Aula_03_Seções Cônicas

Prévia do material em texto

/
DEFINIÇÃO
Aplicação dos conceitos de seções cônicas na Geometria Analítica.
PROPÓSITO
Definir as seções cônicas e aplicar seus conceitos nos problemas da Geometria Analítica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a equação e elementos da parábola nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 2
Aplicar a equação da elipse e da circunferência nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 3
Aplicar a equação da hipérbole nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 4
/
Aplicar a equação geral das cônicas
MÓDULO 1
 Aplicar a equação e elementos da parábola nos problemas da Geometria Analítica.
INTRODUÇÃO
Um conjunto particular de figuras que são analisadas na Geometria Analítica são chamadas de seções cônicas ou simplesmente cônicas. Estas
seções são definidas através de uma interseção entre um plano e um cone, formando a parábola, elipse, hipérbole e suas degenerações.
Neste módulo, vamos definir as seções cônicas e aplicar as equações da parábola na solução de problemas de Geometria Analítica.
 
Rawpixel.com/Shutterstock
SEÇÕES CÔNICAS – DEFINIÇÃO
A interseção entre um cone de duas folhas e um plano cria um conjunto de lugares geométricos que são denominados de cônicas ou seções
cônicas. Dependendo da posição relativa entre o plano e o cone, a curva plana formada terá uma equação e, consequentemente, um gráfico,
diferente, sendo chamada de: parábola, elipse ou hipérbole. A circunferência será um caso particular da elipse.
 
gstraub/shutterstock
/
ELIPSE

 
gstraub/shutterstock
PARÁBOLA

 
gstraub/shutterstock
HIPÉRBOLE
Além destas, existem outras interseções denominadas de cônicas degeneradas, que serão formadas pela interseção do cone com planos
particulares, podendo se formar: um ponto, uma reta, duas retas concorrentes ou duas retas paralelas.
javascript:void(0)
/
 
CLS Digital Arts/Shutterstock
CÔNICAS DEGENERADAS:
Por exemplo, se o plano passar pelo vértice do cone, podem se formar um ponto, uma reta ou até mesmo duas retas concorrentes.
 DICA
As cônicas apresentam propriedades geométricas que atualmente possuem várias aplicações práticas em construção de antenas, radares,
telescópios, entre outros. Cada cônica e suas degenerações serão analisadas em seus módulos específicos
PARÁBOLA – EQUAÇÃO REDUZIDA
O cone reto é uma figura espacial que apresenta uma abertura angular que parte de seu vértice. Ao cortarmos o cone reto por um plano
perpendicular à sua base e passando bem pelo seu eixo central, forma-se um triângulo. As laterais deste triângulo são as retas denominadas de
geratriz do cone e formam um ângulo α com seu eixo, que é denominado abertura do cone.
 
Elaborado pelo o autor
/
CONE RETO

 
Elaborado pelo autor
TRIÂNGULO
Ao realizar a interseção de um plano com o cone, com o plano tendo um ângulo com o eixo do cone igual a sua abertura, isto é, igual a ∝, a
figura que se formará será a de uma parábola. Isto é, o plano secante será paralelo às geratrizes do cone de duas folhas.
 
Elaborado pelo o autor
 COMENTÁRIO
O caso degenerativo será aquele em que este plano passa pelo vértice, assim, a figura formada será de apenas uma reta (duas retas
coincidentes), que será a reta geratriz do cone.
A parábola é uma curva plana com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
/
DEFINIÇÃO DA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Seja um ponto F e uma reta r dados. A Parábola será o lugar geométrico (conjunto) de todos os pontos do plano, tais que a distância do ponto
ao ponto dado, chamado de foco, será igual à distância do ponto à reta dada, denominada de diretriz.
A distância entre P e a reta diretriz é a metade do parâmetro da parábola e, pela definição, será igual à distância de P ao foco. A figura
apresenta todos os elementos de uma parábola. Observe que o seu eixo será perpendicular à reta diretriz.
 
Elaborado pelo o autor
O parâmetro da parábola, simbolizado por 2p, será a distância entre o foco (F) e a reta diretriz (r). Observe que o vértice, que é o ponto no qual
a parábola corta seu eixo, também pertence à parábola, assim, a distância entre o vértice e o foco (F) será igual a distância entre o vértice e a
reta diretriz r, que valerá metade do parâmetro, isto é, p.
Para definirmos a equação de uma parábola, iniciaremos com o caso mais simples, colocando os dois eixos cartesianos, um paralelo ao eixo da
parábola e outro paralelo à reta diretriz. Assim, teremos dois casos: a parábola horizontal, com eixo x paralelo ao eixo da parábola e a parábola
vertical com eixo y paralelo ao eixo da parábola. As equações desta forma são denominadas de Equações Reduzidas ou Canônicas da
Parábola.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA PARÁBOLA
Vamos começar pelo caso mais simples, uma parábola horizontal, com o vértice da parábola na origem do sistema cartesiano. Considerando o
parâmetro da parábola como 2p, então, a distância de qualquer ponto da parábola ao foco é igual à distância do ponto à reta diretriz e vale p.
 
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
Assim, os elementos da parábola terão as seguintes coordenadas:
 Vértice V (0,0)
 Foco F (p, 0)
 Eixo da parábola: y = 0
/
 Diretriz da parábola: x = – p ou x + p = 0
Seja P (x,y) um ponto genérico da parábola, assim dPF = drP, aplicando as equações de distância de ponto a ponto e distância de ponto à reta
já conhecidas:
√(X - P)2 + (Y - 0)2 = X + P√12 + 02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando ao quadrado:
(X - P)2 + Y2 = (X + P)2 → Y2 = (X + P)2 - (X - P)2 = 4XP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação da parábola horizontal com abertura para o sentido positivo do eixo x e vértice na origem será y2 = 4px.
Vamos agora deslocar os eixos, porém mantendo-os paralelos ao eixo de simetria da parábola. Em outras palavras, tirando o vértice da
parábola do centro do sistema cartesiano e colocando o vértice da parábola no ponto V x0, y0 .
 
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
Assim, as coordenadas dos elementos serão:
 Vértice V x0, y0
 Foco F x0 + p, y0
 Eixo da parábola: y = y0
 Diretriz da parábola: x = x0– p ou x – x0 – p = 0
Seja P (x,y) um ponto genérico da parábola, então dPF = drP, igualmente ao caso anterior:
| |
( )
( )
( )
( ) ( )
/
X - X0 + P 2 + Y - Y0 2 =
X - X0 - P
√12 + 02
X - X0 - P 2 + Y - Y0 2 = X - X0 + P 2 → Y - Y0 2 = X - X0 + P 2 - X - X0 - P 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação da parábola horizontal com abertura para o sentido positivo do eixo x e vértice no ponto (x0, y0) será 
y - y0
2 = 4p x - x0
Observe que, se fizer x0 = y0 = 0, cai-se na equação anteriormente definida.
Fazendo o raciocínio análogo para os outros três casos:
 A) PARÁBOLA HORIZONTAL COM ABERTURA NO SENTIDO NEGATIVO DO EIXO
X
 Vértice V x0, y0
 Foco F x0 – p, y0
 Eixo da parábola: y = y0
 Diretriz da parábola: x – x0 + p = 0
}
Equação
y - y0
2 = - 4p x - x0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 B) PARÁBOLA VERTICAL COM ABERTURA NO SENTIDO POSITIVO DO EIXO Y:
 Vértice V x0, y0
 Foco F x0, y0 + p 
 Eixo da parábola: x = x0
 Diretriz da parábola: y – y0 – p = 0
}
Equação
x - x0
2 = 4p y - y0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 C) PARÁBOLA VERTICAL COM ABERTURA NO SENTIDO NEGATIVO DO EIXO Y:
 Vértice V x0, y0
} Equação
x - x0
2 = - 4p y - y0
√( ( )) ( ) | ( ) |
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
/
 Foco F x0, y0 - p
 Eixo da parábola: x = x0
 Diretriz da parábola: y – y0 + p = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
benjaminec/Shutterstock
Uma forma de olhar para a equação reduzida e reconhecer que tipo de parábola está se trabalhando é verificar qual a variável está elevada ao
quadrado. O eixo relacionadoà variável que está elevada ao quadrado é paralelo à diretriz da parábola e o eixo relacionado à variável que não
está elevado ao quadrado é paralelo ao eixo de simetria da parábola. Por exemplo, na parábola horizontal, a variável x não está ao quadrado, e
na vertical, a variável y não está ao quadrado.
O sentido da abertura da parábola será dado pelo sinal positivo ou negativo antes do fator 4p (duas vezes o parâmetro da parábola). Se o sinal
for positivo, a abertura coincide com o sentido positivo do eixo, se o sinal for negativo, a abertura tem sentido negativo do eixo.
EXEMPLO 1
Obter a equação da parábola com foco no ponto F (2,1) e reta diretriz x = 4.
RESOLUÇÃO
Como a reta diretriz é paralela ao eixo y, então a parábola será horizontal.
2p = drF =
x
F
- 4
√12 + 02
=
2 - 4
√12 + 02
= |-2| = 2 → p = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a diretriz está à direita do foco, a parábola terá concavidade à esquerda.
Neste caso, o vértice terá coordenadas
V x0, y0 = xF + p , yF = 2 + 1 , 1 = 3 , 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será dada por
y - y0
2 = - 4p x - x0 → (y - 1)
2 = - 4 (x - 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
( )
( )
| | | |
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
/
Seja a parábola de equação (x + 1)2 = – 4 y – 1 . Determine os principais elementos da parábola.
RESOLUÇÃO
Observe a equação: trata-se de uma parábola vertical com concavidade virada para baixo.
x - x0
2 = - 4p y - y0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela equação, as coordenadas do vértice serão V(– 1 , 1)
O parâmetro 2p =
4
2 = 2 → p = 1.
As coordenadas do Foco F
x
F
, y
F
 = x0, y0 – p = – 1, 1 – 1 = – 1, 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A reta diretriz terá equação
y = y0 + p = 1 + 1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Eixo será
x = x0 = – 1 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARÁBOLA – EQUAÇÃO GERAL
Ao se expandir os termos quadráticos da equação reduzida, ter-se-á a equação geral da parábola.
Por exemplo, para o caso da parábola vertical:
X - X0
2 = 4P Y - Y0 → X
2 - 2X0X + X
2
0 = 4PY - 4PY0
Y =
1
4P X
2 -
2X0
4P +
1
4P X
2
0 + Y0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação do tipo y = a x2 + bx + c, com a ≠ 0, b e c reais. Este tipo de equação já foi trabalhado na Álgebra, no tema de funções,
como função quadrática ou do segundo grau.
Se o valor de a for positivo, a parábola será vertical no sentido positivo do eixo y, isto é, parábola com concavidade para cima. Se o valor do a
for negativo, será vertical no sentido negativo do eixo y, ou seja, parábola com concavidade para baixo.
Para as parábolas horizontais, a equação geral será x = a y2 + by + c, com a ≠ 0, b e c reais. E o sinal de a informará se a concavidade está
para a direita, sentido positivo do eixo x (a > 0), ou se a concavidade está para a esquerda, sentido negativo do eixo x (a < 0).
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
/
 DICA
Para sair da equação reduzida para a geral, basta expandirmos os termos do segundo grau, como feito anteriormente. Para sair da equação
geral para a reduzida, teremos que usar o método de completar quadrados, vide o exemplo.
EXEMPLO 3
Determine a equação reduzida para a parábola de equação x = - y2 + 4y + 1
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Já sabemos que (y ± k)2 = y2 ± 2ky + k2, com k real.
Observe o termo - y2 + 4y + 1 , o que falta para se ter um quadrado perfeito?
-y2 + 4y + 1 = – y2 - 4y + … + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare: olhando para a fórmula do quadrado perfeito, o termo entre parênteses pode ser transformado em
y2 - 4y + … = y2 - 2. 2 y + … = (y - 2)2,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
mas, para isso, está faltando o termo 22.
Para não se modificar a equação, deve ser somado e subtraído:
-y2 + 2y + 1 = – y2 - 2y + 22 - 22 + 1 = - y2 - 4y + 4 - - 4 + 1
= - y2 - 4y + 4 + 5 = - (y - 2)2 + 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
x = - (y - 2)2 + 5 → x - 5 = - (y - 2)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de parábola horizontal, concavidade para a esquerda, vértice V (5, 2) e parâmetro 2p =
1
2 .
O caso degenerativo da reta ser obtido quando o valor do parâmetro tende a zero. Em outras palavras, quando p tende a zero, a parábola vai
se aproximando de uma reta. E no caso de o foco pertencer à diretriz, a reta diretriz será o caso degenerativo da parábola.
Na maioria dos problemas, teremos liberdade de definir os eixos cartesianos paralelos aos eixos da parábola. Porém, quando os eixos
cartesianos não forem paralelos aos eixos da parábola, não existirá a equação reduzida e a equação geral apresentará um termo quadrático xy.
Este tipo de análise será feita no último módulo no estudo da equação geral das cônicas.
PONTO DA PARÁBOLA, INTERSEÇÕES E TANGÊNCIAS
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
/
Como qualquer equação de um lugar geométrico na Geometria Analítica, para um ponto pertencer à parábola, suas coordenadas devem
satisfazer a equação da parábola, do contrário, este ponto não pertence à parábola analisada.
Uma aplicação importante é que para se definir uma parábola com eixo de simetria definido, necessita-se de apenas 3 pontos. Assim, sabendo
que a parábola é horizontal ou vertical, dados três pontos, substitui-se estas posições na equação geral da parábola e vai se obter as
constantes reais a, b e c que a definem.
 
