9-MecanicaFluidosII-EscoamentoInternoTurbulento

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ESCOAMENTO TURBULENTO
 a turbulência em geral surge de uma instabilidade do escoamento em 
regime laminar, quando o número de Reynolds torna-se grande. As 
instabilidades estão relacionadas com interações entre termos 
viscosos e termos de inércia não lineares nas equações de 
quantidade de movimento linear.
 Os efeitos advectivos altamente não lineares, são efeitos 
amplificadores de perturbações é geradores de instabilidades. Por 
outro lado os efeitos difusivos são amortecedores ou inibidores da 
formação de instabilidades.
 O escoamento turbulento é governado pelas equações de 
conservação já apresentadas, porém é sempre 3D e transiente
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2
 Atualmente existem basicamente três métodos para se analisar um escoamento 
turbulento, os quais serão descritos a seguir.
Custo
Computacional
RANS
LES
DNS
100 %
0 %
baixo alto extremadamente
alto
Grau
de
Modelagem
 DNS (Direct Numerical Simulation): cálculo de 
todas as escalas de comprimento da turbulência. 
 LES (Large Eddy Simulation): cálculo dos 
turbilhões de grandes escalas, com uma 
modelagem dos turbilhões de escala menor.
 RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes): 
modelos da turbulência estatística baseado nas 
equações de Navier-Stokes médias no tempo.
 Os modelos de turbulência baseados nas equações de Navier-Stokes médias 
no tempo RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) são baseados na 
decomposição da velocidade em um valor médio e uma flutuação
Equações Médias de Reynolds
'uuu 
• Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente 
conhecer o comportamento do valor médio. A 
flutuação u’ (muitas vezes da ordem de 1% a 
10% de velocidade média)
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Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear
As equações de Navier-Stokes médias no tempo são obtidas através
da média temporal das equações de conservação:
Equação da continuidade (incompressível)
0
x
u
j
j



j
ji
ij
k
k
i
j
j
i
j
i
ij
iji
x
uu
x
u
x
u
x
u
x
g
x
p
x
uu
t
u
















































)( 











3
2
O termo é denominado tensão de Reynolds, e envolve os
componentes das flutuações da velocidade que não são conhecidas.
''
ji uu
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4
Modelos de Viscosidade Turbulenta 
 Os modelos de viscosidade turbulenta são baseados no conceito da 
viscosidade turbulenta introduzido por Boussinesq em 1877. Boussinesq
propõe para o núcleo turbulento uma analogia entre as tensões 
turbulentas e as tensões existentes no regime laminar. 
 Vimos que a tensão viscosa para um fluido Newtoniano é






 IV
3
2
VV T

div])grad(grad[ 
ijij
k
k
t
i
j
j
i
tji
x
u
x
u
x
u
uu 








3
2
3
2



















ij
k
k
i
j
j
i
ij
x
u
3
2
x
u
x
u


















Fazendo uma analogia entre a tensão laminar e turbulento, a tensão 
turbulenta é definida como:
  



  2222i wvu2
1
u
2
1 '''' é a energia cinética turbulenta, 
definida como
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5
i
i
j
j
i
ef
jij
i
j
i g
x
u
x
u
xx
P
x
u
u
t
u
 








































Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear
)(x, ttef  












3
2
3
2
k
k
t
x
u
pP
viscosidade efetiva ef:
 é a viscosidade molecular
t é a viscosidade turbulenta.
VISCOSIDADE TURBULENTA cct LV 
Os modelos podem ser classificados em modelos:
 modelos algébricos, modelos de zero equações diferenciais
 modelos de uma equação diferencial
 modelos de duas equações diferenciais 
 modelos de n equações diferenciais
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Modelos De Duas Equações
 Estes modelos consistem na solução de duas equações 
diferenciais para avaliar a viscosidade turbulenta. Na 
elaboração de um modelo de duas equações, faz sentido 
continuarmos utilizando a equação para a energia cinética 
, devido ao pouco empiricismo usado na sua obtenção. 
Como podemos utilizar qualquer combinação do tipo para 
a segunda variável, várias propostas surgiram ao longo 
dos anos:
 Freqüência de vórtices f ( f =  ½  -1) (Kolmogorov, 1942)
 Produto energia versus escala de comprimento  
(Rodi e Spalding, 1970)
 Vorticidade w (w    -2 ) (Wilcox, 1988)
 Dissipação e (e   3/2  -1 ) da energia cinética turbulenta 
(Harlow e Nakayama, 1968 e Launder e Spalding, 1974)
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Modelo e
 O modelo e é sem dúvida o modelo que tem recebido maior atenção 
devido, principalmente, aos trabalhos de Jones e Spalding (1972, 
1973) e Launder e Spalding (1974). Neste modelo a velocidade 
característica continua sendo Vc  
1/2 e o comprimento característico 
é obtido em função da dissipação (e  u 3 /     u 3 / e     3 /2 / e . 
A viscosidade turbulenta é
e



2c
t

  e

































j
t
j
j
j xx
Puρ
xt
ρ
     

e
e
e





e

e


ee
e
21 cPc
jxjx
ju
jxt
t 







 











j
i
i
j
j
i
t
x
u
x
u
x
u
P















  as constantes empíricas são: c=0,09 ; 
c1e =1,44 ; c2e =1,92 ;  =1,0 e e =1,3
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Modelo e
 O modelo e padrão utiliza nas fronteiras a lei da parede padrão. 
Isto consiste em utilizar as solução obtidas para u+ em função de y+
na região da parede
 sub-camada laminar 5yparayu   
 
 núcleo turbulento 50ypara0,5yln5,2u   
 
A figura abaixo ilustra os perfis acima, juntamente com os dados experimentais. Note que na 
região entre 50y5   , correspondente a região amortecedora, os pontos experimentais 
não coincidem com nenhuma das duas curvas, pois é uma região de transição, mais difícil de 
ser modelada. 
 
 Recomenda-se o modelo padrão para altos números de Reynolds, 
com y+ > 11,5
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Modelo w
 O modelo w pode ser derivado da equação de e
 A viscosidade turbulenta é
w

 *t
   



























 













w
w
w

w

w





w

w


e

e

ee
w
111111
11
2
2
21
cc
cPc
jxjx
ju
jxt
t )()(
 Mesma equação de  que o modelo e, reescrevendo o termo de 
destruição em função de w
 Modelo recomendado para escoamento cisalhantes livres, com y+ < 5
Modelo w SST
 Combinação dos modelo e e w . Na região da parede 
emprega w e longe da parede e
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ESCOAMENTO HIDRODINÂMICAMENTE
DESENVOLVIDO TURBULENTO
 a tensão na parede é
nos escoamentos hidrodinâmicamente desenvolvidos em tubos 
horizontais, tanto no regime laminar quanto turbulento, a queda de pressão 
é somente devido às tensões tangenciais nas paredes da tubulação.
 
  





 r
rrx
p 1
0
2
r
x
p



2
)(
R
x
p
Rrs


 
No entanto, o perfil de velocidade varia substancialmente para cada regime 
de escoamento pois a relação entre a tensão cisalhante e o gradiente de 
velocidade não é a mesma. Como já foi visto, no regime turbulento
tefeft
r
u
r
u
 





 ;)(
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Para avaliar o perfil de velocidade, precisamos de um modelo de turbulência
para determinar a viscosidade turbulenta. Por outro lado, podemos utilizar
dados empíricos.
Para um tubo liso, o perfil de velocidade pode ser aproximado pela “lei de
potências” de forma análoga ao regime turbulento na camada limite
n
R
r
u
u
/1
max
1 





maxuU 
O expoente n depende do
número de Reynolds, baseado
na velocidade máxima
e no diâmetro, de acordo com a
figura
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 Conhecido o perfil de velocidade, a velocidade média pode ser facilmente obtida 
 
 
R
A
TTm rdrudAuAuQ
T 0
2   
)12()1(
2 2
max 

nn
n
u
um 
 
 Naturalmente que a relação entre a velocidade média e máxima depende do expoente n. 
Quanto maior o número de Reynolds, maior é o expoente n e mais achatado é o perfil de 
velocidade, maior é a tensão cisalhante. Note que a relação entre a velocidade média e 
máxima para o regime laminar em um tudo 
circular é 1/2. 
 
 A figura ao lado ilustra uma comparação 
entre o perfil de velocidade no regime 
laminar e no regime turbulento para 
diferentes expoentes. 
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Na prática, com muita freqüência, especifica-se o expoente n =7 independente 
do número de Reynolds.
Vale ressaltar que a hipótese de velocidade uniforme na seção transversal é 
uma péssima aproximação no caso de regime laminar. Já para o regime 
turbulento, é uma aproximação razoável, especialmente para altos Reynolds. 
O lei 1/n aproxima bem o perfil de velocidade em quase todo o domínio, com 
exceção da região próximo à parede, não sendo possível estimar o atrito a partir 
deste perfil.
Utiliza-se então dados empíricos para estimar o fator de atrito, o qual depende 
não só do número de Reynolds, mas da rugosidade relativa da tubulação. 
O fator de atrito nada mais é do que uma queda de pressão adimensional ou 
tensão cisalhante na parede adimensional
22
2
1
4
2
1
m
s
m uu
D
x
p
f








)/(Re, Dff e
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A rugosidade relativa
depende do material
da tubulação e do
diâmetro da mesma
O fator de atrito pode ser
avaliado a partir do
diagrama de Moody
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 A representação gráfica é conveniente e facilita a determinação do 
fator de atrito, no entanto, quando desejamos utilizar de forma 
sistemática em um programa de computador por exemplo, é 
desejável, representar a informação do diagrama de Moody por uma 
correlação.
 A correlação mais utilizada é a fórmula de Colebrook
 A correlação de Colebrook é uma equação transcendental, isto é, não 
é possível explicitar o valor do fator de atrito. É necessário resolver de 
forma iterativa. Miller recomenda como estimativa inicial para o 
processo iterativo, a seguinte expressão
 Com essa inicialização, obtém-se um resultado dentro de 1% com 
apenas uma iteração. 
2
9,0Re
74,5
7,3
/
log25,0














D
fo
e









5,05,0 Re
51,2
7,3
/
log0,2
1
f
D
f
e
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22
Exercício 1: Deseja-se bombear água a 20 C [ = 1000 kg/m3;  = 0,001 Pa s] 
em um tubo circular liso. O diâmetro interno é D = 3 cm. A tubo possui L = 20 
m de comprimento. Deseja-se uma vazão de = 0,4 kg/s. Qual a potência de 
bombeamento necessária?
m
 PVAPVFPot
2
1
2
1
2
2
m
m
h
V
D
f
L
P
dx
dp
V
D
dx
dp
f



















23001061
4 4  ,Re


D
m
A
DmDV
t
hm 
02501061 4 ,,Re  f
sm
DA
V
t
m /,5660
4
2







s
mm 34104 


W
V
D
L
fPPot m 0671
2
2
, 

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Exercício 2: Determine o nível h do reservatório para manter a vazão 
indicada:
 Tubulação lisa: e=0
 Q= 0,03 m3/s
 D = 75 mm
 Entrada do tubo: k = 0,5
 Saída: patm
 Viscosidade:  = 10-3 kg/(ms)
 Massa específica:  = 103 kg/m3
L=100m
Q
h
z D= 75 mm
   








  










 ,2
W
m g
p
g
V
g
z
p
g
V
g
z h
e
L
2 2
2
2
1 1
2
1 12 2 
1
2
entradatubo LLL
atme
hhh
hzz
PppW



21
12
12
0
0
,
;



 
t
V C SC
d V n d A    
.
 
0
)(
, D
L
fk
g
V
h
g
V
h L  1
22
2
2
2
2
21
g
V
D
L
fh mLtubo 2
2

s
m
A
Q
V
A
A
VVAVAVQcte
t
79600
2
2
1
2
212211 ,;;;;  

230010095 5  ,Re

 hmDV









e

5,0
fRe
51,2
7,3
D/
log0,2
f
1 h
5,0
g
V
kh mLAC 2
2

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24
m
D
L
fk
g
V
h
g
V
h L 644
0750
100
013110501
8192
796
1
22
22
2
2
2
21
,)
,
,,(
,
,
)(
,












50509000
512
02
1
50 ,
,
log,
,
ff
•estimativa inicial de Miller 
2
9,0
h
o
Re
74,5
7,3
D/
log25,0f














e

010095 5  e


;,Re hm
DV
013050
509000
745
250
2
90
,
,
log,
,



















of









e

5,0
fRe
51,2
7,3
D/
log0,2
f
1 h
5,0
013120
50013050509000
512
02
1
50
,
,,
,
log,
,










 f
f
•segunda iteração:
•terceira iteração: convergiuf
f
013110
50013120509000
512
02
1
50
,
,,
,
log,
,











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25
Exercício 3: Água com  = 1000 kg/m3 e n/ = 1 x 10-6 m2/s é bombea-
da entre dois reservatórios com a vazão Q = 5,6 x 10-3 m3/s através de 
uma tubulação de L=120 m e D= 50 mm de diâmetro. A rugosidade 
relativa do tubo é e / D=0,001. Calcule a potência necessária da bomba.
Dados de coeficiente de perda de carga:
•Entrada canto vivo: k=0,5
•Saída canto vivo: k=1,0
•Válvula globo aberta: k=1,0
•Joelho a 90o: k=0,9
•Válvula de gaveta ½ aberta: k=0,1
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26
   








  










 ,2
W
m g
p
g
V
g
z
p
g
V
g
z h
e
L
2 2
2
2
1 1
2
1 12 2   

g
V
k
g
V
D
L
fhhh
mHzzmzmzPpp
t
ac
t
LLL
atm
ACtubo 22
30366
22
122112
21,
;;;


 
t
V C SC
d V n d A    
.
 
0 0852
4
0 2122211
 VV
s
m
D
Q
VAVAVAVQcte tttt
;,;;;




 














 
g
V
k
D
L
fHgQhHgQW tacLe
2
2
21

,

Qm 
0010
10411 5
./
,Re


D
DVt
e


0210, f
HPWWW eb 870654
2
852
10902010150
0750
120
01030106510
2
33 ,
,
,,,,,
,
,, 
















 
Bomba: trabalho é fornecido: <0
Angela Nieckele – PUC-Rio
27
Exercício 4: Considere a 
instalação da figura ao lado. O 
tubo possui uma rugosidade 
relativa de e/D = 0,001 e possui 
um diâmetro D= 100 mm. 
Determinar a vazão máxima da 
instalação. Considerar as perdas 
localizadas somente na válvula 
de gaveta.
H=2,4m
L=180m
D=100mm
Q


 
t
V C SC
d V n d A    
.
 
0 00
1
2
212211 

A
A
VVAVAVQcte
t
;;;
   








  










 ,2
W
m g
p
g
V
g
z
p
g
V
g
z h
e
L
2 2
2
2
1 1
2
1 12 2 
LvalvulaLL
atme
hhh
Hzz
PppW
tubo



21
12
12
0
0
,
;

g
V
D
L
fh mLtubo 2
2

)(
D
LL
f
Hg
V
eq


1
2
2)(, D
LL
f
g
V
h
g
V
H
eq
L

 1
22
2
2
2
2
21
g
V
D
L
fh m
eq
LAC 2
2










e

5,0
fRe
51,2
7,3
D/
log0,2
f
1 h
5,0
Não conhece a vazão, não tem como calcular o Reynolds, para determinar f


 hm
DV
Re
Angela Nieckele – PUC-Rio
28
)(
D
LL
f
Hg
V
eq


1
2
2
Estimativa inicial: fluido ideal sem 
perda ou um valor de f típico 
(0,02):
18081
08847
8
10
180
1
08847
1
2
2
f
f
D
LL
f
Hg
V
eq 






,
)
,
(
,
)(
smVf /,, 261020 2 
m
hm V
DV 510


Re
510261  ,Re
2ª estimativa inicial: 510261  ,Re smVf /,, 07510220 2 
5100751  ,Re
3ª estimativa inicial: 5100751  ,Re smVf /,, 05210230 2  convergiu