Aula 11 -Tensão Térmica

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Tensões Térmicas
Professor Lucas Aguiar-04/06/2021
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TENSÕES TÉRMICAS
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TENSÕES TÉRMICAS
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Introdução
• No estudo das tensões de origem térmica, é necessário compreender que a variação de 
temperatura modifica as dimensões do corpo, seja aumentando ou diminuindo
• Na Engenharia, dependendo das restrições de uma estrutura, o aumento ou a diminuição das 
dimensões podem gerar tensões “extras” cuja origem se deve à mudança na temperatura. No 
desenvolvimento de um projeto, dependendo da ordem de grandeza dessas tensões, não devem 
ser ignoradas.
DILATAÇÃO TÉRMICA
• No estudo microscópico dos materiais, é conhecido que os átomos que formam o material 
oscilam. A medida desse grau de agitação é a temperatura.
• Quando esse grau é elevado, significa que a energia cinética dos átomos é alta e colisões são 
mais prováveis, liberando energia na modalidade de calor, o que eleva a temperatura do corpo 
macroscopicamente. De maneira inversa, ocorre a diminuição da temperatura.
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TENSÕES TÉRMICAS
DILATAÇÃO TÉRMICA
• Observe na figura uma barra metálica de comprimento L0 e que está em um ambiente em que a 
temperatura é T0.
• A variação do comprimento (ΔL) da barra depende de três variáveis: o seu comprimento inicial (L0), a 
variação da temperatura (ΔT) e do tipo de material, sendo esta última variável uma característica do 
material denominada coeficiente de expansão térmica (α).
∆𝑳 = 𝑳𝟎𝜶∆𝑻 𝟏
Onde ∆𝑳 é a variação do Comprimento, 𝑳𝟎 o comprimento inicial, 𝜶 o coeficiente
de dilatação térmica linear [℃−1] e ∆𝑻 a variação da Temperatura.
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TENSÕES TÉRMICAS
EXEMPLO
Suponha uma barra de aço de comprimento 5 m engastada em uma parede. Às 2h da madrugada, 
a temperatura ambiente é de 10 0C. Considerando o coeficiente de expansão térmica do aço igual a 
15.10-6 0C-1, determine a maior temperatura a que a barra pode ficar submetida para não exercer 
força sobre a outra parede, uma vez que sua extremidade livre está afastada 1,5 mm dessa parede. 
Observe a figura a seguir.
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TENSÕES TÉRMICAS
Dados:
𝐿0 = 5𝑚
𝑇0 = 10º𝐶
𝑇𝑓 =?
𝛼 = 15 × 10−6℃−1
∆𝐿 = 1,5𝑚𝑚 = 0,0015𝑚 ( 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒)
∆𝑳 = 𝑳𝟎𝜶∆𝑻 ∆𝑻 =
∆𝑳
𝑳𝟎𝜶
∆𝑻 = 𝑻𝒇 − 𝑻𝟎 =
∆𝑳
𝑳𝟎𝜶
=
𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟓𝒎
𝟓 𝒎 15 × 10−6℃−1
𝑻𝒇 − 𝟏𝟎℃ = 𝟐𝟎℃ 𝑻𝒇 = 𝟑𝟎℃
TENSÕES TÉRMICAS
• No estudo das tensões térmicas, será utilizada uma simbologia diferente para a equação 1. A variação no 
comprimento (ΔL) devido à variação da temperatura, será apresentada por δT. Dessa forma, a equação 51 
poderá ser reescrita como a equação 2.
𝜹𝑻 = 𝑳𝟎𝜶∆𝑻 𝟐
• Essa equação é válida para quando consideramos a temperatura homogênea ao longo da barra, caso a 
temperatura varie com a distância T(x) , a equação seria: 𝜹𝑻 = 𝟎׬
𝑳𝟎𝜶∆𝑻 𝒙 𝒅𝒙.
