matemática financeira

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Autor: Prof. Cláudio José dos Santos Penteado 
Colaboradores: Prof. Flávio Celso Müller Martin
Prof. Fábio Gomes da Silva
Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Matemática Financeira
Professor conteudista: Cláudio José dos Santos Penteado
Cláudio José dos Santos Penteado possui Licenciatura pela Universidade de São Paulo (1973) e especialização 
em Administração Geral com ênfase em Sucesso Organizacional pela Universidade Paulista (1998) . Atua na área de 
Matemática desde 1971.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
P419m Penteado, Cláudio José dos Santos.
 Matemática financeira. / Cláudio José dos Santos. – São Paulo: 
Editora Sol, 2013.
152 p., il. 
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-065/13, ISSN 1517-9230.
1. Matemática financeira. 2. Juros simples. 3. Juros compostos. 
I. Título.
CDU 51
CENTRO UNIVERSITÁRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL – UNIPLAN
Reitoria
Reitor: Prof. Yugo Okida
Vice-Reitor: Prof. Fábio Nogueira Carlucci
Pró-Reitor Acadêmico: Prof. Humberto Venderlino Richter
Pró-Reitor Administrativo: Prof. Robson do Nascimento
Sumário
Matemática Financeira
APRESENTAçãO ......................................................................................................................................................7
INTRODUçãO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 NATUREzA E OBJETIVO DA MATEMáTICA FINANCEIRA ......................................................................9
1.1 Fundamentos ......................................................................................................................................... 10
1.1.1 Conceitos básicos .................................................................................................................................... 10
1.1.2 Aplicações .................................................................................................................................................. 13
2 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................ 21
2.1 Conceito .................................................................................................................................................. 22
2.2 Fórmulas ................................................................................................................................................... 22
2.3 Valor atual (A) e Valor nominal (N) ............................................................................................... 23
2.4 Juro exato e juro comercial .............................................................................................................. 24
2.5 Equivalência de taxas ......................................................................................................................... 24
2.5.1 Conceito .................................................................................................................................................... 24
2.5.2 Fórmula ...................................................................................................................................................... 24
2.6 Aplicações ................................................................................................................................................ 25
3 DESCONTO SIMPLES ....................................................................................................................................... 39
3.1 Conceitos básicos ................................................................................................................................. 40
3.2 Desconto simples racional ou “por dentro” ............................................................................... 40
3.2.1 Definição ................................................................................................................................................... 41
3.2.2 Fórmulas ..................................................................................................................................................... 41
3.2.3 Aplicações .................................................................................................................................................. 41
3.3 Desconto simples comercial ou “por fora” ................................................................................. 47
3.3.1 Definição ................................................................................................................................................... 47
3.3.2 Fórmulas .................................................................................................................................................... 47
3.4 Aplicações ................................................................................................................................................ 48
3.5 Desconto simples bancário ............................................................................................................... 54
3.5.1 Definição ................................................................................................................................................... 54
3.5.2 Fórmulas ..................................................................................................................................................... 55
3.5.3 Aplicações .................................................................................................................................................. 55
4 TAXA EFETIVA NA OPERAçãO DE DESCONTO ...................................................................................... 62
4.1 Definição ................................................................................................................................................. 62
4.2 Fórmulas ................................................................................................................................................... 63
4.3 Aplicações ................................................................................................................................................ 64
Unidade II
5 JUROS COMPOSTOS ....................................................................................................................................... 81
5.1 Conceito .................................................................................................................................................. 81
5.2 Consequências da definição do critério composto ................................................................ 81
5.3 Fórmula do montante composto ................................................................................................... 82
5.4 Fórmula do juro composto ............................................................................................................... 82
5.5 Valor atual (A) e Valor nominal (N) ............................................................................................... 82
5.6 Calculadoras financeiras .................................................................................................................... 83
5.7 Aplicações ................................................................................................................................................ 84
6 EqUIVALêNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS ............................................................................102
6.1 Conceito ................................................................................................................................................1026.2 Fórmulas .................................................................................................................................................102
6.3 Aplicações ..............................................................................................................................................103
7 MONTANTE COMPOSTO EM UM NúMERO FRACIONáRIO DE PERíODOS ..............................111
7.1 Aplicações ..............................................................................................................................................112
8 PERíODO DE CAPITALIzAçãO DIFERENTE DO PERíODO DA TAXA E SéRIES
DE CAPITAIS .........................................................................................................................................................119
8.1 Aplicações ..............................................................................................................................................119
8.2 Séries de capitais ................................................................................................................................121
8.2.1 Conceito de série ................................................................................................................................ 122
8.2.2 Fórmula do valor presente ou à vista (A) .................................................................................. 123
8.2.3 Aplicações ............................................................................................................................................... 127
8.2.4 Fórmula do valor futuro ou montante (S) ................................................................................ 133
8.2.5 Aplicações ............................................................................................................................................... 135
8.3 Fórmulas usadas neste livro-texto ..............................................................................................141
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APreSentAção
A disciplina Matemática Financeira tem como objetivo proporcionar o domínio de seus conceitos e 
nomenclatura, bem como instrumentalizar o aluno no uso das fórmulas e das calculadoras financeiras, 
facilitando-lhe o trânsito na área de finanças, de acordo com seu perfil profissional, e servindo como 
base/instrumento para outras áreas do conhecimento. Aborda juros simples, descontos simples, juros 
compostos e séries de capitais. 
Este livro-texto contém os fundamentos, a natureza e a importância da Matemática Financeira, 
partindo dos conceitos básicos (principal, juro e montante; prazo e número de períodos; taxas percentual, 
unitária e proporcional; custo, lucro e venda; ano exato e ano comercial; fluxo de caixa; regimes de 
capitalização). Oferece também noções sobre juros simples (fórmulas do juro e do montante; valor 
nominal e valor atual; juro exato e juro comercial; taxas equivalentes) e descontos simples (conceitos 
básicos; desconto simples racional ou “por dentro”; desconto simples comercial ou “por fora”; desconto 
simples bancário; taxa de desconto e taxa efetiva).
Em seguida, são abordados os juros compostos (conceito; fórmula do montante composto; valor atual 
e valor nominal a juros compostos; taxas equivalentes; montante em um número fracionário de períodos) 
e as séries de capitais (conceito; série básica; valor atual da série básica; montante da série básica).
Ao final do curso, você deverá ser capaz de identificar e efetuar o cálculo das operações financeiras, 
relacionando-as às situações do dia a dia das empresas e da sua própria vida, com o auxílio de uma 
calculadora financeira.
Introdução
Assim como a Matemática em geral, a Matemática Financeira assusta os alunos, que acabam 
alegando possuir dificuldades especiais em Matemática, o que não é verdade. A relação com essa 
disciplina depende do histórico de estudo de cada um. A maior prova disso é que muitas pessoas gostam 
da matéria e têm facilidade na manipulação dos seus conceitos e fórmulas. 
Não desanime diante das dificuldades, o esforço é fundamental para o desenvolvimento do seu 
aprendizado. O conteúdo será apresentado progressivamente, e o instrumental matemático, descrito de 
forma simples.
Não tenha medo das fórmulas, estas que são uma das grandes reclamações dos alunos. Elas são 
expressões dos conceitos por meio de seus símbolos e dos operadores aritméticos e algébricos. Não 
decore um amontoado de fórmulas, mas procure entendê-las; ao final do livro-texto, existe uma lista 
delas que serve de suporte ao seu estudo.
Neste curso, você verá que a Matemática Financeira utiliza os conceitos básicos de Matemática, 
mas possui uma estrutura conceitual muito aplicável a situações do nosso cotidiano, dentro e fora do 
universo das empresas, motivando e facilitando o seu aprendizado e desenvolvendo ferramentas de uso 
para as vidas profissional e particular.
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Não se esqueça de que saber Matemática e sua lógica facilitará seu trabalho em muitos ramos do 
conhecimento humano aplicado. Na era da informação, a formação matemática vai ajudá-lo a fazer 
análises dos dados e a melhorar o uso que você poderá fazer deles.
Pretendemos ajudá-lo a desenvolver as competências necessárias para destacar-se no mercado 
de trabalho e construir seu futuro, trabalhando naquilo de que mais gosta e com os instrumentos 
adequados. 
Não se limite a este conteúdo, consulte também a bibliografia citada ao final do livro-texto.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Unidade I
1 nAturezA e obJetIvo dA MAteMátICA FInAnCeIrA
Nosso primeiro passo será tomar contato com os pressupostos e objetivos da Matemática Financeira, 
para termos consciência do caminho que estamos percorrendo enquanto aprendemos. A consciência do 
aprendizado é um importante fator do amadurecimento que leva ao sucesso profissional.
Vamos entender o que é Matemática Financeira, pois não se pode aprender sem entender a natureza 
daquilo que se está aprendendo. Um grande cientista disse uma vez: “Ninguém conhece aquilo que não 
consegue medir”. 
Como exemplo, podemos imaginar uma situação em que uma pessoa faz a seguinte pergunta para 
outra: “Você quer ganhar R$ 5.000,00 ou R$ 1.000,00?”. A outra, então, responde: “quando?”.
Perceba que a primeira pergunta refere-se a valores, e a segunda, a datas. Essa é a principal 
característica da Matemática Financeira.
Caso a opção por R$ 5.000,00 implique uma espera muito longa para o recebimento, e a data para 
receber R$ 1.000,00 esteja muito mais próxima, será melhor escolher o valor absoluto menor.
Cada valor financeiro está, portanto, vinculado a uma data determinada. Toda vez que a data de 
referência de um valor é mudada, ele deve ser recalculado. 
A Matemática Financeira estuda as relações entre os valores financeiros e suas datas, utilizando 
instrumentos de cálculo característicos.
Desde o aparecimento das sobras dos bens de consumo, que começaram a ser comercializados 
ensejando a criação das moedas de troca, a tecnologia progrediu muito; ela criou instrumentos de 
cálculo cada vez mais eficazes e eficientes, cujo aparecimento tem delegado ao ser humano, cada vez 
mais, a responsabilidade de análise dos resultados desses cálculos. Esse processo aposentou, nas empresas 
modernas, o calculista, substituído pelas calculadoras programáveis, pelos microcomputadores e grandes 
computadores equipados com programas de cálculo; eles operam com planilhas, cada vez mais precisos 
e abrangentes, integrados com outros softwares que ajudam a cuidar do gerenciamento das empresas. 
Uma das evidências desse processo é o grande volume de dinheiro aplicado às estruturas de Tecnologia 
da Informação (TI), responsáveis não apenas pelos cálculos, mas também por fazer que seus resultados 
cheguem às mãos de quem necessita deles rapidamente.
Uma das consequênciasdessa evolução foi o aparecimento do manager, profissional que analisa os 
dados e, baseado neles, toma as decisões que vão guiar sua empresa. A outra, o desaparecimento do 
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calculista responsável pelas contas, exigiu do tomador de decisões um conhecimento maior da natureza 
e dos próprios instrumentos desses cálculos. 
1.1 Fundamentos
Após o estudo deste tópico, você deverá estar consciente da importância da Matemática Financeira 
em cada um dos seus aspectos básicos, identificando seu relacionamento com outras áreas por meio de 
suas possíveis aplicações. 
Essa área é entendida como o estudo das relações dos valores financeiros com suas datas. Não 
podemos esquecer que cada valor está vinculado a uma data determinada e que a alteração dessa 
data deverá vir acompanhada do recálculo do valor. A importância desse recálculo está confirmada por 
aspectos considerados relevantes na análise econômica, como a inflação, a taxa de juros e o prazo de 
remuneração do capital.
Conhecendo a Matemática Financeira você conseguirá, por exemplo, proteger-se melhor de 
esquemas fraudulentos. 
Finalmente, tomamos consciência dessa importância quando entramos em contato com o volume 
dos recursos aplicados às estruturas computadorizadas, que dão suporte a esse recálculo e fazem seus 
resultados chegarem às áreas de tomada de decisão. Do simples consumidor dos bens vendidos por 
financiamentos até gestores e operadores da estrutura financeira do país, todos devem, na medida das 
suas necessidades, conhecer a Matemática Financeira.
Para acompanhar um ramo qualquer da ciência, devemos conhecer sua nomenclatura e uma série 
de conceitos básicos. Definiremos cada um deles a seguir.
1.1.1 Conceitos básicos
Principal (P): capital inicial de uma aplicação.
Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) pelo uso de um capital.
Taxa de juros (r ou i): é o índice referente a uma unidade de tempo, que indica o juro por unidade 
de capital vinculado à aplicação ou dívida. A unidade será denominada r, quando for percentual (base 
100), ou i, quando for de base unitária. De maneira geral, a unidade de tempo da taxa de juros é indicada 
de forma abreviada, podendo haver alguma confusão.
Exemplos: 
• a.a. = ao ano;
• a.m. = ao mês;
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• a.t. = ao trimestre;
• a.b. = ao bimestre.
Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma aplicação expressa na unidade de tempo da 
taxa de juros. Repare que o mesmo prazo poderá ser expresso por números diferentes, dependendo da 
unidade de medida.
Exemplo: 1 ano = 2 semestres; quatro trimestres; seis bimestres etc.
Taxas proporcionais: duas taxas de juros diferentes, que se referem a unidades de tempo diversas, 
serão proporcionais quando seus valores estiverem na mesma razão que seus prazos. Explicando melhor, 
podemos dizer que: dividindo as taxas e os prazos na mesma ordem, chegamos ao mesmo número.
A expressão que relaciona duas taxas proporcionais pode ser escrita da seguinte forma: 
i
i
n
n
1
2
1
2
=
Exemplos de taxas proporcionais:
• 2% ao mês e 24% ao ano;
• 1% ao bimestre e 3% ao semestre;
• 5% ao trimestre e 20% ao ano; 
• 2% ao dia e 60% ao mês.
Montante (M): é a soma do principal de uma aplicação com o juro que o capital rendeu durante 
essa aplicação.
Custo (C): quanto se paga por uma determinada mercadoria ou se gasta para prestar um determinado 
serviço. Esse conceito será usado neste livro-texto de forma simples e direta, sem referência à complexa 
estrutura da contabilidade.
Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou do serviço para se calcular seu preço de 
venda.
Preço de venda (V): resultado da soma do custo com o lucro (V = C + L). 
Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia, perfazendo um ano de 365 dias. Esse 
critério é muito usado para calcular prazos muito curtos, que geralmente estão em dias.
