Cálculo - Unidade 9 (Parte 03)

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CÁLCULO
Esboço do gráfico de uma função 
real de uma variável real
Neste segmento de aprendizagem, vamos estudar 
comportamentos assintóticos. Nosso objetivo é a utilização de 
operadores matemáticos do cálculo, como limites, no intuito 
de nos ajudar na construção de gráficos e no estudo do 
comportamento de funções, tudo bem?
Uma assíntota delimita o 
comportamento de uma função. A 
função não toca ou cruza uma reta 
assíntota.
Neste estudo, em algumas situações, precisaremos estudar o 
que acontece com a função quando tendemos ao infinito.
Em muitas situações do cálculo, será interessante entendermos o 
que acontece com a função quando o x ou a variável independente 
em estudo cresce ou decresce indefinidamente.
Utilizaremos a notação seguinte:
Se os valores da função f(x) ficam tão próximos quando x cresce 
indefinidamente de um número dado por L, podemos escrever:
( )lim
x
f x L(f x L( )f x L)
→+∞
f x L=f x L .
Da mesma forma, se os valores da função f(x) ficam tão próximos 
quando x decresce indefinidamente de um número dado por L, 
podemos escrever:
( )lim
x
f x L(f x L( )f x L)
→ ∞–→ ∞–
f x L=f x L .
Existem algumas regras para cálculo de limites no infinito:
1
) lim 0) lim 0
1
) lim 0
1
1
) lim 0) lim 0
1
) lim 0
1
x
x
a) lim 0a) lim 0
x
b) lim 0b) lim 0
x
→+∞
→−∞
) lim 0=) lim 0
) lim 0=) lim 0
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CÁLCULO
Agora, observe o gráfico da função ( ) 1f x(f x( )f x)
x
= .
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
0
2 4 6 8 10
-2
2
6
14
x
12
-4
-6
y
Observe a concordância do comportamento apresentado no 
gráfico com os limites a e b. 
Veja também que a função se aproxima de y = 0, mas não 
toca essa reta y = 0. Logo, dizemos que y = 0 é uma assíntota 
horizontal.
Ocorrerá uma assíntota horizontal y = L quando pelo menos um 
dos limites ocorrer:
( )lim
x
f x L(f x L( )f x L)
→+∞
f x L=f x L ou ( )lim
x
f x L(f x L( )f x L)
→ ∞–→ ∞–
f x L=f x L
Entretanto, observe que a função também não toca ou cruza a 
reta x = 0, ou seja, x = 0 é uma assíntota vertical dessa função.
De forma geral, dizemos que, para termos uma assíntota vertical 
x = a, devemos ter pelo menos a ocorrência de um dos limites: 
( )
( )
( )
( )
lim
lim
lim
lim
x a
x a
x a
x a
f x(f x( )f x)
f x(f x( )f x)
f x(f x( )f x)
f x(f x( )f x)
−
−
+x a+x a
+x a+x a
→x a→x a
→x a→x a
→x a→x a
→x a→x a
= +∞
= −∞
= +∞
= −∞
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CÁLCULO
Agora, vamos a um exemplo no qual determinaremos se a função 
possui assíntotas horizontais ou verticais? Acompanhe a seguir.
A função é dada por ( )
2
x
f x( )f x( )
x
=
−
. Veja o gráfico ilustrando essa 
função.
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
0
2 4 6 8 10
-2
2
6
14
x
12
-4
-6
y
Feito isso, vamos estudar os limites no infinito:
lim ( ) lim
2 2x x
x
lim ( ) limf xlim ( ) lim
x→−∞ →−∞x x→−∞ →−∞x x
−∞ −∞
= = == = == = =lim ( ) lim= = =lim ( ) lim
− −∞ − −∞2 2− −∞ − −∞2 2
. 
Nessa situação, chegamos a uma forma de indeterminação 
matemática.
Para resolvermos essa indeterminação, vamos dividir o 
numerador e o denominador pela variável de maior potência, no 
caso, x:
1 1 1
lim ( ) lim lim lim 1
1 1 1
lim ( ) lim lim lim 1
1 1 1
lim ( ) lim lim lim 1
2 2 2
lim ( ) lim lim lim 1
2 1 0
lim ( ) lim lim lim 1
2 1 0
lim ( ) lim lim lim 1
2 2 22 1 02 2 2
lim ( ) lim lim lim 1
2 2 2
lim ( ) lim lim lim 1
2 1 0
lim ( ) lim lim lim 1
2 2 2
lim ( ) lim lim lim 1
1 1
x x x x
x
x
lim ( ) lim lim lim 1
x
lim ( ) lim lim lim 1xlim ( ) lim lim lim 1xlim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1f xlim ( ) lim lim lim 1
2 1 0x2 1 0x
x x x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞x x x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞x x x xx→−∞ →−∞ →−∞ →−∞xx x x xxx x x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞x x x xxx x x x
lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1
− +2 1 0− +2 1 02 2 22 1 02 2 2− +2 2 22 1 02 2 2− +2 1 0− +2 1 02 1 01 12 1 0− +2 1 01 12 1 0
2 2 22 1 02 2 21 1
2 2 22 1 02 2 2− +2 2 22 1 02 2 21 1
2 2 22 1 02 2 22 1 0x2 1 0− +2 1 0x2 1 02 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0− +2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 02 2 22 1 02 2 2→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 2 22 1 02 2 2− +2 2 22 1 02 2 2→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 2 22 1 02 2 2→−∞ →−∞ →−∞ →−∞− +→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0− +2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞− +→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0− +2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 02 1 0x x x x2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0x x x x2 1 0− +2 1 0x x x x2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0x x x x2 1 02 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2− +2 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2x x x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞x x x x− +x x x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞x x x x2 1 0x x x x2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0x x x x2 1 0− +2 1 0x x x x2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0x x x x2 1 02 1 0x2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0x2 1 0− +2 1 0x2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0x2 1 02 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0− +2 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0→−∞ →−∞ →−∞ →−∞2 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0− − −− − −1 1− − −1 11 1− − −1 1
−∞
Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal. 
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CÁLCULO
O mesmo comportamento ocorre para o seguinte caso:
1 1 1
lim ( ) lim lim lim 1
1 1 1
lim ( ) lim lim lim 1
1 1 1
lim ( ) lim lim lim 1
2 2 2
lim ( ) lim lim lim 1
2 1 0
lim ( ) lim lim lim 1
2 1 0
lim ( ) lim lim lim 1
2 2 22 1 02 2 2
lim ( ) lim lim lim 1
2 2 2
lim ( ) lim lim lim 1
2 1 0
lim ( ) lim lim lim 1
2 2 2
lim ( ) lim lim lim 1
1 12 1 01 12 1 0
2 2 22 1 02 2 21 1
2 2 22 1 02 2 2x x x x
x
x
lim ( ) lim lim lim 1
x
lim ( ) lim lim lim 1xlim ( ) lim lim lim 1xlim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1f xlim ( ) lim lim lim 1
2 1 0x2 1 0x
x x x
2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 02 2 22 1 02 2 2→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 2 22 1 02 2 22 1 0x x x x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x2 1 02 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞x x x x2 1 0x x x x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x2 1 02 1 0x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x2 1 02 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞xx x x xxx x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞x x x xxx x x x
lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1lim ( ) lim lim lim 1= = = = = =lim ( ) lim lim lim 1
2 1 0− −2 1 02 2 22 1 02 2 2− −2 2 22 1 02 2 22 2 22 1 02 2 2→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 2 22 1 02 2 2− −2 2 22 1 02 2 2→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 2 22 1 02 2 22 1 0x x x x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x2 1 0− −2 1 0x x x x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x2 1 02 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2− −2 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 2 22 1 02 2 2x x x x2 2 22 1 02 2 2x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞x x x x− −x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞x x x x2 1 0x x x x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x2 1 0− −2 1 0x x x x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x2 1 02 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0− −2 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0→+∞ →+∞ →+∞ →+∞2 1 0x x x x2 1 0x2 1 0x x x x2 1 0− − −− − −1 1− − −1 11 1− − −1 1
+∞
Ou seja, quando x cresce indefinidamente, a função tende a 
y = 1; e quando x decresce indefinidamente, a função também 
tende a y = 1 (mas não tocam y = 1).
Vamos agora verificar se existem assíntotas verticais (embora o 
gráfico já nos indique que existem).
Observe que estudar o que acontece quando x → 2 pode ser 
muito interessante.
Nessa situação, teremos:
2 2
2 2
lim ( ) lim
2
lim ( ) lim
2
x x
x x
x
lim ( ) limf xlim ( ) lim
x
x
lim ( ) limfxlim ( ) lim
x
− −2 2− −2 2
+ +2 2+ +2 2
→ →2 2→ →2 2x x→ →x x2 2x x2 2→ →2 2x x2 2
→ →2 2→ →2 2x x→ →x x2 2x x2 2→ →2 2x x2 22 2+ +2 2→ →2 2+ +2 22 2x x2 2+ +2 2x x2 2→ →2 2x x2 2+ +2 2x x2 2
= = −∞= = −∞lim ( ) lim= = −∞lim ( ) lim
−
= = +∞= = +∞lim ( ) lim= = +∞lim ( ) lim
−
Ou seja, x = 2 é uma assíntota vertical.
Uma curiosidade: que raciocínio utilizamos para chegar aos 
resultados quando x tende a 2 pela esquerda e direita?
Vamos analisar:
a) Quando x tende a 2 pela esquerda de 2, temos valores 
menores do que 2. Dessa forma, o denominador de 
2
x
x −
 
tende a valores muito pequenos, porém, negativos. Teremos, 
então, o numerador tendendo a 2, e o denominador tendendo 
a zero negativo, o que resulta em menos infinito.
b) Quando x tende a 2 pela direita de 2, temos valores maiores 
do que 2. Dessa forma, o denominador de 
2
x
x −
 tende a um 
número muito pequeno, porém, positivo. Teremos, então, o 
numerador tendendo a 2, e o denominador tendendo a zero 
positivo, o que resulta em mais infinito.
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Percebeu como as assíntotas nos ajudam a esboçar um gráfico e 
a definir comportamentos de funções matemáticas? Nos vemos 
na próxima unidade!