benjaminec/Shutterstock
Para se calcular a interseção da parábola com qualquer outra figura geométrica, basta resolver um sistema com a equação da parábola e da
outra figura. O resultado do sistema deve fornecer os valores de x e y que satisfazem as duas equações. Se o resultado do sistema for
impossível, é porque não existe ponto de interseção entre as figuras. Se o resultado fornecer apenas um ponto (x,y), é porque estas figuras são
tangentes e têm apenas um ponto em comum. Se o resultado for dois pontos, é porque as figuras são secantes entre si.
EXEMPLO 4
Seja a parábola de equação x = y2 + 2y + 4. Qual abscissa do ponto pertence à parábola cuja ordenada seja igual a 1?
RESOLUÇÃO
Se o ponto pertence à parábola, ele satisfaz a equação da parábola. Como o ponto P (k, 1) pertence à parábola: k = 12 + 2. 1 + 4 = 7.
EXEMPLO 5
Determine a interseção entre a parábola y = - x2 + x + 14 e a reta x + y + 1 = 0.
RESOLUÇÃO
Os pontos de interseção satisfazem as duas equações, assim
x + y + 1 = 0 y = - x2 + x + 14
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Achando o valor de y, em função de x, na primeira: y = – x – 1, substituindo na segunda
– x– 1 = - x2 + x + 14 → x2 - 2x - 15 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se chegou a uma equação do segundo grau. Se ∆ = b2 – 4ac, assim:
 ∆ < 0: não existe solução → não tem interseção;
 ∆ = 0: existe uma solução → parábola tangente à reta;
 ∆ > 0: existem 2 soluções → parábolas e reta secantes.
No nosso caso,
{
( )
/
∆ = b2– 4ac = (-2)2 - 4. (1)(-15) = 4 + 60 = 64 > 0
x =
2 ±√64
2 =
2 ± 8
2 = x = 5 → y = - 5 - 1 = - 6 x = - 3 → y = - (-3) - 1 = 2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as figuras serão secantes nos pontos (5 , – 6) e ( – 3, 2).
TEORIA NA PRÁTICA
Uma antena parabólica tem a forma de uma parábola. Como os sinais enviados pelos satélites vêm de pontos muito distantes, considera-se que
eles chegam à antena paralelos ao seu eixo de simetria, por isso, após refletiremna parabólica, encaminham-se para a direção do seu foco.
Considere que a equação que representa a antena seja dada por y = x2 + 8x + 26. Determine a coordenada do foco da antena para que se
possa colocar o receptor no local correto.
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo com a solução desta questão
MÃO NA MASSA
1. SABE-SE QUE O PONTO P (K, 22) PERTENCE À PARÁBOLA COM FOCO NO PONTO F (5, 7) E RETA DIRETRIZ
Y + 3 = 0. O VALOR DE K É:
A) 10
B) 12
C) 15
D) 17
2. SEJA A PARÁBOLA DE EQUAÇÃO Y2 = –16X – 32. DETERMINE A EQUAÇÃO DA RETA DIRETRIZ DA
PARÁBOLA.
A) y + 2 = 0
B) x + 2 = 0
C) y - 2 = 0
D) x - 2 = 0
{
/
3. DETERMINE AS COORDENADAS DO FOCO DA PARÁBOLA DA EQUAÇÃO X - 4Y2 - 32Y + 4 = 0:
A) (61, – 4)
B) (59, – 4)
C) (60, – 3)
D) (60, – 5)
4. UMA PARÁBOLA VERTICAL COM CONCAVIDADE PARA BAIXO TEM PARÂMETRO 16 E FOCO NO PONTO
(2,3). SABE-SE QUE O PONTO Q (4, K) PERTENCE À PARÁBOLA. O VALOR DE K É:
A) 
1
4
B) 
1
8
C) -8
D) -
1
8
5. DETERMINE A O VALOR DE K PARA QUE A RETA X + Y + K = 0 SEJA TANGENTE À PARÁBOLA (X – 1)2 = Y –
2.
A) -
1
4
B) -
5
4
C) 
11
4
D) -
11
4
6. O PONTO P (2, K) PERTENCE À PARÁBOLA VERTICAL DEFINIDA PELOS PONTOS (1, 8), (– 1, 0) E (– 2, 2).
DETERMINE O VALOR DE K.
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
GABARITO
1. Sabe-se que o ponto P (k, 22) pertence à parábola com foco no ponto F (5, 7) e reta diretriz y + 3 = 0. O valor de k é:
A alternativa "C " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola.
Como a reta diretriz é paralela ao eixo x, então a parábola será vertical.
2p = drF =
y
F
+ 3
√12 + 02
=
7 + 3
√12 + 02
= 10 → p = 5| | | |
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a diretriz está abaixo do foco, a parábola terá concavidade para cima.
Neste caso, o vértice terá coordenadas
V x0, y0 = xF, yF – p = 5 , 7 – 5 = 5 , 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será dada por
x - x0
2 = 4p y - y0 → (y - 2)
2 = 20 (x - 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como P (k, 22) pertence à parábola, ele satisfaz a equação, assim:
(22 - 2)2 = 20 (k - 5) → k - 5 =
400
20 = 20 → k = 15
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, alternativa correta é a letra C.
2. Seja a parábola de equação y2 = –16x – 32. Determine a equação da reta diretriz da parábola.
A alternativa "B " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola.
Observe a equação: trata-se de uma parábola horizontal com concavidade virada para direita
y - y0
2 = - 4p x - x0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela equação y2 = –16x – 32 = 16 (x – 2), as coordenadas do vértice serão V (2, 0)
O parâmetro 2p =
16
2 = 8. As coordenadas do Foco F
x
F
, y
F
 = x0 + p, y0 = 2 + 4, 0 = 6, 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A reta diretriz terá equação
x = x0– p = 2– 4 = – 2 → x + 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
3. Determine as coordenadas do foco da parábola da equação x - 4y2 - 32y + 4 = 0:
A alternativa "A " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação geral da parábola.
x - 4y2 - 32y + 4 = 0 → x = 4y2 + 32y - 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe o termo 4y2 + 32y - 4 , o que falta nele para se ter um quadrado perfeito?
4y2 + 32y - 4 = 4 y2 + 8y + … - 4 = 4 y2 + 2. 4 y + … - 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
/
Repare: olhando para a fórmula do quadrado perfeito, o termo entre parênteses pode ser transformado em y2 + 2. 4y + … = (y + 4)2, mas,
para isso, está faltando o termo 42.
Para não se modificar a equação, deve ser somado e subtraído
4 y2 + 2.4 y + … - 4 = 4 y2 + 2.4 y + 42 - 42 - 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
= 4 y2 + 2.4 y + 16 + (4)42 - 4 = 4(y + 4)2 + 64 - 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
x = 4(y + 4)2 + 60 → x - 60 = 4(y + 4)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de parábola horizontal, concavidade para direita, vértice V (60, – 4) e parâmetro 2p =
4
2 .
Assim, o foco terá coordenadas
x
F
, y
F
 = x0 + p, y0 = 61, – 4 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
4. Uma parábola vertical com concavidade para baixo tem parâmetro 16 e foco no ponto (2,3). Sabe-se que o ponto Q (4, k) pertence à
parábola. O valor de k é:
A alternativa "D " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola. 
O parâmetro vale 16, assim 2p = 16 → p = 8
Como a parábola é vertical com concavidade para baixo, sua equação é do tipo
x - x0
2 = - 4p y - y0 e, neste caso, as coordenadas do vértice serão dadas por
V x0, y0 = xF , yF – p = 2 , 3 – 8 = 2 , – 5 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a equação da parábola será (x - 2)2 = - 32 y + 5
Como Q pertence, suas coordenadas satisfazem à equação, que será (4 - 2)2 = - 32 k + 5
k + 5 = -
1
32 2
2 = -
1
8 , desta forma, a alternativa correta é a letra D.
5. Determine a o valor de k para que a reta x + y + k = 0 seja tangente à parábola (x – 1)2 = y – 2.
A alternativa "D " está correta.
 