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Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em meses de 30 dias, totalizando um ano de 
360 dias. Essa forma de cálculo é usada quando os prazos são fornecidos em blocos de meses, sem a 
localização no ano.
Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da movimentação de valores em um caixa. A marcação desses 
valores é feita em suas respectivas datas, sobre um eixo de tempo horizontal, de acordo com uma 
convenção de setas ou cores, demonstrando se são entradas ou saídas. Por exemplo, as setas podem 
ter as entradas orientadas para cima e as saídas para baixo; a cor azul para entradas e a vermelha para 
saídas.
De uma forma simplista, podemos considerar o preço de venda de um bem como a soma do custo 
com o lucro. Esse conceito atende bem aos nossos objetivos, mas não é suficiente para cálculos 
mais complexos nos quais seja exigida a análise de uma quantidade maior de fatores. O lucro, por 
sua vez, será sempre adicionado ao custo para compor o preço de venda, mas poderá ser calculado 
como um percentual do custo ou do preço de venda. O cálculo do lucro, tendo por base o preço 
de venda, é importante por ser a base conceitual de remuneração de vendedores comissionados e 
também de tributos embutidos no preço de venda das mercadorias e dos serviços. O cálculo sobre 
o preço de custo é necessário quando precisamos saber qual a remuneração (retorno) do capital 
aplicado no negócio.
 observação
é muito importante em nossas análises levarmos em consideração, 
quando falamos em vendas, o lucro e o custo, já que podemos vender 
tanto um bem de consumo quanto um serviço. A tendência de levarmos em 
consideração a prestação de serviços cresceu em razão do grande aumento 
da sua presença na sociedade de consumo.
Os conceitos de Matemática Financeira são expressos por meio de fórmulas cujos parâmetros são 
numéricos e exigem um nível preciso de cálculo. Esses cálculos demandam o uso de uma calculadora 
precisa, equipada também com teclas para o cálculo de logaritmos, exponenciais e inversos. é importante 
também que a calculadora possua capacidade de cálculo de, no mínimo, oito dígitos e memória para 
armazenar os valores intermediários.
Especificamente para esse curso, não é necessária uma calculadora financeira, mas, para trabalhar 
em áreas de finanças, é preciso adquirir uma. A calculadora financeira vem com algumas funções 
programadas, o que facilita muito os cálculos financeiros. Antes de comprar uma calculadora, o ideal 
é informar-se com outras pessoas a respeito dos diversos modelos existentes. é importante fazer as 
escolhas baseando-se em informações suficientes para a tomada de decisão. 
é preciso, ainda, atentar para o aspecto “precisão dos cálculos”. O uso de uma precisão inadequada 
poderá levar a conclusões equivocadas.
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Precisão dos cálculos não é um fator intuitivo nas calculadoras eletrônicas; contudo, tem uma 
influência decisiva na interpretação dos resultados. Como exemplo, combinaremos um esquema básico 
para resolver esse problema: convencionaremos utilizar os valores financeiros, como moedas, com dois 
dígitos depois da vírgula, e taxas de juros, para comparação, com quatro dígitos depois da vírgula. Esse 
esquema de cálculo é rotulado como básico, mas é possível enfrentar situações em que é preciso adotar 
outros critérios.
Para preservar a precisão dos cálculos, nunca se pode copiar os resultados intermediários do visor da 
calculadora para continuar os cálculos a partir deles. A calculadora pode mostrar os resultados com uma 
precisão e fazer os cálculos, internamente, com outra precisão. O ideal é guardar os dados do visor na 
memória da máquina, pois assim a precisão é preservada. Em um caso extremo, pode-se copiar o dado 
com todos os oitoou doze dígitos da capacidade total da calculadora. 
Em síntese, de posse do instrumental, devemos analisar de que forma poderemos utilizá-lo. 
Trabalharemos com dois critérios diferentes de recálculo dos valores, a saber:
• juros simples;
• juros compostos.
1.1.2 Aplicações
é necessário não confundir os conceitos com a operacionalidade das aplicações. O lucro será sempre 
somado ao custo para se obter o preço de venda, mas a base de cálculo poderá ser o preço de custo ou 
o preço de venda. Essa opção levará por caminhos diferentes e a resultados diferentes, sendo justificada 
pelas necessidades de cada um.
a) Por quanto devo vender um bem que custou R$ 100,00, se quiser ter um lucro de 15% do preço 
de custo?
A solução desse exercício deve ser montada a partir do conceito/fórmula simples do preço de venda: 
preço de venda = preço de custo + lucro. Sabendo que o lucro é 15% do preço de custo, explicite 
esse cálculo na fórmula:
V = C + L 
V = 100 + 0,15 x 100 = R$ 115,00
Repare que a taxa de 15% está na forma decimal: 0,15. 
• Sugestão de cálculo
— Algébrica:
 15÷100 x 100 + 100 =
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— RPN (HP12C):
 15 ENTER 100 ÷ 100 x 100 +
Resposta: devo vender o bem por R$ 115,00, para ter R$ 15,00 de lucro, valor que representa 15% 
do custo de R$100,00.
b) Por quanto devo vender um bem que custou R$ 250,00, se quiser ter um lucro de 25% do preço 
de venda?
Nesse caso, deve-se trabalhar aplicando o cálculo da percentagem sobre o preço de venda, que é a 
incógnita a ser calculada. A equação é montada utilizando a fórmula principal (o cálculo de 25% implica 
uma multiplicação do valor por 0,25):
V = C + L 
V = 250 + 0,25 . V 
V – 0,25 . V = 250 
0,75 . V = 250
V = 250 ÷ 0,75 = R$ 333,33
Trabalhamos com o preço de venda V como uma incógnita qualquer a ser calculada. Observa-se que, 
se forem subtraídos 25% de R$ 333,33, a menos da aproximação, volta-se a R$ 250,00, que é o preço 
de custo.
Resposta: devo vender o bem que custou R$ 250,00 por R$ 333,33, para obter um lucro de 25% do 
preço de venda.
c) quanto paguei por um bem vendido por R$ 500,00, se tive um lucro de 10% do preço de venda?
A base de cálculo do lucro, o preço de venda, é R$ 500,00. Basta, então, que seja calculado o lucro, 
aplicando-se a taxa de 10% sobre o preço de venda e subtraindo-se esse lucro do preço de venda. 
Aplicando a fórmula básica, temos:
V = C + L 
500 = C + 0,10.500
C = 500 - 50 = R$ 450,00
Resposta: paguei R$ 450,00 pelo bem que foi vendido por R$ 500,00, tendo R$ 50,00 de lucro, o 
que representa 10% do preço de venda (R$ 500,00).
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d) Um carro esporte foi comprado por R$ 150.000,00 e revendido por R$ 160.000,00. Calcule o lucro 
dessa venda como percentual do preço de venda.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
C = 150.000
V = 160.000
A diferença 160.000 - 150.000 = 10.000 será o valor do lucro.
Como porcentagem do preço de venda, temos:
(10.000 ÷ 160.000) .100 = 6,25%.
Esse cálculo da percentagem é justificado pela própria definição:
160.000 100%
10.000 x%
Resposta: nessa venda, o lucro foi de 6,25% do valor da venda.
e) Uma calculadora financeira custou R$ 500,00 e foi revendida por R$ 600,00. Calcule o lucro dessa 
operação como percentual do preço de custo da calculadora.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
Custo = 500
Venda = 600
Primeiro, deve-se determinar o valor do lucro (venda menos custo):
L = V - C = 600 - 500 = 100
Para finalizar, transforma-se o lucro em percentual do custo:
(100 ÷ 500) . 100 = 20% 
Esse cálculo da percentagem é justificado pela própria definição:
500 100%
100 x%
Resposta: nessa venda, o lucro foi de 20% do valor do custo.
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f) Por quanto devo revender um bem pelo qual paguei R$ 420,00, se desejo ter um lucro de 12% do 
preço de custo? 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
C = 420
L = 12% de 420
Calcule primeiro o valor do lucro: 
(12 ÷ 100) . 420 = 50,40
O preço de venda é o custo mais o lucro: 
420 + 50,40 = R$ 470,40
Resposta: nessas condições, o preço de venda será de R$ 470,40. 
g) Um bem comprado por R$ 100,00 deve ser revendido por quanto, para que o lucro seja igual a 
14% do preço de venda?
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
Custo = 100
Lucro = 14% do preço de venda
Monta-se a solução a partir da fórmula V = C + L:
V = 100 + (14 ÷ 100) . V
V = 100 + 0,14 . V
V - 0,14 . V = 100
0,86 . V = 100
V = 100 ÷ 0,86 = R$ 116,28 
Resposta: nesse caso, o preço de venda será de R$ 116,28.
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 observação
é importante atentar para os cálculos com porcentagem. Da mesma 
forma que se escreve 100% - 14% = 86%, pode-se escrever 1 - 0,14 = 0,86. 
Na forma decimal, 100% é representado por 1. 
h) Uma relojoaria comprou um relógio por R$ 500,00 e quer revendê-lo com um lucro igual à 
metade do valor de venda. A que preço deverá ser vendido esse relógio?
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
Custo = 500
Lucro = venda/2
Aplicando a fórmula que relaciona custo, venda e lucro, temos:
V = C + L
V = 500 + V/2
V - V/2 = 500
V/2 = 500
V = 500 . 2 = R$ 1.000,00
Resposta: o relógio deverá ser vendido por R$ 1.000,00.
i) Determine o custo de um bem, sabendo que foi vendido por R$ 1.500,00, com um lucro de 30% 
do preço de venda.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
V = 1500
L = 0,30 . V
Nesse caso, pode-se calcular o lucro aplicando seu percentual diretamente sobre o preço de venda.
L = 0,30 . 1.500 = 450
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Subtraindo o lucro do preço de venda, tem-se o custo.
C = 1.500 - 450 = R$ 1.050,00
Resposta: o bem custou R$ 1.050,00.
j) Uma empresa compra um produto por R$ 150,00 e pretende vendê-lo com o lucro de 15% do 
preço de custo. Calcule o preço de venda que deverá ser praticado por essa empresa.
Sabe-se:
V = C + L 
C = 150
L = 15 ÷ 100 x C 
Podemos substituir os valores, obtendo:
V = 150 + 0,15 . 150 = R$ 172,50
Resposta: a empresa deverá vender esse produto por R$ 172,50.
k) De maneira geral, os comerciantes preferem trabalhar o cálculo do seu lucro por meio de um 
percentual do preço de venda da sua mercadoria. Se um livreiro compra um livro por R$ 100,00 e quer 
obter um lucro igual a 20% do preço de venda, por quanto deverá vendê-lo?
Como sabemos: 
V = C + L 
C = 100
L = 20/100 . V 
Podemos substituir os valores, obtendo: 
V = 100 + 0,20 . V 
Resolvendo, teremos: 
V - 0,20 . V = 100 
0,8 . V = 100 
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Observe que, nessa operação, se de 100% (total), tira-se 20%, fica-se com 80%.
V = 100/0,8 = R$ 125,00
Resposta: o livro deverá ser vendido por R$ 125,00.
l) Uma empresa que compra e vende suprimentos de informática calcula seu lucro sobre o preço de 
venda dos produtos. Se essa empresa vende uma impressora por R$ 500,00, com um lucro de 10% desse 
preço de venda, calcule o custo dessa impressora.
Aplicando o conceito de preço de venda, temos: V = C + L
500 = C + 0,10.500 
C = 500 - 50 = R$ 450,00
Resposta: essa impressora custou R$ 450,00.
m) Um vendedor está na dúvida sobre qual metodologia adotar para o cálculo do lucro de suas 
vendas. Para resolver esse problema e fazer sua opção, ele resolve efetuar os dois cálculos, para que os 
resultados orientem sua escolha. Sabendo que seu percentual de lucro será de 10%, faça os cálculos 
pelos dois critérios e determine o percentual de variação do lucro, do menor para o maior valor. 
Na soluçãopelas fórmulas do preço de venda, com um valor de custo estimado de R$ 100,00, 
podemos estabelecer o valor do custo, porque essa estratégia é aplicada às vendas de maneira geral.
Lucro de 10% calculado sobre o preço de custo: 
V = C + L
V = 100 + 0,10.100
V = 100 + 10 = R$ 110,00
Lucro de 10% calculado sobre o preço de venda: 
V = 100 + 0,10 . V
V - 0,10 . V = 100
0,90 . V = 100
V = 100/0,90
V = R$ 111,11 
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A variação percentual poderá ser calculada com a relação percentual entre a diferença e o menor 
valor, cálculo fundamentado pela regra de três:
Variação = [(11,11 - 10) ÷ 10] . 100 = 11,10% 
Observa-se que a solução está trabalhando com a variação do lucro.
Resposta: aplicando os 10% de lucro calculado sobre o preço de venda, o vendedor terá um lucro 
11,10% maior que aplicando o mesmo percentual sobre o preço de custo.
n) Uma loja compra determinado artigo, à vista, por R$ 540,00, e o revende por R$ 594,00, com 
o percentual de lucro sobre o custo, ou por R$ 600,00, com o lucro calculado sobre o preço de venda. 
Determine a taxa percentual de lucro, que é a mesma nos dois casos. 
Podemos resolver montando a fórmula, a partir da definição:
1º caso (custo): [(594 ÷ 540) - 1] . 100 = 10% (porcentagem da diferença).
Nesse caso, 594 é 10% maior que 540.
2º caso (venda): denominando x a porcentagem de lucro sobre o preço de venda, temos a relação 
de cálculo:
V = C + x/100 . V
V - x/100 . V = C 
Colocando o fator V em evidência, temos:
V . (1 - x/100) = C 
Substituindo C e V pelos dados do problema:
600 . (1 - x/100) = 540
1 - x/100 = 540 ÷ 600
x/100 = 1 - 540 ÷ 600
x = (1 - 540 ÷ 600) . 100
x = 0,10 . 100 = 10%
Resposta: os cálculos, nos dois casos, foram efetuados a 10%.
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o) Um computador é vendido por uma empresa de informática por R$ 5.000,00 à vista. Calcule o 
preço de custo dessa mercadoria, sabendo que no preço de venda está agregado um lucro de 15% do 
preço de custo.
Dados fornecidos pelo enunciado da questão:
V = 5.000
L = 15% do custo
Considere a fórmula que relaciona venda, custo e lucro:
V = C + L
Substituindo os dados do enunciado, temos:
5.000 = C + 0,15 . C 
5.000 = 1,15 . C 
C = 5.000 ÷ 1,15 = R$ 4.347,83 
Na fórmula, 15% estão representados por 0,15. Assim, 1 + 0,15 = 1,15.
Aumentando 15% em R$ 4.347,83, temos 5.000, pois o preço de venda é o custo mais 15% dele, 
dentro de um bom fator de precisão. 
Resposta: o computador custou R$ 4.347,83.
Matemática Financeira, como a maioria dos ramos do conhecimento humano, necessita de uma 
série de conhecimentos básicos e pressupostos, sobre os quais se monta um universo de conceitos e 
aplicações. Os esquemas de cálculos aprendidos no Ensino Fundamental serão necessários durante o 
curso e depois dele.
O processo de construção do conhecimento é universal: a partir de um alicerce, edifica-se toda a 
estrutura conceitual que gera aplicações proveitosas. 
2 JuroS SIMPleS
Temos como objetivos, neste item, identificar as aplicações do critério de juros simples e aplicar as 
fórmulas adequadas ao seu cálculo, interpretando os resultados obtidos.
A modalidade de cálculo de juros denominada simples encontra sua aplicação no cálculo de dívidas 
de empresas e de países, tendo uma aplicação restrita no caso das dívidas tributárias de pessoas físicas. 
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Esse conceito reveste-se de especial importância quando aparece, em algumas situações, agregado ao 
do juro composto. Muita argumentação enganosa de vendedores é montada sobre maquiagens do juro 
simples.
2.1 Conceito 
Segundo o critério de cálculo de juros denominados simples, o juro de todos os períodos da aplicação 
somente é adicionado ao principal para constituir o montante, ao final da aplicação. Em todos os 
períodos, o juro é calculado aplicando-se a taxa sobre o principal.
Como consequência dessa definição, esse critério também é denominado:
• juro não capitalizado;
• juro linear;
• juro proporcional.
Como em todos os períodos, aplicamos a taxa de juros sobre o principal, que não muda; todos eles 
rendem o mesmo valor de juros, caracterizando uma variação linear.
O juro total é diretamente proporcional à taxa de juros e ao número de períodos da aplicação. Essa 
característica do juro simples facilita os cálculos, reduzindo-os a aplicações de proporções e regras de 
três imediatas, possibilitando o uso de calculadoras simples.
2.2 Fórmulas
• Juro
Como cada período renderá juro igual ao principal vezes a taxa de juros, em uma aplicação de n 
períodos, teremos o juro total igual ao produto do principal, da taxa e do número de períodos. Isso 
significa que, se dobrarmos a taxa, dobraremos os juros; se triplicarmos o prazo, triplicaremos os juros 
e assim por diante. 
J = P . i. n
 observação
A taxa i e o prazo n deverão estar na mesma unidade de tempo. 
• Montante
Será a soma do principal da aplicação com o seu juro:
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M = P + J
M = P + P . i . n
Colocando o fator comum P em evidência, teremos:
M = P . (1 + i . n)
O que está entre parênteses na fórmula (1 + i . n) é denominado FAC = fator de acumulação de 
capital, e significa o que se recebe de volta, ao final de uma aplicação, por unidade de capital aplicado. 
Para cada R$ 1,00 aplicado, recebe-se de volta R$ 1,00 mais o juro, i . n, gerado por essa unidade de 
capital aplicada. Como não se aplica R$ 1,00, basta multiplicar o conteúdo desses parênteses por quanto 
foi aplicado, e tem-se a soma do capital total aplicado com o juro total que esse capital rendeu na 
aplicação. 
 observação
Com essas duas fórmulas, podemos efetuar todos os cálculos a juros 
simples, envolvendo o principal P, o montante M, a taxa de juros unitária i 
e o prazo em períodos, n.
2.3 valor atual (A) e valor nominal (n)
Existe, em muitas áreas, uma forte segmentação. Essa característica se acentua quando analisamos 
a linguagem em função do trabalho que o profissional realiza. O profissional assimila vocábulos e 
expressões próprias da área. Depois de algum tempo na área financeira, o profissional adquire um 
vocabulário característico das operações que realiza no dia a dia, como se fosse uma gíria. Profissionais 
que atuam na área de investimentos utilizam as expressões ”montante” e ”principal”, ou ”capital”, 
palavras ligadas ao seu trabalho de aplicação dos capitais. Profissionais das áreas de financiamento e 
pagamento preferem os vocábulos ”atual” e ”nominal”, denominações das grandezas com que operam 
diariamente. 
Definimos o atual como um valor da dívida em uma data antes do vencimento, e o nominal, como 
seu valor na própria data de vencimento. O nominal está associado a uma ideia de valor futuro, de 
montante do valor atual correspondente, no prazo de antecipação do pagamento da dívida. Reforçando 
os conceitos, podemos afirmar que o valor nominal de uma dívida é o seu valor na data de vencimento, 
o valor atual é o seu valor antes da data de vencimento. O valor nominal é o montante de cada um 
dos valores atuais da dívida. 
é importante destacar que uma dívida tem uma única data de vencimento e, portanto, um único 
valor nominal. Essa mesma dívida poderá apresentar muitos valores atuais, pois costuma ser grande o 
número de datas entre o dia do pagamento antecipado e o dia do vencimento. 
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Operacionalmente, podemos escrever:
N = A . (1 + i . n) ou A = N/(1 + i . n) 
Percebe-se que a fórmula do valor nominal é análoga à do montante. Essa comparação faz sentido, 
pois, como o montante, o valor nominal compreende o principal mais os juros.
2.4 Juroexato e juro comercial
De acordo com a contagem do prazo em anos, teremos:
• juro exato, para anos contados dia a dia, totalizando 365 dias; esse critério de contagem dos dias 
é aplicado em operações de curto prazo, como descontos de duplicatas e de cheques.
• juro comercial, para meses de trinta dias, perfazendo um ano de 360 dias; aplicado em situações 
que envolvem o consumidor final, como a caderneta de poupança. 
2.5 equivalência de taxas
2.5.1 Conceito 
Duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo diversas, serão equivalentes quando, a 
partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante. Nesse caso, a equivalência 
é caracterizada por resultados iguais.
2.5.2 Fórmula 
Como exemplo, escolheremos uma aplicação para desenvolver a fórmula de cálculo das taxas 
equivalentes. Focalizando um caso prático, calculemos a equivalência entre uma taxa anual e outra 
mensal. A questão prática tem a seguinte estrutura: determine as taxas de juros anual e mensal 
equivalentes, segundo o critério de cálculo do juro simples.
Para o desenvolvimento dessa fórmula, trabalharemos com a seguinte nomenclatura:
• ia = taxa de juros unitária anual
• im = taxa de juros unitária mensal
• número de períodos: um ano, para a taxa anual, ou doze meses, para a taxa mensal.
M = P . (1 + ia) e M = P . (1 + im . 12)
Como os montantes e os principais são iguais, teremos:
1 + ia = 1 + im . 12, portanto: ia = 12 . im 
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Chegamos, portanto, à conclusão de que, como no juro simples, as taxas são proporcionais aos 
períodos, e os cálculos das taxas equivalentes são efetuados por meio de simples proporcionalidades 
(regras de três). Em linguagem simples, podemos dizer que, se o ano tem doze meses, a taxa anual é doze 
vezes sua mensal equivalente.
2.6 Aplicações
a) Calcule o montante de um capital de R$ 500,00, aplicado a juros simples de 5% ao mês, durante 
quinze meses.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
P = 500
i = 5/100
n = 15 
Como a taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade de tempo, aplicamos esses dados diretamente 
na fórmula do montante:
M = P . (1 + in)
M = 500 . (1 + 5 ÷ 100 . 15) 
M = R$ 875,00
• Sugestão de cálculo
— Algébrica:
 5 ÷ 100 x 15 + 1 = x 500
— RPN (HP12C):
 5 ENTER 100 ÷ 15 x 1 + 500 x 
Resposta: o montante será de R$ 875,00.
Durante os cálculos, é importante seguir as regras operacionais aprendidas no Ensino Fundamental.
b) que principal devo aplicar por dois anos para obter R$ 670,00 de montante, à taxa de juros 
simples de 5% ao mês?
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Para efetuar as operações de cálculo, o prazo e a taxa de juros deverão estar na mesma unidade de 
tempo. Utilizam-se 24 meses para o prazo, uma vez que a taxa de juros é mensal.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
M = 670
i = 5/100
n = 2 anos ou 24 meses
Como o problema pede o principal e fornece todos os dados, devemos substituí-los diretamente na 
fórmula do montante, que representa a relação entre os dados.
M = P . (1 + in)
670 = P . (1 + 5 ÷ 100 . 24)
670 = P . 2,20
P = 670/2,20
P = R$ 304,55
Resposta: o principal será de R$ 304,55. 
c) A que taxa de juro simples mensal devo aplicar um principal de R$ 1.000,00 para obter 
R$ 1.800,00 de montante em um ano e meio?
Como o problema solicita a taxa de juros mensal, o prazo é de 18 meses.
A taxa de juros não é uma fórmula fundamental; portanto, transforme a do montante ou do juro 
para seu cálculo.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
P = 1.000
M = 1.800
Prazo: 1,5 ano ou 18 meses
Fórmula do montante:
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M = P . (1 + in)
1.800 = 1.000 . (1 + i . 18)
1.800/1.000 = 1 + i . 18
I . 18 = 1,8 - 1
i = 0,8 ÷ 18
i = 0,044444 ao mês ou taxa = 4,44% a.m.
Fórmula do juro simples: j = M - P = 1.800 – 1.000 = 800
J = P . i . n
800 = 1.000 .i . 18
i = 800/(1.000 . 18) = 0,0444
100 . i = 100 . 0,0444 = 4,44% a.m. ou taxa = 4,44% a.m.
Resposta: a taxa mensal será de 4,44%.
d) Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros simples de 5% ao mês? Dê a 
resposta em anos e meses.
Para a solução de um problema aplicado a um capital qualquer, pode-se arbitrar um valor para o 
capital, pois, se a condição do problema vale para qualquer capital, valerá também para o escolhido. Na 
maioria das vezes, a escolha de um capital igual a R$ 100,00 facilita bastante o seu cálculo. A solução 
também poderá ser encontrada representando o principal por P e o seu dobro por 2P.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
i = 5/100
Montante é o dobro do principal.
A resposta deverá ser calculada substituindo os dados do problema na fórmula:
Solução literal: principal = P e montante = 2P
M = P . (1 + in) 
2P = P . (1 + 5 ÷ 100 . n)
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Simplificando o fator P, temos:
2 = 1 + 0,05 . n
2 - 1 = 0,05 . n
n = 1 ÷ 0,05
n = 20 meses
Solução com o valor arbitrário: estabelecemos um valor qualquer para o principal (R$ 100,00, por 
exemplo).
P = 100 
2P = 200
Substituindo na fórmula do montante, temos:
200 = 100 . (1 + 5 ÷ 100 . n)
Simplificando: 2 = 1 + 0,05 . n
n = (2 - 1)/0,05
n = 20 meses
Resposta: o prazo será de um ano e oito meses. 
e) Determine a taxa de juros simples a que ficou aplicado um capital durante dez meses para render 
de juros a metade do seu valor.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
Juro é a metade do principal
n = 10
Como está no enunciado um principal não especificado, podemos concluir que vale para qualquer 
principal. Para facilitar os cálculos, estipula-se um principal de R$ 100,00.
P = 100
J = 100 ÷ 2 = 50
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Aplicando a fórmula do juro, temos:
J = P . i . n
50 = 100 . i . 10
50 = 1.000 . i
i = 50 ÷ 1000 = 0,05 ao mês ou 5% a.m.
Resposta: a taxa de juros simples dessa aplicação será de 5% ao mês.
f) Em quanto tempo deverá um principal qualquer render de juros 30% do seu valor, aplicado a juros 
simples de 3% ao mês?
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
P = qualquer
J = 30% do principal
i = 3/100
Como um dos tipos de solução, podemos arbitrar um valor de R$ 100,00 para o principal, pois o 
enunciado da questão afirma ser um capital qualquer.
P = 100
J = 30% de 100 = 30
Aplicando a fórmula do juro simples, temos:
J = P . i . n
30 = 100 . 0,03 . n
30 = 3 . n
N = 30/3 = 10 meses
A solução dessa questão também poderá ocorrer por meio de taxas percentuais:
Como o juro simples é proporcional à taxa e ao prazo, podemos afirmar que necessitaremos de dez 
meses de prazo para chegar a 30%, adicionando a taxa de 3 em 3 unidades. Essa solução também é uma 
regra de três.
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3% 1 mês
30% x meses
Calculando: x = (30.1)/3 = 10 meses
Resposta: nessas condições do problema, o prazo será de 10 meses.
g) Uma aplicação calculada segundo o critério do juro exato (ano de 365 dias) rendeu R$ 500,00 
de juros simples. Calcule quanto renderia de juros a mesma aplicação, utilizando o critério do juro 
comercial (ano de 360 dias).
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
J = 500 em ano de 365 dias
J = ? em ano de 360 dias
Monte as fórmulas para cálculo do juro simples nos dois casos:
Je = P . i . n/365 = 500 (juro exato)
Jc = P . i . n/360 (juro comercial)
Isolando o valor de P . i . n, que é o mesmo nas duas equações, temos:
P . i . n = Je . 365 
Substituindo Je = 500, temos P . i . n = 500 . 365 = 182.500 
P . i . n = Jc . 360
Substituindo nasegunda equação o valor encontrado para P . i . n, na primeira, você terá:
182.500 = Jc . 360
Portanto: 
Jc = 182.500/360 = R$ 506,94
Resposta: utilizando o critério do juro comercial: J = R$ 506,94.
h) Um principal de R$ 1.150,00 rende, apenas de juros, a cada mês, R$ 230,00. Calcule em quanto 
tempo o montante dessa aplicação atingirá R$ 3.450,00.
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Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
P = 1.150
J = 230 por mês
M = 3.450
Como primeiro passo, devemos calcular o total de juros subtraindo do montante o principal aplicado.
J = 3.450 - 1.150 = 2.300
O número de períodos será, então:
2.300/230 = 10 meses.
Se a aplicação rende 230 de juros a cada mês, vai demorar 10 meses para chegar a 2.300.
Resposta: o prazo da aplicação será de 10 meses.
i) Um título de valor nominal de R$ 20.000,00 vence daqui a dois anos. Calcule seu valor atual daqui 
a um ano, a juros simples de 5% ao mês. 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = R$ 20.000,00
i = 5% ao mês
Como o valor nominal valerá daqui a dois anos, daqui a um ano ainda faltará um ano para seu 
vencimento. Sendo cada valor atual o principal do valor nominal único, podemos aplicar a fórmula do 
valor nominal, que é equivalente à fórmula do montante simples. Deve-se transformar o prazo para 
meses, para adequar-se à unidade da taxa, que é mensal. 