• Na aula anterior, vimos que durante o regime elástico (deformação temporária), podemos plicar a lei de 
Hooke 𝝈 = 𝜺 ∙ 𝑬 e vimos que a deformação 𝜺 =
ΔL
𝑳𝟎
.: 
𝝈 =
ΔL
𝐿0
∙ 𝐸
• Assim como temos uma variação de comprimento causada pela temperatura(𝜹𝑻). Temos uma variação de 
temperatura ΔL causada por uma força (𝜹𝑭)na Lei de Hooke, substituindo ΔL= 𝜹𝑭
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TENSÕES TÉRMICAS
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TENSÕES TÉRMICAS
TENSÕES TÉRMICAS
𝝈 ==
𝜹𝑭
𝑳𝟎
∙ 𝑬
• Assim, podemos escrever 𝜹𝑭 em função da Tensão 𝝈
𝜹𝑭 =
𝝈 ∙ 𝐿0
𝐸
(3)
• Sabemos que 𝝈 =
𝑭
𝑨
, logo:
𝜹𝑭 =
𝑭 ∙ 𝐿0
𝐴 ∙ 𝐸
• Vamos analisar o caso da barra presa a uma parede, ao aumentarmos a temperatura, ela passará por
uma dilatação térmica 𝜹𝑻 = 𝑳𝟎𝜶∆𝑻 , crescendo de B para B’
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TENSÕES TÉRMICAS
TENSÕES TÉRMICAS
• Agora consideremos que a barra está engastada em duas paredes:
• A parede B, impediria que a viga dilatasse até B’. Dessa forma, o que ocorre é que a parede exerce 
uma força impedindo o movimento de B.
• Na figura abaixo é representada essa força e o deslocamento de B’ para B, também de forma 
abstrata. Assim, de fato, a extremidade B da barra não se desloca.
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TENSÕES TÉRMICAS
TENSÕES TÉRMICAS
• Pela terceira lei de Newton sabemos que essa força, será igual a força aplicada pela dilatação da barra em 
direção a parede. Logo podemos afirmar que 𝜹𝑭 = 𝜹𝑻. 
• Ou em outras palavras: como a variação da posição de B é nula, é possível escrever a equação da 
compatibilidade geométrica, ou seja:
𝜹𝑭 − 𝜹𝑻 = 𝟎
𝜹𝑭 = 𝜹𝑻
• Assim, igualando (2) e (3):
𝜹𝑻 = 𝑳𝟎𝜶∆𝑻 = 𝜹𝑭 =
𝝈 ∙ 𝐿0
𝐸
𝑳𝟎𝜶∆𝑻 =
𝝈 ∙ 𝐿0
𝐸
𝜶∆𝑻 =
𝝈
𝐸
Dessa forma podemos descrever a Tensão térmica como:
𝝈 = 𝜶 ∙ ∆𝑻 ∙ 𝑬 (4)
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TENSÕES TÉRMICAS
EXEMPLO 2
Suponha que uma barra cilíndrica de aço tenha coeficiente de expansão térmica igual a 15.10-6 0C-1, 
comprimento 1,5 m, área circular de diâmetro 12 mm e módulo de elasticidade E igual a 200 GPa. A 
barra apresenta-se engastada em duas paredes verticais e sem nenhuma tensão atuando. A 
temperatura ambiente é de 200 C. Quando a temperatura ambiente for de 300 C, determine a força 
que a parede exerce sobre a barra e a tensão térmica.
Dados:
𝐿0 = 1,5 𝑚
𝑑 = 12𝑚𝑚 = 0,012𝑚
𝑇0 = 20º𝐶
𝑇𝑓 = 30
𝛼 = 15 × 10−6℃−1
𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 = 200 × 109𝑃𝑎
𝐹 =?
𝑽𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆:
𝝈 = 𝜶 ∙ ∆𝑻 ∙ 𝑬 4
𝑴𝒂𝒔 𝝈 =
𝑭
𝑨
𝑬𝒏𝒕ã𝒐:
𝝈 =
𝑭
𝑨
= 𝜶 ∙ ∆𝑻 ∙ 𝑬
𝒍𝒐𝒈𝒐:
𝑭 = (𝜶 ∙ ∆𝑻 ∙ 𝑬) ∙ 𝑨
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TENSÕES TÉRMICAS
EXEMPLO 2
Suponha que uma barra cilíndrica de aço tenha coeficiente de expansão térmica igual a 15.10-6 0C-1, 
comprimento 1,5 m, área circular de diâmetro 12 mm e módulo de elasticidade E igual a 200 GPa. A 
barra apresenta-se engastada em duas paredes verticais e sem nenhuma tensão atuando. A 
temperatura ambiente é de 200 C. Quando a temperatura ambiente for de 300 C, determine a força 
que a parede exerce sobre a barra e a tensão térmica.