Você entendeu o conceito de interseção e tangência da parábola. 
Assista ao vídeo com a solução desta questão
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
/
6. O ponto P (2, k) pertence à parábola vertical definida pelos pontos (1, 8), (– 1, 0) e (– 2, 2). Determine o valor de k.
A alternativa "B " está correta.
 
Você entendeu o conceito de pontos da parábola. 
Assista ao vídeo com a solução desta questão
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A PARÁBOLA COM FOCO NO PONTO F (5, 7) E VÉRTICE NO PONTO V (1, 7). SABE-SE QUE O PONTO
P (K, 15) PERTENCE À PARÁBOLA. DETERMINE O VALOR DE K REAL.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
2. DETERMINE A EQUAÇÃO DA RETA DIRETRIZ DA PARÁBOLA DE EQUAÇÃO Y + 12X2 - 96X + 184 = 0.
A) x + 11 = 0
B) y + 11 = 0
C) x – 11 = 0
D) y – 11 = 0
/
GABARITO
1. Seja a parábola com foco no ponto F (5, 7) e vértice no ponto V (1, 7). Sabe-se que o ponto P (k, 15) pertence à parábola. Determine
o valor de k real.
A alternativa "C " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola.
Como o foco e o vértice têm valores de ordenada iguais, obrigatoriamente a parábola é uma parábola horizontal.
O parâmetro da parábola será dado por
drF = 2dFV = 2√(5 - 1)2 + (7 - 7)2 = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o foco está à direita do vértice, a parábola terá concavidade para a direita com equação
y - y0
2 = 4p x - x0 → (y - 7)
2 = 16 x - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como P (k,15) pertence à parábola
(15 - 7)2 = 82 = 64 = 16(x - 1) → x - 1 = 4 → x = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra c.
2. Determine a equação da reta diretriz da parábola de equação y + 12x2 - 96x + 184 = 0.
A alternativa "D " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação geral da parábola.
y + 12x2 - 96x + 184 = 0 → y = - 12x2 + 96x - 184
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe o termo - 12x2 + 96x - 184 , o que falta neste para se ter um quadrado perfeito?
-12x2 + 96x - 184 = – 12 x2 - 8x + … - 184 = - 12 x2 - 2. 4 x + … - 184
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare:olhando para a fórmula do quadrado perfeito, o termo entre parênteses pode ser transformado em
x2 - 2. 4 x + … = (x - 4)2,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
mas, para isso, está faltando o termo 42.
Para não se modificar a equação, deve ser somado e subtraído
-12 x2 - 2.4 x + … - 184 = - 12 x2 - 2.4 x + 42 - 42 - 184
-12 x2 - 2. 4 x + 42 - - 12 42 - 184 = – 12(x - 4)2 + 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
y = - 12 (x - 4)2 + 8 → y - 8 = - 12(x - 4)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
/
Trata-se de parábola vertical, concavidade para baixo, vértice V (4, 8) e parâmetro 2p =
12
2 .
Assim, a reta diretriz será
y = y0 + p = 8 + 3 = 11 → y - 11 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra D.
MÓDULO 2
 Aplicar a equação da elipse e da circunferência nos problemas da Geometria Analítica
ELIPSE E CIRCUNFERÊNCIA
Quando se intercepta o cone de duas folhas com um plano que forma um ângulo com eixo do cone maior do que seu ângulo de abertura,
forma-se a elipse.
Um caso particular da elipse, quando seus dois eixos forem iguais, é a circunferência.
Neste módulo, iremos aplicar as equações da elipse e da circunferência na solução de problemas de Geometria Analítica.
ELIPSE – EQUAÇÃO REDUZIDA E GERAL
Ao realizar a interseção de um plano com o cone de duas folhas, com o plano tendo um ângulo com o eixo do cone maior do que sua abertura,
a figura que se formará será a de uma elipse.
Quando o plano tiver um ângulo com o eixo do cone menor do que abertura, ele apresentará interseção nas duas folhas do cone. No caso da
elipse, como o ângulo do plano com o eixo do cone é maior do que a abertura do cone, obrigatoriamente ele só consegue cortar uma das folhas
do cone, formando apenas uma figura.
 
gstraub/Shutterstock
 COMENTÁRIO
/
Com esta consideração, existem autores que usam outra definição para a criação da elipse: interseção entre um plano e o cone de duas folhas,
com o plano que não é paralelo à geratriz do cone e que o corta em apenas uma das folhas.
O caso degenerativo será aquele em que esse plano passa pelo vértice, assim, a figura formada será de apenas um ponto. Como a parábola, a
elipse é uma curva plana com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Sejam dois pontos fixos F1 e F2 denominados de focos. A elipse será o lugar geométrico (conjunto) de todos os pontos do plano, tais que a
soma da distância do ponto a cada um dos focos é constante. O valor desta soma será igual ao tamanho do eixo maior da elipse. Vide a figura
e os principais elementos da elipse.
 
Elaborado pelo o autor
Elementos da Elipse 
 A1, A2, B1, B2: Vértices da Elipse;
 
¯
A1A2 ∶ 2a (eixo maior da elipse), a > 0;
 B1B2 : 2b (eixo menor da elipse), com a > b.
 C: Centro da elipse – Encontro dos eixos maior com o menor – Ponto médio entre os focos;
 F1 e F2: focos da elipse, sendo 
¯
F1F2 : 2c (eixo focal) com a > c e c > 0;
 Pela definição: sendo 
¯
F1P +
¯
F2P =
¯
A1A2 = 2a;
 As retas r1 e r2 são retas diretrizes da elipse.
Repare que os vértices B1 e B2 pertencem à elipse, assim, a distância de B1 aos dois focos segue a definição da elipse que vale 2a. Como
estas distâncias são iguais, 
¯
B1F1 =
¯
B1F2 = a.
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo B1OF1 tem-se 
¯
B1F1
2
=
¯
OB1
2
+ 
¯
OF1
2
, então se define a relação fundamental ou notável da elipse,
que relaciona os valores dos eixos:
A2 = B2 + C2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, define-se a excentricidade (e) como a relação e =
c
a . No caso da elipse, a excentricidade vale 0 < e < 1. Existe outra definição para
elipse relacionada à distância entre o foco e a diretriz, e que envolve a excentricidade.
Define-se elipse, também, como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo, denominado foco, será igual à distância do ponto
a uma reta fixa, denominada de diretriz, multiplicada por uma constante denominada de excentricidade. Assim, dFP = edrP. Cada foco está
/
relacionado a sua reta diretriz. Como visto, no caso da elipse, esta excentricidade é um valor entre zero e um. No caso da excentricidade igual
a 1, não se tem mais uma elipse, e sim uma parábola.
Repare, também, que os vértices A1 e A2 são pontos da elipse, assim dr1A1 =
1
e dA1F1. Mas, a distância de A1 até o foco F1 vale 
(a – c). Assim, drA1 =
1
e a– c =
a
c (a - c) =
a2
c - a.
Desta forma, a distância da diretriz para o eixo menor da elipse vai ser dada como dr1A1 + a =
a2
c . 
As equações das retas diretrizes da elipse serão paralelas ao eixo menor da elipse e estão com uma distância 
a2
c deste eixo.
Para o caso da elipse com eixos paralelos ao plano cartesiano, se o eixo maior for paralelo ao eixo x, será denominada de elipse horizontal.
Quando o eixo maior for paralelo ao eixo do y, será denominada de elipse vertical.
EQUAÇÃO REDUZIDA OU CANÔNICA DA ELIPSE
Vamos começar pelo caso mais simples, uma elipse horizontal, com o centro da elipse na origem do plano cartesiano.
 
