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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
Faculdade de ciências
Departamento de Matemática e informática
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João Sebastião Paulo Munembe
Américo Matusse
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Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica
2013
7
Primeira aula prática: 1, 2, 3;
Segunda aula prática: 4, 5, 6, 7;
Terceira aula prática: 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15;
Quarta aula prática: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24;
1 Unidade I: Álgebra matricial. Operações com matrizes
1. Escreva em forma de matriz 3× 2 a matriz B tal que bij = i · j;
2. Escreva em forma de matriz de ordem 4 a matriz C tal que cij =
 1, sei = j
0, sei 6= j
3. Consideremos as seguintes matrizes: A =
2 1
1 7
 , B =
−2 5
0 8
 , C =
6 0 3
1 0 −5
 ,
D =
 4 0 −1
−3 4 9
 .
Encontre as seguintes expressões ou dê as razões porquê não estão de�nidas:
(a)A+B, B +A, A+B + C; (b)4A− 8B, 4(2B −A), 8B − 4A (c) 5D − 3C;
(d) A+ 0C, C − 0A, 0B,
4. Sejam A =
2 −5 1
3 0 −4
 , B =
1 −2 −3
0 −1 5
 , C =
0 1 −2
1 −1 −1
 .
Calcule 3A+ 4B − 2C.
5. Sejam dadas matrizes A =
 x+ y m− n
x− 2y 3m+ n
 e B =
 8 6
−1 10
 , achar os valores de x, y,m e n de
modo que A = B.
6. Achar x, y se
3x y
y x
 = 2
 x y
−y x
−
y −x
3 −y

7. Encontre x, y, z e w se:
3
x y
z w
 =
 x 6
−1 2w
+
 4 x+ y
z + w 3

8. Sejam A =
2 −1 0
1 0 −3
 e B =

1 −4 0 1
2 −1 3 −1
4 0 −2 0

J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
8
(a) Determine a forma de AB;
(b) Seja cij o elemento da i-ésima linha j-ésima coluna do produto matricial AB, isto é, AB = (cij)
Encontre c23, c14 e c21.
9. Se uma matriz A é 3× 5 e o produto AB é 3× 7 :
(a) Qual é o tipo de B;
(b) quantas linhas B precisa ter para que BA seja uma matriz 2× 6.
10. Nos exercícios que se seguem calcule o produto AB de duas formas: (1) pela de�nição com Ab1 e Ab2
calculando separadamente; e (2) pela regra linh-por-coluna para o cálculo do produto.
(a) A =

1 3
0 4
−2 1
 B =
2 3
1 −1

(b) A−

3 4
5 0
1 2
 A−
 3 −1
−1 2

11. Consideremos as seguintes matrizes:
a =

1
4
3
 , B =

2 −3
0 2
0 1
 , C =

4 6 2
6 0 3
2 3 −1
 d = [4 3 0]
Calcule os seguintes produtos ou dê as razões porquê não estão de�nidos (mostre os produtos inter-
mediários)
(a)Ba, aB; (b) Ca, C2a; (c) Cd, dC,CB.
12. Consideremos as seguintes matrizes:
A =
2 0
6 7
 , B =
0 4
2 −8
 , C =
−6 9 −7
7 −3 −2
 , D =

−6 4 0
1 1 4
−6 0 6
 ,
E =

6 9 −9
−1 0 −4
−6 0 −1
 ,
Se for possível, calcule: (a) AB −BA, (b) 2C −D, (c) (2Dt − 3Et)t, (d) D2 −DE.
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9
13. Sejam e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Dada A =

a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
 .
Calcule (a) e1A, (b) e2A, (c) e3A.
14. Diz-se que as matrizes A e B comutam se AB = BA. Encontre todas matrizes
x y
z w
 .
15. Mostre que as matrizes A =
1 1y
y 1
 , onde y é um número real não nulo, veri�cam a equação X2 = 2X.
16. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M =
 0 1
−1 0
 , então AB = BA.
17. Conhecemdo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B + C), BtAt, CtAt e
(ABA)C?
18. Diz-se que uma matriz quadrada A é idempotente se A2 = A. Mostre que a matriz seguinte é idempotente:
2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
 .
19. Mostre que se AB = A e BA = A, então A e B são idempotentes.
20. Calcule f(A) = A2 − 3A+ 5I, sendo A =

2 2 0
1 1 1
1 0 3

21. Calcule A2, A3, An para matrizes (a) A =
1 1
0 1
 ; (b) A =
cosx − sinx
sinx cosx

22. Demonstre que a matriz C = 3A− 2B é simétrica, sendo
A =

1 −1 3
3 3 6
3 −2 4
 B =

−4 −3 5
3 −1 4
5 −8 5

23. Demonstrar que B = A+At é simétrica, mas C = A−At é matriz anti-simétrica.
24. Para que valores de a a matriz

a a2 − 1 −3
a+ 1 2 a2 + 4
−3 4a −1
 é simétrica?
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
10
25. Sejam A =