M = P . (1 + i . n)
20.000 = P . (1 + 0,05 . 12)
20.000 = P . 1,6
P = 20.000/1,6
P = R$ 12.500,00 
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Resposta: o valor atual do título daqui a um ano será de R$ 12.500,00.
j) Calcule o prazo de vencimento de um título cujo valor atual é um terço do nominal correspondente, 
sabendo que a taxa de juros simples é de 4% ao mês.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
Valor atual é um terço do nominal
i = 4/100
Como esse problema trata de valores quaisquer, podemos arbitrar R$ 150,00 para o nominal e 
R$ 50,00 para o atual.
Aplicando a fórmula do valor nominal, temos:
N = A . (1 + i . n)
150 = 50 . (1 + 0,04 . n)
150/50 = 1 + 0,04 . n
0,04 . n = 3 - 1
N = 2/0,04 = 50 meses 
Resposta: o prazo de vencimento do título será de 50 meses.
k) Um veículo com valor à vista de R$ 100.000,00 foi pago por 30% do seu valor à vista como 
entrada, mais um único pagamento de R$ 90.000,00, seis meses depois da compra. Determine a taxa de 
juros simples anual desse financiamento.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
À vista: 100.000
n = 6
N = 90.000
Calcule primeiro o valor da entrada:
0,30 . 100.000 = 30.000
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Subtraindo a entrada do valor à vista, temos o valor financiado:
100.000 - 30.000 = 70.000
Concluímos, portanto, que a dívida de 70.000 será quitada por 90.000, seis meses depois, pagando 
20.000 de juros.
Aplicando a fórmula do juro simples, calcule a taxa de juros:
J = P . i . n
20.000 = 70.000 . i . 6
i = 20.000/(70.000 . 6)= 0,0476 ao mês ou 4,76% a.m.
Multiplicando essa taxa mensal por 12, chegamos à anual pedida:
12 . 4,76 = 57,14% a.a. 
Resposta: a taxa de juros simples anual do financiamento foi de 57,14% a.a.
l) Uma factoring, tipo de empresa que comercializa capitais junto às empresas, não fornece a taxa 
de juros com que faz seus cálculos. Sabendo que uma construtora financia R$ 1.000,00 para pagar 
R$ 1.800,00 depois de um ano e meio, calcule a taxa mensal de juros simples praticada pela financeira.
Como o enunciado nos fornece o principal e o montante simples, podemos efetuar os cálculos 
usando a fórmula do juro simples, calculado como a diferença entre o montante e o principal. é preciso 
transformar o prazo de um ano e meio em dezoito meses, pois a questão pede a taxa mensal.
J = P . i . n 
1.800 - 1.000 = 1.000 . i . 18
800 = 18.000 . i
i = 800/18.000 = 0,04444 ao mês, ou 4,44% a.m.
Resposta: a taxa de juros simples praticada pela financeira é de 4,44% a.m. 
m) A propaganda de uma financeira promete dobrar o capital dos seus clientes. Sabendo que, em 
uma das modalidades de aplicação, a financeira opera à taxa de juros simples de 5% ao mês, calcule em 
quanto tempo o capital aplicado deverá dobrar.
Podemos resolver essa questão estipulando um valor arbitrário para o principal, ou montando uma 
equação literal baseada na relação entre principal e montante.
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Vamos resolver com a equação literal:
M = P . (1 + in) 
2P = P . (1+ 5/100 . n) 
2 = 1 + 0,05 . n
2 - 1 = 0,05 . n
n = 1/0,05
n = 20 meses
Resposta: o capital deverá dobrar em 20 meses.
n) Uma aplicação a juros simples rende de juros vinte por cento do seu principal em cinco meses. 
Calcule a taxa de juros simples anual a que esse capital foi aplicado.
Como se trata de um capital qualquer, podemos arbitrar um principal de R$ 100,00.
Esse principal renderá de juros simples R$ 20,00, que é 20% do principal.
Aplicando a fórmula de juros simples, temos:
J = P . i . n
20 = 100 . i . 5
20 = 500 . i
i = 20/500= 0,040 ao mês, ou 4% a.m.
Como o problema quer a taxa anual, temos: 
12 . 4 = 48% a.a.
Resposta: a taxa de juros simples anual será de 48%.
o) Uma loja efetua suas vendas com pagamento em cheque para noventa dias. Se o cliente quiser 
pagar à vista, ganhará um desconto de 12%. Sabendo que o valor à vista poderá ser financiado por 
uma financeira que cobra juros simples à taxa de 3,5% ao mês, determine qual a melhor opção para o 
comprador, justificando sua escolha por meio dos cálculos correspondentes.
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Solução: 
1º passo: cálculo da taxa embutida no desconto da loja.
Supondo uma compra de R$ 100,00, um desconto de 12% equivaleria a R$ 12,00, com um valor 
líquido de R$ 88,00.
2º passo: aplicando a fórmula da taxa efetiva, teremos: 
if = d/Vd . n
if = [12/(88 . 3)] . 100 = 4,55% a.m. Essa é a taxa que a loja estaria cobrando, no cheque, para 90 dias.
Resposta: é melhor para o comprador usar a financeira, que cobra uma taxa menor do que a que 
está embutida no desconto da loja.
p) Um jovem deseja comprar uma bicicleta, mas tem apenas metade do valor. Procurando uma 
financeira para aplicar seu capital com o objetivo de dobrá-lo, verifica que as taxas de remuneração das 
aplicações variam muito. Calcule que taxa de juros simples o futuro ciclista deverá escolher, sabendo 
que pretende fazer a compra depois de dez meses.
Na solução com a fórmula de juro simples, estima-se um valor de R$ 100,00 para o preço da bicicleta, 
uma vez que esse preço não é determinado, e sabendo que o ciclista tem apenas a metade desse valor, 
temos:
J = P . i . n
50 = 100 . i . 10
i = (50/100 . 10) = 0,05 ao mês
i . 100 = 5% a.m. 
Resposta: se o ciclista escolher a financeira que paga juros simples de 5% ao mês, dobrará seu 
capital em dez meses e poderá comprar sua bicicleta, caso o preço não aumente.
q) Um investidor agressivo compra ações na Bolsa aplicando R$ 100.000,00. Depois de certo 
tempo, esse investidor vende essas ações e apura R$ 150.000,00. Sabendo que essas ações tiveram um 
rendimento médio, calculado a juros simples de 5% ao mês, calcule o prazo dessa operação.
Solução utilizando a fórmula do juro simples:
Se o investidor aplicou R$ 100.000 e recebeu R$ 150.000, obteve um lucro de R$ 50.000 a uma taxa 
de 5% ao mês.
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J = P . i . n
50.000 = 100.000 . 0,05 . n
50.000 = 5.000 . n 
n = 50.000/5.000
n = 10 meses
Resposta: o prazo dessa aplicação foi de 10 meses. 
r) Um veículo custa, à vista, R$ 30.000,00. Sabendo que ele foi pago quatro meses depois da compra 
com um únicopagamento e que, só de juros, tinha R$ 7.500,00, calcule a taxa de juros simples mensal 
usada na correção desse preço.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
P = 30.000
n = 4
J = 7.500
Para cálculo da taxa de juros, podemos usar a fórmula do juro simples.
J = P . i . n
7.500 = 30.000 . i . 4 
7.500 = 120.000 . i
i = 7.500/120.000
i = 0,0625 a.m., ou 6,25% a.m.
Resposta: a taxa de juros simples mensal será de 6,25% a.m.
s) Um estudante aplica R$ 500,00 de sua verba em uma financeira que paga juros simples de 15% 
ao ano. Calcule o montante recebido pelo estudante ao final de cem dias, sabendo que o cálculo foi feito 
a juro exato.
Dados do enunciado:
P = 500
i = 0,15
n = 100
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Devemos transformar a taxa anual em diária, usando o critério do juro exato: ano de 365 dias.
Podemos calcular diretamente utilizando a fórmula do montante:
M = P . (1 + i . n)
M = 500 . [1 + (0,15/365) . 100]
M = R$ 520,55
Resposta: o estudante recebeu R$ 520,55 ao fim de 100 dias de aplicação. 
t) Uma loja financia suas vendas acrescentando 20% ao preço à vista da mercadoria e dividindo o 
preço assim obtido em dois pagamentos iguais, um pagamento como entrada e outro para sessenta dias 
depois da compra. Calcule a taxa de juros mensal praticada por essa loja.
Como esse esquema de vendas proposto pela questão serve para qualquer valor, podemos supor 
uma compra no valor de R$ 100,00. Acrescentando 20%, temos R$ 120,00, que, divididos em dois 
pagamentos iguais, gerarão uma entrada de R$ 60,00 no ato da compra e outro pagamento igual ao 
final de dois meses. O valor gasto será, portanto, o correspondente aos R$ 60,00 da entrada mais os 
outros R$ 60,00 na data da compra, sem os juros. Aplicando a fórmula do valor atual, o segundo valor 
vai voltar dois meses à taxa i: 
100 = 60 + 60/(1 + 2 . i) 
100 - 60 = 60/(1 + 2 . i)
40 = 60/(1 + 2 . i)
1 + 2 . i = 60/40
1 + 2 . i = 1,5
2 . i = 1,5 - 1
2 . i = 0,5
i = 0,5/2
i = 0,25 
100 . i = 25% 
Essa questão expõe um fator interessante do cálculo do juro. Devemos considerar a taxa de juros e 
o esquema de cálculo em que ela é usada. Não podemos, também, fazer contas com pagamentos que 
não estejam na mesma data.
Resposta: a taxa praticada por essa loja é de 25% a.m..
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u) Uma instituição financeira remunera as aplicações de seus clientes à taxa de juros simples de 2% 
ao mês. Calcule a taxa real que um cliente recebe deixando seu capital aplicado por dez meses. Sabe-se 
que, nesse caso, incide um imposto de 10% sobre o valor dos juros auferidos.
Como não se especificou o valor aplicado, podemos supor que esse esquema vale para qualquer 
capital. Para facilitar nossos cálculos, vamos supor um capital de R$ 100,00.
Cálculo do juro simples:
J = P . i . n 
J = 100 . 0,02 . 10 = R$ 20,00
Cálculo do imposto:
Imp. = 0,10 . 20 = R$ 2,00
Cálculo do valor líquido auferido:
Vl = 20 - 2 = R$ 18,00
Tendo aplicado 100 e recebido 18, o rendimento foi de 18%.
Como a aplicação foi a juros simples por dez meses, temos:
18/10 = 1,8% ao mês 
Resposta: a taxa de juros simples líquida recebida foi de 1,8% a.m.
v) Calcule o valor dos juros que um capital de R$ 15.000,00 rende aplicado a juros simples de 30% 
a.a., em três anos e quatro meses.
A melhor opção será transformar o prazo e a taxa de juros para meses: a taxa de 30% a.a. pode ser 
substituída por 0,30/12 ao mês.
O prazo de três anos e quatro meses corresponde a 40 meses.
Aplicando a fórmula do juro simples, temos:
J = P . i . n
J = 15.000 . (0,30/12) . 40
J = R$ 15.000,00
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Por coincidência, o valor do juro é igual ao do capital aplicado.
Resposta: o juro auferido será de R$ 15.000,00.
 observação
As simplificações não podem ser generalizadas arbitrariamente. 
Podemos utilizar a proporcionalidade para os cálculos de juros simples, em 
razão das suas características. Não se pode usar proporcionalidade para o 
cálculo do juro composto.
Uma das dificuldades iniciais do aluno de Matemática Financeira é descobrir, em cada tipo de 
questão, qual fórmula aplicar. Uma sugestão importante é escolher a fórmula que relacione os dados 
do enunciado com a incógnita cujo cálculo está sendo pedido. As dúvidas irão desaparecendo à 
medida que se for praticando a solução de exercícios; depois de algum tempo, essa escolha é feita 
naturalmente.
Em síntese, este tópico demonstrou que, apesar de seu pouco uso, é um critério lógico e justo 
de cálculo intuitivo. Por esse critério, as variações são lineares, e os cálculos deverão ser efetuados 
por recursos simples das regras de três e das proporções. Trata-se de um critério importante, 
com grande aplicação no cálculo das dívidas de países, grandes empresas e de dívidas tributárias. 
é preciso, ainda, tomar cuidado com pequenas armadilhas da capitalização nos cálculos com 
períodos intermediários.
 lembrete
A taxa percentual é cem vezes a taxa unitária correspondente.
3 deSConto SIMPleS
Temos como objetivos, neste tópico, identificar uma operação de desconto simples, reconhecer seu 
critério e efetuar os cálculos utilizando suas fórmulas. 
Buscamos, também, o desenvolvimento de competência para caracterizar como descontos vários 
tipos de operações financeiras, na maioria das vezes, rotuladas como financiamentos.
é importante lembrar que o desconto é denominado simples porque é calculado segundo o critério 
de juros simples.
A importância dessa operação reside em sua aplicação no dia a dia da maioria das empresas, nas 
quais a operação de desconto é responsável pelo capital de giro, sem o qual a empresa não conseguiria 
subsistir. A aplicação desse conceito, denominado operação de desconto, tem posição de destaque na 
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estrutura das empresas modernas, que, geralmente, possuem um departamento dedicado apenas a essa 
área, em que a aplicação passou a ser denominada de operação de desconto.
3.1 Conceitos básicos
• Desconto (D)
é o abatimento dado no valor nominal de uma dívida como consequência da antecipação da sua 
data de pagamento. Pagando a dívida antes do vencimento, há um desconto. Muitas escolas estão 
usando esse critério para o pagamento das mensalidades. 
• Prazo de antecipação (n)
é a medida do tempo que vai da data de pagamento efetivo até a data de vencimento. Ao contrário 
da aplicação em que a contagem do prazo está focada na origem, aqui o prazo está focado na data de 
vencimento. Fique atento: o prazo do desconto é quanto tempo falta para vencer, a partir da data de 
pagamento antecipado.
• Valor descontado ou líquido (VD)
é o valor efetivamente pago ou recebido após o abatimento do desconto. O valor descontado com 
o valor do desconto é o abatimento. é importante também diferenciar esse desconto daquele que 
pedimos toda vez que compramos algo à vista. O desconto financeiro tem fundamentação teórica e 
critérios de cálculo.
• Taxa de desconto
é a taxa de juros comum das aplicações, agora utilizada nas operações de desconto.
Os descontos podem ser calculados de acordo com dois critérios distintos: um deles é o cálculo 
tomando-se por base o valor atual da dívida na data do seu pagamento antecipado, e o outro é baseado 
em seu valor nominal.
qualquer que seja seu critério de cálculo, o desconto sempre será subtraído do valor nominal da dívida.
3.2 desconto simples racional ou “por dentro”
A argumentação em defesa desse critério de desconto calculado, tendo-se por base o valor 
atual da dívida na data de pagamento antecipado, é consistente, alegando que o prazo não 
transcorreu todo e, portanto, não podemos nos basear no valor “cheio” da dívida para o cálculo 
do desconto. Os defensoresdesse critério insistem no argumento de que não devemos pagar 
juros sobre um prazo não transcorrido.
Essa denominação “por dentro” decorre do fato de o desconto ser calculado em função do valor 
atual, que é um valor interno do fluxo de caixa da dívida.
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3.2.1 Definição 
Segundo o critério racional ou “por dentro”, o desconto simples é calculado como o juro simples 
do valor atual da dívida na data da antecipação, pelo prazo de antecipação da data de pagamento, ou 
seja, o desconto é o juro que seria obtido na aplicação do valor atual da dívida da data de pagamento 
antecipado até a data do vencimento original, à taxa de desconto.
3.2.2 Fórmulas
• Desconto
De acordo com a definição, teremos: D = A . i . n, onde A é o valor atual da dívida na data do seu 
pagamento antecipado, i é a taxa unitária de desconto e n é o tempo que falta para o vencimento, 
contado a partir da data de pagamento.
Substituindo o valor atual (A) da dívida por sua fórmula, teremos:
D
Nin
in
=
+1
• Valor descontado racional ou valor líquido racional
Por sua definição, o valor descontado racional será a diferença entre o valor nominal e o desconto 
racional. Portanto, 
VD = N - D
Substituindo suas fórmulas, teremos:
VD = N - N . i . n/(1 + i . n), que, por simplificação, transformar-se-á em:
V
N
inD
=
+1
 lembrete
O valor descontado, ou valor líquido, é o valor efetivamente pago ou 
recebido pela dívida, depois de abatido o desconto.
3.2.3 Aplicações
a) Calcule o desconto simples racional de um título com valor nominal de R$ 1.000,00, em uma 
antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. 
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Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 1.000
n = 3 meses
i = 4/100
Podemos começar essa solução pela fórmula do desconto simples racional:
D
Nin
in
=
+1
Substituindo os valores: 
D =
+
1000
4
100
3
1
4
100
3
. .
.
D = R$ 107,14 
• Sugestão de cálculo
— Algébrica:
 1000 x 4 x 3 ÷ 100 ÷ (4 x 3 ÷ 100 + 1) =
— RPN (HP12C):
 1000 ENTER 4 x 3 x 100 ÷ 4 ENTER 3 x 100 ÷ 1 + ÷
Podem-se fazer separadamente os cálculos do numerador e do denominador e depois dividi-los.
Resposta: o desconto será de R$ 107,14.
b) Um título com valor nominal de R$ 245,00 foi descontado em uma antecipação de quatro meses, 
sendo beneficiado com um desconto simples racional de R$ 35,00. Determine a taxa de desconto 
utilizada nessa operação.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 245
n = 4 
D = 35
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Podemos iniciar com a fórmula do valor descontado: VD =
+
N
in1
. Para usarmos essa fórmula, 
devemos calcular o valor descontado 245 - 35 = 210.
Substituindo os valores, temos: 
210
245
1 4
=
+ i.
.
Isolando a taxa como incógnita a ser calculada, teremos:
i =
−245
210
1
4
i = 0,04167 ao mês
100 x i = 4,17% ao mês 
Resposta: a taxa de desconto será de 4,17% ao mês.
c) Calcule o prazo de antecipação, no desconto racional, de um valor nominal de R$ 560,00, com 
uma taxa de desconto de 3% ao mês, sabendo que o desconto foi de R$ 43,00.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 560
i = 3/100
D = 43
Podemos partir da fórmula do valor descontado racional: VD = +
N
in1
. 
é preciso, primeiro, calcular o valor descontado: 560 - 43 = 517. 
Substituindo os valores fornecidos, teremos: 
517
560
1 0 03
=
+ , .n
n =
−
=
560
517
1
0 03
2 77
,
, meses, ou 2 meses e 23 dias.
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 observação
Para transformar a fração de meses em dias, basta multiplicar 0,77 por 30.
Resposta: o prazo será de 2 meses e 23 dias.
d) Determine o valor descontado racional de um título com valor nominal de R$ 1.000,00, sabendo 
que sua antecipação foi de dois meses e que a taxa utilizada nessa operação foi de 5% ao mês. 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: 
 N = 1000
 N = 2
 i = 5/100
O valor descontado racional possui fórmula própria: 
VD =
+
N
in1
Substituindo os valores, teremos:
 VD = +
1000
1 0 05 2, .
 = R$ 909,09 
Resposta: o valor descontado racional será de R$ 909,09.
e) Calcule o desconto simples racional de um título com valor nominal de R$ 10.000,00, em uma 
antecipação de dois meses, à taxa de desconto de 2% ao mês. 
Podemos começar essa solução com a fórmula do desconto simples racional:
D
Nin
in
=
+1
Substituindo os valores, temos:
D R=
+
=
10000
2
100
2
1
2
100
2
384 61
. .
.
$ , 
Resposta: o desconto será de R$ 384,61.
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f) Um título com valor nominal de R$ 530,00 foi descontado em uma antecipação de cinco meses, 
sendo beneficiado com um desconto simples racional de R$ 55,00. Determine a taxa de desconto 
utilizada nessa operação.
Podemos iniciar com a fórmula do valor descontado racional:
VD =
+
N
in1
Substituindo os valores, temos: 
475
530
1 5
=
+ i.
Isolando a taxa como incógnita a ser calculada, teremos:
i =
−
=
530
475
1
5
0 0232,
100 x i = 2,32% ao mês. 
Resposta: a taxa de desconto será de 2,32% ao mês.
g) Calcule o prazo de antecipação em um desconto racional de um valor nominal de R$ 650,00, com 
uma taxa de desconto de 4% ao mês, sabendo que o desconto foi de R$ 53,00.
Podemos resolver essa questão a partir da fórmula do valor descontado racional:
 VD =
+
N
in1
Substituindo os valores fornecidos, teremos:
597
650
1 0 04
=
+ , .n
n =
−
=
650
597
1
0 04
2 2194
,
, meses, ou 2 meses e 6 dias 
A transformação da parte fracionária em dias será:
(2,2194 - 2) . 30 = 6 dias.
Resposta: o prazo será de 2 meses e 6 dias.
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h) Determine o valor descontado racional de um título com valor nominal de R$ 3.000,00, sabendo 
que sua antecipação foi de cinco meses e que a taxa utilizada nessa operação foi de 3% ao mês.
O valor descontado racional possui fórmula própria:
VD = +
N
in1
Substituindo os valores, você terá:
VD =
+
3000
1 0 03 5, .
 = R$ 2.608,70 
Resposta: o valor descontado racional será de R$ 2.608,7.
i) Certa operação de financiamento é calculada utilizando-se o critério do desconto simples racional. 
Como exemplo, podemos citar que, para um valor nominal de R$ 100.000,00, tem-se um valor descontado 
(líquido) de R$ 85.000,00. Sabendo que o prazo dessa operação foi de quatro meses, determine a taxa de 
desconto mensal correspondente.
Solução com aplicação da fórmula do valor descontado simples racional:
85.000 = 100.000/(1 + 4 . i)
1 + 4 i =100.000/85.000
4 . i = 1,18 - 1
i = 0,18/4 = 0,0450 ao mês
100 . i = 4,50% a.m. 
Resposta: a taxa de desconto simples mensal será de 4,50%.
j) Calcule o desconto e o valor descontado simples racional de um valor nominal de R$ 20.000,00, 
em uma antecipação de quatro meses, a juros simples de 36% ao ano.
A taxa de juros simples anual de 36% corresponde a 3% ao mês.
Vamos aplicar a fórmula do valor descontado:
VD =
+
N
in1
Substituindo os valores numéricos, temos:
VD =
+
20000
1 0 03 4, .
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VD = 20.000/1,034 
VD = R$ 17.857,14
Para o cálculo do desconto, temos: 
D = N - VD
D = 20.000 - 19.342,36 
D = R$ 2.142,86
Resposta: o valor descontado e o desconto são VD = R$ 17.857,14 e D = R$ 2.142,86.
Em síntese, vimos que o desconto é um abatimento provocado pela antecipação da data de 
pagamento e subtraído sempre do valor nominal, mas que sua base de cálculo pode ser o valor atual, 
resultando no critério de cálculo racional ou “por dentro”.
3.3 descontosimples comercial ou “por fora”
O objetivo deste tópico é identificar as operações de desconto simples comercial e, conhecendo a 
nomenclatura das suas grandezas, fazer os cálculos por meio das fórmulas montadas a partir das definições.
A argumentação em defesa desse critério de desconto calculado, tendo-se por base o valor nominal 
da dívida, é consistente, alegando que o valor combinado para a dívida foi o nominal e, portanto, 
devemos nos basear no valor “cheio” da dívida para o cálculo do desconto.
A denominação “por fora” vem do fato de o desconto ser calculado com base no valor nominal, que 
é o valor mais externo do fluxo de caixa da dívida.
Esse é o critério de desconto simples de maior aplicação prática, devido à facilidade do seu cálculo 
e da aplicação do juro sobre o valor nominal da dívida.
3.3.1 Definição 
Segundo o critério comercial ou “por fora”, o desconto simples é calculado como o juro simples do 
valor nominal da dívida, pelo prazo de antecipação da data de pagamento.
3.3.2 Fórmulas 
• Desconto simples comercial ou “por fora”
Considerando que o desconto comercial é o juro simples do valor nominal pelo prazo de antecipação, 
sua fórmula é: 
d = N . i . n
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Onde d é o desconto comercial, N é o valor nominal da dívida, i é a taxa de desconto comercial e n 
é o prazo de antecipação.
• Valor descontado ou líquido comercial ou “por fora”
De acordo com o conceito de valor descontado, temos: Vd = N - d.
Substituindo d por sua fórmula, teremos:
Vd = N - N . i . n ou Vd = N . (1 - i . n) 
Em síntese, vimos que o desconto comercial ou “por fora” tem sua base de cálculo no valor nominal 
da dívida, sendo o mais aplicado na área financeira das empresas.
3.4 Aplicações
a) Calcule o desconto simples comercial de um título de valor nominal R$ 1.000,00, em uma 
antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 1.000
n = 3 meses
i = 4/100
Podemos começar essa solução pela fórmula do desconto simples comercial:
d = N . i . n
Substituindo os valores: d = 1.000 . 0,04 . 3 = R$ 120,00
Resposta: o desconto simples comercial será de R$ 120,00.
b) Um título com valor nominal de R$ 245,00 foi descontado em uma antecipação de quatro meses, 
sendo beneficiado com um desconto simples comercial de R$ 35,00. Determine a taxa de desconto 
utilizada nessa operação.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 245
n = 4 
d = 35
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Podemos iniciar com a fórmula do desconto comercial: d = N . i . n
Substituindo os valores, temos: 
35 = 245 . i . 4 
35 = 980 . i
Isolando a taxa como incógnita a ser calculada, teremos:
i = 35/980 = 0,0357
i x 100 = 3,57% ao mês.
Resposta: a taxa de desconto será de 3,57% a.m. 
c) Calcule o prazo de antecipação no desconto simples comercial de um valor nominal de R$ 560,00, 
com uma taxa de desconto de 3% ao mês, sabendo que o desconto foi de R$ 43,00.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 560
i = 3/100
d = 43
Podemos partir da fórmula do desconto simples comercial: d = N . i . n 
Substituindo os valores fornecidos, teremos:
43 = 560 . 0,03 . n
43 = 16,80 . n
n = 43/16,80 = 2,5595 meses, ou 2 meses e 16 dias 
Para transformar a fração de meses em dias, basta multiplicar 0,5595 por 30.
Resposta: o prazo será de 2 meses e 16 dias.
d) Determine o valor descontado comercial de um título com valor nominal de R$ 1.000,00, sabendo 
que sua antecipação foi de dois meses e que a taxa utilizada nessa operação foi de 5% ao mês. 
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Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: 
N = 1.000
n = 2
i = 5/100
O valor descontado racional simples possui fórmula própria:
Vd = N . (1 - i . n)
Substituindo os valores, teremos:
Vd = 1.000 . (1 - 0,05 . 2)= R$ 900,00 
• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica:
 0,05 x 2 - 1 = x 1.000 = 
— Calculadora RPN (HP12C):
 0,05 ENTER 2 x 1 - 1.000 x
 observação
A resposta negativa foi provocada pela inversão da conta nos parênteses, 
portanto deve ser eliminada. 
Resposta: o valor descontado comercial será de R$ 900,00.
e) Calcule o prazo praticado em uma operação de desconto comercial, sabendo que o valor nominal 
da dívida é dez vezes o seu desconto simples comercial, à taxa de 28% ao ano.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 10 . d
i = 28/100
Usando a relação entre N e d como uma equação, podemos aplicar diretamente a fórmula do 
desconto simples comercial:
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d = N . i . n
d = 10 . d . 0,28 . n
Simplificando d e isolando n, temos:
n = 1/10 . 0,28 = 0,3571 anos, ou 12 . n = 4,2857 meses, ou 4 meses e 8 dias.
 observação
é preciso observar atentamente as transformações dos prazos.
Resposta: o prazo desse desconto será de 4 meses e 8 dias.
f) O quociente entre os descontos comercial e racional, nessa ordem, de um mesmo título descontado 
à taxa de desconto simples de 34% ao ano, é de 1,652. Sabendo que os dois descontos foram feitos nas 
mesmas condições de taxa e prazo, calcule o prazo.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
d/D = 1,625
i = 34/100
Pode-se encontrar a solução desse exercício seguindo o que indica o enunciado, ou seja, indicando 
a divisão entre os descontos.
1,625 = d/D = 
Nin
Nin
in
. .
. .
.1+
Simplificando a expressão N . i . n e efetuando a divisão, teremos:
1,625 = 1 + i . n 
n = (1,625 - 1)/i
n = 0,625/0,34 = 1,8382 anos, ou 1 ano e dez meses, ou 22 meses. 