Elaborado pelo o autor
Seja a Elipse com eixo maior 2a, menor 2b e focal 2c. Assim, os elementos da elipse terão as seguintes coordenadas:
 Centro: C (0,0) e Vértices: A1 (– a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, – b) e B2 (0, b).
 Focos: F1 (– c, 0) e F2 (c, 0).
 Eixo maior: y = 0 e eixo menor: x = 0
 Retas diretrizes: x =
a2
c e x = -
a2
c .
Seja P (x,y) um ponto genérico da elipse, assim, a soma das distâncias aos dois focos vale 2a:
dPF1 + dPF2 = 2a → √(x - (-c))2 + (y - 0)2 + √(x - c)2 + (y - 0)2 = 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
√(x + c)2 + y2 + √(x - c)2 + y2 = 2a → √(x + c)2 + y2 + - 2a = √(x - c)2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Elevando ao quadrado:
(x + c)2 + y2 - 4a√(x + c)2 + y2 + 4a2 = (x - c)2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4a√(x + c)2 + y2 = (x + c)2 + y2 - (x - c)2 - y2 + 4a2
( )
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4a√(x + c)2 + y2 = 4cx + 4a2 → √(x + c)2 + y2 = ca x + a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando novamente ao quadrado:
(x + c)2 + y2 =
c
a x + a
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2 + 2cx + c2 + y2 =
c2
a2
x2 + 2cx + a2 → 1 -
c2
a2
x2 + y2 = a2 - c2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a2 - c2
a2
x2 + y2 = b2 →
b2
a2
x2 + y2 = b2 → b2x2 + a2y2 = a2b2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, obtém-se a equação reduzida: 
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Se agora deslocarmos o centro do sistema cartesiano mantendo os eixos paralelos aos eixos da elipse horizontal, de forma que o novo centro
da elipse esteja agora no ponto C (x0, y0):
 
Elaborado pelo o autor
Seja a mesma elipse com eixo maior 2a, menor 2b e focal 2c. Assim, os elementos da elipse horizontal, de centro C (x0, y0), terão as seguintes
coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C (x0, y0) e Vértices: A1 ( x0 – a, y0), A2 ( x0 + a, y0), B1 (x0 , y0 – b) e B2 ( x0 , y0+b).
 Focos: F1 ( x0 – c, y0 ) e F2 ( x0 + c, y0 ).
 Eixo maior: y = y0 e eixo menor: x = x0
 Retas diretrizes: x = x0 +
a2
c e x = x0 -
a2
c .
Seja P (x,y) um ponto genérico da elipse, então, a soma das distâncias aos dois focos vale 2a:
DPF1 + DPF2 = 2A → X - X0 - C 2 + Y - Y0 2 + X - X0 + C 2 + Y - Y0 2 = 2A
( )
( )
( )
√( ( )) ( ) √( ( )) ( )
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando matematicamentede forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a equação reduzida da elipse horizontal como:
X - X0
2
A2
+
Y - Y0
2
B2
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o raciocínio análogo para o caso da elipse vertical: seja a elipse com eixo maior 2a, menor 2b e focal 2c. Reforça-se que a diferença é
que o eixo maior está paralelo agora ao eixo y e não mais ao eixo x. Assim, os elementos da elipse vertical de centro 
C (x0 , y0) terão as seguintes coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C (x0, y0) e Vértices: A1 ( x0, y0 – a ), A2 ( x0, y0 + a), B1 (x0 – b, y0 ) e B2 ( x0+ b , y0).
 Focos: F1 ( x0, y0 – c ) e F2 ( x0, y0 + c).
 Eixo maior: x = x0 e eixo menor: y = y0
 Retas diretrizes: y = y0 +
a2
c e y = y0 -
a2
c .
Manipulando matematicamente de forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a equação reduzida da elipse horizontal como:
X - X0 2
B2
+
Y - Y0 2
A2
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É uma forma de olhar para a equação reduzida e conhecer com que tipo de elipse está se trabalhando e verificar qual variável está dividida pelo
maior fator. Lembre-se de que a > b, assim, o maior denominador da equação reduzida representa a variável que está paralela ao eixo maior.
Por exemplo, na elipse horizontal, o denominador da fração relacionada à variável x é maior do que o denominador da fração relacionada à
variável y.
Um ponto a ressaltar: chama-se elipse equilátera a elipse em que b = c.
Neste caso, pela relação notável, a = √2b = √2c e a excentricidade (e) será 
√2
2 .
EXEMPLO 6
Determine a equação reduzida da elipse de focos nos pontos (2, 3) e (2, 11) e eixo maior igual a 10.
RESOLUÇÃO
Ao analisar os dois focos, verifica-se que eles têm a mesma abscissa, logo, a elipse é horizontal, isto é, eixo maior paralelo ao eixo x.
dF1F2 = 2c = 11 - 3 = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como uma das coordenadas é igual, basta fazer a diferença entre as outras coordenadas. Assim, c = 4.
( ) ( )
( ) ( )
/
O enunciado informou que 2a = 10 →a = 5
Usando a relação:
b2 = a2 - c2 = 25 - 16 = 9 → b = 3,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
pois b > 0.
O centro é o ponto médio entre os focos. Terá a mesma abscissa, x0 = 2, e a ordenada será y0 =
11 + 3
2 = 7.
Desta forma, a equação reduzida será:
( x - 2 ) 2
25 +
( y - 7 ) 2
9 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 7
Determine a equação da elipse e de suas retas diretrizes, sabendo que tem o centro no ponto (1 , - 1), eixo maior igual a 26, paralelo ao eixo y,
e excentricidade 
12
13 .
RESOLUÇÃO
Como o eixo maior é paralelo ao eixo y, a elipse é vertical.
2a = 26 → a = 13. Pela excentricidade,
e = 
c
a =
12
13 → c = 13.
12
13 = 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a relação:
b2 = a2 - c2 = 169 - 144 = 25 → b = 5, pois b > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação reduzida será:
( x - 1 ) 2
25 +
( y + 1 ) 2
169 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As retas diretrizes serão
y = y0 ±
a2
c = - 1 ±
169
12 → y =
157
12 e y = -
181
12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retas diretrizes:
12y – 157 = 0 e 12y + 181 = 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma similar à parábola, ao se expandir os termos do segundo grau das equações reduzidas, transforma-se a equação para sua forma
geral, com tipo ax2 + by2 + cx + dy + e = 0, com a, b, c, d, e reais e atendendo a algumas particularidades. Para se transformar a equação geral
para equação reduzida, usaremos o método de completar quadrados já visto anteriormente, com a diferença que aplicaremos para as duas
variáveis (x e y), pois, na parábola, fazíamos apenas para a variável que estava ao quadrado, sendo limitada apenas a uma.
EXEMPLO 8
/
Determine as coordenadas do foco da elipse de equação
x2 + 4y2 - 4x + 24y + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
x2 - 4x + 4y2 + 24y + 36 = 0 → x2 - 4x + 4(y2 + 6y + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2 - 2.2 x + … + 4(y2 + 2.3 y + … + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x - 2)2 = x2 - 4x + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 3)2 = y2 + 6 y + 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
x2 - 4x + 4 - 4 + 4(y2 + 6 y + 9 - 9 + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2 - 4x + 4 + 4(y2 + 6 y + 9 + 36 - 4 - 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x - 2)2 + 4(y + 3)2 = 4 →
( x - 2 ) 2
4 +
( y + 3 ) 2
1 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma elipse horizontal de centro (2, – 3), eixo maior a = √4 = 2 e b = √1 = 1.
Usando a relação:
c2 = a2 - b2 = 4 - 1 = 3 → c = √3, pois c > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas dos focos (2 + c, - 3) e (2 – c, - 3), desta forma, os focos serão
F1 2 + √3, - 3 e F2 2 - √3, - 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando os eixos cartesianos não forem paralelos aos eixos da elipse, ela será inclinada em relação aos eixos e não será mais possível definir-
se sua equação reduzida. Para este caso, só teremos a equação geral que apresentará obrigatoriamente um tempo do tipo xy. Este tipo de
análise será feita no último módulo no estudo da equação geral das cônicas.
O caso degenerativo do ponto será obtido analiticamente quando o valor do a e b tenderem para zero, assim, a elipse tende a ser apenas o
ponto designado pelo centro.
( ) )
( ) )
( ) )
( ) )
( ) ( )
/
CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é um caso particular de elipse. Ela aparece quando o eixo focal é zero. Neste caso, a = b, isto é, o eixo maior é igual ao eixo
menor e será denominado de raio. Se partirmos da equação reduzida da elipse, fazendo a = b = r, obtém-se a equação reduzida da
circunferência que será dada por:
X - X0
2
R2
+
Y - Y0
2
R2
= 1 → X - X0 2 + Y - Y0 2 = R2, R > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta circunferência terá centro C (x0, y0) e raio r, com r > 0.
A circunferência é a elipse de excentricidade zero.
A circunferência será definida como o lugar geométrico de todos os pontos do plano em que a distância a um ponto fixo, denominado de
centro, é constante. Esta constante é denominada de raio. Assim, dCP = r, r > 0. Se for usada a fórmula da distância entre pontos, obtém-se a
mesma equação reduzida já apresentada.
EXEMPLO 9
Determine a equação da circunferência de centro (3, -2) e raio 3.
RESOLUÇÃO
Sabe-se que a equação da circunferência é x - x0
2 + y - y0
2 = r2
Assim, a equação fica
(x - 3)2 + (y + 2)2 = 32 = 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao se expandir os termos de segundo grau da equação reduzida, será apresentada a equação geral ou normal da circunferência. Assim,
teremos uma equação do tipo ax2 + ay2 + bx + cy + d = 0, com a, b, c e d reais e atendendo a algumas particularidades. Esta equação será
estudada no último módulo deste tema. No entanto já pode ser observado que obrigatoriamente o coeficiente do termo x2 e y2 deve ser igual e
não existirá termo do tipo xy.
Sendo dada a equação geral para se obter a equação reduzida, usa-se o métodode se completar o quadrado, já estudado anteriormente neste
tema.
EXEMPLO 10
Determine o centro e raio da circunferência de equação
x2 + y2 + 2x - 8y + 8 = 0.
RESOLUÇÃO
x2 + y2 + 2x - 8y + 8 = 0 → x2 + 2x + y2 - 8y + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
/
x2 + 2.1 x + … + y2 - 2.4 y + … + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
O segundo termo pode ser completado para formar (y - 4)2 = y2 - 8 y + 16
Assim,
x2 + 2x + 1 - 1 + y2 - 8y + 16 - 16 + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2 + 2x + 1 + y2 - 8y + 16 + 8 - 1 - 16 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x + 1)2 + (y - 4)2 = 9 → Centro em – 1, 4 e raio √9 = 3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PONTO DA ELIPSE, INTERSEÇÕES E TANGÊNCIAS
Um ponto pertencer ou não à elipse ou circunferência, bem como a obtenção de interseções ou tangências destas com outras curvas segue a
mesma metodologia já analisada para parábola e qualquer outro lugar geométrico.
Assim, para um ponto pertencer à elipse ou à circunferência, as suas coordenadas devem satisfazer a sua equação.
Para se obter interseções, deve-se realizar um sistema entre as equações dessa elipse ou circunferência com a outra curva e se observar o
resultado desse sistema. Podem ocorrer casos de não interseção, de tangência ou de secância.
EXEMPLO 11
Determine a posição relativa entre a reta x - √6y + 3 = 0 e a elipse 
( x - 1 ) 2
4 +
y2
2 = 1.
RESOLUÇÃO
Determinando a equação geral da elipse (x - 1)2 + 2y2 = 4
Para verificar os pontos de interseção, é preciso resolver o sistema
(x - 1)2 + 2y2 = 4
x - √6y + 3 = 0 → x = √6y - 3,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
substituindo na primeira equação.
√6y - 3 - 1 2 + 2y2 = 4 → √6y - 4 2 + 2y2 = 4 → 6y2 + 8√6y + 16 + 2y2 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
8y2 + 8√6y + 12 = 0 → 2y2 + 2√6y + 3 = 0 → y =
2√6 ± 2√6 2 - 4.3 . 2
4 =
√6
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x = √6y - 3 → x = √6
√6
2 - 3 = 0,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
{
( ) ( )
√ ( )
/
assim, existe um ponto de interseção P 0,
√6
2 .
A reta e a elipse são tangentes.
Um caso particular, com uma metodologia alternativa para se verificar a posição relativa entre duas circunferências, pode ser comparando a
distância entre os centros com os valores dos raios, assim:
 ATENÇÃO
dC1C2 > r1 + r2: circunferências são externas sem interseção;
dC1C2 = r1 + r2: circunferências são tangentes exteriores;
dC1C2 = r1 - r2 : circunferências são tangentes interiores;
r1 - r2 < dC1C2 < r1 + r2: circunferências secantes;
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
0 < dC1C2 < r1 - r2 : circunferências são internas sem interseção;
dC1C2 = 0: circunferências concêntricas.
De formas semelhante, temos uma alternativa para circunferência e reta. Comparando a distância entre o centro da circunferência e a reta com
o raio da circunferência. Assim:
 ATENÇÃO
dC reta > r: circunferência e reta sem interseção;
dC reta = r: circunferência e reta tangentes;
dC reta < r: circunferência e reta secantes.
EXEMPLO 12
Determine a posição relativa entre as circunferências (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4 e a circunferência (x - 4)2 + (y - 1)2 = 16.
RESOLUÇÃO
Pelas equações, a primeira circunferência tem centro C1 – 1, – 1 e raio √4 = 2. A segunda circunferência tem centro C2 4, 1 e raio 
√16 = 4.
Determinando a distância entre os centros C1 e C2:
dC1C2 = √(4 - ( - 1))2 + (1 - ( - 1))2 = √29
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 6 > √29 > 5, r1 + r2 = 7e r1 - r2 = 2, então r1 - r2 < dC1C2 < r1 + r2 e as circunferências são secantes.
( )
| |
| |
| |
( ) ( )
| | | |
/
Para determinar os dois pontos comuns, deve ser resolvido o sistema entre as duas circunferências.
EXEMPLO 13
Determine a posição relativa entre a circunferência x2 + (y - 1)2 = 4 e a reta 3x + 4y + 8 = 0.
RESOLUÇÃO
Pela equação, a circunferência tem centro C (0, 1) e raio √4 = 2.
Determinando a distância entre os centros C e a reta: 
3.0 + 2.1 + 8
√32 + 42
=
10
5 = 2
Como dC reta = r: circunferência e reta são tangentes.
Para achar o ponto de tangência, resolve-se o sistema entre as duas equações.
TEORIA NA PRÁTICA
Um sistema de localização é composto por duas estações fixas que se encontram a uma mesma altura e a uma distância de 2 km entre si. Para
se calibrar o sistema, um veículo segue uma trajetória plana, de forma a manter a soma de suas distâncias a cada uma das estações fixas e
igual a 6 km. Determine a figura formada pelo deslocamento deste veículo e calcule a sua excentricidade.
RESOLUÇÃO
Considere um ponto da trajetória do veículo. Como no enunciado, a soma das distâncias deste ponto para cada uma das estações fixas é
constante.
Como a elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante, a figura formada pela
trajetória do veículo será uma elipse cujo foco se encontra em cada uma das estações e o eixo de maior valor tem 6 km, que é a soma
constante das distâncias.
Assim, 2c = 2km → c = 1km e 2a = 6km → a = 3km.
A excentricidade e =
c
a =
1
3
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE QUE TEM RETA DIRETRIZ PARALELA AO EIXO DAS
ABSCISSAS, CENTRO NO PONTO (3, 4), EIXO FOCAL DE 4 E EXCENTRICIDADE DE 0,5.
A) 
( x + 3 ) 2
12 +
( y + 4 ) 2
16 = 1
B) 
( x + 3 ) 2
16 +
( y + 4 ) 2
12 = 1
C) 
( x - 3 ) 2
12 +
( y - 4 ) 2
16 = 1
D) 
( x - 3 ) 2
16 +
( y - 4 ) 2
12 = 1
| |
/
2. DETERMINE A EQUAÇÃO DO LUGAR GEOMÉTRICO DOS PONTOS DE UM PLANO CUJA DISTÂNCIA AO
PONTO (- 1, 2) É FIXA E IGUAL A 5.
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25
B) (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5
C) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 5
D) x + 1 + 5(y - 2)2 = 25
3. DETERMINE A EXCENTRICIDADE DA ELIPSE DADA PELA EQUAÇÃO
2X2 + Y2 - 12X + 2Y + 11 = 0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 
√2
2
B) 
√3
2
C) √3
D) √2
4. SEJA C O CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA (X - 2)2 + (Y + 4)2 = 8. SEJA F O FOCO, DE ABSCISSA POSITIVA
DA ELIPSE 
( X ) 2
36 +
( Y - 2 ) 2
35 = 1. DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE C E F.
A) √37
B) √36
C) √40
D) √32
5. DETERMINE A(S) INTERSEÇÃO(ÕES) DA CIRCUNFERÊNCIA (X + 3)2 + (Y + 4)2 = 20 COM A RETA 
X – Y + 1 = 0.
A) Apenas (– 1 , 0)
B) Apenas (– 7, – 6)
C) (3 ,4) e (7, 6)
D) (– 1 , 0) e (– 7, – 6)
6. OS PONTOS P (A, B) E Q (C, D) SÃO OS PONTOS DE INTERSEÇÃO ENTRE AS RETAS DIRETRIZES DA
ELIPSE EQUILÁTERA HORIZONTAL DE CENTRO NO PONTO (2,2) COM EIXO MENOR IGUAL A 4√2 E A RETA X
+ Y – 2 = 0. DETERMINE O VALOR DE A + B + C + D:
( )
/
A) 4√2
B) 4
C) -4
D) -4√2
GABARITO
1. Determine a equação reduzida da elipse que tem reta diretriz paralela ao eixo das abscissas, centro no ponto (3, 4), eixo focal de 4 e
excentricidade de 0,5.
A alternativa "C " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da elipse.
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das abscissas (x), então a elipse é vertical.
Como 2c = 4 → c = 2. Mas e =
c
a =
1
2 , então a = 2c = 4.
Usando a relação notável:
b2 = a2 - c2 = 16 - 4 = 12 → b = 2√3, pois b > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será
( x - 3 ) 2
2√3 2
+
( y - 4 ) 2
( 4 ) 2
= 1 →
( x - 3 ) 2
12 +
( y - 4 ) 2
16 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma a alternativa correta é a letra C.
2. Determine a equaçãodo lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância ao ponto (- 1, 2) é fixa e igual a 5.
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
 
