Derivadas de Funções Trigonométricas e Regra da Cadeia

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Funções de uma variável 
Semana 2 
Derivadas das funções trigonométricas
Regra da cadeia
Derivadas de funções definidas implicitamente
Derivada de funções inversas
Derivadas de funções logarítmicas
Derivadas de funções trigonométricas inversas
1. Derivadas das funções trigonométricas 
Antes de começar a calcular as derivadas das funções trigonométricas, lembremos 
que no curso de Bases Matemáticas aprendemos os seguintes limites fundamentais 
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af://n3
af://n5
1.1. Exercício 
Revise os argumentos usados para verificar os limites anteriores (você pode ler, por 
exemplo, o volume 1 do livro de Cálculo de E. Stewart).
Usando a definição de derivada podemos verificar que e 
. Para calcular a derivada da função , note inicialmente que a 
fórmula do seno de uma soma nos permite escrever 
Desta forma, usando os limites fundamentais, temos que 
af://n10
1.2. Exercício 
Usando fórmula do cosseno de uma soma e os limites fundamentais, verifique que 
A regra da derivada do quociente e algumas identidades trigonométricas nos 
permitem encontrar expressões simples para as derivadas das demais funções 
trigonométricas. Vejamos um exemplo.
1.3. Exemplo 
Calcule a derivada de . Para isto escrevemos
Lembremos que devemos excluir os pontos onde a função se anula. Assim, 
Desta forma, , para .
Usando os mesmos argumentos podemos mostrar que: 
1. ,
2. ,
3. .
1.4. Exercício 
Determine o domínio das funções abaixo e depois derive-as.
1. .
2. .
3. .
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2. Regra da cadeia 
Antes de enunciar a regra da cadeia vejamos um exemplo. Dada a função 
, como podemos calcular ?
Sabemos que, se e então e . 
Contudo, a função que queremos derivar não é nenhuma destas, mas sim sua 
composição. Mais especificamente, 
Parece que não conseguimos calcular usando o que aprendemos até agora! 
Vamos recorrer, mais uma vez, à definição de derivada. Vejamos 
aqui usamos o fato de que quando , visto que a função é 
contínua em , por ser derivável neste ponto ( é derivável em todos os pontos). 
Logo 
O que fizemos acima para calcular a derivada da composição de funções pode ser 
utilizada em várias outras situações. Ela é uma das mais importantes regras de 
derivação e pode ser enunciada como se segue:
2.1. Teorema (Regra da Cadeia) 
Se é diferenciável em e é diferenciável em , então a função 
composta , definida por , é diferenciável em e 
é dada por 
A equação é conhecida como a Regra da Cadeia. Observemos que, na fórmula 
acima, a derivada da função é calculada no ponto . Em um certo sentido, a 
regra afirma que a derivada da composta é o produto das derivadas. É preciso 
somente tomar o cuidado de calcular as derivadas nos pontos corretos do domínio 
das funções e .
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2.2. Exemplo 
Vamos calcular a derivada da função . Para identificar a 
composição envolvida nesta função, vamos calcular a função em um ponto 
arbitrário, por exemplo em . Primeiro determinamos . Em 
seguida, elevamos este valor à potência para obter . Note que foram 
necessários dois passos, o que indica que temos a composição de duas funções. Mais 
especificamente, se definirmos
temos que 
Uma vez que e , segue, da Regra da Cadeia, que
Como você poderia calcular essa derivada sem usar a regra que acabamos de 
aprender?
2.3. Exemplo 
Queremos calcular a derivada de . Para identificar a composição na 
função vamos proceder como no exemplo anterior, calculando a função em 
. O primeiro passo é . O segundo é calcular a tangente deste valor para 
obter . Deste modo, , com e . 
Uma vez que e , temos que 
para todo .
Se e , então pode ser vista como uma função da variável . Neste 
caso, Usando a notação de Leibnitz, a Regra da Cadeia pode ser escrita como 
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em que é a derivada da função vista como função de , é a derivada de com 
respeito a . O exemplo seguinte ilustra esta maneira de olhar para a regra.
2.4. Exemplo 
A função pode ser vista como uma composição. De fato, se 
fizermos e , então . Deste modo, 
Usando a regra da cadeia podemos escrever as fórmulas para funções compostas 
mais gerais. Se é uma função de , podemos escrever
Quais outras funções você poderia por na anterior lista?
2.5. Exercício 
Derive as seguintes funções:
1. .
2. .
3. .
4. . Para quais valores de a função está definida?
5. , para e . Observe que e use a regra da 
cadeia. 
 Resposta: .
