A3-_Principais_distribuies_discretas

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ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Dr. Antonio Fernando Branco Costa
fbranco@unifei.edu.br
EPR503
Prof. Antonio Fernando Branco Costa - IEPG 1
https://mega.nz/file/w3Ig0DiS#zEt4V_n3NnWGghFudg5sqMTn0JJZSirmR0MdWEBVROc
2
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Experimento: 
Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior. 
Seja: 
x1 = número da face superior do 1º dado
x2 = número da face superior do 2º dado.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Espaço Amostral “S”:
3
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Experimento: 
Dois dados equilibrados são lançados e 
observa-se o número da face superior. 
Seja: 
x1 = número da face superior do 1º dado
x2 = número da face superior do 2º dado.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Espaço Amostral “S”:
Variável X=0 se x1+x2≤3
=1 se 3 <x1+x2 ≤ 6 
=2 se 6 <x1+x2 ≤ 8 
=3 se 8 <x1+x2 ≤ 10 
=4 se 10 <x1+x2 ≤ 12
Distribuição de probabilidades de X
P[ X=0]=3/36
P[ X=1]=12/36
P[ X=2]=11/36
P[ X=3]=7/36
P [ X=4]=3/36
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Experimento: 
Dois dados equilibrados são lançados e 
observa-se o número da face superior. 
Seja: 
x1 = número da face superior do 1º dado
x2 = número da face superior do 2º dado.
Função distribuição de probabilidades de X
f(X=x)=P[ X=x]= 3/36 se x=0
= 12/36 se x=1 
= 11/36 se x=2
= 7/36 se x=3 
= 3/36 se x=4
Distribuição de probabilidades de X
P[ X=0]=3/36
P[ X=1]=12/36
P[ X=2]=11/36
P[ X=3]=7/36
P[ X=4]=3/36
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Função distribuição de probabilidades de X
f(X=x)=P[ X=x]= 3/36 se x=0
= 12/36 se x=1 
= 11/36 se x=2
= 7/36 se x=3 
= 3/36 se x=4
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4
36*f(X)
X
Função distribuição de probabilidades da v. a. X
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Função distribuição acumulada da v. a. X
F(X=x)=P[ X ≤ x]= 3/36 se x=0
= 15/36 se 0< x <1 
= 26/36 se 1≤ x<2
= 33/36 se 3≤ x<4
= 36/36 se x=4
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5
36*F(X)
X
Função distribuição acumulada da v. a. X
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Função distribuição de probabilidades de X
f(X=x)=P[ X=x]= 3/36 se x=0
= 12/36 se x=1 
= 11/36 se x=2
= 7/36 se x=3 
= 3/36 se x=4 0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4
36*f(X)
X
Função distribuição de probabilidades da v. a. X
( ) ( ) 0(3 / 36) 1(12 / 36) 2(11/ 36) 3(7 / 36) 4(3 / 36) 1,86i i
i
E X x P x = = = + + + + 
)()()( 22 i
i
i xPxX  −= 
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Distribuição Binomial
Um vendedor visita sempre 5 casas por dia, no intuito de vender um determinado
produto. Sabendo-se que a probabilidade de uma dona de casa comprar tal produto é de
20% e que o lucro por produto vendido é de 12 reais, pergunta-se:
a) Qual o lucro esperado ao final de um dia?
X= número de produtos vendidos. Notação => V: vendeu; N: não vendeu
NNNNN
NNNNV NNNVN NNVNN NVNNN VNNNN
NNNVV NNVNV NVNNV VNNNV NNVVN NVNVN VNNVN NVVNN VNVNN VVNNN
NNVVV NVNVV NVVNV NVVVN VNNVV VNVNV VNVVN VVNNV VVNVN VVVNN
VVVVN VVVNV VVNVV VNVVV NVVVVV
VVVVV
X # eventos 
elementares
0 1
1 5
2 10
3 10
4 5
5 1
S
10
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Distribuição Binomial
Condições do experimento:
(1) ter um número n , fixo de repetições 
independentes
(2) cada repetição tem Distribuição Bernoulli:
“sucesso” “fracasso”
(3) Probabilidade p de sucesso é constante 
ou
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Distribuição Binomial
Seja X: variável aleatória Binomial
n: número de repetições
k: número de sucessos; k=0,1,...,n
P(X=k): probabilidade de k “sucessos” em 
n repetições
P X k
n
k
p qk n k( )= =






−
( )!!
!
knk
n
k
n
−
=








E (x) = n.p 2 (x) = n.p.q
12
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Distribuição Binomial
Um vendedor visita sempre 5 casas por dia, no intuito de vender um determinado
produto. Sabendo-se que a probabilidade de uma dona de casa comprar tal produto é de
20% e que o lucro por produto vendido é de 12 reais, pergunta-se:
a) Qual o lucro esperado ao final de um dia?
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
https://stattrek.com/online-calculator/binomial.aspx
Repetição de um experimento com distribuição 
de Bernoulli (sucesso ou fracasso) até obtenção 
do primeiro sucesso.
Condições do experimento:
• repetições independentes
• mesma probabilidade de sucesso p
...,,,)( 3211 === − kqpkXP k
Distribuição Geométrica
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Distribuição Geométrica
Um vendedor visita um número grande de casas, no intuito de vender um
determinado produto. Sabendo-se que a probabilidade de uma dona de casa comprar
tal produto é de 20%, pergunta-se:
b) Qual a probabilidade do vendedor vender o primeiro produto na terceira casa 
visitada?
p=0,20: probabilidade de vender o produto (sucesso)
q=0,80: probabilidade de não vender o produto (fracasso)
( ) 128,08,02,0)3( 13 === −XP
...,,,)( 3211 === − kqpkXP k
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c) Sabendo que nas duas primeiras casas o vendedor não vendeu nenhum produto, 
qual a probabilidade dele vender na terceira casa visitada?
)2(
)3(
)2(
)23(
)23(

=
=

=
==
XP
XP
XP
XXP
XXP
    64,08,02,08,02,01)2()1(1)2( 10 =+−==+=−= XPXPXP
Portanto:
2,0
64,0
128,0
)23( === XXP 2,08,02,0)1( 0 ===XP
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Distribuição Geométrica
Repetição de um experimento com distribuição de Bernoulli (sucesso ou fracasso) 
até obtenção do r-ésimo sucesso.
Condições do experimento:
• provas independentes
• mesma probabilidade de sucesso p
r-ésimo sucesso ocorre na k-ésima tentativa
k-1 tentativas anteriores houve r-1 sucessos
rkr qp
r
k
kXP −








−
−
==
1
1
)(
Distribuição de Pascal
...,,, 21 ++= rrrk
p
r
XE =)( 2
2
p
qr
X

= )(
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Distribuição de Pascal
Um vendedor visita um número grande de casas, no intuito de vender um determinado
produto. Sabendo-se que a probabilidade de uma dona de casa comprar tal produto é
de 20%, pergunta-se:
d) Qual a probabilidade do vendedor vender dois produtos, coincidindo do segundo 
produto ser vendido justamente na quinta casa visitada?
( ) 08192,08,02,0
12
15
)5( 252 =





−
−
== −XP
rkr qp
r
k
kXP −








−
−
==
1
1
)(
p=0,20: probabilidade de vender o produto (sucesso)
q=0,80: probabilidade de não vender o produto (fracasso)
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. Notação => V: vendeu; N: não vendeu
VNNNV
NVNNV
NNVNV
NNNVV
Distribuição de Pascal
Um vendedor visita um número grande de casas, no intuito de vender um determinado
produto. Sabendo-se que a probabilidade de uma dona de casa comprar tal produto é
de 20%, pergunta-se:d) Qual a probabilidade do vendedor vender dois produtos, coincidindo do segundo 
produto ser vendido justamente na quinta casa visitada?
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https://stattrek.com/online-calculator/negative-binomial.aspx
Considere que num lote de 20 (N) peças existam 4 (r) defeituosas. Selecionando-se 5 (n) 
dessas peças, sem reposição, qual seria a probabilidade de 2 (k) defeituosas terem sido 
escolhidas?
X: v. a. que indica o número de peças defeituosas
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Distribuição Hipergeométrica
Difere da Distribuição Binomial somente porque as repetições do experimento são 
feitas sem reposição.
Seja:
N: conjunto de elementos
r : subconjunto com determinada característica
n: elementos são extraídos sem reposição
X: número de elementos com tal característica
Distribuição HipergeométricaEPR503
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[ ]
r N r
k n k
P X k
N
n
−  
  
−  = =
 
 
 
Considere que num lote de 20 peças existam 4 defeituosas. Selecionando-
se 5 dessas peças, sem reposição, qual seria a probabilidade de 2 
defeituosas terem sido escolhidas?
X: v. a. que indica o número de peças defeituosas
217,0
5
20
25
420
2
4
)2( =












−
−






==XP
N: conjunto de elementos
r : subconjunto com determinada característica
n: elementos são extraídos sem reposição
X: número de elementos com tal característica
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[ ]
r N r
k n k
P X k
N
n
−  
  
−  = =
 
 
 
Distribuição Hipergeométrica
Notação => D defeituosa; N: não defeituosa
DNNND
4/20 16/19 15/18 14/17 3/16
DDNNN
NNNDD.......
Considere que num lote de 20 peças existam 4 defeituosas. Selecionando-se 5 
dessas peças, sem reposição, qual seria a probabilidade de 2 defeituosas terem 
sido escolhidas?
N: conjunto de elementos
r : subconjunto com determinada característica
n: elementos são extraídos sem reposição
X: número de elementos com tal característica
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Distribuição Hipergeométrica
https://stattrek.com/online-calculator/hypergeometric.aspx
https://stattrek.com/online-calculator/hypergeometric.aspx
Exemplo: Uma fábrica tem sua produção composta de 30% da
máquina A, 20% da máquina B e 50% da máquina C. Retirando-se 9
peças da produção
a) Qual a probabilidade de serem 4 da máquina A, 2 da máquina B e 
3 da máquina C?
rk
r
k
r
rr pp
kkk
n
kXkXkXP ==== 11
21
2211
!!...!
!
);...;(
Distribuição Polinomial ou Multinomial
( ) ( ) ( ) 0510,05,02,03,0
!3 !2 !4
!9
)3;2;4(
324
321 ===== XXXP
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Distribuição de PoissonEPR503
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X: Número de sucessos em um determinado intervalo 
contínuo (tempo, comprimento, superfície, volume, etc).
Exemplos: 
✓ Número de pessoas que chegam na rodoviária no período de 1 h.
✓ Número de defeitos em barras de aço 5 m.
✓ Número de focos de incêndio por hectare.
Distribuição de Poisson
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Hipóteses:
1. O número de sucessos em intervalos não sobrepostos constituem variáveis 
aleatórias independentes.
Evento A: Chegar 15 pessoas na rodoviária no intervalo das 8:00 as 9:00
Evento B: Chegar 12 pessoas na rodoviária no intervalo das 9:00 as 10:00
P[B|A]=P[B]
Distribuição de Poisson
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Hipóteses:
2. A probabilidade do número de sucessos em qualquer intervalo depende apenas da 
sua dimensão. Por outras palavras, em intervalos de mesma dimensão são iguais as 
probabilidades de ocorrência de um mesmo número de sucessos.
Evento A: Chegar 15 pessoas na rodoviária no intervalo das 8:00 as 9:00
Evento B: Chegar 15 pessoas na rodoviária no intervalo das 9:00 as 10:00
P[A]=P[B]
Evento A: Chegar 15 pessoas na rodoviária no intervalo das 6:00 as 9:00
Evento B: Chegar 15 pessoas na rodoviária no intervalo das 9:00 as 10:00
P[A]>P[B]
Distribuição de Poisson
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Hipóteses:
3. A probabilidade de obter dois ou mais sucessos em um intervalo suficientemente 
pequeno é desprezível.
Distribuição de Poisson
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Distribuição de Poisson
Onde k: número de sucessos no intervalo t (k=0,1,...,n)
t: comprimento total do intervalo
: freqüência média de sucessos
(Ex.: chegadas/ hora; defeitos /metro)
!
)(
)(
k
te
kXP
kt 
==
−
( )


===
−

=
 t
k
te
kXE
kt
k !
)(
0
( ) ( )
( )
 



2 2
0
X k t
e t
k
t
t k
k
= − =
−
=


!
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Exemplo: Num processo de fabricação de alumínio aparecem em média uma falha a
cada 400 m (0,0025 falhas/m = ).
Qual a probabilidade de ocorrer 3 falhas em 1000m?
P X
e e
( )
!
,
!
,
,
= = = =
− −
3
3
2 5
3
0 2138
3 2 5 3
Distribuição de Poisson
E(x) =  =t = 0,0025 falhas/m 1000 m = 2,5 falhas k = 3
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Distribuição de Poisson
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https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
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Ex.: Em uma experiência de laboratório passam, em média, por um contador, quatro
partículas radioativas por milissegundo. Qual a probabilidade de entrarem no contador seis
partículas em determinado milissegundo?
Utilizando a distribuição de Poisson com λ = 4, então:
1042.0
!6
4
)6(
64
===
−e
XP
No Minitab use: <Calc> <Probability Distribution> <Poisson>
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Ex.: Uma central telefônica recebe em média
300 chamadas por hora e pode processar no
máximo 10 ligações por minuto. Estimar a
probabilidade de a capacidade da mesa ser
ultrapassada.
Temos agora:
λ = 300/60 = 5 chamadas/minuto em média
%4,1014.0986.01)10(1)10( ==−=−= XPXP
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Aproximação da Distribuição Binomial
P X k
n
k
p pk n k( ) ( )= =





 −
−1
!
)(lim
k
e
kXP
k
n
−
→
==
Seja X uma v.a. distribuída binomialmente com parâmetro p
(baseado em n repetições de um experimento). Isto é,
Admita-se que quando n →, p →0 e np → .
Nessas condições é possível demonstrar uma importante consideração:
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Ex.: A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa a certa
injeção é de 0,001. Determinar a probabilidade de que de 2.000
indivíduos injetados, exatamente 3 tenham reação negativa.
Usando a distribuição binomial com n = 2.000 e p = 0.001 temos:
19973 )999.0()001.0(
3
2000
)3( 





==XP
O cálculo desses números dá origem a considerável dificuldade. Pela 
aproximação de Poisson, temos:
1804.0
!3
2
)3(
32
===
−e
XP
2)001.0)(2000( === np
Aproximação da Distribuição Binomial
40
http://brancocosta.atwebpages.com/distribuicoes-discretas/
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