Dados:
𝐿0 = 1,5 𝑚
𝑑 = 12𝑚𝑚 = 0,012𝑚
𝑇0 = 20º𝐶
𝑇𝑓 = 30
𝛼 = 15 × 10−6℃−1
𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 = 200 × 109𝑃𝑎
𝐹 =?
𝑭 = (𝜶 ∙ (𝑇𝑓 − 𝑇0) ∙ (𝑬) ∙ 𝑨
𝑭 = 3392𝑁
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 =
𝝅𝒅2
𝟒
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 =
𝝅(𝟎, 𝟎𝟏𝟐)²
𝟒
= 1,13 × 10−4𝑚²
𝑭 = (15 × 10−6) ∙ (𝟑𝟎 − 𝟐𝟎) ∙ (200 × 109) ∙ (1,13 × 10−4)
𝝈 =
𝑭
𝑨
=
𝟑𝟑𝟗𝟐 𝑵
1,13 × 10−4𝑚² 𝜎 = 𝟑𝟎 × 𝟏𝟎
𝟗𝑷𝒂 = 𝟑𝟎𝑴𝑷𝒂
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Lista de Abreviaturas
𝐹 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑚 𝑁
𝑽 𝒙 = 𝑭𝒐𝒓ç𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒆𝒎 𝑵
𝑞 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑁/𝑚
𝑑 = 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑚
𝑀 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑁.𝑚
𝑀 = 𝐹. 𝑑
𝜎 = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑃𝑎 𝜎 =
𝐹
𝐴
𝜏 = 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑃𝑎 𝜏 =
𝑽 𝒙
𝐴
∆𝐿 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑚
𝐿0 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑚
𝐿𝑓 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑚
∆𝐿
𝐿0
∙ 100% = 𝐷𝑢𝑐𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
∆𝐴
𝐴0
∙ 100% =
𝐴0 − 𝐴𝑓
𝐴0
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Lista de Abreviaturas
∆𝐴 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑚 𝑚²
𝐴0 = á𝑟𝑒𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑚²
𝐴𝑓 = á𝑟𝑒𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑚²
𝜀 = 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 =
∆𝐿
𝐿0
𝐸 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 𝑃𝑎
𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑃𝑎
𝛾 = 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝜈 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙)𝜶 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑙𝑎𝑡𝑎çã𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 [℃−1)]
∆𝑻 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑚 ℃
𝜹𝑻 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
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TENSÕES TÉRMICAS
EXERCÍCIOS 
1. Suponha uma barra de alumínio de comprimento 2 m engastada em uma parede e sua extremidade livre 
com uma folga, de outra parede, de 2 mm quando a temperatura ambiente é de 15 °C. Determine a 
mínima folga necessária caso barra seja exposta a uma temperatura de 58,48 °C . Considere o coeficiente 
de expansão térmica do alumínio 23.10-6 °C-1.
a) 0,1 mm
b) 0,2 mm
c) 1 mm
d) 2 mm
e) 0,21 cm
∆𝑳 = 𝑳𝟎𝜶∆𝑻
∆𝑳 = 𝑳𝟎𝜶(𝑻𝒇 − 𝑻𝒐)
Dados
∆𝑳 =?