Você entendeu o conceito da circunferência. O lugar geométrico pedido no enunciado é a circunferência, com centro em (– 1, 2) e raio 5.
Assim, a equação
x - x0
2 + y - y0
2 = r2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
será
(x - ( - 1))2 + (y - 2)2 = 52
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra A,
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 25.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a excentricidade da elipse dada pela equação
2x2 + y2 - 12x + 2y + 11 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
( )
( ) ( )
/
 
Você entendeu o conceito da equação geral da elipse. Achando a equação reduzida, completando os quadrados.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
4. Seja C o centro da circunferência (x - 2)2 + (y + 4)2 = 8. Seja F o foco, de abscissa positiva da elipse 
( x ) 2
36 +
( y - 2 ) 2
35 = 1. Determine a
distância entre C e F.
A alternativa "A " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação da elipse.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
5. Determine a(s) interseção(ões) da circunferência (x + 3)2 + (y + 4)2 = 20 com a reta x – y + 1 = 0.
A alternativa "D " está correta.
 
Você entendeu o conceito da interseção da circunferência com a reta.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
6. Os pontos P (a, b) e Q (c, d) são os pontos de interseção entre as retas diretrizes da elipse equilátera horizontal de centro no ponto
(2,2) com eixo menor igual a 4√2 e a reta x + y – 2 = 0. Determine o valor de a + b + c + d:
A alternativa "B " está correta.
 