1 1 1
1 2 3
1 4 5
 e D =

2 0 0
0 3 0
0 0 4
 . Calcule AD e DA. Explique como as linhas ou colunas de
A mudam quando A é multiplicado por D á direita ou a esquerda. Dtermine uma matriz diagonal B.
3× 3 (com B 6= I ) tal que AB = BA.
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2 Unidade II: Determinantes. Regra de Cramer
Primeira aula prática: 1(a),(c), (d), (f); 2(a),(d); 3(b), 4(b).
Segunda aula prática: 5, 6, 7, 8, 9.
1. Calcule o determinante de cada matriz
(a)
∣∣∣∣∣∣3 −24 5
∣∣∣∣∣∣ ; (b)
∣∣∣∣∣∣a− b aa a+ b
∣∣∣∣∣∣ ; (c)
∣∣∣∣∣∣t− 2 −3−4 t− 1
∣∣∣∣∣∣ ; (d)
∣∣∣∣∣∣t− 5 7−1 t+ 3
∣∣∣∣∣∣ ;
(e)
∣∣∣∣∣∣ sin t cos t− cos t sin t
∣∣∣∣∣∣ ; (f)
∣∣∣∣∣∣ 13547 13647−28649 28749
∣∣∣∣∣∣ ;
Para as alíneas (c) e (d), achar os valores do parámetro t para os quais o determinante é igual a zero.
2. Calcule os determinantes das alíneas (a) e (b) usando a expansão do cofactor com respeito a primeira
linha. Nas alíneas (c) e (d) calcule também por uma expansão do cofactor com respeito a segunda coluna.
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 0 4
2 3 2
0 5 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −4 3
3 1 2
1 4 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 5
2 1 1
3 4 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
8 1 6
4 0 3
3 −2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
3. Calcule o determinante das alíneas que se seguem pela expansão do cofactor. Em cada caso, escolha uma
linha ou coluna que envolva o menor número de cálculos possíveis.
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 0 0 5
1 7 2 −7
2 0 0 0
8 3 1 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 3 2 4 0
9 0 −4 1 0
8 −5 6 7 1
3 0 0 0 0
4 2 3 2 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
;
4. Resolva as equações:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x −1 −1
x x −1
x x x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 x x2 x3
1 2 4 8
1 3 9 27
1 4 16 64
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
5. Calcule os determinantes que se seguem sabendo que
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
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(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
3g 3h 3i
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a d g
b e h
c f i
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a b c
g h i
d e f
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a b c
2d+ g 2e+ h 2f + i
d e f
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ;
6. Sabendo que os números 204, 527, 255 são divisíveis por 17, demonstre que o seguinte determinante é
divisível por 17. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 0 4
5 2 7
2 5 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ;
7. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 4, com |A| = −2, |B| = 2. Calcule: (a) |AB|; (b) |AB|;
(c) |B3|; (d) |2A|; (e) |Bt|; (f) |B−1AB|.
8. Veri�que que |A| = |B|+ |C|, onde
A =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 u1 + v1
a21 a22 u2 + v2
a31 a32 u3 + v3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; B =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 u1
a21 a22 u2
a31 a32 u3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; C =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 v1
a21 a22 v2
a31 a32 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ;
9. Dada a matriz

6 8 5
1 2 4
0 −1 9
 . Determine (a) cof(6); (b)cof(2); (c) cof(-1).
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3 Unidade III: Matriz inversa. Eliminação de Gauss-Jordan
Primeira aula prática: 1(a), 1(c), 1(d), 1(f), 1(g), 2(a), 2(c), 3;
Segunda aula prática: 4, 5, 7, 8, 9, 10.
1. Calcule, caso exista, a inversa pela eliminação de Gauss-Jordan e veri�que o resultado
(a)
3 2
7 5
 ; (b)
2 −3
1 3
 ; (c)

2 0 −1
5 1 0
0 1 3
 ; (d)

1 2 5
0 −1 2
2 4 11
 ; (e)

3 −1 5
2 6 4
5 5 9
 ; (f)

0 0 0.3
0 −0.2 0
0.4 0 0
 ; (g)

1 8 −7
0 1 3
0 0 1
 ;
2. Veri�que se as matrizes seguintes são inversíveis. Caso sim, achá-las usando cofactores.
(a)

0 −2 −1
3 0 0
−1 1 1
 ; (b)

3 6 7
0 2 1
2 3 4
 ; (c)

1 4 2
−1 0 1
2 2 3
 ;
3. Em que condições uma matriz diagonal

a1 0 ... 0
0 a2 ... 0
.. .. .. ..
0 0 ... an
 é inversível e qual é sua inversa.
4. Se A−1 =
3 1
1 3
 e B−1 =
2 5
3 −2
 encontre (AB)−1.
5. Use a álgebra matricial para mostrar que se A for inversível e C satisfaz AC = I, então C = A−1.
6. Suponha que AB = AC, onde B e C são matrizes n × p e A é inversível. Mostre que B = C. Isso é
verdade, em geral, se A não for inversível?
7. Suponha que (B − C)A = 0, onde B e C sãomatrizes m× n e A inversível. Mostre que B = C.
8. Suponha que A,B e C sejam matrizes inversíveis n×n. Mostre que ABC também é inversível encontrando
a matriz D tal que (ABC)D = I e D(ABC) = I.
9. Resolva a equação C−1(A+X)B−1 = I para X, suponha que A,B e C sejam matrizes n×n inversíveis.
10. Demonstre que (At)−1 = (A−1)t.
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4 Unidade IV: Sistemas de equações lineares
Primeira aula prática: 1(a), 1(b), 1(c), 2, 3(a);
Segunda aula prática: 3(c), 4(a), 4(b), 4(c);
Terceira aula prática: 5(a), 5(b), 6(b), 7(a);
Quarta aula prática: 8(a), 9(b), 9(b), 10(a), 10(c), 11
1. Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada:
(a)

1 0 0 0 3
0 0 1 0 −4
0 0 0 1 2
 ; (b)

0 1 0 0 −4
0 0 1 0 5
0 0 0 −1 2
 ; (c)

0 0 0 0 0
0 0 1 2 −4
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
 .
2. Escreva o seguinte sistema na forma matricial:
+ 2x2 − 2x4 = 6
2x1− x2− 2x3 = 0
3x1+ 2x2 + 2x4 = 1
2x1 + 2x3+ x4 = 0
.
3. Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações ele-
mentares na matriz escalonda reduzida dada. Resolva o sistema correspondente:
(a)

1 0 0 −7 8
0 1 0 3 2
0 0 1 1 −5
 ; (b)

1 0 0 0 6
0 1 0 0 3
0 0 1 1 2
 ;
(c)

1 −6 0 0 3 −2
0 0 1 0 4 7
0 0 0 1 5 8
0 0 0 0 0 0
 ; (d)

1 7 0 0 −8 −3
0 0 1 0 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0
 ;
4. Use a regra de Cramer para achar as soluções dos sistemas que se seguem:
(a)

x1− x2+ x3 = 1
2x1+ x2+ x3 = 2
3x1+ x2+ 2x3 = 0
; (b)

2x1− x2− x3 = 4
3x1+ 4x2− 2x3 = 11
3x1− 2x2+ 4x3 = 11
;
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15
(c)

x1+ 2x2+ 3x3− 2x4 = 6
2x1− x2− 2x3− 3x4 = 8
3x1+ 2x2− x3+ 2x4 = 4
2x1− 3x2+ 2x3+ x4 = −8
;
5. Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
(a)

x1+ x2+ 2x3 = 8
− x1− 2x2+ 3x3 = 1
3x1− 7x2+ 4x3 = 10
; (b)

2x1+ 2x2+ 2x3 = 0
− 2x1+ 5x2+ 2x3 = 1
8x1− x2+ 4x3 = −1
;
(c)

−x2 +3x3 =1
3x1 +6x2 −3x3 =− 1
6x1 +6x2 +3x3 =5
.
6. Veri�que se os seguintes sistemas são possíveis, não resolva o sistema completamente:
(a)

− 2x1− 3x2+ 4x3 = 5
+ x2− 2x3 = 4
x1+ 3x2− 4x3 = 2
; (b)

x1− 6x2 = 5
x2− 4x3+ x4 = 4
− x1+ 6x2+ x3+ 5x4 = 3
− x2+ 5x3+ 4x4 = 0
;
7. Seja A =

1 0 5
1 1 1
0 1 −4

(a) Encontre a solução geral do sistema (A+ 4I3)X = 0;
(b) Encontre a solução geral do sistema (A− 2I3)X = 0;
8. Nas alíneas que seguem encontrem uma equação envolvendo g, h e k que faça com que a matriz completa
corresponda a um sistema possível:
(a)

1 −4 7 g
0 3 −5 h
−2 5 −9 k
 ; (b)

2 5 −3 g
4 7 −4 h
−6 −3 1 k
 ;
9. Para cada sistema linear dado, encontre todos valores de a para os quais o sistema: (i) não tem solução;
(ii) tem solução única e (iii) tem in�nitas soluções:
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
16
(a)

x+ 2y− 3z = 4
3x− y+ 5z = 2
4x+ y+ (a2 − 14)z = a+ 2
; (b)

x+ y+ 3z = 2
2x+ 3y+ 2z = 5
2x+ 3y+ (a2 − 1)z = a+ 1
.
10. Determine se cada sistema tem solução não nula e apresenta a solução geral:
(a)

x1+ 3x2− 2x3 = 0
x1− 8x2+ 8x3 = 0
3x− 2x2+ 4x3 = 0
; (b)

x1+ 3x2− 2x3 = 0
2x1− 3x2+ x3 = 0
3x− 2x2+ 4x3 = 0
;
(c)

x1+ 2x2− 5x3+ 4x4 = 0
2x1− 3x2+ 2x3+ 3x4 = 0
4x− 7x2+ x3− 6x4 = 0
.
11. Uma empresa produz três produtos x, y, z utilizando dois insumos a e b. Para a manufactura de cada
kg de x são utilizados dois gramas de insumo a e 1 grama de insumo b; para cada kg de y, 1 grama
de insumo a e 3 gramas de insumo b e, para cada kg de z, 3 gramas de a e 5 gramas de b. O preço
de venda do kg de cada dos produtos x, y e z é 3 MT, 2 MT e 4 MT, respectivamente. Com a venda
de produção de x, y e z manufacturada com 1.9 kg a , 2.4 kg de b essa indústria arrecadou 2900 MT.
Determine quantos kg de cada um dos produtos x, y e z foram vendidos.
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5 Unidade V: Vectores. Operações com vectores
Primeira aula prática: 1, 2, 4(a), 6(a), 7(b), 9, 10;
Segunda aula prática: 12, 13, 14, 16(a), 18, 19, 20, 21, 26;
Terceira aula prática: 27(b), 27(d), 28(a), 28(f), 29, 35, 36, 37;
Quarta aula prática: 39, 40, 41, 43, 45, 47, 49.
1. Determine o ponto C tal que
−→
AC = 2
−−→
AB sendo A = (0,−2) e B = (1, 0).
2. Determine as coordenadas da extremidade que representa o vector −→v = (3, 0,−3) sabendo-se que a sua
origem está no ponto P = (2, 3,−5).
3. Quais são as coordenadas do ponto P ′, simétrico do ponto P = (1, 0, 3) em relação ao ponto M =
(1, 2,−2).
4. Veri�que se os pontos a seguir são colineares, isto é, pertencem a mesma recta:
(a) A = (5, 1,−3), B = (0, 3, 4), C = (0, 3,−5);
(b) A = (−1, 1, 3), B = (4, 2,−3), C = (14, 4,−15).
5. Dados os pontos A = (1,−2,−3), B = (−5, 2,−1), C = (4, 0,−1). Determine o ponto D, tal que
A,B,C e D são vectores consecutivos de um paralelogramo.
6. Veri�que se o vector −→u é combinação linear de −→v , −→w ?
(a) −→v = (9,−12,−6), −→w = (−1, 7, 1), −→u = (−4,−6, 2);
(b) −→v = (5, 4,−3), −→w = (2, 1, 1), −→u = (−3,−4, 1).
7. Veri�que se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices (não necessariamente consecutivos):
(a) A = (4,−1, 1), B = (9,−4, 2), C = (4, 3, 4), D = (4,−21,−14);
(b) A = (4,−1, 4), B = (9,−4, 2), C = (4, 3, 4), D = (9, 0, 5).
8. Achar a soma dos vectores −→a +
−→
b +−→c para os vectores −→a ,
−→
b ,−→c representados nas �guras que se seguem:
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
18
9. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio (sugestão: sejam M e N os pontos
médios das diagonais do paralelogramo. Mostre que o vector
−−→
MN = 0, então conclua que M = N ).
10. Em um sistema cartesiano rectangular de coordenadas são dados os pontos A(−1; 2; 2) B(−1; 2; 2). Achar
as coordenadas dos vectores
−−→
AB e
−−→
BA, seus comprimentos e coordenadas do vector unitário.
11. Sejam −→v = −→i +2−→j − 3
−→
k e −→w = 2−→i +−→j − 2
−→
k . Determine os vectores unitários paralelos aos vectores:
(a) −→v +−→w ; (b) −→v −−→w ; (c) 2−→v − 3−→w .
12. Calcular os comprimentos das diagonais de um paralelogramo construídos sobre os vectores −→a = −→i e
−→
b =
−→
k − 2−→j .
13. Decomponha −→w = −−→i − 3−→j + 2
−→
k como a soma de dois vectores −→w 1 e −→w 2 paralelo ao vector
−→
j + 3
−→
k
e −→w 2 ortogonal a este último.
14. Achar a projecção do vector
−→
b sobre a direção do vector −→a , e a projecção do vector −→a sobre a direção
−→
b se |−→a | = 2, |
−→
b | = 1, ̂(−→a ,
−→
b ) = 1200.
15. O ângulo entre os vectores −→a e
−→
b é igual a 1200. Sabendo que |−→a | = 5 e |
−→
b | = 4. Calcule: (a) −→a ·
−→
b ;
(b) −→a 2; (c) (−→a − 2
−→
b ) · (−→a + 2
−→
b ); (d) (−→a −
−→
b )2; (e) (7−→a +
−→
b )2.
16. Calcule:
(a)
−→
i · (−→j +
−→
k ) +
−→
j · (3−→i −
−→
k ) +
−→
k · (−→i + 2−→j );
(b)
−→
i · (−→i +−→j +
−→
k ) +
−→
j · (−→i +−→j +
−→
k ) +
−→
k · (−→i +−→j +
−→
k ).
17. Calcule −→a ·
−→
b +
−→
b · −→c +−→c · −→a se −→a +
−→
b +−→c = 0 e |−→a | = |
−→
b | = |−→c | = 1.
18. Sejam dados os vectores −→a = (4;−2; 0) e
−→
b = (1; 2; 3). Calcule:
(a) −→a ·
−→
b ; (b)
−→
b 2; (c) (−→a −
−→
b )2; (d) (3−→a −
−→
b ) · (2−→a + 3
−→
b ).
19. Seja dado o vector −→a = (3;−4). Achar as coordenadas dos vectores unitários perpendiculares ao vector
−→a .
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
19
20. Seja dado o vector −→a = (5; 3). Sabe-se que a abcissa do vector
−→
b perpendicular a este é igual a 10;
determine a ordenada do vector
−→
b .
21. Determine o valor de x para o qual os vectores −→v = x−→i + 3−→j + 4−→w e −→w = 3−→i + −→j + 2−→w são
perpendiculares.
22. Achar os valores de α e β com os quais os vectores −→a = (3;−1;α) e
−→
b = (2;β; 1) são perpendiculares
entre si e |
−→
b | = 3.
23. Achar o vector
−→
b , colinear ao vector −→a , que satisfaz a condição dada:
(a) −→a = 2−→i +−→j − 6
−→
k ;
−→
b · −→a = 3
(b) −→a = (−1; 2; 2),
−→
b · −→a = −2.24. Sejam dados três vectores −→a = (2;−1; 3),
−→
b = (1;−3; 2) e −→c = (3; 2;−4). Ache o vector −→x que satisfaz
as condições −→x · −→a = −5, −→x ·
−→
b = 11, −→x · c = 20.
25. Achar os cossenos do ângulo entre os vectores −→a = (3;−4; 12) e os eixos das coordenadas.
26. Sejam dados três vertices consecutivos de um paralelogramo A(3;−2; 1), B(3; 0; 2) e C(1; 2; 5). Achar o
quarto vértices D e o ângulo entre os vectores
−→
AC e
−−→
BD.
27. Sejam dados os vectores −→a = (−2; 1; 1),
−→
b = (1; 5; 0) e c = (2; 2;−1). Calcule
(a) pr−→
b
−→a ;
(b) pr−→a
−→
b ;
(c) pr−→a +−→b
−→c ;
(d) pr−→a (
−→
b +−→c );
(e) pr−→a (2
−→
b +−→c );
28. Sejam dados os vectores −→a = (1;−2; 3),
−→
b = (2; 2;−1); −→c = (0; 1;−2) e
−→
d = (2;−1; 0). Calcule:
(a) [
−→
b ;
−→
b ]; (b) [−→a ;−→c ]; (c) [
−→
b ;−→c ]; (d) [−→a ;
−→
d ]; (e) [(−→a + 2−→c );
−→
b ];
(f) [(2−→a − 2
−→
b ); (−→c +
−→
d )].
29. Achar a área do triângulo com os vértices nos pontos A(0; 2; 6), B(4; 0; 0) e C(8;−2; 0).
30. Sejam dados os vértices do paralelogramo A(1;−2); B(−2; 2), C(4; 10) e D(7; 6). Calcule a sua área e
altura.
31. Demonstre que (−→r 1 +−→r 2;−→r 2 +−→r 3;−→r 3 +−→r 1) = 2(−→r 1;−→r 2;−→r 3).
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
20
32. Seja o ângulo entre dois vectores igual a 600. Determine |−→a +
−→
b | e |−→a −
−→
b | sabendo que |−→a | = 5 e
|
−→
b | = 8.
33. São dados |−→a | = 11, |
−→
b | = 23, |−→a −
−→
b | = 30. Calcule |−→a +
−→
b |.
34. Calcule o volume do paralelepípedo construído sobre os vectores −→r 1 = −→a +
−→
b + −→c ; −→r 1 = −→a −
−→
b +
−→c ; −→r 1 = −→a −
−→
b −−→c .
35. Determine o produto misto (−→a ;
−→
b ;−→c ) dos vectores −→a = (0; 3;−1),
−→
b = (5; 0; 0) e −→c = (7;−2.4).
36. Determine se são complanares os vectores −→a = (8; 5;−13),
−→
b = (−4; 2; 8) e −→c = (7;−2; 4); se são
complanares, que terno formam, direito ou esquerdo?
37. Determine o volume do paralelepípedo construído sobre os vectores −→a = (1; 2; 3),
−→
b = (−1; 3; 4),
−→c = (2; 5; 2).
38. Determine se se encontram no mesmo plano os quatro pontos seguintes:
(a) M1(5; 2− 2), M2(6;−3; 1), M3(0; 4; 3); M4(2; 0;−4).
(b) M1(3; 5; 1), M2(2; 4; 7), M3(1; 5; 3), M4(4; 4; 5).
39. Os vértices de uma pirâmide se encontram nos pontos A(2; 1;−1), B(3; 0; 1), C(2;−1; 3) e D(0;−7; 0).
Achar a altura da pirâmide baixada desde o vértice D.
40. Seja V o primeiro quadrante do plano xy, isto é, Seja V =