𝑳𝟎 = 𝟐𝒎
𝜶 = 23.10-6 °C-1
(𝑻𝒇 = 𝟓𝟖, 𝟒𝟖º𝑪
𝑻𝒐 = 𝟏𝟓º𝑪)
∆𝑳 = 𝟐(23.10−6 °C−1 )(𝟓𝟖, 𝟒𝟖 − 𝟏𝟓)
∆𝑳 = 𝟐(23.10−6 °C−1 )(𝟒𝟑, 𝟒𝟖)
∆𝑳 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝒎
∆𝑳 = 𝟐𝒎𝒎
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TENSÕES TÉRMICAS
EXERCÍCIOS 
2) Um tubo para conduzir um gás tem diâmetro externo de 12 mm, diâmetro interno 10 mm e 2 metros de 
comprimento disposto horizontalmente e perfeitamente ajustado entre duas paredes quando a temperatura é 
de 20 °C. Quando o gás passa em seu interior, a temperatura chega a 120 °C. Supondo que o coeficiente de 
expansão térmica do material é de 18 . 10-6 °C-1 e o módulo de elasticidade de 210 GPa. Nessa situação, qual é 
a força que a parede e o tubo trocam quando a temperatura se eleva?
a) 10,8 kN
b) 13,1 kN
c) 15,2 kN
d) 21,4 kN
e) 25,6 kN
Dados:
𝐿0 = 2 𝑚
𝑑𝑒𝑥𝑡 = 12𝑚𝑚 = 0,012𝑚
𝑑𝑖𝑛𝑡 = 10𝑚𝑚 = 0,010𝑚
𝑇0 = 20º𝐶
𝑇𝑓 = 120
𝛼 = 18 × 10−6℃−1
𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎 = 210 × 109𝑃𝑎
𝐹 =?
𝝈 = 𝜶 ∙ ∆𝑻 ∙ 𝑬
𝝈 = (18 × 10−6)(𝟏𝟐𝟎 − 𝟐𝟎) ∙ 210 × 109
𝝈 = (18 × 10−6)(𝟏𝟐𝟎 − 𝟐𝟎) ∙ 210 × 109= 378 × 106𝑃𝑎
𝑴𝒂𝒔 𝝈 =
𝑭
𝑨 𝑨 = 𝑨𝒆𝒙𝒕 − 𝑨𝒊𝒏𝒕 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 =
𝝅𝑑𝑒𝑥𝑡
2
𝟒
−
𝝅𝑑𝑖𝑛𝑡
2
𝟒
𝑨 =
𝝅(𝟎, 𝟎𝟏𝟐)2
𝟒
−
𝝅 0,010 2
𝟒
= 3,46 × 10−5𝑚²
𝑭 = 𝝈𝑨 = 378 × 106𝑃𝑎 (3,46 × 10−5)𝑚² 𝑭 = 𝟏𝟑𝟎𝟔𝟐𝑵 ≅ 𝟏𝟑, 𝟏𝒌𝑵
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TENSÕES TÉRMICAS
LISTA PARTE FINAL ( PARA ENTREGAR NO DIA 18/06/2021) VALENDO 0,5 ESSES EXERCÍCIOS)
1) Suponha uma barra de aço de comprimento 10 m engastada em uma parede. Às 1h da 
madrugada, a temperatura ambiente é de 0 0C. Considerando o coeficiente de expansão térmica 
do aço igual a 15.10-6 0C-1, determine a maior temperatura a que a barra pode ficar submetida 
para não exercer força sobre a outra parede, uma vez que sua extremidade livre está afastada 5 
mm dessa parede. 
2) Um tubo para conduzir um gás tem diâmetro externo de 20 mm, diâmetro interno 15 mm e 3 metros de 
comprimento disposto horizontalmente e perfeitamente ajustado entre duas paredes quando a 
temperatura é de 20 °C. Quando o gás passa em seu interior, a temperatura chega a 200 °C. Supondo que 
o coeficiente de expansão térmica do material é de 18 . 10-6 °C-1 e o módulo de elasticidade de 210 GPa. 
Nessa situação, qual é a força que a parede e o tubo trocam quando a temperatura se eleva?
3) (FCC ‒ 2014 ‒ TCE-RS ‒ Auditor Público Externo ‒ Engenharia Civil ‒ Conhecimentos Específicos) 
Considere a barra prismática da figura abaixo. A barra possui 5 cm² de área da seção transversal e está 
submetida a uma carga axial de compressão P = 50 kN. Se o módulo de elasticidade do material da barra 
for de 200 GPa, a sua deformação específica longitudinal é: