Resolvidos-Lagrangiana

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Revisão de Equações de Euler-Lagrange
Alexandre Masson Vicente
20/05/2021
O algoritmo utilizado para a resolução desta lista se desdobra em três etapas: Análise Cinemática,
Análise Dinâmica e Aplicação das Equações de Euler-Lagrange. Na primeira etapa, procura-se detalhar
caracteŕısticas geométricas do movimento do sistema, avaliando os v́ınculos e definindo coordenadas
pertinentes à sua descrição. No segundo estágio, avalia-se os agentes causadores do movimento, no caso
da Mecânica Lagrangiana, como se dão os acréscimos de energia potencial que levarão o sistema a ganhar
ou perder energia cinética. Por último, de posse das coordenadas associadas aos graus de liberdade e da
definição de uma função potencial (válida apenas para sistemas conservativos), utiliza-se as Equações de
Euler-Lagrange para se obter as equações diferenciais que representam a evolução deste sistema. Este
tipo de procedimento é inspirado em métodos trabalhados na Referência [1]. Por fim, respostas de cada
exerćıcio se encontram, em cada sessão, reunidas na subsessão intitulada Śıntese.
Sumário
1 O Problema de um bloco que desliza sobre uma rampa móvel 1
1.1 Análise Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Análise Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Energia Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Equações de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Evolução do sistema na coordenada x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Evolução do sistema na coordenada w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Śıntese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 O Problema da Máquina de Atwood Pendular 6
2.1 Análise Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Vı́nculos e graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Cálculo de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Análise Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Energia Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Equações de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Soluções Aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Śıntese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bibliografia 15
1 O Problema de um bloco que desliza sobre uma rampa móvel
Seja um bloco de massa m, em contato com uma rampa de massa M , apoiada em uma superf́ıcie
horizontal. O bloco está livre para se mover sobre a rampa, enquanto esta última está solta sobre a
superf́ıcie, conforme mostra a figura abaixo:
1
Figura 1: Bloco deslizando sobre rampa móvel.
Exerćıcio
Calcule a lagrangiana do sistema de part́ıculas apresentado, a aceleração da rampa em relação à
superf́ıcie horizontal e a aceleração do bloco em relação à rampa.
1.1 Análise Cinemática
A rampa se move apenas na direção horizontal e o bloco somente ao longo da direção do maior com-
primento dela. Dada a independência de tais movimentos, pode-se utilizar duas coordenadas para a
descrição deste sistema, uma para medir o movimento da rampa a partir do referencial inercial, deno-
tado OXY , e outra para medir o deslocamento do bloco em relação à rampa, um referencial que se move
junto a ela, aqui denotado por O′W . As coordenadas medidas pelos referenciais inercial e móvel serão
chamadas de x e w, respectivamente, e são ilustradas na figura que segue:
Figura 2: Ilustração das coordenadas do sistema.
A partir desta escolha de coordenadas, pode-se posicionar tanto o bloco quanto a rampa, cujas localizações
são dadas, respectivamente, pelos vetores ~r2 e ~r1:
~r2 = xX̂. (1)
~r1 = (x+ w cosα) X̂ + w senα Ŷ . (2)
Uma vez calculadas as posições, basta aplicar o operador d
dt
a elas para computar as velocidades:
2
~̇r2 = ẋX̂. (3)
~̇r1 = (ẋ+ ẇ cosα) X̂ + ẇ senα Ŷ . (4)
1.2 Análise Dinâmica
1.2.1 Energia Potencial
Além das coordenadas, a Figura 2 mostra o campo gravitacional uniforme ao qual o sistema está sujeito,
−gŶ , utilizado no cálculo da força aplicada a cada part́ıcula:
~Fi = −migŶ , (5)
para i = 1, 2.
Como as forças aplicadas são de natureza conservativa, é posśıvel associar a elas uma diferença de
potencial. A ńıvel infinitesimal, essa diferença é o valor negativo do trabalho realizado pela força sobre
a part́ıcula no limite quando seu deslocamento tende a zero:
dVi = ~Fi · d~ri, (6)
para i = 1, 2.
A integral avaliada entre o ińıcio e o fim da trajetória da i-ésima part́ıcula leva à diferença de potencial
à qual ela está sujeita entre os dois pontos:
∆Vi = Vi (~ri)− Vi
(
~0
)
= −
∫ ~ri
~0
~Fi · d~ri, (7)
para i = 1, 2
A diferença de potencial total do sistema de part́ıculas é
∆V = Vfim − Vińıcio =
2∑
i=1
Vi (~ri)−
2∑
i=1
Vi
(
~0
)
= −
2∑
i=1
∫ ~ri
~0
~Fi · d~ri. (8)
Os deslocamentos infinitesimal do bloco e da rampa são definidos pelos acréscimos efetuados em suas
posições,
d~r2 = dxX̂ (9)
e
d~r1 = (dx+ dw cosα) X̂ + dw senα Ŷ . (10)
Assumindo m1 = m, m2 = M , V1
(
~0
)
= V2
(
~0
)
= 0 e chamando o potencial do sistema na situação final
das trajetórias de Vfim = V , a inserção de (5), (10) e (9) em (8) resulta em uma função potencial total
dada por:
V = mgw senα, (11)
que é a energia potencial total deste sistema.
3
1.2.2 Energia Cinética
Para o cálculo da energia cinética total, basta somar as parcelas associadas a cada part́ıcula,
T =
2∑
i=1
1
2mi~̇ri · ~̇ri. (12)
Considerando m1 = m, m2 = M , (3) e (4), (12) é atualizada para a relação que segue:
T = (M +m)2 ẋ
2 + m2 ẇ
2 +mẋẇ cosα (13)
1.3 Equações de Euler-Lagrange
De posse das energias potencial e cinética em termos das coordenadas generalizadas x e w, basta aplicar
uma Equação de Euler-Lagrange a cada uma delas para a obtenção das equações de movimento do
sistema.
1.3.1 Evolução do sistema na coordenada x
A Equação de Euler-Lagrange para a coordenada x é
d
dt
[
∂ (T − V )
∂ẋ
]
= ∂ (T − V )
∂x
. (14)
1o. Resultado Complementar: Conservação do momento linear na direção X
Note que a coordenada x não comparece explicitamente no funcional T − V . Por essa razão, o
momento conjugado à coordenada x, ∂ (T − V )
∂ẋ
, se conserva. E, especificamente para este caso,
este momento conjugado é o próprio momento linear na direção do eixo X, pX =
∂ (T − V )
∂ẋ
:
pX = (M +m)ẋ+mẇ cosα = constante, (15)
o mesmo resultado previsto pela Mecânica Newtoniana, já que a ausência de forças na direção X
implica na conservação do momento linear na referida direção.
Utilizando os funcionais V e T , calculados em (11) e (13), em (14), verifica-se que ẍ e ẅ são quantidades
proporcionais, já que
ẍ = − m(m+M) ẅ cosα. (16)
1.3.2 Evolução do sistema na coordenada w
A Equação de Euler-Lagrange para a coordenada w é
d
dt
[
∂ (T − V )
∂ẇ
]
= ∂ (T − V )
∂w
. (17)
Combinando (11) e (13) com (17), chega-se a
ẍ cosα+ ẅ = −g senα. (18)
4
2o. Resultado Complementar: Bloco deslizante sobre rampa solidária ao chão
A expressão para ẍ presente em (16) revela a medida do efeito de aceleração da rampa em
consequente do deslizamento do bloco. Se a massa do bloco for muito pequena em comparação à
da rampa, ele não será capaz de fazê-la acelerar.A rampa, por sua vez, ao possuir uma aceleração
despreźıvel, caso ela esteja inicialmente em repouso, ela assim permanecerá. Ou seja, neste caso
limite, o processo é idêntico ao caso de um bloco deslizando sobre uma rampa em repouso.
lim
m
M
→ 0
ẍ = 0⇒ ẅ → −g senα. (19)
A expressão acima para ẅ é a mesma de (18) no limite de baixa aceleração da rampa, resultado
esperado no deslizamento sem atrito de uma massa no plano inclinado.
Resolvendo o sistema de equações dado por (16) e (18), chega-se aos valores de ẍ e ẅ:
(
ẍ
ẅ
)
=
[
1 m cosα(m+M)
cosα 1
]−1(
0
−g senα
)
= 1[
1− m cos
2 α
(m+M)
] [ 1 − m cosα(m+M)
− cosα 1
](
0
−g senα
) (20)
(
ẍ
ẅ
)
=

m
2 (M +m sen2 α)g sen 2α
−g senα[
1− m cos
2 α
(m+M)
]
 (21)
1.4 Śıntese
A lagrangiana do sistema, cujo cálculo é exigido no enunciado do exerćıcio, é a diferença entre as energias
cinética e potencial,
L = T − V. (22)
Outras quantidades exigidas no enunciado são acelerações da rampa em relação ao chão e do bloco
em relação à rampa. Estes vetores que são definidos a partir da segunda derivada da localização das
part́ıculas do sistema ilustrado abaixo:
5
Figura 3: Posição das part́ıculas do sistema.
Denotando o ponto que o bloco ocupa no plano de B, observa-se, da figura acima, que a posição do
bloco no referencial solidário à rampa se dá pelo segmento orientado ~r ′ =
# »
O′B = w Ŵ . Por outro lado,
a rampa é localizada no referencial inercial pelo segmento orientado ~r2 =
# »
OO′ = x X̂. Como os versores
Ŵ e X̂ não variam no tempo, as acelerações correspondentes são dadas pelas derivadas segundas de cada
coordenada nas referidas direções:
~̈r2 = ẍ X̂ (23)
~̈r ′ = ẅ Ŵ (24)
Solução do Exerćıcio
Combinando (22) com (13) e (11), chega-se à lagrangiana
L = (M +m)2 ẋ
2 +m
(
ẇ2
2 + ẋẇ cosα− wg senα
)
(25)
Utilizando as entradas da matriz coluna de (21) em (23) e (24), obtém-se os vetores aceleração
da rampa em relação ao chão e do bloco em relação à rampa,
~̈r2 = X̂
m
2 (M +m sen2 α)g sen 2α (26)
e
~̈r ′ = −g senα[
1− m cos
2 α
(m+M)
] Ŵ . (27)
2 O Problema da Máquina de Atwood Pendular
Seja a Máquina de Atwood modificada através da indução de um movimento pendular a uma de suas
massas, conforme mostra a figura a seguir:
6
Figura 4: Máquina de Atwood Pendular.
Exerćıcio
Mostre os v́ınculos do sistema, calcule o número de graus de liberdade para o mesmo, construa
a sua lagrangiana e, por fim, obtenha as equações de movimento através das Equações de Euler-
Lagrange.
2.1 Análise Cinemática
A máquina possui duas polias, de centros fixos ao teto, separados por uma distância D. É escolhido um
referencial inercial cuja origem coincide com o centro da direita, para medir as quantidades cinemáticas
das part́ıculas:
7
Figura 5: Atribuição de coordenadas ao sistema.
De ińıcio, o enunciado sugere 2 coordenadas, r e θ, em função das quais as componentes do vetor posição
da part́ıcula de massa M deverão ser definidas. E para o ponto de massa m, que varia sua distância
até o centro da polia da esquerda durante o movimento, é intuitivo atribuir uma terceira coordenada,
denotada na última figura por w.
2.1.1 Vı́nculos e graus de liberdade
Porém, as 3 coordenadas, r, θ e w, não são independentes, uma vez que há uma restrição que conecta r
a w. Este v́ınculo diz respeito ao comprimento total do fio que passa pelas polias e conecta as massas: o
comprimento total, denotado por `, é a soma dos comprimentos que vão da massa m até a polia esquerda,
da polia esquerda até a direita e desta última até a massa M ,
w +D + r = `. (28)
A equação acima deixa claro que w pode ser escrita em função de r e vice versa. Para os demais
passos de resolução do problema, será escolhida r como uma das coordenadas em função da qual as
quantidades cinemáticas dependerão. E como r e θ são independentes, elas são suficientes para especificar
a configuração da Máquina de Atwood Pendular de maneira uńıvoca, representando, portanto, os graus
de liberdade deste sistema:
Ngraus de liberdade = Ncoordenadas −Nv́ınculos (29)
A equação acima mostra como se dá o cálculo do número de graus de liberdade que um sistema possui.
Neste estudo de caso, haviam Ncoordenadas = 3 coordenadas (r, θ e w) e o v́ınculo descrito pela Equação
(28), ou seja, Nv́ınculos = 1 v́ınculo. Isso implica na existência de Ngraus de liberdade = 2 graus de liberdade,
representados agora pelas coordenadas r e theta, uma vez que optou-se por deixar w em função de r:
w = `−D − r. (30)
8
2.1.2 Cálculo de velocidades
Dada a simplicidade do Problema da Máquina de Atwood Pendular, não serão calculados os vetores
posição e velocidade de cada part́ıcula de forma expĺıcita. Basta calcular os quadrados das normas
das velocidades, quantidades que serão usadas na definição da energia cinética do sistema. Para obter
o quadrado da norma da velocidade da massa m, ‖~v1‖2, aplica-se o operador
d
dt
a (30) e se eleva o
resultado ao quadrado,
‖~v1‖2 = ẇ2 = ṙ2. (31)
A velocidade da massa M , ~v2, em coordenadas polares, possui uma componente na direção radial, ṙ, e
uma componente na direção transversal, rθ̇. Portanto, o quadrado da norma de sua velocidade é a soma
do quadrado das componentes,
‖~v2‖2 = ṙ2 + r2θ̇2. (32)
2.2 Análise Dinâmica
2.2.1 Energia Potencial
Para o cálculo da energia potencial, somente coordenadas associadas a deslocamentos na direção vertical
importam, já que a força peso, ~F , só realiza trabalho nessa direção. Além disso, o acréscimo infinitesimal
de deslocamento vertical da part́ıcula, d~S, é um segmento orientado com o mesmo sentido da orientação
de eixo. Quando esta última coincide com o sentido da força peso, o trabalho realizado por ela no trajeto
é positivo, porém, a diferença de energia potencial, que é o valor negativo deste trabalho, é negativa,
conforme mostra a figura abaixo:
Figura 6: Energia potencial gravitacional para referência de potencial nulo coincidente com origem do
eixo e quando este último é orientado para baixo.
A figura acima mostra o cálculo da diferença de energia potencial mencionada e indica que essa diferença
coincide com a energia potencial na coordenada da part́ıcula quando o ńıvel de potencial nulo é escolhido
na origem do eixo vertical. Portanto, as energias potenciais das massas m e M são da forma
V1 = −mgw (33)
V2 = −mgx (34)
Da Figura 5, sabe-se que x = r cos θ. Levando em conta isso e a Equação (30), a energia potencial total,
V − V1 + V2, assume a forma
9
V = (m−M cos θ) gr +mg (D − `) . (35)
2.2.2 Energia Cinética
A energia cinética total da máquina é dada pelas contribuições individuais das massas,
T = m ‖~v1‖
2
2 +
M ‖~v2‖2
2 . (36)
Reescrevendo este funcional em função das coordenadas através das relações contidas em (31) e (32),
tem-se que
T = M +m2 ṙ
2 + M2 r
2θ̇2. (37)
2.3 Equações de Euler-Lagrange
De posse das energias potencial e cinética, expressas em (35) e (37), pode-se definir a lagrangiana da
Máquina de Atwood Pendular, L = T − V ,
L = M +m2 ṙ
2 + M2 r
2θ̇2 − (m−M cos θ) gr −mg (D − `) . (38)
Visando escrever as equações de Euler-Lagrange em um formato compacto, pode-se definir uma matriz
coluna de coordenadas generalizadas, q, e também uma para as velocidades generalizadas, q̇:
q =
(
r
θ
)
. (39)
q̇ =
(
ṙ
θ̇
)
. (40)
Assim, as Equações de Euler-Lagrange são enunciadas através da seguinte equação matricial
∂t∂q̇L = ∂qL, (41)
que resulta nas equações diferenciais ordinárias
θ̈ = −2ṙθ̇
r
− g sen θ
r
(42)
e
r̈ = rθ̇
2
1 + µ +
(
cos θ − µ
1 + µ
)
g, (43)
onde µ = m
M
.
10
Resultado Complementar: Máquina de Atwood
Na ausência do movimento pendular da massa M , ou seja, θ̇ = 0 e θ = 0, (43) se reduz a
r̈ =
(
1− µ
1 + µ
)
g, (44)
exatamente o valor de aceleração da massa M na Máquina de Atwood.
2.4Soluções Aproximadas
(42) e (43) formam um sistema equações diferenciais ordinárias não-lineares de alta sensibilidade paramétrica
no que diz respeito às suas propriedades de inércia e às condições iniciais prokopenya2017motion. O
acoplamento entre os graus de liberdade dificulta o isolamento de cada derivada de segunda ordem
como função exclusiva de suas primitivas correspondentes, inviabilizando, assim, a procura por fatores
integrantes. Por isso, faz-se necessário o uso de aproximações numéricas para altas amplitudes ou aprox-
imações por funções conhecidas em certos casos limite.
Procurando um exemplo de caso limite, na inspeção de (43), nota-se que para baixas amplitudes, θ →
0 e θ̇ → 0, as funções seno, cosseno e velocidade angular ao quadrado atingem valores aproximados
de, respectivamente, sen θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 e θ̇2 ≈ 0. Isso faz com que a massa M possua aceleração
aproximadamente igual ao valor da Máquina de Atwood [Equação (44)], fazendo com que r obedeça
r = r0 + ṙ0t+
(
1− µ
1 + µ
)
gt2
2 , (45)
onde r0 = 0.5m e ṙ0 = 0.01
m
s
são as condições iniciais na variável r, enquanto g = 9.81 m
s2
e µ = 1.000010.99999
são, respectivamente, o valor do campo gravitacional e a razão entre as massas da máquina. Essa
aproximação de r por uma parábola leva θ a se comportar segundo o seguinte oscilador:
θ̈ ≈ −2
 ṙ0 +
(
1− µ
1 + µ
)
gt
r0 + ṙ0t+
(
1− µ
1 + µ
)
gt2
2
 θ̇ − gθ
r0 + ṙ0t+
(
1− µ
1 + µ
)
gt2
2
. (46)
(46) é semelhante à equação de um oscilador harmônico amortecido, θ̈ = −2ζωnθ̇ − ω2nθ. No entanto,
este último é um sistema dinâmico linear invariante no tempo, de constantes reais positivas, o fator de
amortecimento (ξ) e a frequência de oscilação ωn
√
(1− ζ2) , cuja solução é uma senóide amortecida,
θ ∝ e−ζω0t sin
(√
1− ζ2ω0t
)
[2]. Pelos parâmetros da Equação (46) não serem constantes, a previsão
da sua resposta temporal não é tão simples quanto seria para o caso de invariância paramétrica. Para
se ter uma idéia, a tentativa de definição de um fator de amortecimento variante no tempo, ξ(t), por
comparação com o oscilador amortecido, o faria assumir o formato
ζ(t) =
ṙ0 +
(
1− µ
1 + µ
)
gt√
r0g + ṙ0gt+
(
1− µ
1 + µ
)
g2t2
2
. (47)
Se não bastasse o fato de ζ não ser constante, com r0 e ṙ0 positivos, essa função parte de t = 0 positiva,
mas tende a assumir valores negativos à medida que o tempo passa, fazendo com que não seja mais
posśıvel interpretá-la como uma medida de perda de energia cinética. Por isso, o oscilador de parâmetros
variantes no tempo, dado por (46), deve ser integrado numericamente para vizualização de sua resposta
temporal.
11
Para a dinâmica da máquina, confrontou-se a aproximação limite dada pelas Equações (45) e (46) com
a aproximação numérica sem hipóteses simplificadoras, dada pelas Equações (42) e (43). As condições
iniciais em θ foram θ0 =
0.1π
180 rad e θ̇0 = 0 e a integração foi executada via Método de Runge-Kutta 4
a.
Ordem, sumarizado a seguir:
Método de Runge-Kutta 4a. Ordem
Seja um sistema dinâmico da forma
ṙ = f , (48)
onde r ∈ Rn é a posição do sistema no Espaço de Estados e f = f (r, t) mede a dependência da
sua velocidade com a trajetória assinalada neste espaço.
O Método de Runge-Kutta 4a. Ordem permite o cálculo de r em um dado instante a partir de f e
das expansões em séries de Taylor desta última (até ordem 4), avaliadas em um instante anterior,
ri+1 = ri +
h
6 [(k1)i + 2 (k2)i + 2 (k3)i + (k4)i]
ti+1 = ti + h, i = 0, 1, . . . , p− 1
(49)
com
(k1)i = f (ri, ti)
(k2)i = f
(
ri +
h
2 (k1)i , ti +
h
2
)
(k3)i = f
(
ri +
h
2 (k2)i , ti +
h
2
)
(k4)i = f (ri + h (k3)i , ti + h)
(50)
e
h = ∆t
p
, (51)
onde ∆t = tfim − tińıcio marca o intervalo entre o ińıcio e o fim da integração, p é o número de
sub-intervalos no qual se deseja fatiar o intervalo para execução das iterações (registradas pela
variável contadora i) e h, definido pelas quantidades anteriores, é o passo de integração.
A simulação se deu em ambiente Matlab/Simulink e resposta temporal em θ encontrada é apresentada
a seguir:
12
Figura 7: Comaração de resposta θ entre os osciladores não-linear (curva azul) e linear com coeficientes
variáveis (curva amarela).
Em t ≈ 245 s, a resposta de (46) diverge, um resultado esperado, dada a limitação deste modelo, no
caso, uma singularidade existente neste instante, valor de tempo que leva o denominador do lado direito
da equação à nulidade, deixando θ̈|t=235 s inexistente.
Na coordenada r, a aproximação r(t) da Equação (44) apresentou um erro relativo à resposta do sistema
não-linear [Equação (43)] menor do que 5% até o instante t ≈ 190 s. No entanto, ainda com o crescimento
do erro nos instantes subsequentes, o sistema não-linear continuou a apresentar o caráter parabólico na
coordenada:
13
Figura 8: Comaração de resposta r entre o sistema não-linear (curva azul) e a lei encontrada para
pequenos ângulos (curva amarela).
2.5 Śıntese
As respostas para o exerćıcio da Máquina de Atwood Pendular, encontradas após os cálculos mostrados
nas subsessões anteriores, estão reunidas no quadro que segue:
Solução do Exerćıcio
O v́ınculo do sistema está na conexão entre a altura da massa m e a distância radial da massa M
à polia da direita, expresso pela Equação (28) e verificável geometricamente através da Figura 5.
Já o número de graus de liberdade é dado pela Equação (29). E como já discutido anteriormente,
foram considerados inicialmente Ncoordenadas = 3 coordenadas (r, θ e w). O v́ınculo holônomo é
o descrito pela Equação (28), ou seja, o sistema possui Nv́ınculos = 1 v́ınculo. Consequentemente,
o sistema possui Ngraus de liberdade = 2 graus de liberdade.
Adicionalmente, a lagrangiana já foi constrúıda pela diferença entre as energias cinética e
potencial [Equações (35) e (37)] e é apresentada na Equação (38).
Por fim, da aplicação das Equações de Euler-Lagrange, foram obtidas as Equações (42) e (43),
que são as equações de movimento da Máquina de Atwood Pendular.
14
Bibliografia
[1] R Douglas Gregory. Classical mechanics. Cambridge University Press, 2006.
[2] Chi-Tsong Chen and Bahram Shafai. Linear system theory and design. Vol. 3. Oxford university
press New York, 1999.
15
	O Problema de um bloco que desliza sobre uma rampa móvel
	Análise Cinemática
	Análise Dinâmica
	Energia Potencial
	Energia Cinética
	Equações de Euler-Lagrange
	Evolução do sistema na coordenada x
	Evolução do sistema na coordenada w
	Síntese
	O Problema da Máquina de Atwood Pendular
	Análise Cinemática
	Vínculos e graus de liberdade
	Cálculo de velocidades
	Análise Dinâmica
	Energia Potencial
	Energia Cinética
	Equações de Euler-Lagrange
	Soluções Aproximadas
	Síntese
	Bibliografia