x
y
 : x ≥ 0; y ≥ 0

(a) se u e v estão em v, será que u+ v está em V ? porquê?
(b) Determine um certo vector v e um escalar c tal que cv não pertença a V.
41. Construa uma recta no plano que ilustre porquê uma recta em R2 que não passa pela origem não é fechada
com relação a soma de vectores.
42. Seja H o conjunto de todos vectores da forma

2t
0
−t
 . Mostre que H é um subespço vectorial em R3.
43. Seja W o conjunto de todos vectores da forma

5b+ 2c
b
c
 , onde b e c são arbitrários. Determine os
vectores u e v tais que W = span{u, v}. Porquê isso mostra que W é um subespaço em R3?
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
21
44. Sejam v1 =

1
0
−1
 v2 =

2
1
3
 v3 =

4
2
6
 e w =

3
1
2
 .
(a) Será que w ∈ {v1, v2, v3}? Quantos vectores pertencem a {v1, v2, v3}?
(b) Quantos vectores pertencem a span{v1, v2, v3}?
(c) Será que w pertence ao subespaço gerado por {v1, v2, v3}?
45. Determine se w pertence a NulA, onde w =

1
3
−4
 A =

3 −5 −3
6 −2 0
−8 4 1
 .
46. Obtemha uma descrição explícita de NulA listando os vectores que geram o espaço nulo. A =

1 −2 0 4 0
0 0 1 −9 0
0 0 0 0 1
 .
47. Determine A de modo que o conjunto dado seja colA.


2s+ 3t
r + s− t
4t+ s
3r − s− t
 : r, s, t são reais

48. Veri�que se W =


a
b
c
 : a+ b+ c = 2
 é um espaço linear.
49. Seja M2×2 o espaço vectorial de todas matrizes 2 × 2, e de�na T : M2×2 → M2×2 por T (A) = A + At,
onde M =
a b
c d
 .
(a) Mostre que T é uma transformação linear;
(b) Descreva o núcleo de T.
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22
6 Plano e recta no espaço
6.1 Plano
Primeira aula prática: 1, 2, 3, 4(a), 5, 6, 7, 10;
Segunda aula prática: 11, 12, 13, 17, 18, 20, 22.
1. Achar a equação do plano que passa pelo ponto (5,−1, 3) cuja normal tem os valores directores [1,−4, 2].
2. Um plano passa pelos pontos (3, 3,−4) e os seus cossenos directores da sua normal são 3/13,−12/13,−4/13.
Achar a equação do plano.
3. Achar a equação do plano que contém o ponto (6, 4,−2) e é perpendicular a recta que passa pelos pontos
(7,−2, 3) e (1, 4,−5).
4. Achar a equação do plano que passa pelos três pontos:
(a) (−3, 2, 4), (1, 5, 7), (2, 2,−1);
(b) (1, 4,−4), (2, 5, 3), (3, 0,−2).
5. Um plano passa pelo ponto (5,−1, 3) e os ângulos directores da sua normal são α = 600 β = 450. Ache
a equação plano.
6. Achar a equação do plano que passa pelo ponto (3,−5, 7) e é paralelo ao plano XZ.
7. Achar a equação do plano perpendicular ao segmento A(3, 2,−7) e B(5,−4, 9) no seu ponto médio.
8. Demonstrar que os quatro pontos são complanares:
(2, 1, 3), (3,−5,−1), (−6, 7,−9), (−2, 4,−3).
9. Construir a �gura em cada caso:
(a) x+ y + z − 1 = 0;
(b) x+ 2y − z − 2 = 0;
(c) 5x− 3y + 15z − 15 = 0.
10. Se A,B,C e D são todos diferentes de zero, demonstre que o tetraedro formado pelos planos coordenados
e o plano Ax+By + Cz +D = 0 tem o volume igual a
1
6
∣∣∣∣ D3ABC
∣∣∣∣ .
11. Achar a equação do plano cujas interseções respectivas com os eixos X,Y, Z são −5, 3 e 1.
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
6.1 Plano 23
12. Escrever em forma de determinante a equação do plano que passa pelos pontos (6, 2, 0), (4,−1, 2), (3, 4,−1).
A partir dela escrever a forma geral do plano.
13. Achar o ângulo agudo formado pelos planos 3x− y + z + 3 = 0 e x− y + 4z − 9 = 0.
14. Achar o ângulo agudo formado pelo plano 5x+ 4y − z = 8 = 0 e o plano XY.
15. Achar a equação do plano que passa que passa pelo ponto (3,−2, 6) e é paralelo ao plano 4y−3z+12 = 0.
16. Achar a equação do plano perpendicular ao plano XY e que passa pelos pontos (2,−2, 11) e (−7,−8,−3).
17. Achar a equação do plano que passa pelo ponto (4,−2, 1) e é perpendicular a cada um dos planos
x− 3y + 4z − 9 = 0 e 2x+ 2y − z + 11 = 0.
18. A normal a um plano tem um comprimento de 5 e os seus ângulos directores são α = 450 e β = 600.
Achar a equação do plano.
19. Reduzir as equações dadas a forma normal:
(a) 8x+ 4y − z + 18 = 0;
(b) 6x+ 6y + 7z − 22 = 0.
20. Achar a distância da origem a cada um dos planos paralelos:
4x− 4y + 7z − 18 = 0, 4x− 4y + 7z + 22 = 0
e daqui achar a distância entre estes planos.
21. Achar a distância entre os planos paralelos
6x+ 3y − 2z + 14 = 0 6x+ 3y − 2z − 35 = 0.
22. Achar a equação do plano que é paralelo ao plano da equação
2x− y + 2z − 9 = 0
e está a duas unidades dele.
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
6.2 Recta no espaço 24
6.2 Recta no espaço
Primeira aula prática: 1, 3, 4, 6, 7, 9, 13, 14, 15;
Segunda aula prática: 17, 18, 21, 22, 23, 24, 26, 29, 31.
1. Achar a equação da recta que passa pelo ponto P (2,−1, 4) e têm os valores directores [3,−1, 6].
2. Achar as equações da recta que passa pelo ponto (−3, 2, 7) e é paralela a recta cujos valores directores
são [1,−1, 3].
3. Achar as equações da recta que passa pelo ponto (−3, 2, 7) e é perpendicular ao plano 2x− 3y + z = 0.
4. Dois dos ângulos directore de uma recta são α = 450 e β = 600. Se a recta passa pelo ponto (4,−1, 4).
Achar as equações da recta.
5. Achar as equações da recta que passa pelo ponto (3,−2, 7) e corta o eixo X perpendicularmente.
6. Achar as equações da recta que passa pelo ponto (−7, 3,−5) e é perpendicular a cada um dos dois vectores
[4,−2, 3] e [1, 2,−2].
7. Achar as equações da recta que passa pelo ponto (−6, 5, 3) e é paralela a recta x+ 4
−2
=
3− y
2
=
3z + 5
6
.
8. Achar as equações da recta que passa pelo ponto (3,−3, 4) e é perpendicular a cadauma das rectas
2x+ 4
4
=
y − 3
−1
=
z + 2
5
e
x− 3
1
=
2y − 7
2
=
3− z
−3
.
9. Achar o ângulo agudo formado pelas rectas
x− 1
−7
=
y
3
=
2z + 3
−4
e
x+ 5
3
=
y − 8
−2
=
z + 9
9
.
10. Achar as equações da recta que passam pelos pontos dados:
(a) (0, 0, 0) (2,−1, 5);
(b) (2, 3,−4) (−5, 3,−4).
11. Achar as equações paramétricas da recta que passa pelo ponto (6,−4, 2) e tem os ângulos directores
α = 600, β = 1350.
12. Escrever as equações paramétricas de uma recta que está situada:
(a) No plano XY ;
(b) no plano XZ;
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
6.2 Recta no espaço 25
(c) no plano Y Z.
13. As equações paramétricas de uma recta são:
x = 2 + 4t, y = t− 4, z = 7− 8t.
Reduzir essas equações a forma paramétrica.
14. Achar os planos projectantes da recta cujas as equações são:
(a) x+ y + z = 6, 3x− y − z = 2;
(b) 2x− y + 4z = 8, x+ 3y − 5z = 9;
(c) x− y − z = 2, 3x+ 2y + z = 6.
15. As equações de uma recta são:
4x+ 2y − 3z + 8 = 0, 2x− y + 2z − 11 = 0.
Achar as coordenadas do ponto desta recta. Demonstre que está no plano 2x+ 7y − 12z + 49 = 0.
16. Demonstre que a recta
x+ 3
4
=
y − 5
−1
=
z + 7
2
está no plano x− 2y − 3z − 8 = 0.
17. Achar a equação do plano determinado pela recta 2x+2y− z+3 = 0 e x−y+2z+2 = 0 e pelo ponto
(3,−1, , 2).
18. Reduzir a forma geral dada na forma paramétrica as equações das rectas x−y+3z = 4, 2x+y+3z = 12.
19. Demonstre que a recta x+3y+z+9 = 0, 4x+3y−2z+12 = 0 é paralela ao plano 2x−3y−4z+6 = 0.
20. Demonstre que a recta x−2y−z+7 = 0, 2x−10y+z+5 = 0 é perpendicular ao plano 4x+y+2z−5 = 0.
21. Demonstre que as rectas 2x+ y+ z = 0, x− 4y+ 2z + 12 = 0, e x+ 7
2
=
3y + 4
−3
=
9− z
3
são paralelas.
22. Demonstre que as rectas 2x+y−z+10 = 0, y+2z−4 = 0, e 4− x
4
=
y − 3
−3
=
z + 11
2
são perpendiculares.
23. Achar o ângulo obtuso formado pelas rectas
2x+ 3
4
=
y + 2
−2
=
z − 2
−3
e
x+ y − 2z + 11 = 0, 2x− y + z − 9 = 0.
24. Achar o ângulo agudo formado pela recta 2x+ y − 4z − 2 = 0, 4x− 3y + 2z − 4 = 0 e
x+ 5y + z + 1 = 0, x+ y − z − 1 = 0.
25. Achar o ângulo formado pela recta
x+ 2
3
=
y
−1
=
z − 4
2
e o plano 2x+ 3y − z + 11 = 0.
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
6.2 Recta no espaço 26
26. Achar o ângulo formado pelas rectas x−2y+z+4 = 0, x+2y+3z−4 = 0 e o plano 3x−7y+8z−9 = 0.
27. Achar a distância do ponto (−1, 2, 3) a recta x− 7
6
=
y + 3
−2
=
z
3
.
28. Demonstre que as rectas
x− 2
3
=
y − 2
4
=
8− z
4
e
x− 1
2
=
2− y
−4
=
z + 3
−4
.
são paralelas e ache a distância entre elas.
29. Achar a distância mais curta entre as rectas cruzadas
x+ y + 2z − 1 = 0, x− 2y − z − 1 = 0
2x− y + z − 3 = 0, x+ y + z − 1 = 0
30. Achar a equação da recta que passa pelo ponto (6, 4,−2) e é paralela a cada um dos planos x+2y−3z+8 =
0 e 2x− y + z − 7 = 0.
31. Demonstre que as rectas
x− 1
2
=
y − 4
1
=
z − 5
2
,
x− 2
−1
=
y − 8
3
=
z − 11
4
se intersectam e achar a equação do plano determinado por elas.
J.S.P Munembe e A.J. Matusse 2013
27
7 Linhas da segunda ordem
Primeira aula prática: 1b, 2a, 3b, 4, 6, 8, 10, 11, 12
Segunda aula prática: 13, 14a, 14b, 18, 19, 21, 24, 27, 29.
1. Encontre as seguintes �guras no plano XY :
(a) A circunferência de centro na origem de coordenadas e raio 3.
(b) A circunferência de centro C = (1, 2) e raio 3;
2. Achar o centro e o raio da circunferência
(a) (x+ 7)2 +
(
y +
1
2
)
= 64;
(b) (x− 2, 5)2 + y2 = 50.
3. Demonstre que a equação dada é uma equação da circunferência. Ache seu centro e raio
(a) x2 − 2x+ 4y + y2 − 20 = 0;
(b) x2 − 6x+ 10y + y2 + 9 = 0.
4. Escreva a equação da circunferência cujo centro se encontra no ponto C(3; 7), se se sabe que é tangente
ao eixo OX.
5. Escreva a equação da circunferência cujo centro está situado no ponto de intersecção das rectas
2x+ 3y − 13 = 0 e x+ y − 5 = 0 se é tangente ao eixo das ordenadas.
6. Escreva a equação da circunferência que passa pelos três pontos M1(0; 0),M2(3; 0) e M3(0; 4).
7. Escreva a equação da circunferência circunscrita ao redor de um triângulo, cujos lados pertencem as rectas
x− 3y + 1 = 0, 9x− 2y − 41 = 0 e 7x+ 4y + 7 = 0.
8. Calcule a distância mais curta do ponto A(8;−6) a circunferência x2 + y2 − 4 = 0.
9. Escreve a equação da circunferência que é simétrica a circuferência (x− 1)2 + (y − 2)2 = 1 em relação a
recta y = x− 3.
10. A circunferência está de�nida pelas equações x =
√
2 cos t, y =
√
2 sin t 0 ≤ t ≤ 2π. Escreva a equação
canónica desta circuferência.
11. Escreva a equação canónica da elipse, se a distância focal é igual a 8 e passa pelo ponto (0;−3).
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12. Escreva a equação da elipse se o seu foco encontra-se no ponto (6; 0) e corta o eixo de ordenadas no ponto
(0;−3).
13. Demonstre que a equação 7x2 +16y2 − 112 = 0 é uma equação da elipse. Achar as coordenadas dos focos
e a distância focal.
14. Escreva a equação canónica da elipse se:
(a) seus semieixos são iguais a 7 e 3;
(b) seu semieixo maior é 5 e a distância focal 6.
15. Seja dada a elipse
x2
25
+
y2
9
= 1. Achar seu semieixo maior, seu semieixo menor, a distância focal, as
coordenadas dos focos, os vértices e a excentricidade.
16. Escreva a equação canónica da elipse se seu semieixo maior a = 5 e a excentricidade ε =
3
5
.
17. Ache a excentricidade da elipse
x2
100
+
y2
64
= 1.
18. Sejam dadas as equações paramétricas da elipse
x = 7 cos t, y = 4 sin t.
Escreva sua equação canónica.
19. Escreva a equação canónica da hipérbole, se a distância focal é igual a 30 e a hipérbole passa pelo ponto
(−9; 0).
20. Escreva a equação canónica da hipérbole se seu foco se encontra no ponto (−5
√
2; 0) e a hipérbole corta
o eixo das abcissas no ponto (6; 0).
21. Demonstre que a equação 11x2 − 25y2 − 275 = 0 é uma equação da hipérbole. Achar as coordenadas dos
focos.
22. Para a hipérbole 9x2 − 16y2 − 144 = 0. Achar:
(a) Os semieixos;
(b) as coordenadas dos focos;
(c) as coordenadas dos vértices;
(d) as equações das assimptotas.
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23. Seja dada a hipérbole
x2
25
− y
2
36
= 1. Escreva as equações das rectas paralelas, que limitam uma parte do
plano que não contém nenhum ponto da hipérbole.
24. Ache as assimptotas da hipérbole
x2
64
− y
2
36
= 1. Construir a hipérbole e achar a sua excentricidade.
25. Escreva a equação da hipérbole sabendo que suas assimptotas tem as equações y = ±2x, e a distâncial
focal é igual a 10.
26. Escreva a equação canónica da parábola, se as coordenadas do foco são (4; 0) e a equação da directriz é
x+ 4 = 0.
27. Seja dada a parábola y2 = 5x. Achar os pontos da parábola, cuja distância focal é igual a 4.
28. Forme a equação canónica da parábola, cujo foco se encontra no ponto de intersecção da recta 2x−5y−8 =
0 com o eixo das abcissas. Construa essa parábola.
29. Construir no mesmo eixo as seguintes parábolas:
x2 =
1
2
y, x2 = y, x2 = 2y.
30. O foco de uma parábola está situado no foco
(
0;
1
4
)
, a directriz é paralela ao eixo das abcissas e corta
o eixo das ordenadas num segmento cujo comprimento é igual a
1
4
. Escreva a equação da parábola.
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8 Superfícies da segunda ordem
Primeira aula prática: 1b, 2, 3, 4, 5, 6a, 6b
Segunda aula prática: 6d, 6e, 7, 8
1. Encontre as equações das seguintes �guras no espaço xyz :
(a) A esfera de centro na origem e raio 2;
(b) A esfera de centro C = (1, 2, 1) e raio 3.
2. Faça o esboço do elipsoide
x2
1
+
y2
4
+
z2
9
= 1.
3. Faça o esboço do cone elíptico z2 =
x2
1
+
y2
4
.
4. Faça o esboço do hipérboloide de uma folha
x2
4
− y
2
9
+
z2
1
= 1.
5. Faça o esboço do paraboloide de duas folhas dado por
z2
9
− x
2
16
− y
2
4
= 1.
6. Identi�que as quádricas abaixo vistas como equações no espaço tridimensional xyz, dizendo se elas são
degeneradas ou não e em caso descrevendo-as completamente. Faça o esboço:
(a) 2x2 + 5y2 + 4z2 = 20;
(b) 9x2 + 4y2 − 36x− 24y + z2 + 36 = 0;
(c) x2 + y2 + z2 + 5 = 0;
(d) 2x2 + z2 − y2 + 8 = 0;
(e) x2 + 2xy = 0;
(f)2x2 − y2 − 4x− 8y + z2 = 0;
(g) x2 − 2xy + y2 = 0.
7. Encontre uma rotação do tipo x = Px′ que elimine o termo cruzado da quádrica 2x2 + 3y2 + 23z2 +
72xy + 150 = 0. Identi�que a quádrica e faça um esboço.
8. Encontre uma rotação e uma translação de eixos que transformam a quádrica 2xy− 6x+10y+ z− 31 = 0
em uma quádrica padrão.
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