Integrais Múltiplas: Duplas e Triplas

Prévia do material em texto

CÁLCULO IV
Profa. Ana Lucia de Sousa
Aula 2: Integrais Múltiplas
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Conteúdo programático
Integral Dupla
 
 Mudança da ordem de integração
 Mudança de Variável nas Integrais Duplas
 Casos especiais de mudança de variáveis
 Integral Tripla
 Algumas Aplicações:
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Objetivos da aula: 
Apresentar Mudança de Variáveis na Integral Dupla;
Resolver as primeiras integrais duplas com mudança de variável;
 
Conhecer as Integrais Triplas;
Apresentar os tipos de regiões para Integral Tripla.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
AULA 2
Calcule a área da região D, por integral dupla, entre as curvas y = x 2 e x = y 2. 
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
MUDANÇA DA ORDEM DE INTEGRAÇÃO
 
Destacamos na aula anterior os tipos de regiões e vimos como resolver essas integrais com a mudança. Agora vamos continuar.
Algumas vezes é necessário mudar a ordem de integração para se resolver uma integral.
Vejamos um exemplo.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
A região de integração inicialmente seria x = y e x = 1, y = 0, y = 1:
A mudança de ordem de integração não afete o resultado da integral, ela deve satisfazer as condições do teorema de Fubine. 
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
  MUDANÇA DE VARIÁVEL NAS INTEGRAIS DUPLAS
Veja que na integração das funções de uma variável, realizamos também a mudança de variável ou substituição. Nesse caso ela é representada por: 
Onde a = g(c) e b = g(d) 
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Para as integrais duplas o procedimento será o mesmo, isto é, buscamos através da mudança de variável uma função mais fácil de ser integrada.
 
Através da mudança de variáveis 
 
x = x(u,v)
y = y(u,v)
 
a integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada em outra integral dupla sobre uma região W do plano uv.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Isto significa que as equações x = x(u,v) e y = y(u,v) definem uma transformação. Na transformação fazemos uma correspondência entre os pontos, ou seja, (u,v) do plano uv com os pontos (x,y) do plano xy. 
Portanto, a região W do plano uv é aplicada sobre a região D do plano xy. 
 
Também podemos retornar de D para W pela transformação inversa.
 
u = u(x,y)
v = v(x,y) 
u e v com derivadas parciais contínuas.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
A partir do que foi dito podemos definir
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Observações:
Teorema
Considere g uma aplicação definida por g(u,v) = (x(u,v), y(u,v)) onde x, y são funções de classe C1 num subconjunto aberto U ⊂2. Seja W um subconjunto limitado e fechado contido em U tal que:
 
g é injetora em W
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
 
Ainda será válido se: ou g deixar de ser injetora em 
subconjuntos de W que possam ser descritos por um ponto ou pelo gráfico de uma função contínua ou por uma união finita de conjuntos destes dois tipos.
Podemos interpretar o jacobiano como sendo uma medida de quanto a transformação x = x(u,v) e y = y(u,v) modifica a área de uma região.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
EXEMPLO
Considere a seguinte integral dupla: 
Onde D representa a região limitada pelas retas x – y = 0, 
x – y = 1, y = 2x e y = 2x – 4.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Representação gráfica da região D 
x – y = 0, x – y = 1, y = 2x e y = 2x – 4.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Agora vamos fazer u = x – y e v = 2x.
Seja y = x – u e x = v/2 (1)
x – y = 0, mas x – y = u. Logo, u = 0.
x – y = 1, mas x – y = u. Logo, u = 1.
y = 2x, mas podemos substituir (1) nessa equação do seguinte modo:
x – u = 2(v/2), logo, v = -2u
y = 2x – 4, então x – u = 2(v/2) -4. Logo, v = -2u + 8
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA REGIÃO W
 
u = 0, u = 1, v = -2u e v = -2u + 8.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Agora vamos calcular o jacobiano de x e y em relação as variáveis u e v.
Sabemos que
u = x – y → y = -u + v/2
v = 2x → x = v/2
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Agora vamos usar o modelo definido anteriormente:
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
CASOS ESPECIAIS DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS
 
Mudança de Variável Linear
 
Seja g uma transformação linear definida pelas equações: 
x = au + bv e y = cu + dv, onde a,b,c e d são constantes reais. 
O determinante do Jacobiano desta transformação é dado por:
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Se o determinante do jacobiano é diferente de zero, então o sistema pode ser resolvido para u e v em termos de x e y. Portanto g é injetora em 2 e podemos escrever: 
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Exemplo
Seja a integral dupla 
Onde D é a região definida por: y+x = 3, y+x = 5, y-x =1 e y-x = 3.
 
Considere: u = x+y e v = y-x
u = x + y  y = u-x substituindo em v = y - x temos v= u- x - x então x = (u - v)/2.
v= y - x  v-y =-x  y - v = x substituindo em u= x+y temos u = y- v + y então u = 2 y - v  y =(u + v)/2.
Portanto, x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Considerando x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2, calculamos o determinante do jacobiano.
Escreveremos então a integral como: 
Para resolvermos a integral precisamos delimitar a região de integração.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros MarítimosOPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Veja os gráficos das regiões. 
D é a região é definida por: 
 y+x = 3, y+x = 5, 
y-x =1 e y-x = 3.
W é a região é definida por: 
 u = 3, u = 5, 
 v = 1 e v = 3.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Mudança de Variável Polar
 
As equações x = rcosϴ e y = rsenϴ, nos dão as coordenadas cartesianas de um dado ponto em termos de suas coordenadas polares. Neste caso, temos uma transformação que leva pontos (r,ϴ) do plano rϴ a pontos (x,y) do plano xy.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
EXEMPLOS
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
INTEGRAIS TRIPLAS
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Teorema: Toda função w = f(x,y,z) contínua em R é integrável sobre R.
 
Funções limitadas cujos conjuntos de descontinuidade podem ser descritos como união finita de gráficos de funções continuas são integráveis.
 
Teorema de Fubine
Se z= f(x,y,z) é contínua em R = { (x,y,z) | a < x < b, c < y < d, p < z < q }, então a integral tripla de f sobre R pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja:
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
APLICAÇÕES
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
EXEMPLO
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
Nesta aula, você:
Aprendeu mudança de variáveis na integrais dupla; 
Verificou a importância da interdisciplinaridade;
Utilizou o conhecimento dos cálculos anteriores;
Resolveu integrais duplas com mudança de variável; 
Acrescentou ao seu conhecimento as integrais triplas.
Verificou como o Teorema de Fubine continua valendo para integrais triplas.
Aula 2: Integrais Múltiplas 
CÁLCULO IV
Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos
 
OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS
dy
dx
e
R
x
ò
ò
2
=
ò
ò
dx
dy
e
y
x
1
0
0
2
dx
dy
e
y
x
ò
ò
1
0
0
2
ò
ò
=
d
c
b
a
dt
t
g
t
g
f
dx
x
f
)
(
'
)).
(
(
)
(
 v.
e
u 
 
a
 
relação
 
em
y 
 
e
 x 
de
 
jacobiano
 
do
 
te
determinan
 
o
 
é
 
)
,
(
)
,
(
,
Onde
)
,
(
)
,
(
))
,
(
),
,
(
(
)
,
(
v
u
y
x
dudv
v
u
y
x
v
u
y
v
u
x
f
dxdy
y
x
f
W
D
¶
¶
¶
¶
=
òò
òò
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
y
x
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
)
,
(
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
¹
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
y
x
òò
-
D
dxdy
y
x
)
(
î
í
ì
+
-
£
£
-
£
£
=
8
2
2
1
0
u
v
u
u
W
(
)
2
1
1
.
2
1
2
1
.
0
2
1
1
2
1
0
)
,
(
)
,
(
2
2
=
-
-
=
-
=
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
Þ
-
=
=
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
y
x
u
v
y
e
v
x
òò
òò
¶
¶
=
D
D
dudv
v
u
y
x
v
u
y
v
u
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
))
,
(
),
,
(
(
)
,
(
]
2
4
2
1
0
2
8
2
1
2
8
2
1
8
2
1
8
2
8
2
)
2
(
)
8
2
(
2
1
2
1
.
)
(
)
,
(
)
,
(
))
,
(
),
,
(
(
)
,
(
1
0
1
0
2
2
2
8
2
2
8
2
2
1
0
8
2
2
=
×
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
=
+
+
-
=
-
-
+
-
=
=
=
=
-
¶
¶
=
ò
ò
òò
ò
ò
òò
òò
òò
+
-
-
+
-
-
+
-
-
u
udu
u
u
u
u
u
u
u
u
uv
dv
u
dvdu
u
dudv
u
dxdy
y
x
dudv
v
u
y
x
v
u
y
v
u
x
f
dxdy
y
x
f
u
u
u
u
D
u
u
D
D
D
d
c
b
a
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
y
x
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
=
-
=
¶
¶
v
u
y
x
òò
òò
=
W
D
rdrd
rsen
r
f
dxdy
y
x
f
q
q
q
)
,
cos
(
)
,
(
.
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
=
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
òò
dz
dy
dx
y
x
f
dx
dzdy
z
y
x
f
dV
z
y
x
f
q
p
d
c
b
a
b
a
d
c
q
p
R