Você entendeu o conceito da interseção da elipse.
Foi dado 2b = 4√2 → b = 2√2. Se a elipse é equilátera, b = c e consequentemente a = √2b = 4.
Como a elipse é horizontal e centro em (2,2), sua equação será: 
( x - 2 ) 2
16 +
( y - 2 ) 2
8 = 1
/
A reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y):
x = x0 ± 
a2
c = 2 ±
16
2√2
= 2 ± 4√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As retas serão
x = 2 + 4√2ex = 2 - 4√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a interseção com a reta dada y = 2 – x
Assim, os pontos serão:
x = 2 + 4√2 → y = - 4√2 e x = 2 - 4√2 → y = 4√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
a + b + c + d = 2 + 4√2 + 2 - 4√2 - 4√2 + - 4√2 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A ELIPSE COM UM DOS FOCOS EM (2, 1), CENTRO EM (2,0) E UM DOS VÉRTICES EM (2, 6).
DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE.
A) 
( x - 2 ) 2
36 +
( y ) 2
35 = 1
B) 
( x - 2 ) 2
35 +
( y ) 2
36 = 1
C) 
( x - 2 ) 2
36 +
( y ) 2
1 = 1
D) 
( x - 2 ) 2
1 +
( y ) 2
36 = 1
2. O PONTO (3,4) PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA DE CENTRO EM (1,2). DETERMINE A EQUAÇÃO DA
CIRCUNFERÊNCIA.
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 2√2
B) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 2√2
C) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 8
D) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 8
/
GABARITO
1. Seja a elipse com um dos focos em (2, 1), centro em (2,0) e um dos vértices em (2, 6). Determine a equação reduzida da elipse.
A alternativa "B " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da elipse. Se o Centro está em (2,0) e o foco em (2,1), a elipse obrigatoriamente é vertical e o
valor do 
c = 1 – 0 = 1 (diferença entre o foco e o centro). 
Igualmente, o valor do semieixo maior a = 6 – 0 = 6 (diferença entre o vértice e o centro). 
Usando a relação notável:
b2 = a2 - c2 = 36 - 1 = 35 → b = √35, pois b > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será 
( x - 2 ) 2
35 +
( y ) 2
36 = 1
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
2. O ponto (3,4) pertence à circunferência de centro em (1,2). Determine a equação da circunferência.
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
Você entendeu o conceito de circunferência.
Se o ponto pertence à circunferência, a distância dele ao centro será o raio da circunferência:
dPC = r = √(3 - 1)2 + (4 - 2)2 = √4 + 4 = 2√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação
x - x0
2 + y - y0
2 = r2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
será
(x - 3)2 + (y - 4)2 = 2√2 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra C,
(x - 3)2 + (y - 4)2 = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar a equação da hipérbole nos problemas da Geometria Analítica
HIPÉRBOLE
( ) ( )
( )
/
Quando se intercepta o cone de duas folhas com um plano que forma um ângulo com eixo do cone menor do que seu ângulo de abertura, este
corta cada uma das duas folhas do cone, formando a hipérbole.
A partir de agora iremos aplicar as equações da hipérbole na solução de problemas de Geometria Analítica.
HIPÉRBOLE – EQUAÇÃO REDUZIDA E GERAL
A interseção de um plano com o cone de duas folhas com o plano tendo um ângulo com o eixo do cone menor do que sua abertura, forma nas
duas folhas do cone a figura que será denominada hipérbole. 
Existem autores que usam outra definição para a criação da hipérbole: interseção entre um plano e o cone de duas folhas com o plano que não
é paralelo à geratriz do cone e que o corta em suas duas folhas.
 
gstraub/Shutterstock
O caso degenerativo relacionado à hipérbole será o conjunto de duas retas concorrentes, obtido quando o plano passa pelo vértice. Como as
duas cônicas anteriores, a hipérbole é uma curva plana com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA HIPÉRBOLE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Sejam dois pontos fixos F1 e F2 denominados de focos. A hipérbole será o lugar geométrico (conjunto) de todos os pontos do plano tais que o
módulo da diferença da distância do ponto a cada um dos focos é constante. O valor do módulo desta diferença será igual ao tamanho do eixo
real da hipérbole. Vide a figura e os principais elementos da hipérbole.
 
Elaborado pelo o autor
/
 ATENÇÃO
Elementos da Hipérbole
A1, A2: Vértices da hipérbole;
¯
A1A2 : 2a (eixo real ou transverso da hipérbole), a > 0;
¯
B1B2 : 2b (eixo imaginário da hipérbole), b > 0;
C: Centro da hipérbole – Encontro dos eixos real e imaginário - Ponto médio entre os focos;
F1 e F2: focos da hipérbole, sendo 
¯
F1F2 : 2c (eixo focal), com c > a;
Pela Definição: sendo 
¯
F1P - 
¯
F2P =
¯
A1A2 = 2a;
As retas r1 e r2 são retas diretrizes da hipérbole.
O eixo imaginário é um eixo abstrato que será explicado posteriormente à sua criação. Como na elipse, a hipérbole tem uma relação notável ou
fundamental: c2 = b2 + a2.
Da mesma forma com as cônicas anteriores, define-se a excentricidade (e) como a relação e =
c
a . No caso da hipérbole, a excentricidade vale
e > 1. Existe outra definição para hipérbole relacionada à distância entre o foco e a diretriz e que envolve a excentricidade.
Define-se hipérbole, também, como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo, denominado foco, será igual à distância do
ponto a uma reta fixa, denominada de diretriz, multiplicada por uma constante denominada de excentricidade. Assim, dFP = edrP. No caso da
hipérbole, similar à elipse, cada foco está relacionado a sua reta diretriz.
Repare, também, que os vértices A1 e A2são pontos da hipérbole, assim, dr1A1 =
1
e dA1F1. Mas a distância de A1 até o foco F1 vale (c – a).
Logo,
drA1 =
1
e c– a =
a
c (c - a) = a -
a2
c ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a distância da diretriz para o eixo imaginário da hipérbole será dado como a - dr1A1 = 
a2
c . A equação das retas diretrizes da
hipérbole serão paralelos ao eixo imaginário da hipérbole e estão com uma distância 
a2
c deste eixo.
Desta forma, a distância da diretriz para o eixo menor da elipse será dada como dr1A1 + a = 
a2
c . 
| |
( )
/
 
ruzanna/Shutterstock
Iniciaremos com o caso dos eixos real e imaginário serem paralelos ao eixos cartesianos. Neste caso, teremos a hipérbole horizontal quando o
eixo real for paralelo ao eixo x, e a hipérbole vertical quando o eixo real for paralelo ao eixo y.
EQUAÇÃO REDUZIDA OU CANÔNICA DA HIPÉRBOLE
Vamos começar pelo caso mais simples, uma hipérbole horizontal, com o centro da hipérbole na origem do plano cartesiano. Seria o desenho
anterior, com o eixo x sobre o eixo real, o eixo y sobre o eixo imaginário e o centro no ponto (0.0).
 ATENÇÃO
Seja a hipérbole com tamanho do eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Assim, os elementos da hipérbole terão as seguintes coordenadas:
 Centro: C (0,0) e vértices: A1 ( – a, 0) e A2 ( a, 0).
 Focos: F1 ( – c, 0 ) e F2 ( c, 0 ).
 Eixo real: y = 0 e eixo imaginário: x = 0
 Retas diretrizes: x =
a2
c e x = -
a2
c .
Seja P (x,y) um ponto genérico da hipérbole, assim, a diferença das distâncias aos dois focos vale 2a:
dPF1 - dPF2 = 2a → √(x - (-c))2 + (y - 0)2 - √(x - c)2 + (y - 0)2 = 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
√(x + c)2 + y2 - √(x - c)2 + y2 = 2a → √(x + c)2 + y2 = √(x - c)2 + y2 ± 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Elevando ao quadrado:
(x + c)2 + y2 = (x - c)2 + y2 ± 4a√(x - c)2 + y2 + 4a2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
| | | |
| |
/
±4a√(x - c)2 + y2 = (x + c)2 + y2 - (x - c)2 - y2 - 4a2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
±4a√(x - c)2 + y2 = 4cx - 4a2 → ± √(x - c)2 + y2 = ca x - a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando novamente ao quadrado:
(x - c)2 + y2 =
c
a x - a
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2 - 2cx + c2 + y2 =
c2
a2
x2 - 2cx + a2 →
c2
a2
- 1 x2 - y2 = c2 - a2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como c > a → c2 - a2 > 0, então, existe um número real b tal que c2 - a2 = b2. Aqui é o ponto da criação do eixo imaginário.
c2 - a2
a2
x2 - y2 = b2 →
b2
a2
x2 - y2 = b2 → b2x2 - a2y2 = a2b2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, obtém-se a equação reduzida: 
x2
a2
-
y2
b2
= 1
Se agora deslocarmos o centro do sistema cartesiano mantendo os eixos paralelos aos eixos da hipérbole horizontal, de forma que o novo
centro da hipérbole está agora no ponto C (x0, y0).
Seja a mesma hipérbole com eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Assim, os elementos da hipérbole horizontal, de centro C (x0, y0), terão as
seguintes coordenadas:
 
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
 Centro: C (x0, y0) e vértices: A1 ( x0 – a, y0) e A2 ( x0 + a, y0).
 Focos: F1 ( x0 – c, y0 ) e F2 ( x0 + c, y0 ).
 Eixo real: y = y0 e eixo imaginário: x = x0
 Retas diretrizes: x = x0 +
a2
c e x = x0 -
a2
c .
Seja P (x,y) um ponto genérico da hipérbole, logo, a diferença das distâncias aos dois focos vale 2a:
( )
( )
( )
/
DPF1 - DPF2 = 2A → X - X0 - C 2 + Y - Y0 2 - X - X0 + C 2 + Y - Y0 2 = 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando matematicamente de forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a equação reduzida da hipérbole horizontal como:
X - X0
2
A2
-
Y - Y0
2
B2
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o raciocínio semelhante ao caso da hipérbole vertical. Seja a Hipérbole com eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Reforça-se que a
diferença é que o eixo real está paralelo, agora, ao eixo y, e não mais ao eixo x. Assim, os elementos da hipérbole vertical de centro C (x0, y0)
terão as seguintes coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C (x0, y0) e vértices: A1 ( x0, y0 – a ) e A2 ( x0, y0 + a).
 Focos: F1 ( x0, y0 – c ) e F2 ( x0, y0 + c).
 Eixo real: x = x0 e eixo imaginário: y = y0
 Retas diretrizes: y = y0 +
a2
c e y = y0 -
a2
c .
Manipulando matematicamente de forma semelhante à feita no raciocínio anterior, obtém-se a equação reduzida da hipérbole vertical como:
-
X - X0 2
B2
+
Y - Y0 2
A2
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de olhar para equação reduzida e reconhecer o tipo de hipérbole com que está se trabalhando é verificar qual variável está com o
sinal negativo, tendo o número 1 do lado direito. Ressalta-se que, diferentemente da elipse, b pode ser maior do que a na hipérbole. Por
exemplo, na hipérbole horizontal, o sinal negativo está antes da fração relacionada à variável y e, na hipérbole vertical, antes da fração
relacionada à variável x.
| | |√( ( )) ( ) √( ( )) ( ) |
( ) ( )
( ) ( )
/
 
marekuliasz/Shutterstock
 COMENTÁRIO
Um ponto a ressaltar: chama-se de hipérbole equilátera a hipérbole com a = b. Neste caso, pela relação notável c = √2b = √2a e a
excentricidade(e) será √2.
EXEMPLO 14
Determine a equação reduzida da hipérbole de focos nos pontos (2, 3) e (2, 13) e eixo real igual a 6.
RESOLUÇÃO
Ao analisar os dois focos, verifica-se que eles têm a mesma abscissa, dessa forma, a hipérbole é horizontal, isto é, o eixo real é paralelo ao eixo
x.
dF1F2 = 2c = 13 - 3 = 10.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como uma das coordenadas é igual, basta fazer a diferença entre as outras coordenadas. Assim, c = 5.
O enunciado informou que 2a = 6 →a = 3
Usando a relação:
b2 = c2 - a2 = 25 - 19 = 16 → b = 4, pois b > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O centro é o ponto médio entre os focos. Terá a mesma abscissa, x0 = 2, e a ordenada será y0 =
13 + 3
2 = 8.
Desta forma, a equação reduzida será: 
( x - 2 ) 2
9 -
( y - 8 ) 2
16 = 1
EXEMPLO 15
Determine a equação da hipérbole vertical e de suas diretrizes, sabendo que tem o centro no ponto (1, - 1), eixo real igual a 16 e excentricidade
2.
RESOLUÇÃO
/
Como a hipérbole é vertical, o eixo real é paralelo ao eixo y.
2a = 16 → a = 8.
Pela excentricidade
e =
c
a = 2 → c = 2. a = 16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a relação:
b2 = c2 - a2 = 256 - 64 = 192 → b = 8√3, pois b > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim sendo, a equação reduzida será: -
( x - 1 ) 2
192 +
( y + 1 ) 2
64 = 1.
As retas diretrizes serão
y = y0 ±
a2
c = - 1 ±
64
16 → y = 3 e y = - 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retas diretrizes: y – 3 = 0 e y + 4 = 0.
De forma similar à parábola e à elipse, ao se expandir os termos do segundo grau das equações reduzidas, transforma-se a equação para sua
forma geral, com tipo ax2 + by2 + cx + dy + e = 0, com a, b, c, d, e reais e atendendo a algumas particularidades. Para se transformar a
equação geral para equação reduzida, usaremos o método de “completar quadrados” já visto anteriormente.
EXEMPLO 16
Determine as coordenadas do foco da elipse de equação
y2 - 2x2 + 4x + 2y - 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
y2 - 2x2 + 4x + 2y - 1 = 0 → - 2 x2 - 2x + y2 + 2y - 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
– 2 x2 - 2. 1 x + … + y2 + 2. 1 y + … - 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x - 1)2 = x2 - 2x + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 1)2 = y2 + 2y + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
- 2 x2 - 2x + 1 - 1 + y2 + 2y + 1 - 1 - 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
- 2 x2 - 2x + 1 + y2 + 2y + 1 - 1 + 2 - 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
/
(-2)(x - 1)2 + (y + 1)2 = 8 → -
( x - 1 ) 2
4 +
( y + 1 ) 2
8 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma hipérbole vertical de centro (1, – 1), eixo real a = √8 = 2√2 = 2 e b = √4 = 2
Usando a relação:
c2 = a2 + b2 = 4 + 8 = 12 → c = 2√3, pois c > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas dos focos (1, – 1 – c) e (1, - 1 + c), desta forma os focos serão
F1 1, - 1 - 2√3 e F2 1, - 1 + 2√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Rawpixel.com
Quando os eixos cartesianos não forem paralelos aos eixos da hipérbole, ela será inclinada em relação aos eixos e não será mais possível
 definir sua equação reduzida. Para este caso, só teremos a equação geral que apresentará obrigatoriamente um tempo do tipo xy.
Um ponto pode pertencer ou não à hipérbole ou os problemas de interseção ou tangência se resolvem da mesma forma que foram
solucionadas para outras cônicas. Assim, para um ponto pertencer, as coordenadas do ponto devem satisfazer a sua equação e, para se obter
interseções, deve-se realizar um sistema entre as equações da hipérbole com a outra curva e se observar o resultado deste sistema, podendo
ocorrer casos de não interseção, de tangência ou de secância.
A hipérbole tem duas retas assíntotas para as quais ela se aproxima quando varia para o mais ou menos infinito.
As equações das assíntotas serão dadas por:
HIPÉRBOLE HORIZONTAL:
y - y0 = ±
b
a x - x0
HIPÉRBOLE VERTICAL:
y - y0 = ±
a
b x - x0
TEORIA NA PRÁTICA
Um telescópio é montado baseado na propriedade refletora da hipérbole. Um raio quando incide por um dos focos, segue uma reta cuja
extensão passa no outro foco. Seja a equação que regula a lente do telescópio hiperbólica 
( x + 2 ) 2
16 -
( y - 3 ) 2
9 = 1. Determine as coordenadas do
foco desta lente.
RESOLUÇÃO
Verifica-se pelo sinal negativo antes da fração com variável y que a hipérbole é horizontal com centro em C ( – 2 , 3). A metade do eixo real, a,
vale √16 = 4 e a metade do eixo imaginário, b, vale √9 = 3.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
/
Pela relação notável:
c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25 → c = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na hipérbole horizontal, as coordenadas do foco serão (x0 – c, y0) e (x0 + c, y0).
No caso da lente hiperbólica, ter-se-á foco nos pontos (– 2 – 5, 3) e (– 2 +5, 3).
Assim, os focos serão (– 7, 3) e (3,3).
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE QUE TEM RETA DIRETRIZ PARALELA AO EIXO DAS
ORDENADAS, CENTRO NO PONTO (3, 4), EIXO FOCAL DE 4 E EXCENTRICIDADE DE 2.
A) 
( x + 3 ) 2
3 -
( y + 4 ) 2
1 = 1
B) 
( x + 3 ) 2
3 +
( y + 4 ) 2
1 = 1
C) 
( x - 3 ) 2
1 -
( y - 4 ) 2
3 = 1
D) 
( x - 3 ) 2
1 +
( y - 4 ) 2
3 = 1
2. OBTER O FOCO DA CÔNICA CUJA EQUAÇÃO VALE 
( Y + 2 ) 2
7 -
( X + 2 ) 2
2 - = 1
A) (– 2, 0) e (– 2, 2)
B) (– 2, –5) e (– 2, 1)
C) (– 5, – 2) e (1, – 2)
D) (2, – 1) e (2, 5)
3. UM PONTO PERTENCE A UMA HIPÉRBOLE VERTICAL DE EXCENTRICIDADE 2 E QUE TEM EIXO
IMAGINÁRIO IGUAL A 6. ESTE PONTO ESTÁ MAIS PERTO DE F1 DO QUE F2, QUE SÃO OS DOIS FOCOS DESTA
HIPÉRBOLE. SABENDO QUE A DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E O FOCO F1 VALE √3, DETERMINE A DISTÂNCIA
ENTRE O PONTO E FOCO F2
A) √3
B) 2√3
C) 3√3
D) 3
4. DETERMINE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A EQUAÇÃO DE UMA DAS ASSÍNTOTAS DA HIPÉRBOLE
COM EQUAÇÃO 
( X - 1 ) 2
16 -
( Y + 2 ) 2
9 = 1.
/
A) 4x + 3y + 5 = 0
B) 3x + 4y + 5 = 0
C) 4x + 3y + 12 = 0
D) 3x - 4y + 11 = 0
5. UMA HIPÉRBOLE TEM CENTRO NA ORIGEM E PASSA NO PONTO (-4 ,1). SABE-SE QUE ESTA HIPÉRBOLE
TEM FOCO EM F (3, 0). DETERMINE A EXCENTRICIDADE DA HIPÉRBOLE.
A) 
3√2
4
B) 
3√3
4
C) 
√2
4
D) 
3
4
6. UMA HIPÉRBOLE COM EXCENTRICIDADE 2 TEM AS RETAS DIRETRIZES COM EQUAÇÃO X – 8 = 0 E X + 2 =
0. SEU CENTRO TEM ORDENADA IGUAL A 1. DETERMINE A EQUAÇÃO CANÔNICA DESTA HIPÉRBOLE.
A) 
( x + 8 ) 2
300 -
( y - 1 ) 2
100 = 1
B) -
( x - 2 ) 2
400 +
( y - 1 ) 2
300 = 1
C) 
( x - 3 ) 2
300 -
( y - 1 ) 2
100 = 1
D) 
( x - 3 ) 2
100 -
( y - 1 ) 2
300 = 1
GABARITO
1. Determine a equação reduzida da hipérbole que tem reta diretriz paralela ao eixo das ordenadas, centro no ponto (3, 4), eixo focal
de 4 e excentricidade de 2.
A alternativa "C " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole.
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y), então a hipérbole é horizontal.
Como 2c = 4 → c = 2. Mas e =
c
a = 2, então a =
c
2 = 1
Usando a relação notável:
b2 = c2 - a2 = 4 - 1 = 3 → b = √3, pois b > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será
( x - 3 ) 2
12
-
( y - 4 ) 2
√3 2
= 1 →
( x - 3 ) 2
1 -
( y - 4 ) 2
3 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma a alternativa correta é a letra C.
2. Obter o foco da cônica cuja equação vale 
( y + 2 ) 2
7 -
( x + 2 ) 2
2 - = 1
( )
/
A alternativa "B " está correta.
 