3. Derivadas de funções definidas implicitamente 
As regras de derivação aprendidas até agora nos permitem derivar várias funções 
envolvendo potências, funções trigonométricas e muitas das possíveis combinações 
como somas, produtos e quocientes destas funções. Agora vamos considerar a 
situação em que não sabemos a expressão da função , mas sim que o seu 
gráfico é um subconjunto de alguma curva no plano. Considere por exemplo a 
equação
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que descreve uma circunferência de raio centrada na origem. Se tentarmos isolar o 
 na equação acima vamos obter . O símbolo indica que, de uma 
maneira global, não podemos escrever como sendo uma função de . Logo, esta 
circunferência não pode ser o gráfico de uma função. Porém, se considerarmos 
somente a parte superior, obteremos o gráfico da função com 
. Note que esta função é derivável e, pela regra da cadeia, . 
De maneira análoga, a parte de baixo da circunferência éo gráfico de 
, com . Usando novamente a regra da cadeia obtemos 
. 
Vamos mostrar agora uma outra maneira de calcular as derivadas acima. Faremos 
isto pulando a primeira etapa do cálculo, que foi essencialmente isolar o na 
equação. De fato, vamos supor que a equação define, implicitamente, como 
função de , para variando em algum intervalo contido em . Para que fique 
mais claro vamos escrever
Supondo que a função é derivável podemos derivar os dois lados dessa igualdade 
para obter
A derivada do primeiro termo acima é e a do último é . Para o 
cálculo da derivada de precisamos ser um pouco cautelosos. O leitor deve 
notar que o que temos aqui é, de fato, a derivada de uma composição de funções. De 
fato, observe que para calcular a função em algum ponto são necessários 
dois passos: primeiro calcula-se e depois eleva-se este valor ao quadrado. 
Desse modo, usando a regra da cadeia obtemos
Portanto, após as devidas simplificações, concluímos que
A expressão acima mostra que se soubermos os valores de e podemos calcular 
. Note que isto pode ser feito sem que precisemos isolar o . Por exemplo, se 
quisermos saber a equação da reta tangente ao círculo no ponto basta substituir 
 e na expressão acima para obter . Assim, a reta 
tangente tem a seguinte equação 
Vale observar que a reta tangente acima poderia ter sido calculada considerando-se a 
função do início do texto e a reta tangente ao gráfico de no ponto 
. Contudo, a maneira como fizemos o cálculo é mais direta e, 
principalmente, a equação fornece a inclinação em qualquer ponto da 
circunferência onde o é não nulo e pode ser escrito como função de . Por exemplo, 
se consideramos a parte superior da circunferência temos , e 
portanto a equação pode ser escrita como
que é exatamente a derivada da função .
O processo descrito acima se chama derivação implícita. Ele é especialmente útil 
quando temos uma equação complicada, onde não é possível escrever como função 
de . Este é o caso que temos no seguinte exemplo.
3.1. Exemplo 
Consideremos a seguinte equação
cujo gráfico no plano é uma curva chamada de Lemniscata (ver figura a seguir). 
Observe que o par ordenado satisfaz a equação. Vamos usar diferenciação 
implícita para determinar a equação da reta tangente neste ponto. Para tanto, vamos 
supor que na vizinhança deste ponto podemos escrever como função de e que a 
função é derivável. 
Neste caso, temos que
Derivando os dois lados da igualdade com relação a e usando a regra da cadeia 
obtemos
Fazendo e , vem
Isolando concluímos que , e portanto a reta tangente tem a 
seguinteequação
Resumindo, se é uma relação implícita (isto é, não é possível escrever 
 em termos somente de ) usamos o método conhecido como Método da 
diferenciação implícita para encontrar . Os passos de tal método são:
1. Derivar, usando a regra da cadeia, ambos os lados da igualdade 
com relação à variável .
2. Resolver a equação resultante para .
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No exercício que segue as equações dadas determinam implicitamente como uma 
função diferenciável de , de forma que o método da diferenciação implícita pode ser 
aplicado.
3.2. Exercício 
1. Encontre para as seguintes relações implícitas: 
a. ; 
b. , onde é qualquer número real; 
c. .
2. A curva com equação é chamada astróide
a. Verifique que o ponto pertence à curva;
b. Determine a equação da reta tangente no ponto acima.
4. Derivada de funções inversas 
Antes de estudar esta parte das notas, para melhor aproveitamento, é aconselhável 
que você revise o conceito de função inversa. 
Agora que conhecemos a regra da cadeia e o método da diferenciação implícita, 
podemos encontrar a derivada de uma função inversa dada.
Questão: Se , então como podemos encontrar em termos de ?
Vamos assumir que é uma função diferenciável e injetora e sua função inversa 
também é diferenciável. Do fato de que é a inversa de , aplicando a ambos 
lados da igualdade , obtemos que 
Agora, usando o método diferenciação implícita e a regra da cadeia temos que 
Desta forma, temos que 
Assim, 
desde que o denominador não seja nulo! 
O seguinte teorema expressa formalmente os argumento que acabamos de esboçar.
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4.1. Teorema da Função Inversa 
Suponha que a função tem derivada no intervalo e que esta derivada nunca 
se anula. Então a função inversa existe, é derivável e 
No entanto, ainda temos no lado direito da igualdade anterior. De fato, 
podemos usar esta técnica para encontrar a derivada da função inversa de em um 
ponto específico ou para algumas funções especiais como as funções 
trigonométricas ou as logarítmicas!
 
4.2. Cálculo da derivada da função inversa em um ponto especifico 
Vamos ilustrar como calcular a derivada de uma função inversa em um ponto 
especifico usando dois exemplos:
1. Sabendo que é injetora e derivável no intervalo , com e 
, encontre .
Solução. Neste caso o calculo é bastante direto. O Teorema da Função Inversa 
garante que existe, e como então e 
2. Dada , encontre . 
Solução. A função é derivável em e (nunca se anula!). Por 
outro lado . Assim, pelo Teorema da Função Inversa temos que 
5. Derivadas de funções logarítmicas 
Lembre que a função logaritmo pode ser definida com sendo a inversa da função 
exponencial, de modo que
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Note primeiro que é derivável com , com , para todo 
. Segue então do Teorema da Função Inversa que a sua inversa é 
derivável. Para calcular a derivada podemos usar a fórmula dada pelo teorema. 
Contudo, o procedimento seguinte pode ser mais simples de ser memorizado: como 
é a inversa de , temos que
Uma vez que já sabemos que as duas funções são deriváveis, podemos derivar os dois 
lados da igualdade acima, com respeito a , e usar a Regra da Cadeia. Como é a 
inversa de , temos que , logo
Com isso concluímos que 
5.1. Exemplo    
Dado um número , com , a função exponencial de base , , satisfaz 
a igualdade 
Usando a Regra da Cadeia temos que 
A igualdade estabelece que a derivada da função exponencial é a própria 
exponencial. Porém, é preciso tomar cuidado com possíveis composições. Por 
exemplo, para derivar a função é necessário usar a Regra da Cadeia, porque temos 
aqui a composição da exponencial com a função . Deste modo, 
 O mesmo cuidado deve ser tomando com a função 
logarítmica:
O exemplo a seguir generaliza os casos acima.
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5.2. Exemplo 
Se é uma função derivável, então
com a restrição de que, no segundo caso, a função seja positiva, para que a 
composição faça sentido.
5.3. Exercício 
Derive as seguintes funções:
1. ;
2. ;
3. .
Para diferenciar produtos, quocientes ou potências existe um método muito útil 
conhecido como método de diferenciação logarítmica, cujos passos descrevemos 
brevemente no que segue:
1. Tome o logaritmo natural em ambos os lados e simplifique. 
2. Diferencie implicitamente com relação a . 
3. Encontre . 
5.4. Exemplo 
Derive a função 
Solução . Começamos tomando logaritmo natural em ambos lados da igualdade. 
Desta forma, temos que 
Derivando a expressão acima, temos que 
logo 
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5.5. Exercício 
Diferencie 
6. Derivadas de funções trigonométricas inversas 
Finalizamos o texto introduzindo as funções trigonométricas inversas. Vamos tratar 
somente da inversa da tangente, deixando as demais como exercício. A função 
tangente é definida, em todos os pontos onde o cosseno não se anula, por
Uma propriedade básica da função tangente é , para todo . 
Assim, a função tangente não é injetiva, não podendo assim ser invertível. Contudo, 
se nos restringirmos ao intervalo , então a tangente é crescente, tendo 
portanto uma inversa, que vamos chamar de arco tangente. Deste modo, a função é 
definida por
Note que
e neste caso . Lembre que a derivada da tangente é a função , que é 
sempre positiva no intervalo . Segue então do Teorema da função 
inversa que a função arco tangente é derivável. Para calcular a derivada, vamos 
proceder como no caso da função logarítmica. Se denotarmos , então
Derivando os dois lados com respeito a , e usando a Regra da Cadeia, obtemos
A expressão acima, apesar de correta, não é muito boa para calcularmos os valores de 
. Com o intuito de escrever o lado direito da última igualdade somente como 
função de , vamos lembrar que , de modo que 
Aqui usamos o fato de que . 
Fazendo restrições convenientes do domínio, é possível inverter as outras funções 
trigonométricas, bem como calcular as derivadas das inversas. Esses casos ficam 
como exercício na Lista 2 do Gradmat.
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https://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/fuv/listas/
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