlos tem 40 alunos.
b) Chocolate: ⋅
⋅
= =,
,
%12 2 5
40 2 5
30
100
30
 Morango: ⋅
⋅
= =,
,
%8 2 5
40 2 5
20
100
20
 Flocos: ⋅
⋅
= =,
,
%8 2 5
40 2 5
20
100
20
 Napolitano: ⋅
⋅
= =,
,
%6 2 5
40 2 5
15
100
15
 Outros: ⋅
⋅
= =,
,
%6 2 5
40 2 5
15
100
15
c) Calculando a medida do ângulo central 
correspondente a cada setor, temos: 
Chocolate: 0,3 · 360° = 108° 
 Morango e flocos: 0,2 · 360° = 72°
 Napolitano e outros:
 0,15 · 360°= 54° 
Preferência de sabores de
sorvete da turma de Carlos
Chocolate
30%
Morango
20%
Flocos
20%
Napolitano
15%
Outros
15% 
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Para obter os ângulos centrais de cada setor 
do gráfico na atividade anterior, os alunos 
precisaram efetuar a multiplicação de 360° 
por um número decimal. Explique que, nes-
se caso, podemos realizar a operação de 
multiplicação entre o número inteiro 360 e 
o número decimal correspondente à por-
centagem de cada setor. Depois, basta lem-
brar que o resultado dessa multiplicação é 
uma medida angular, cuja unidade é o grau.
129GUIA DIDÁTICO
Resolução de problemasCAP 2
fazer um diagrama de Venn
Problema
Em um encontro de 110 alunos universitários, a organização 
do evento investigou quantos cursaram Física, Desenho ou Mate­
mática e obteve as seguintes informações:
Disciplinas Número de alunos que cursaram as disciplinas
 Física 25
 Desenho 45
 Matemática 48
 Matemática e Física 10
 Matemática e Desenho 8
 Física e Desenho 6
 Matemática, Física e Desenho 5
Quantos alunos não cursaram pelo menos uma das três 
disciplinas?
roteiro de estudo
Vamos trabalhar uma estratégia de resolução
 Para resolver esse problema, vamos utilizar o diagrama de Venn. 
Esse diagrama consiste basicamente em regiões (geralmente cir-
culares) que podem ou não ter partes comuns, dependendo das 
informações que representam. Nesse caso, como há três discipli-
nas e há alunos que já cursaram duas ou três delas, precisamos 
de três regiões circulares que se cruzam entre si, como mostra a 
figura abaixo. Para preenchê-la com os números adequados, siga 
as instruções a seguir.
Desenho
14 35
36
MatemáticaFísica
5
1 3
5
i Inicie o preenchimento pela região cinza, que representa mais 
intersecções. Escreva sobre ela o número de alunos que cursa-
ram as três disciplinas: Matemática, Física e Desenho.
OBJeTiVO
•	Usar um diagrama de Venn para 
representar os dados de um pro-
blema e resolvê-lo.
156
OUP_7ANO_EF2_MATEMATICA_B1_C2_0SD_R2.indd 80 29/01/14 15:57
OBJETIVO
• Mostrar como utilizar um 
diagrama de Venn para 
representar os dados de um 
problema e resolvê-lo. 
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Leia o problema com os alunos e 
questione-os sobre as estratégias que 
utilizariam para resolvê-lo. Deixe que 
apresentem hipóteses e as validem. 
Verifique se eles percebem que, do 
modo como os dados estão organi-
zados na tabela, alguns alunos foram 
contados mais de uma vez. Mostre, 
por exemplo, que se um aluno cursou 
matemática e física, foi contado entre 
os alunos que cursaram matemática 
e também entre os que cursaram fí-
sica, além dos que cursaram matemá-
tica e física. Isso significa que ele foi 
contado três vezes na tabela. 
Certifique-se de que todos com-
preendam que, para determinar o 
número de alunos que cursaram 
apenas matemática, por exemplo, 
precisamos excluir dos 48 alunos 
os que cursaram outras disciplinas.
Explique que uma maneira prática 
de resolvermos esse tipo de proble-
ma é utilizar um diagrama conheci-
do como diagrama de Venn. 
Reproduza na lousa o diagrama da 
seção Vamos trabalhar uma estra-
tégia de resolução. Mostre a inter-
secção dos três cursos, as intersecções 
dos cursos dois a dois, indique que 
todas essas intersecções contêm a 
intersecção dos três cursos e, por fim, 
mostre as regiões disjuntas. Depois, 
siga os passos descritos na seção para 
preencher o diagrama com a colabo-
ração dos alunos, sanando eventuais 
dúvidas.
130 GUIA DIDÁTICO
ii Em seguida, preencha as regiões azul, rosa e amarela. A região azul, 
por exemplo, representa os alunos que cursaram apenas Matemática 
e Desenho, mas não cursaram Física. De acordo com o quadro, 8 
alunos cursaram Matemática e Desenho, mas não há no quadro a 
informação de quantos alunos estudaram apenas essas duas disci-
plinas. Porém, sabemos que 5 alunos cursaram Matemática, Física e 
Desenho. Logo, dos 8 alunos que cursaram Matemática e Desenho, 
5 cursaram as três disciplinas e 3 cursaram apenas Matemática e 
Desenho, portanto concluímos que o número 3 deve ser escrito na 
região azul. Seguindo esse raciocínio, preencha também as regiões 
rosa e amarela.
iii Por fim, preencha as regiões laranja, verde e lilás. O número que 
deve ser escrito na região laranja, por exemplo, é igual ao núme-
ro de alunos que estudaram Física, menos as quantidades escri-
tas nas regiões amarela, cinza e rosa. Seguindo esse raciocínio, 
escreva o número adequado em cada uma dessas regiões.
iv Ao adicionar os números que aparecem no diagrama, obtemos a 
quantidade de alunos que cursaram ao menos uma das discipli-
nas. Nessas condições, responda à pergunta do problema: quan-
tos alunos não cursaram pelo menos uma das três disciplinas?
 11 alunos, pois 110 - (14 + 35 + 36 + 5 + 3 + 1 + 5) = 11.
Vamos refletir sobre algumas questões
a) Quantos alunos estudaram Física ou Matemática?
63 alunos, pois 14 + 35 + 5 + 3 + 1 + 5 = 63.
b) Quantos alunos estudaram Física e Matemática?
10 alunos, pois 5 + 5 = 10.
c) A resposta dos itens a e b são iguais? Justifique.
Problema para resolver
•	 Uma pesquisa foi realizada com 350 pessoas para avaliar a eficácia 
de um anúncio de divulgação de dois novos produtos, A e B. Ao 
final, constatou-se que, dos entrevistados, precisamente:
• 280 conheciam o produto A.
• 80 conheciam os dois produtos.
• 20