Você entendeu o conceito de hipérbole.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
3. Um ponto pertence a uma hipérbole vertical de excentricidade 2 e que tem eixo imaginário igual a 6. Este ponto está mais perto de
F1 do que F2, que são os dois focos desta hipérbole. Sabendo que a distância entre o ponto e o foco F1 vale √3, determine a distância
entre o ponto e foco F2
A alternativa "C " está correta.
 
Você entendeu o conceito de hipérbole.
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y), então a hipérbole é horizontal.
Se 2b = 6 → b = 3. Como e = 2 =
c
a → c = 2a
Usando a relação notável
c2 = a2 + b2 = a2 + 32 → (2a)2 = a2 + 9 → 3a2 = 9 → a = √3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas pela definição da hipérbole:
dPF1 - dPF2 = 2a = 2√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o ponto está mas perto de F1, a distância é menor para este ponto, assim
dPF1 - dPF2 = dPF2 - dPF1 = 2√3 → dPF2 = 2√3 + √3 = 3√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma a alternativa correta é a letra C.
4. Determine a alternativa que apresenta a equação de uma das assíntotas da hipérbole com equação 
( x - 1 ) 2
16 -
( y + 2 ) 2
9 = 1.
A alternativa "B " está correta.
 
Você entendeu o conceito de hipérbole. 
Assista ao vídeo com a solução desta questão
| |
| |
/
5. Uma hipérbole tem centro na origem e passa no ponto (-4 ,1). Sabe-se que esta hipérbole tem foco em F (3, 0). Determine a
excentricidade da hipérbole.
A alternativa "A " está correta.
 
Assista ao vídeo com a solução desta questão
6. Uma hipérbole com excentricidade 2 tem as retas diretrizes com equação x – 8 = 0 e x + 2 = 0. Seu centro tem ordenada igual a 1.
Determine a equação canônica desta hipérbole.
A alternativa "D " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole. 
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y), então a hipérbole é horizontal.
As retas das diretrizes são x = 8 e x = – 2.
Como as equação das retas diretrizes serão x = x0 ±
a
e , então:
2x0 = 8 - 2 → x0 = 3
2
a
e = 8 - (-2) = 10 → a = 5e = 10
 
 Atenção! Paravisualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C = a. e = 20 → b2 = c2 - a2 = 400 - 100 = 300 → b = 10√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação da hipérbole será: 
( x - 3 ) 2
100 -
( y - 1 ) 2
300 = 1
Desta forma, a alternativa correta é a letra D.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
{
/
1. SEJA A HIPÉRBOLE VERTICAL COM TAMANHO DE EIXO REAL 24 E EIXO FOCAL 26. SABE-SE QUE SEU
CENTRO ESTÁ NO PONTO (0, 3). DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE
A) 
( x - 2 ) 2
36 +
( y ) 2
35 = 1
B) 
( y - 3 ) 2
144 -
( x ) 2
25 = 1
C) 
( x ) 2
25 -
( y - 3 ) 2
144 = 1
D) 
( x ) 2
144 -
( y - 3 ) 2
25 = 1
2. O PONTO (K, 6) PERTENCE A UMA HIPÉRBOLE COM VÉRTICES NOS PONTOS (- 5, 3) E (5,3) E COM
EXCENTRICIDADE 1,25. DETERMINE O VALOR DE K2:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
GABARITO
1. Seja a hipérbole vertical com tamanho de eixo real 24 e eixo focal 26. Sabe-se que seu centro está no ponto (0, 3). Determine a
equação reduzida da hipérbole
A alternativa "B " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole. 
Se 2a = 24 → a = 12 e 2c = 26 → c = 13. Pela relação notável b2 = c2 – a2 = 169 – 144 = 25. 
Assim, b = 5. O enunciado diz que o centro está no ponto (0,3). 
Como a hipérbole é vertical, o sinal de menos e o eixo imaginário ficam abaixo da variável y.
Então, a equação será 
( y - 3 ) 2
144 -
( x ) 2
25 = 1.
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
2. O ponto (k, 6) pertence a uma hipérbole com vértices nos pontos (- 5, 3) e (5,3) e com excentricidade 1,25. Determine o valor de k2:
A alternativa "C " está correta.
 
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole.
Pelas coordenadas do foco, verifica-se que é uma hipérbole horizontal, pois os focos têm mesma ordenada com centro em (0, 3). 
O valor de 2c = 5 – (-5) = 10 → c = 5.
Como
e = 1,2 =
c
a → a =
c
1,25 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela relação
b2 = c2– a2 = 25– 16 = 9 → b = 3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
Assim, a equação da hipérbole é 
x2
16 -
( y - 3 ) 2
9 = 1
Como P (k,6) pertence, as coordenadas satisfazem a equação: 
k2
16 -
( 6 - 3 ) 2
9 = 1
k2 = 1 + 1 → k = ± √2.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resposta correta é a letra C.
MÓDULO 4
 Aplicar a equação geral das cônicas.
EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS
Como estudado nos módulos anteriores, todas as cônicas e suas degenerações podem ser representadas por uma equação geral do tipo: 
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + g = 0 , em que a, b , c , d , e, f e g são constantes reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
jaboo2foto/Shutterstock
Existe uma forma de se analisar esta equação do segundo grau com duas variáveis e se classificar a cônica que está sendo representada pela
equação. 
Se b = 0, na equação, isto é, se não existir o termo xy, as cônicas têm seus eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos. Se b ≠ 0, as
cônicas serão inclinadas em relação aos eixos cartesianos. Neste caso, para se obter as equações reduzidas ou canônicas é preciso fazer uma
rotação de eixos cartesianos (só assim é possível obtê-las).
1) SE B = 0 E A = C (COEFICIENTE DE X2 IGUAL AO DO Y2 ):
Nesta hipótese, obrigatoriamente o caso geral é a equação representando uma circunferência, porém pode ser também a sua degeneração, a
qual é um ponto somente, ou até mesmo uma equação que não representa nenhum ponto. Isto é conjunto vazio.
ETAPA 01
ETAPA 02
Deve-se completar quadrados e obter qual valor representará o raio da circunferência:
ax2 + ay2 + dx + ey + g = 0 → a x2 +
d
a x + a y
2 +
e
a = - g( ) ( )
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2 +
d
a x + y
2 +
e
a y = -
g
a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2 +
d
a x +
d
2a
2
-
d
2a
2
+ y2 +
e
a y +
e
2a
2
-
e
2a
2
= -
g
a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x +
d
2a
2
+ y +
e
2a
2
=
d2
4a2
+
d2
4a2
-
g
a = r
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
d2
4a2
+
d2
4a2
-
g
a > 0 → r =
d2
4a2
+
d2
4a2
-
g
a :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Circunferência de raio r e centro -
d
2a , -
e
2a
d2
4a2
+
d2
4a2
-
g
a = 0 → r = 0:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um ponto -
d
2a , -
e
2a
d2
4a2
+
d2
4a2
-
g
a < 0 → r não existe : Conjunto vazio. 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a fórmula não precisa ser decorada, basta completar o quadrado.
EXEMPLO 17
Qual o lugar geométrico formado pela equação
x2 + y2 - 12x + 12y + 72 = 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Verifica-se que não tem o termo xy e o coeficiente que multiplica x2 e y2 são idênticos, assim, trata-se de uma circunferência, um ponto ou de
um conjunto vazio.
Completando os quadrados
x2 - 12x + y2 + 12y + 72 = 0 → x2 - 12x + (y2 + 12y + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2 - 2.6 x + … + (y2 + 2.6 y + … + 72 = 0
( ) ( )
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
( ) ( )
√
( )
( )
( ) )
( ) )
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x - 6)2 = x2 - 12x + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 6)2 = y2 + 12 y + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
x2 - 12x + 36 - 36 + (y2 + 12 y + 36 - 36 + 72 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2 - 12x + 36 + (y2 + 12 y + 36 + 72 - 36 - 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x - 6)2 + (y + 6)2 = 36 + 36 - 72 = 0 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o valor do r2 foi zero, assim, trata-se do ponto (6, – 6).
Se r2 fosse negativo, a equação representaria um conjunto vazio e se fosse positivo, seria uma circunferência de centro em (6, – 6).
 
HappyAprilBoy/Shutterstock
2) SE A ≠ C (COEFICIENTE DE X2 DIFERENTE DO Y2 ):
Necessita-se determinar uma variável auxiliar Δ = b2 - 4ac
Tendo-se as seguintes possibilidades:
 ATENÇÃO
Δ = 0: Parábola ou suas degenerações (duas retas paralelas ou duas retas coincidentes);
Δ < 0: Elipse ou suas degenerações (um ponto ou um conjunto vazio);
Δ > 0: Hipérbole ou suas degenerações (2 retas concorrentes).
( ) )
( ) )
/
PARÁBOLA E SUAS DEGENERAÇÕES
Se b = 0, obrigatoriamente será uma parábola, não podendo ser uma de suas degenerações. Mas se b ≠ 0, deve-se transformar a equação em
uma do 2º grau em x ou em y. Assim, deve-se calcular o discriminante desta equação do segundo grau (Δ0).
 ATENÇÃO
Δ0 for um número real diferente de zero: tem-se duas retas paralelas;
Δ0 for zero: tem-se duas retas coincidentes;
Δ0 for diferente de um número real: parábola.
EXEMPLO 18
Identifique o lugar geométrico representado por
4x2 + y2 - 4xy - 22x - 4y + 49 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que Δ = (– 4)2 – 4.1.4 = 0. 
Portanto, será uma parábola ou suas degenerações.
 Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
4x2 + y2 - 4xy - 22x - 4y + 49 = 0 → 4x2 - (22 + 4y)x + y2 - 4y + 49 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
Δ0 = (-22 - 4y)
2 - 4. 4. y2 - 4y + 49
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize