Estudo das Funções Matemáticas

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ESTUDO DAS FUNÇÕES 
Prof. Wilson Francisco Julio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOGI DAS CRUZES 
2018 
 2
DEFINIÇÃO 
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe o 
nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente 
se, para todo Ax∈ existem um só By∈ tal que fyx ∈),( . 
Uma função é uma aplicação entre conjuntos. As funções descrevem fenômenos 
numéricos e podem ser representadas através de gráficos sobre eixos cartesianos. O 
gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução. Porém, por 
vezes, pode ser mais cômodo trabalhar com a equação ou fórmula da função, já que com 
ela temos à nossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar à variável 
independente, normalmente representada por x , para obter a variável dependente, 
normalmente representada por y . Podemos imaginar que uma função é uma máquina 
em que introduzimos um número x do conjunto de partida, dela saindo o número ).(xf 
Uma função é uma aplicação entre conjuntos numéricos. Para indicar que entre 
dois conjuntos A e B existe uma função utilizamos a notação: .: BAf → 
 
NOTAÇÃO DE FUNÇÃO 
Toda função é uma relação binária de A em B; portanto, toda função é um 
conjunto de pares ordenados. 
Para indicarmos uma função f , definida em A com imagens em B segundo a lei 
de correspondência )(xfy = , usaremos um das seguintes notações: 
ouBAf →: )(xfy = 
Existem várias formas de expressar uma função: ,)(, bxaxfbxay +=+= 
entre outras. 
 
EXEMPLOS 
Observe os diagramas das relações abaixo. 
1) 
 
A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que 
não está associado a nenhum elemento do conjunto B. 
 3
2) 
 
A relação acima é uma função , pois todo elemento do conjunto A, está associado 
a somente um elemento do conjunto B. 
 
3) Dados os conjuntos { } { },9,6,3,131,1,3 =−−= BeA seja a relação de 
BemA expressa pela fórmula 2xy = , com ByeAx ∈∈ . 
 
A B
1 6
- 3
- 1
3
1
3
9
 É uma função de A em B 
 
 
DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO. 
O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, 
AD = . Se um elemento Ax∈ estiver associado a um elemento By∈ , dizemos que y 
é a imagem de x (indica-se )(xfy = e lê-se ".)(" xfaigualéy 
 
EXEMPLOS: 
1) Sejam os conjuntos { } { },5,4,3,2,1,02,1,0 == BeA vamos considerar a 
função BAf →: definida por 1)(1 +=+= xxfouxy 
 
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicamos por D . 
{ }2,1,0=D 
A
B
1 2
1
3
0
4
5
0
2
 4
O conjunto { }3,2,1 que é um subconjunto de ,B é denominado conjunto 
imagem { }3,2,1=mI 
O conjunto ,B tal que BI m ⊂ , é denominado contradomínio da função. 
 
2) Dados os conjuntos { } { },4,3,2,1,0,12,0,1,3 −=−−= BeA determinar o 
conjunto imagem da função BAf →: definida por .2)( += xxf 
 
A B
0 2
- 3
- 1
2
- 1
1
3
4
0
 { }4,2,1,1−=mI 
 
3) Sendo RRf →: uma função definida por 12)( 23 +−+= xxxxf , calcule: 
a) )1(f b) )1(−f c) )2(f d) )2(−f 
a) ( ) 3)1(1121)1(111211 23 =∴+−+=⇒+−⋅+= fff 
b) 3)1(1121)1(1)1()1(2)1()1( 23 =−∴+++−=−⇒+−−−⋅+−=− fff 
c) 15)2(1288)2(12222)2( 23 =∴+−+=⇒+−⋅+= fff 
d) 3)2(1288)2(1)2()2(2)2()2( 23 =−∴+++−=−⇒+−−−⋅+−=− fff 
 
4) Seja a função RRf →: definida por 810)( 2 +−= xxxf . Calcular os 
valores reais de x para que se tenha 1)( −=xf . 
09101810 22 =+−→−=+− xxxx 
{ }9,1
9
1
2
810
2
3610010
2
1 =⇒



=
=
→±=
−±
= S
x
x
x 
 
 5
EXERCÍCIOS 
1) Dados { }2,1,1,2 −−=A e { }8,4,1,0,1,4,8 −−−=B , e uma relação f de 
BemA expressa pela fórmula 3xy= , com ByeAx ∈∈ . Faça o diagrama e verifique 
se f é uma função de BemA . 
 
2) Dados os conjuntos { }1,0,1,2 −−=A e { }5,4,3,2,1,0,1,2,3 −−−=B , 
determine: 
a) O conjunto imagem da função de BAf →: definida por 2)( xxf = 
b) O conjunto imagem da função BAf →: definida por 22)( += xxf 
c) O conjunto imagem da função BAf →: definida por 1)( 2 −= xxf 
 
3) Sendo RRf →: uma função definida por 103)( 2 −−= xxxf , calcule: 
a) =− )2(f b) =− )1(f c) =)3(f d) =





2
1
f 
 
4) Dada a função RRf →: definida por 43)( 2 −−= xxxf . Determine os 
valores de x para que se tenha: 
a) 4)( −=xf b) 0)( =xf c) 6)( −=xf 
 
5) Numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto por um custo 
fixo de R$ 150,00 mais um custo variável de R$ 0,75 por unidade fabricada. Portanto o custo 
operacional, que representamos por y, é dado em função do número de unidades fabricadas, 
que representamos por x. Expresse, por meio de uma fórmula matemática, a lei dessa função. 
 
6) Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto 
consiste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$ 0,30 por unidade. 
Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem 
prejuízo? 
 
FUNÇÃO DO 1O GRAU 
Chama-se função polinomial do 1O grau, ou Função Afim , a qualquer função f de 
R em R dada por uma lei da forma bxaxf +=)( , onde bea são números reais 
dados e 0≠a . 
 6
Na função bxaxf +=)( , o número a é chamado de coeficiente de x e o 
número b é chamado termo constante. 
Na Matemática, consideramos função como uma relação de dependência entre 
grandezas. As relações que envolvem crescimento e decrescimentos lineares são 
representadas por uma função do 1º grau do tipo ,bxay += com bea números reais e 
.0≠a Nessa função, os pares ordenados ),( yx são denominados domínio e imagem 
respectivamente. A representação desse modelo de função no plano cartesiano é dada por 
uma reta crescente ou decrescente. A posição da reta no plano depende do valor do 
coeficiente angular ,a caso ele seja positivo ),0( >a a reta é crescente; e se for negativo 
),0( <a a reta é decrescente. O coeficiente representado por b é denominado linear e 
indica em que ponto do eixo y (ordenada) a reta passa. 
O gráfico da função é construído no plano de coordenadas cartesianas, onde cada 
valor de x (eixo das abscissas) possui uma representação em y (eixo das ordenadas). 
 
Função do 1º grau crescente )0( >a 
A função 32 += xy é representada por uma reta crescente, pois o coeficiente 
angular é positivo, possuindo valor igual a 2. Veja o gráfico. 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 7
Na função crescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y 
também aumentam, ou à medida que os valores de x diminuem, os valores de y 
diminuem. 
 
Função do 1º grau decrescente )0( <a 
A função 32 +−= xy é representada por uma reta decrescente, pois o 
coeficiente angular é negativo, possuindo valor igual a – 2. Veja o gráfico. 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
Na função decrescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de 
y diminuem, ou à medida que os valores de x diminuem, os valores de y aumentam. 
 
COEFICIENTE ANGULAR 
A fórmula que será apresentada para facilitar o cálculo do coeficiente angular de 
uma reta só poderá ser utilizada por retas não verticais, ou seja, retas onde sua inclinação 
é maior ou igual a º0 e menor que º180 , sendo diferente de º90 . 
Veja os passos que foram levados em consideração para obter o cálculo do 
coeficiente angular de uma reta. 
Considere os pontos ),(),( BBAA yxBeyxA , esses formam uma reta t no 
plano cartesiano de inclinação α : 
 8
 
 
Prolongando o segmento de reta que passa pelo ponto A, paralelo ao eixo Ox, 
formamos um triângulo retângulo BMA. E um ângulo equivalente ao da inclinação da reta. 
 
Levando em consideração o triângulo retângulo BMA e o seu ângulo α, teremos 
como cateto oposto aAB yy − e cateto adjacente AB xx − . 
Sabendo que: 
O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de 
inclinação. 
A função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente. 
Assim, podemos concluir que o coeficiente angular (m) de uma reta será 
calculado através da seguinte fórmula: 
AB
AB
xx
yy
tgm
−
−== α ou considerando os pontos 
),(),( 00 yxBeyxA temos: )( 00 xxmyy −=− . 
 
EXEMPLOS 
1) Dada a função RRf →: definida por bxaxf +=)( , calcular bea , 
sabendo-se que 2)1(4)1( −=−= fef 
bxaxf +=)( 
 9
41)1( =+→+⋅= babaf I 
2)1()1( −=+−→+−⋅=− babaf II 
122
2
4
=∴=→



−=+−
=+
bb
ba
ba
 Substituindo na equação I temos: 
3414 =∴=+→=+ aaba → 13)( += xxf 
 
2) Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos ).4,3()2,1( BeA − 
 
ESTUDO DE SINAL 
Estudar o sinal de qualquer função )(xfy = é determinar os valores de x para os 
quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é 
negativo. 
Consideremos uma função afim ,)( bxaxfy +== vamos estudar seu sinal. Já 
vimos que essa função se anula pra raiz .
a
b
x −= Há dois casos possíveis: 
1º) 0>a (a função é crescente) 
a
b
xbxay
a
b
xbxay
−<⇒<+⇒<
−>⇒>+⇒>
00
00
 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para 
valores de x menores que a raiz. 
Se a > 0: 
 
 
 
 
2º) 0<a (a função é decrescente) 
a
b
xbxay
a
b
xbxay
−>⇒<+⇒<
−<⇒>+⇒>
00
00
 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para 
valores de x maiores que a raiz. 
a
b− 
 
x 
+ 
_ 
a
b− 
 
+ 
_ 
c/a m/a 0 
x 
 10
b) Se a < 0: 
 
 
 
 
EXEMPLO 1 
→+−= 72)( xxf 
2
7
2
7
72072 =→
−
−=→−=−→=+− xxxx 
 
 
 0)( >xf 
 + 
 
2
7
 0)( <xf 
 -- 
 
 








><
<>
==
2
7
0)(
2
7
0)(
2
7
0)(
xparaxf
xparaxf
xparaxf
 
 
EXEMPLO 2 
62)( −= xxf 
362062 =→=→=− xxx 
 + 
 3 0)( >xf 
 0)( <xf 
 -- 
 
 
 





<<
>>
==
30)(
30)(
30)(
xparaxf
xparaxf
xparaxf
 
 
 
a
b− 
 
x 
+ 
_ 
a
b− 
 
+ 
_ 
c/a m/a 0 
x 
 11
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO 
Chama-se zero ou raiz da função afim bxaxf +=)( , 0≠a , o número real x 
tal que 0)( =xf . 
Temos: 0)( =xf ⇒ 0=+ bxa ⇒ 
a
b
x −= 
 
EXERCÍCIOS 
1) Construa o gráfico das seguintes funções de R em R: 
a) 52 += xy b) xy 34−= c) 12 −= xy 
 
2) Determine o zero de cada uma das seguintes funções: 
a) 12)( −= xxf b) 3
3
)( +−= xxf c) 53)( +−= xxf 
 
3) Estude o sinal de cada uma das seguintes funções de R em R: 
 a) 
3
4
5
2 −= xy b) 23 +−= xy c) 
2
3
x
y −= 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU (FUNÇÃO QUADRÁTICA) 
Chama-se função quadrática , ou função polinomial do 2º grau, qualquer função 
f de IR em IR dada por uma lei da forma ,)( 2 cxbxaxf ++= onde a , b e c são 
números reais e 0≠a . 
 
CONCAVIDADE 
a) a > 0 ⇒ concavidade voltada para cima (boca pra cima) 
 
 
 
 
 
b) a < 0 ⇒ concavidade voltada para baixo (boca pra baixo) 
 
 
 
 
x 
y 
y 
x 
 12
ZEROS 
Definição: os zeros ou raízes da função quadrática ,)( 2 cxbxaxfy ++== 
0≠a são os valores de x reais tais que 0)( =xf e, portanto, as soluções da 
equação do 2º grau 02 =++ cxbxa na incógnita x . 
Discussão: ;02 =++ cxbxa cab 42 −=∆ (discriminante da equação do 
2º grau) 
Se ,0>∆ a equação apresenta duas raízes reais e distintas 
(a parábola corta o eixo dos x em dois pontos) 
a
b
xe
a
b
x
22 21
∆−−=∆+−= 
Se ,0=∆ a equação apresenta duas raízes reais e iguais (a parábola tangencia 
o eixo dos x ) 
a
b
xx
221
−== 
Se ,0<∆ a equação não apresenta raízes reais, pois ℜ∉∆ . (a parábola 
não corta o eixo dos x ). 
 
VÉRTICE DA PARÁBOLA 
Definição: o ponto 




 ∆−−=
aa
b
V
4
,
2
 é chamado vértice da parábola 
representativa da função quadrática. 
 
EXEMPLOS 
Estudar as funções quadráticas abaixo. 
a) 32)( 2 −−= xxxf b) 32)( 2 ++−= xxxf 
c) 463)( 2 +−= xxxf d) 144)( 2 −+−= xxxf 
EXERCÍCIOS 
Estudar as funções quadráticas abaixo. 
a) 123)( 2 ++−= xxxf d) 143)( 2 +−= xxxf 
b) 273)( 2 +−= xxxf e) 432)( 2 +−= xxxf 
c) 56)( 2 +−= xxxf f) 2)( 2 ++−= xxxf 
 
 13
MÁXIMO E MÍNIMO 
Definição: dizemos que o número )Im()Im( fyoufy mM ∈∈ é o valor de 
máximo (ou mínimo) da função )(xfy = se, e somente se, yyouyy mM ≤≥ para 
qualquer )Im( fy∈ e o valor )( fDxM ∈ ou )( fDxm ∈ tal que )( MM xfy = ou 
)( mm xfy = é chamado ponto de máximo (ou mínimo) da função. 
Teorema: a função quadrática ,2 cxbxay ++= ,0≠a admite um valor 
máximo (ou mínimo ) 
a4
∆−=y em 
2a
b−=x se, e somente se, 0<a (ou )0>a . 
 
VALOR MÁXIMO E VALOR MÍNIMO 
Examinando os gráficos abaixo, observa-se que: 
 
EXERCÍCIOS 
1) Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a jato descreve um arco 
no formato de uma parábola de acordo com a seguinte função .602 xxy +−= Determine 
a altura máxima atingida pelo avião. 
2) Uma empresa produz um determinado produto com o custo é definido pela 
seguinte função .300080)( 2 +−= xxxC Considerando o custo C em reais e x a 
quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o 
custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo. 
 
 14
3) Após várias experiências em laboratório, observou-se que a concentração de 
certo antibiótico, no sangue de cobaias, varia de acordo com a função ,212 2xxy −= 
em que x é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas 
condições, determine o tempo necessário para que o antibiótico atinja nível máximo de 
concentração no sangue dessas cobaias. 
 
4) De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela 
expressão matemática ,CRL −= onde L é o lucro, C o custo da produção e R a 
receita do produto. Uma indústria de peças automotivas produziu x unidades e verificou 
que o custo de produção era dado pela função xxxC 2000)( 2 −= e a receita 
representada por .6000)( 2xxxR −= Com base nessas informações, determine o 
número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. 
 
 
Bibliografia 
1 - www.somatematica.com.br 
2 - Giovanni, José Ruy, Matemática Fundamental. São Paulo: FTD 
3 – Dante, Luiz Roberto, Matemática: Contexto & Aplicações. São Paulo: Ática 
4 - http://alunosonline.uol.com.br/