O fato de trabalharmos com uma taxa anual sem convertê-la produziu uma resposta em anos.
Resposta: o prazo de antecipação desse desconto será de 22 meses.
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g) Uma empresa desconta um título em um banco, recebendo R$ 50.000,00 de valor líquido 
comercial, para completar seu capital de giro. Calcule o valor nominal do título que a empresa repassou 
ao banco, sabendo que a taxa de desconto foi de 24% ao ano e o prazo de antecipação foi de três meses. 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
Vd = 50.000
i = 24/100, ou 0,24/12 em meses
n = 3
Encontramos a solução aplicando a fórmula do valor descontado comercial:
Vd = N . (1 - i . n)
Substituindo os valores fornecidos pelo enunciado, temos:
50.000 = N . [1 - (0,24/12) . 3]
50.000 = N . 0,94
N = 50.000/0,94
N = R$ 53.191,49
Resposta: o valor nominal que a empresa levou ao banco foi de R$ 53.191,49.
h) Uma financeira tem como principal produto o financiamento de compras de passagens aéreas, 
com pagamento por meio de boleto bancário. Um executivo financiou R$ 10.000,00 e recebeu de valor 
líquido R$ 9.375,00, calculado com desconto simples comercial, para quitar em um único pagamento 
depois de noventa dias. Com base nesses dados, calcule a taxa de desconto simples comercial anual 
praticada nesse financiamento.
Solução com as fórmulas do desconto simples comercial e da taxa efetiva:
d = N . i . n 
10.000 - 9.375 = 10.000 . i . 90 
i = 625/(10.000 . 90) 
100.360 . i = 25% a.a.
Resposta: a taxa de desconto é de 25% a.a. 
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i) Uma prestadora de serviços na área de informática vende os títulos, assinados por seus clientes, a um 
banco, segundo o critério de desconto simples comercial, à taxa de juros simples de 23,5% ao ano. Calcule 
o desconto simples comercial dessa operação, para uma duplicata no valor nominal de R$ 8.000,00, com 
vencimento daqui a 90 dias, sabendo que o prazo foi estabelecido com base no ano comercial de 360 dias.
Lendoatentamente esse enunciado, percebemos que a taxa de juros é anual e o prazo está em dias. 
Podemos resolver dividindo a taxa por 360.
Solução com aplicação das respectivas fórmulas:
d = N . i . n 
d = 8.000 . (0,235/360) . 90 = R$ 470,00
Resposta: o desconto simples comercial é de R$ 470,00.
j) A financeira Juro Baixo faz propaganda com o slogan “Nosso nome é a nossa missão.”, alegando 
que pratica as menores taxas de juros simples do mercado. Seu gerente defende essa postura alegando, 
durante uma entrevista, que quem optar pelo desconto simples comercial, para um valor nominal de 
R$ 20.000,00, terá um desconto de R$ 5.000,00, para os financiamentos de cinco meses. Determine a 
taxa de desconto praticada por essa empresa, nesse tipo de operação.
Solução com a fórmula do desconto simples comercial:
5.000 = 20.000 . i . 5
I = 5.000/20.000 . 5
100 . i = 5% a.m.
Resposta: nas condições enunciadas pelo problema, a taxa de desconto simples comercial será de 
5% a.m.
k) Um título com valor nominal de R$ 8.000,00 foi liquidado 35 dias antes do seu vencimento, à taxa 
de desconto comercial simples de 20% ao ano. Calcule o desconto comercial desse título, sabendo que 
em seu cálculo foi adotado o ano de 360 dias.
Nesse caso, podemos aplicar a fórmula do desconto simples comercial:
d = N . i . n
d = 8.000 . (0,20/360) . 35
d = R$ 155,56
Resposta: o desconto simples comercial será de R$ 155,56.
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l) Calcule a taxa de desconto simples comercial em uma operação na qual o prazo foi de cinquenta 
dias e o desconto foi igual a um quinto do valor nominal, sabendo que a contagem do prazo foi feita 
segundo o critério comercial.
Como o valor nominal não foi especificado, podemos estabelecer seu valor em R$ 100,00, o que 
facilitará nossos cálculos.
N = 100
d = 100/5 = 20
n = 50
Solução com a fórmula do desconto simples comercial:
d = N . i . n
20 = 100 . i . 50
i = 20/100.50
i = 0,004 ao dia, ou 0,4% ao mês, ou 0,4 . 30 = 12% a.m. 
Resposta: a taxa de desconto simples comercial será de 12% a.m. 
3.5 desconto simples bancário
Ao final deste subtópico, o aluno deverá ser capaz de identificar as operações de desconto simples 
bancário e, conhecendo a nomenclatura das suas grandezas, fazer os cálculos com as fórmulas montadas 
a partir das definições.
O sistema bancário, por ser uma aplicação prática da teoria financeira, leva em consideração 
parâmetros próprios que, na maioria das vezes, não são destacados com a devida ênfase pela teoria. 
Podemos citar o caso específico da taxa administrativa, cobrada pelos bancos no desconto bancário, 
para remunerar sua estrutura colocada à disposição desse tipo de operação. 
3.5.1 Definição 
O desconto bancário é calculado como o desconto simples comercial, acrescido de uma porcentagem 
do valor nominal, como taxa administrativa. Essa taxa representa, para as instituições que praticam 
esse tipo de desconto, uma remuneração ou um custeio da estrutura colocada a serviço das operações 
de desconto. Essa cobrança aparece sob as mais diversas roupagens, sendo uma delas atualmente 
denominada, por algumas instituições, Taxa de Abertura de Crédito (TAC).
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A taxa administrativa é um percentual bruto, e não uma taxa de juros; ao montarmos a fórmula 
de cálculo, na qual ela será representada por h, devemos dividi-la por 100, para trabalharmos com sua 
forma unitária. Esse procedimento facilita os cálculos.
3.5.2 Fórmulas
• Desconto simples bancário
De acordo com o conceito, teremos: db = d + h . N
 db = N . i . n + h . N, portanto db = N . (i . n + h) 
• Valor descontado bancário (valor líquido bancário)
De acordo com o conceito, temos: Vdb = N - db e, portanto:
 Vdb = N - N . (i . n + h), ou Vdb = N . [1 - (i . n + h)] 
Em síntese, vimos que o desconto bancário surge da adição da taxa administrativa, como 
porcentagem do valor nominal, ao desconto comercial. O valor da taxa administrativa pode variar de 
uma instituição financeira para outra, e, mesmo dentro da mesma instituição, variar de um cliente para 
outro. Essa taxa possui uma estrutura técnica apoiada em uma política de relacionamento dos bancos 
e financeira. Seu valor é estabelecido de acordo com a reciprocidade praticada pelos clientes, ou seja, o 
cliente que tem mais negócios com o banco paga menor taxa administrativa. 
3.5.3 Aplicações
 lembrete
A taxa administrativa deve ser dividida por 100, antes de ser substituída 
na fórmula. 
a) Calcule o desconto simples bancário de um título no valor nominal de R$ 1.000,00, em uma 
antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês, sabendo que a financeira cobrou 1% de 
taxa administrativa.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 1.000
n = 3 meses
i = 4/100
h = 1/100
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Podemos começar essa solução pela fórmula do desconto simples bancário:
db = N . (i . n + h)
Substituindo os valores: 
db = 1000 . (0,04 . 3 + 0,01) = R$ 130,00 
Resposta: o desconto simples bancário será de R$ 130,00.
b) Um título com valor nominal de R$ 245,00 foi descontado em uma antecipação de quatro meses, 
sendo beneficiado com um desconto simples bancário de R$ 35,00. Determine a taxa de desconto 
utilizada nessa operação, sabendo que a financeira cobrou uma taxa administrativa de 2%.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 245
n = 4 
db = 35
h = 2/100
Podemos iniciar com a fórmula do desconto simples bancário:
db = N . (i . n + h)
Substituindo os valores, temos: 
35 = 245 . (i . 4 + 0,02) 
35 = 980 . i + 4,9
Isolando a taxa como incógnita a ser calculada, teremos:
i = (35 - 4,9)/980 = 0,0307
100 x i = 3,07% ao mês 
Resposta: a financeira utilizou 3,07% ao mês como taxa de desconto.
c) Calcule o prazo de antecipação, no desconto simples bancário, de um valor nominal de 
R$ 560,00, com uma taxa de desconto de 3% ao mês, sabendo que o desconto foi de R$ 43,00, e a taxa 
administrativa, de 2%.
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Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 560
i = 3/100
db = 43
h = 2/100
Podemos partir da fórmula do desconto simples bancário: 
db = N . (i . n + h) 
Substituindo os valores fornecidos, teremos: 
43 = 560 . (0,03 . n + 0,02)
43 = 16,80 . n + 11,20
n = (43 - 11,20)/16,80 = 1,8929 meses, ou 1 mês e 26 dias 
 observação
Para transformar a fração de meses em dias, basta multiplicar o valor 
por 30.
Resposta: o prazo será de 1 mês e 26 dias.
d) Determine o valor descontado bancário de um título com valor nominal de R$ 1.000,00, 
sabendo que sua antecipação foi de dois meses; a taxa utilizada nessa operação foi de 5% ao mês, e a 
administrativa, de 1%.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: 
N = 1.000
n = 2
i = 5/100
h = 1/100
O valor descontado bancário simples possui fórmula própria: 
Vdb = N . [1 - (i . n + h)]
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Substituindo os valores, teremos:
Vdb = 1000 . [1 - (0,05 . 2 + 0,01)]
Vdb = R$ 890,00
Resposta: o valor descontado bancário será de R$ 890,00.
e) Determine a taxa administrativa aplicada em um desconto simples bancário de R$ 155,00, calculado 
sobre um valor nominal de R$ 1.000,00 à taxa de desconto de 4,5% ao mês, em uma antecipação de 3 
meses.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: 
N = 1.000
n = 3
i = 4,5/100
db = 155
Solução com desconto bancário: 
db = N . (i . n + h)
Substituindo os valores, teremos: 
155 = 1.000 . (0,045 . 3 + h)
Isolando a incógnita h, temos:
155 = 135 + 1.000 . h
h = (155 - 135)/1.000
h = 0,02 
100 x h = 2% 
Resposta: a taxa administrativa será de 2%.
f) A diferençaentre o desconto simples bancário e o desconto simples comercial de um mesmo 
título, nessa ordem, nas mesmas condições de taxa e prazo, é de R$ 42,00. Calcule o valor nominal 
desses títulos, sabendo que a taxa administrativa foi de 2%.
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Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
db - d = 42
h = 2/100
Vamos começar a solução da diferença indicada entre os descontos:
db - d = 42 = N . (i . n + h) - N . i . n = N . i . n + N . h - N . i . n = N . h
é interessante notar que a diferença entre esses dois descontos é apenas o valor da taxa administrativa 
aplicada sobre o valor nominal da dívida, o que se pode observar diretamente na definição.
Portanto:
N . h = 42
Substituindo a taxa administrativa de 2% dada no enunciado, temos:
N . 0,02 = 42
N = 42/0,02
N = R$ 2.100,00 
Resposta: o valor nominal de ambos os títulos é de R$ 2.100,00.
g) Determine o desconto simples bancário de um título com valor nominal de R$ 1.000,00, em 
uma antecipação de cinco meses, à taxa de desconto de 2% ao mês, com uma taxa administrativa 
de 1%.
Nesse caso, devemos aplicar diretamente a fórmula do desconto solicitado:
db = N . (i . n + h)
db = 1000 . ( 2
100
 . 5 + 0,01) 
db = R$ 110,00 
Resposta: o desconto bancário será de R$ 110,00.
h) Calcule o valor descontado bancário de um título de R$ 2.000,00, à taxa de desconto de 3% ao 
mês, em uma antecipação de quatro meses, com a taxa administrativa de 2%.
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A aplicação direta da fórmula nos levará à resposta:
Vdb = N . [1 - (i . n + h)] 
Vdb = 2.000 . [1 - ( 3
100
 . 4 + 0,02)]
Vdb = R$ 1.720,00 
• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica:
 3 x 4 ÷ 100 + 0,02 = - 1 = x 2.000 =
— Calculadora RPN (HP12C):
 3 ENTER 4 x 100 ÷ 0,02 + 1 - 2.000 x
 observação
Nesse caso, o resultado da conta terá sinal negativo porque, para 
facilitar os cálculos, invertemos uma das operações. Desconsideraremos o 
sinal negativo.
Resposta: o valor descontado bancário será de R$ 1.720,00.
i) O banco Pague Agora trabalha com uma modalidade de desconto bancário no financiamento do 
capital de giro das empresas, com taxa de desconto de 48% ao ano e uma taxa administrativa de 2%. 
Calcule o valor descontado e o desconto bancário para um valor nominal de R$ 34.000,00 em uma 
antecipação de três meses.
Fórmula do valor descontado bancário:
Vdb = N . [1 - (i . n + h)]
Substituindo os valores numéricos:
Vdb = 34.000 . [1 - (0,04 . 3 + 0,02)] 
Vdb = R$ 29.240,00 
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Para calcular o desconto bancário, basta subtrair o líquido do nominal.
db = 34.000 - 29.240
db = R$ 4.760,00 
Resposta: o valor descontado bancário será de R$ 29.240,00, e o desconto bancário será de R$ 
4.760,00.
j) Uma financeira trabalha com financiamento em desconto simples comercial com antecipação 
de quatro meses, com uma taxa administrativa de 2%. Determine a taxa percentual anual de desconto 
adotada por essa financeira, sabendo que para um valor nominal de R$ 1.000,00 houve um desconto 
de R$ 230,00. 
Solução:
db = N . (i . n + h)
Substituindo os valores numéricos, temos:
230 = 1.000 . (i . 4 + 0,02)
230 = 4.000 . i + 20
230 - 20 = 4.000 . i
Isolando a taxa, temos:
i = 210/(1.000 . 4)
i = 0,0525 ao mês
12.100 . i = 63% ao ano
Resposta: a financeira deverá adotar 63% a.a. como taxa de desconto.
k) O banco Dinheiro na Hora precisa garantir uma taxa efetiva de 8% ao mês nos descontos simples 
bancários de cinco meses, em que cobra uma taxa administrativa de 3%. Calcule a taxa de desconto que 
esse banco deve praticar nesse tipo de negócio.
Solução com a fórmula da taxa efetiva no desconto bancário, com inversão das taxas na fórmula. 
Representamos por I a taxa total do desconto simples bancário:
A administrativa de 3%, em cinco meses, será de 3/5 = 0,6% ao mês.
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0,08 = I/(1 - 5 . I)
I = 0,08 . (1 - 5 . I)
I = 0,08 - 0,40 . I
I + 0,40 . I = 0,08
1,40 . I = 0,08
I = 0,08/1,40
100 . I = 5,71% a.m. de taxa total.
Subtraindo a taxa administrativa, teremos: 5,71 - 0,6 = 5,11% a.m. 
O valor 0,6 resulta da razão 3/5, que transforma a taxa administrativa em mensal.
Resposta: esse banco pratica a taxa de desconto de 5,11% a.m.
4 tAxA eFetIvA nA oPerAção de deSConto
As empresas, em geral, dão prazos a seus clientes para o pagamento de suas compras. Para não se 
descapitalizarem e arcarem com os custos financeiros das suas operações, essas empresas vendem seus 
títulos de cobrança aos bancos, com operações de desconto.
As operações de desconto de títulos utilizadas para financiar o capital de giro das empresas 
representam investimentos para os bancos. Como as instituições envolvidas, empresas e bancos, 
investem valores diferentes em datas diferentes, a taxa efetiva remunera o dinheiro aplicado pelo 
banco, que é diferente da taxa de desconto paga pela empresa. O reconhecimento dessa diferença é 
um fator importante para fundamentar sua análise das operações financeiras envolvendo instituições 
de crédito.
Ao final deste tópico, será possível identificar e calcular as taxas de juros às quais os capitais estão 
efetivamente aplicados, nas operações de desconto comercial ou bancário.
4.1 definição 
Denomina-se efetiva a taxa de juros à qual devemos aplicar os valores descontados (líquidos), 
comercial ou bancário, para obtermos, de montante, o valor nominal da dívida, no prazo de antecipação.
Essa taxa indica a remuneração do valor aplicado efetivamente na operação de desconto por bancos 
e financeiras. é a taxa que o banco ou a financeira ganham na operação de desconto que praticam junto 
às empresas em geral. Representaremos essa taxa por if.
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4.2 Fórmulas
A fórmula dessa taxa efetiva pode ser construída a partir da própria definição:
N = Vd . (1 + if . n)
O valor nominal é o montante de uma aplicação em que o valor descontado ou líquido é o principal, 
o prazo é o que falta para o vencimento e a taxa de juros é a efetiva.
A partir dessa definição, podemos chegar às seguintes fórmulas:
if = 
N
Vd
n
−1
 ou if = d
Vdn.
 
As fórmulas correspondentes para o desconto bancário poderão ser obtidas pela troca dos parâmetros 
das duas fórmulas anteriores:
if = 
N
Vdb
n
−1
 ou if = 
db
Vdbn.
 observação
Substituindo na fórmula da taxa efetiva comercial cada parâmetro 
por sua fórmula, conseguimos chegar a uma fórmula para a taxa efetiva 
baseada apenas na taxa de desconto e no prazo de antecipação.
i
d
Vdn
Nin
N in n
= =
−. ( ).1
Simplificando os fatores comuns, chegamos à fórmula final:
if
i
in
=
−1
Fazendo o mesmo para o desconto bancário, teremos de transformar a taxa administrativa em uma 
taxa de juros correspondente, na mesma unidade de tempo que a taxa de desconto; unindo as duas, 
surge uma nova taxa de desconto bancário que engloba a taxa administrativa e a taxa de desconto, 
representada por I.
Dessa forma, a fórmula da taxa efetiva para o desconto bancário, baseada apenas na taxa de 
desconto, na administrativa e no prazo, será:
if
I
In
=
−1 .
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é importante notar que a taxa administrativa é apenas um percentual aplicado sobre o valor nominal. 
Nesse caso da taxa efetiva, a administrativa é “disfarçada” de taxa de juros, “maquiando” a taxa total 
aplicada na operação de desconto bancário. Somente poderemos adicionar as duas taxas se elas se 
referirem à mesma unidade de tempo.
4.3 Aplicações
a) Calcule a taxa efetiva e o desconto simples comercial de um título com valor nominalde 
R$ 1.000,00 em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 1.000
n = 3
i = 4/100
Aplicando a fórmula de cada parâmetro solicitado, temos:
d = N . i . n
d = 1.000 . 
4
100
. 3 = R$ 120,00 
if
d
Vdn
= ==
−. ( ).
,
120
1000 120 3
0 04545 ao mês, ou, em percentagem, 4,55% a.m. 
Resposta: o desconto comercial e a taxa efetiva foram, respectivamente, R$ 120,00 e 4,55% a.m.
b) Um título com valor nominal de R$ 245,00 foi descontado em uma antecipação de quatro meses, 
sendo beneficiado com um desconto simples comercial de R$ 35,00. Determine a taxa de desconto 
utilizada nessa operação e a taxa efetiva.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 245
n = 4
d = 35
Começaremos pela fórmula do desconto comercial:
d = N . i . n
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35 = 245 . i . 4
i = 
35
245 4.
 = 0,03571 ao mês, ou, em percentagem, 3,57% a.m. 
Aplicamos em seguida a fórmula da taxa efetiva:
if = i/(1 - in)
Substituindo os valores, temos:
if = 3,57/(1 - 
3 57
100
,
 . 4) = 4,16% a.m. 
• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica:
 3,57 ÷ (3,57 x 4 ÷ 100 - 1) =
 observação
Novamente, desconsideramos o sinal negativo, ocasionado pela 
inversão do - 1.
— Calculadora RPN (HP12C):
 3,57 ENTER 3,57 ENTER 4 x 100 ÷ 1 - ÷
O sinal negativo foi provocado pela inversão da operação. 
Resposta: as taxas de desconto e efetiva são, respectivamente, 3,57% a.m. e 4,16% a.m.
c) Determine a taxa efetiva e o desconto simples bancário de um título com valor nominal de 
R$ 1.000,00 em uma antecipação de cinco meses, à taxa de desconto de 2% ao mês, com uma taxa 
administrativa de 1%.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 1.000
n = 5
i = 2/100
h = 1/100
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Nesse caso, devemos aplicar diretamente as fórmulas do que foi solicitado:
db = N . (in + h)
db = 1.000 . (
2
100
 . 5 + 0,01) = R$ 110,00 if = db/Vdb . n = 110/(1.000 - 110) . 5 = 0,0247, em 
porcentagem, 2,47% a.m. 
Para trabalhar diretamente com as taxas, deve-se dividir a administrativa por cinco, reduzindo-a 
para um mês, e adicioná-la à taxa mensal de desconto:
i = (1/5 + 2)/100 = 0,0220 ao mês. 
Aplicando a fórmula da taxa efetiva, temos:
if = I/(1 - I . n) = 0,0220/(1 - 0,0220 . 5) = 0,0247, em porcentagem, 2,47% a.m. 
 observação
Encontramos o mesmo valor com os dois processos de cálculo 
diferentes, validando-os para o cálculo da taxa efetiva. O uso de um 
processo ou outro dependerá dos dados fornecidos pelo enunciado da 
questão.
Resposta: o desconto bancário e a taxa efetiva são, respectivamente, R$ 110,00 e 2,47% a.m.
d) Calcule o valor descontado bancário e a taxa efetiva mensal envolvida na operação de desconto 
de um título de R$ 2.000,00, à taxa de desconto de 3% ao mês, em uma antecipação de quatro meses, 
com a taxa administrativa de 2%.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 2.000
i = 3/100
n = 4
h = 2/100
Aplicando a fórmula do valor descontado bancário:
Vdb = N . [1 - (in + h)] 
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Substituindo os valores numéricos:
Vdb= 2.000. [1 - ( 3
100
 . 4 + 0,02)] = R$ 1.720,00 
Aplicando a fórmula da taxa efetiva:
if = db/Vdb . n 
Substituindo os valores numéricos:
if = (2.000 – 1.720)/1.720 . 4 = 0,0407 ao mês, ou 4,07% a.m.
Resposta: o valor descontado bancário é de R$ 1.720,00, e a taxa efetiva é de 4,07% a.m.
e) Calcule a taxa efetiva praticada em um desconto simples bancário com 3% ao mês de taxa de 
desconto, antecipação de 4 meses e taxa administrativa de 2%.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
i = 3/100
n = 4
h = 2/100
Primeiro, devemos transformar a taxa administrativa de quatro meses em mensal e adicioná-la à 
taxa de desconto, calculando a taxa total desse desconto. 
I = (3 + 2/4)/100 = 0,0350
Como segundo passo, aplicamos a fórmula da taxa efetiva:
if = I/(1 - In)
if = 0,0350/(1 - 0,0350.4) = 0,0407 ao mês, ou 4,07% ao mês
Resposta: a taxa efetiva será de 4,07% ao mês.
f) Uma loja concede noventa dias para seus clientes pagarem suas compras. quem quiser pagar à 
vista receberá um desconto de 15% do valor nominal. Determine a taxa de juros simples efetiva mensal 
à qual está aplicado o capital da loja nesse tipo de financiamento.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
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d = 15% de N
n = 90 dias ou 3 meses
Como se trata de uma operação válida para qualquer valor de compra, podemos estipular uma 
compra com valor nominal de R$ 100,00. Como o percentual de desconto é 15%, você terá:
D = R$ 15,00 (15% de 100) 
Vd = 100 - 15 = R$ 85,00
Aplicando a fórmula da taxa efetiva, temos:
if = d/(Vd . n) 
Substituindo os valores numéricos:
if = 15/(85 . 3) = 0,0588 ao mês, ou 5,88% a.m.
Resposta: a taxa efetiva envolvida nessa operação é de 5,88% a.m.
g) Calcule a taxa de juros simples mensal efetiva associada ao desconto de 20% sobre o valor 
nominal de uma dívida, em uma antecipação de um ano.
Nesse problema, o enunciado está em anos, e é solicitada uma resposta em meses.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
Desconto de 20% do valor nominal
n = um ano, que corresponde a 12 meses
Pensando no valor 100 como referência, uma vez que se aplica a qualquer valor, temos:
N = 100
d = 0,20 x 100 = 20
Vd = 100 - 20 = 80
Aplicando a fórmula da taxa efetiva, teremos:
if = d/Vd . n 
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Substituindo os valores numéricos:
If = 20/(80 . 12) = 0,0208 ao mês, ou 2,08% a.m.
Resposta: a taxa de juros simples mensal efetiva foi de 2,08% a.m.
h) Um desconto simples bancário, em uma antecipação de dois meses, foi calculado à taxa de 
desconto de 27% a.a. mais uma taxa administrativa de 2%. Calcule a taxa de desconto comercial que 
deveria ser aplicada, nas mesmas condições de valor nominal e prazo, para se chegar ao mesmo valor 
descontado.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
I = 27/100
h = 2/100
n = 2 meses
Basicamente, o problema questiona qual é a taxa de desconto simples comercial substituiria as duas 
fornecidas no enunciado.
O raciocínio não é difícil:
A taxa administrativa é de 2% nos dois meses do desconto bancário, o que nos daria uma taxa 
correspondente anual de 12% (6 . 2%).
Se em um ano temos 27% de taxa de desconto mais uma taxa administrativa correspondente de 
12%, teremos 39% a.a. na soma das duas.
Concluímos que usar 27% a.a. mais uma administrativa de 2% nos descontos bancários de dois 
meses é o mesmo que aplicar desconto comercial com a taxa de 39% a.a. 
Resposta: a taxa de desconto comercial será de 39% a.a.
i) Uma dívida com valor nominal de R$ 100,00 foi descontada por R$ 80,00 quatro meses antes do 
vencimento. Calcule a taxa efetiva anual envolvida nessa operação.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
Valor nominal = 100
Valor descontado = 80
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Desconto = 20
Prazo: 4 meses
Como temos todos os dados, podemos aplicar diretamente a fórmula da taxa efetiva:
 if = 20/(80 . 4) = 0,0625 ao mês, ou 6,25% a.m., ou 75% a.a. 
 lembrete
é importante verificar sempre a unidade da resposta solicitada pelo 
enunciado da questão. Nesse caso, pede-se a taxa anual. 
Resposta: a taxa efetiva anual dessa operação será de 75% ao ano.
j) Uma loja de departamentos reluta em dar descontos, oferecendo aos clientes a opção de pagamento 
com cheque para noventa dias. Caso o cliente insista no pagamento à vista com desconto, ganha 10% 
de abatimento sobreo valor nominal. Calcule a taxa de juros simples efetiva praticada nessa operação 
de desconto simples comercial.
Se o cliente tem, à vista, um desconto de 10%, paga 90%. Aplicando a fórmula da taxa efetiva, temos:
if = d/Vd . n
if = 10/90 . 3
i . 100 . 12 = 44,44% a.a.
Resposta: a taxa efetiva foi de 44,44% a.a.
k) O Banco Super cobra 3% de taxa de serviço, justificando que precisa custear sua estrutura 
operacional e, como taxa de desconto simples comercial, emprega 23% a.a. Sendo o valor nominal de 
R$ 5.000,00 com vencimento daqui a quatro meses, calcule o desconto simples bancário e a taxa de 
juros simples efetiva anual.
Temos uma fórmula para o desconto bancário:
db = N . (i . n + h)
Aplicando os valores numéricos, temos:
db = 5.000 . [(0,23/12).4 + 0,03]
db = R$ 533,33 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Temos uma fórmula para a taxa efetiva:
if = db/Vdb . n
Aplicando os valores numéricos, temos:
if = 533,33/(3.000 - 533,33) . 4
Transformando a taxa de unitária mensal em percentual anual, temos:
if x 12 x 100 = 64,86% a.a. 
Resposta: o desconto bancário e a taxa efetiva foram de R$ 533,33 e 64,86% a.a. 
l) Um banco que trabalha com uma taxa de desconto simples comercial de 6% ao mês e uma taxa 
administrativa de 2% sobre um valor nominal de R$ 45.000,00, em uma antecipação de três meses, 
estará remunerando seu capital a que taxa efetiva?
O primeiro passo é calcular o desconto bancário com a sua fórmula:
db = N . (i . n + h) = 45.000 . (6/100 . 3 + 2/100) = R$ 9.000,00
Aplicando a fórmula da taxa efetiva, temos:
if = 
9000
( ).45000 9000 3−
 = 0,0833333 ao mês.
Multiplicando por 100 para repor a porcentagem e arredondando, teremos:
if = 8,33% a.m.
Resposta: esse banco está ganhando 8,33% a.m. de taxa efetiva sobre o capital aplicado.
m) Calcule a taxa efetiva e o desconto simples comercial de um título com valor nominal de 
R$ 2.000,00, em uma antecipação de dois meses, à taxa de desconto de 5% ao mês. 
Trabalhando a partir das fórmulas, temos:
d = N . i . n 
d = 2.000 . 
5
100
 . 2 = R$ 200,00 
if = 
d
Vdn.
 = 
200
2000 200 3( ).−
 = 0,0370 ao mês, ou 3,70% a.m. 
Resposta: o desconto e a taxa efetiva foram, respectivamente, de R$ 200,00 e 3,70% a.m.
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n) Um título com valor nominal de R$ 345,00 foi descontado em uma antecipação de cinco meses, 
sendo beneficiado com um desconto simples comercial de R$ 45,00. Determine a taxa de desconto 
utilizada nessa operação e a taxa efetiva.
Começaremos pela fórmula do desconto comercial:
d = N . i . n
Substituindo os valores numéricos:
45 = 345 . i . 5
i = 
45
345 5.
 = 0,0261 ao mês, ou, em percentagem, 2,61% a.m. 
Aplicando a fórmula da taxa efetiva:
if = i/(1 - i . n) 
Substituindo os valores numéricos:
if = 2,61/(1 - 
2 61
100
,
 . 5) = 3,00% a.m. 
Resposta: as taxas de desconto e efetiva serão, respectivamente, de 2,61% a.m. e 3,00% a.m.
 observação
Se não dividir por 100 a taxa do numerador, a resposta será, 
automaticamente, percentual. 
o) Um posto de combustíveis aceita cheques para trinta dias como pagamento do combustível de 
uma bomba em que está gravado o preço R$ 3,00 por litro. Caso o cliente queira pagar à vista, deverá 
reabastecer em outra bomba cujo visor mostra o preço de R$ 2,80 por litro. Calcule a taxa de juros 
simples efetiva mensal que o posto está cobrando nesse financiamento de trinta dias.
A correção de valores está visível na diferença dos preços para hoje e para daqui a trinta dias. O 
percentual de correção do preço por litro é exatamente a taxa de juros que o posto está ganhando. 
Tudo se passa como se o preço à vista fosse o principal, e o preço para trinta dias, o montante simples. 
Aplicando a fórmula do montante, temos:
M = P . (1 + i . n)
3 = 2,80 . (1 + i . 1)
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i = 3/2,80 - 1 
i = 0,07143 ao mês, ou 7,14% a.m. 
Resposta: o capital do posto está aplicado a juros simples de 7,14% a.m.
p) Um título com vencimento para daqui a dois meses, no valor de R$ 8.000,00, foi descontado por 
R$ 6.375,00 (valor atual comercial). Calcule as taxas mensais de desconto e efetiva praticadas nesse 
desconto.
Solução com as fórmulas do desconto simples comercial e da taxa efetiva:
d = N . i . n
8.000 - 6.290 = 8.000 . i . 2
i = 1.710/(8.000 . 2)
i = 1.710/16.000 = 0,1069, ou, em percentagem, 10,69% a.m. 
if = i/(1 - i . n)
if = 10,69/(1 - 0,1069 . 2) = 13,60% a.m. 
Resposta: as taxas de desconto e efetiva são, respectivamente, 10,69% a.m. e 13,60% a.m.
q) Um banco trabalha com 3% ao mês de taxa de desconto, mais uma taxa administrativa de 
2%, nos descontos de três meses. Calcule a taxa efetiva que remunera o dinheiro da instituição nessa 
operação de desconto. 
Podemos solucionar essa questão de duas maneiras.
1º Método da atribuição de um valor nominal
Nesse caso, como a operação se aplica a qualquer valor, podemos estabelecer R$ 100,00 como valor 
nominal do título. A partir disso, calculamos o desconto:
db = N . (i . n + h)
db = 100 . (0,03 . 3 + 0,02)
db = R$ 11,00
O valor descontado será a diferença entre o nominal e o desconto:
Vdb = 100 - 11 = R$ 89,00
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Aplicando a fórmula da taxa efetiva, temos:
if = 
db
Vdbn.
 = 
11
89 3.
 = 0,04120 ao mês, ou 4,12% ao mês.
2º Método do cálculo da taxa equivalente
Por esse processo, “disfarçamos” a taxa administrativa de taxa de juros e calculamos a taxa total do 
desconto bancário.
A taxa administrativa de 2% em três meses corresponde a 2/3 de taxa ao mês, que deve ser somada 
à taxa de desconto:
Taxa total mensal: 3 + 2/3 = 3,67%.
Relembrando, essa é a taxa total que agrega a de desconto e a administrativa em uma única taxa.
O próximo passo é a aplicação da fórmula da taxa efetiva, em função da taxa total:
if = I/(1 - I . n)
if = 3,67/(1 - 0,0367 . 3) = 4,12% a.m. 
 observação
Os dois métodos conduzem à mesma resposta e apresentam 
características de aplicação em diferentes situações.
Resposta: a taxa efetiva associada a essa operação será de 4,12% a.m.
r) Determine a taxa total anual associada a um desconto bancário de três meses, com uma taxa de 
desconto de 27% ao ano e taxa administrativa de 2%. 
Sabemos que a taxa administrativa não é uma taxa de juros, mas um percentual do valor nominal. 
Podemos, no entanto, transformá-la no mesmo prazo que a taxa de desconto e, adicionando as duas, 
obter a taxa total.
Em três meses, 2% correspondem a 4 . 2 = 8% ao ano (o ano tem quatro trimestres)
A taxa total será 27 + 8 = 35% ao ano. 
Resposta: a taxa total nesse esquema será de 35% ao ano.
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s) Um desconto bancário de R$ 2.500,00 foi praticado em uma dívida no valor nominal de 
R$ 25.000,00, com uma antecipação de quatro meses. Determine a taxa de desconto usada e a taxa 
efetiva, sabendo que a administrativa foi de 2%. 
A solução dessa questão poderá ser encontrada com a fórmula do desconto bancário:
db = N . (i . n + h)
Substituindo os dados, temos:
2.500 = 25.000 . (4 . i + 0,02)
2.500/25.000 = 4 . i + 0,02
0,1 - 0,02 = 4 . i
0,08 = 4 . i
i = 0,08/4 = 0,02 ao mês, ou 2% a.m. 
A taxa efetiva será calculada por sua fórmula:
if = db/Vdb . n
if = 2.500/(25.000 - 2.500) . 4 
if = 0,02778 ao mês, ou efetiva de 2,78% a.m.
Resposta: a taxa de desconto será de 2% a.m., e a efetiva, de 2,78% a.m.
t) Uma financeira tem como principal produto o financiamento de compras a funcionários das 
empresas públicas, com pagamento em desconto direto no holerite e cobrança antecipada dos juros. 
Um funcionário financiou R$ 10.000,00 e recebeu de valor líquido R$ 9.375,00, calculado pormeio de 
desconto simples comercial, para quitar em um único pagamento depois de noventa dias. Com base 
nesses dados, calcule a taxa de desconto simples comercial anual e a taxa efetiva anual de juros simples 
praticada nesse financiamento.
Solução com as fórmulas do desconto simples comercial e da taxa efetiva:
d = N . i . n 
10.000 - 9.375 = 10.000 . i . 90 
i = 625/(10.000 . 90) 
100 . 360 . i = 25% a.a.
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if = i/(1 - i . n)
if = 25/[1 - (0,25/360) . 90] = 26,67% a.a.
Resposta: a taxa de desconto e a efetiva são, respectivamente, 25% a.a. e 26,67% a.a.
u) Uma prestadora de serviços na área de construção civil vende as duplicatas assinadas por seus 
clientes a um banco, segundo o critério de desconto simples comercial, à taxa de juros simples de 23,5% 
ao ano. Calcule o desconto simples comercial e a taxa efetiva desse negócio, para uma duplicata com 
valor nominal de R$ 8.000,00 e vencimento daqui a 90 dias.
Solução:
d = N . i . n 
d = 8.000 . (0,235/360) . 90 = R$ 470,00
if = 23,5/[1 - (0,235/360) . 90] = 24,97% a.a.
Resposta: o desconto e a taxa efetiva são, respectivamente, R$ 470,00 e 24,97% a.a.
v) Uma financeira trabalha com financiamento por meio de desconto simples comercial. Para 
garantir a viabilidade do seu negócio, precisa ganhar uma taxa efetiva de 5% ao mês nos negócios de 
quatro meses. Determine a taxa de desconto que essa financeira deve adotar.
 observação
Nesse caso, didaticamente falando, o problema está invertido, pois é 
dada a taxa efetiva e pedida a taxa de desconto. Contudo, na prática, essa 
é a situação cotidiana, em que os executivos financeiros sabem a taxa que 
devem ganhar nas operações.
Solução:
if = i/(1 - i . n)
0,05 = i/(1 - i . 4)
0,05 . (1 - 4i) = i
0,05 - 0,05 . 4i = i
i + 0,20i = 0,05
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1,20i = 0,05
i = 0,05/1,20
100 . i = 4,17% a.m. 
Resposta: a financeira deverá adotar 4,17% a.m. como taxa de desconto para obter, nos negócios 
de quatro meses, uma taxa efetiva de 5% a.m.
x) O banco Dinheiro Seguro trabalha com uma modalidade de desconto bancário, no financiamento 
do capital de giro das empresas, com taxa de desconto de 4% ao mês e uma taxa administrativa de 2%. 
Calcule o valor descontado bancário para um valor nominal de R$ 34.000,00 em uma antecipação de 
três meses. Calcule, também, a taxa efetiva que remunera o capital do banco aplicado nessa operação.
Fórmula do valor descontado bancário:
Vdb = N . [1 - (i . n + h)]
Substituindo os valores numéricos:
Vdb = 34.000 . [1 - (0,04 . 3 + 0,02)] 
Vdb = R$ 29.240,00 
Fórmula da taxa efetiva:
If = db/Vdb . n
If = (34.000 – 29.240)/29.240 . 3
100 . if = 5,43% a.m. 
Resposta: o valor descontado bancário será de R$ 29.240,00, e a taxa efetiva praticada será de 
5,43% a.m.
Muitos empréstimos ou financiamentos são calculados como operações de desconto, e devemos 
estar preparados para analisá-los também sob esse aspecto.
 resumo
Nesta unidade verificamos inicialmente o campo de atuação e a 
utilidade, na Administração e na vida prática, dos conceitos de Matemática 
Financeira, analisando o valor do dinheiro no tempo. Verificamos como um 
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valor monetário transacionado valoriza-se e desvaloriza-se de acordo com 
o momento dessas transações.
Vimos também as definições fundamentais dos termos envolvidos, como 
os conceitos de juros, taxa de juros, montante e valor futuro. Reforçamos 
os conceitos de preços de compra, venda e lucros, mostrando as relações 
entre estes.
O assunto seguinte foi a capitalização simples, no qual conceituamos 
a variação linear dos capitais e definimos juros simples. Vimos também os 
conceitos de taxas equivalentes e de juros comerciais e exatos. Nas várias 
aplicações apresentadas, aprendemos também o uso inicial das calculadoras 
científicas.
Por último, foram estudadas as várias modalidades de descontos: 
bancário, comercial, “por dentro” e “por fora”. Aprendemos a diferenciar 
os descontos e a calculá-los em todas as suas caracterizações, inclusive as 
taxas efetivas.
Na Unidade I nos preparamos para os conceitos da Unidade II, na 
qual serão introduzidos os cálculos não lineares e a utilização de séries de 
pagamentos. 
 exercícios
Questão 1 (Enade, 2009). Um capital, C, foi aplicado no regime de juros simples durante certo prazo, 
N1, à taxa de 2% ao mês. Após esse prazo, os rendimentos, R1, foram retirados, e o capital restante foi 
reaplicado por outro prazo, N2, ainda sob regime de juros simples, na mesma taxa de juros anterior, 
proporcionando rendimento igual a R2.
Sabendo que o prazo N1 + N2 da operação inteira foi de um ano e que o rendimento R1 + R2 foi de 
R$ 360,00, qual é o valor do capital C?
A) R$ 18.000,00.
B) R$ 10.000,00.
C) R$ 1.800,00.
D) R$ 1.500,00.
E) R$ 1.000,00. 
Resposta correta: alternativa D.
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Análise das alternativas
Justificativa geral: os juros simples são determinados com a fórmula J = P . i . n, sendo J os juros, 
P o principal ou o capital, i a taxa e n o tempo.
Na primeira aplicação, o rendimento R1 é dado por R1 = C . i . N1. O capital aplicado é C, a taxa i é 
de 2% 2
100
0 02=



, ao mês e o prazo é N1. Substituindo o valor da taxa, teremos:
R1 = C . 0,02 . N1 (I)
Para obter o rendimento R2 da segunda aplicação, o rendimento R1 foi retirado, e o capital restante 
foi reaplicado pelo prazo N2, na mesma taxa de juros. Então, o mesmo capital C aplicado para ter R1 
está sendo aplicado para obter R2, e a taxa i é de 0,02 ao mês.
R2 = C . 0,02 . N2 (II)
O prazo N1 + N2 foi de um ano. Devemos prestar atenção, porque o valor da taxa é dado ao mês, e 
o prazo é dado ao ano. Portanto, devemos deixar os dois na mesma medida de tempo. Assim,
N1 + N2 = 12 meses (III)
Outra informação dada é que o rendimento R1 + R2 = 360. Vamos substituir R1 pela equação (I) e 
R2 pela equação (II).
R1 + R2 = 360
C . 0,02 . N1 + C . 0,02 . N2 = 360, colocando C . 0,02 em evidência.
C . 0,02 . (N1 + N2) - 360, substituindo N1 + N2 pela equação III.
C
C
⋅ ⋅ =
⋅ =
=
=
0 02 12 360
0 24 360
360
0 24
1 500
,
,
,
.
C
C
Portanto, o valor do capital C é de R$ 1.500,00.
Questão 2 (CESPE – INSS, 2008). Um título de valor nominal igual a R$ 10.000,00 foi descontado 5 
meses antes do seu vencimento à taxa de desconto comercial simples de 4% ao mês. Com base nessas 
informações, julgue os itens subsequentes.
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I – A taxa efetiva mensal dessa operação foi superior a 4,8%.
II – Se for oferecida uma taxa de desconto de 25% ao ano para pagar os descontos comerciais pelo 
prazo de três meses, será interessante aceitar, porque a taxa efetiva será menor.
III – Se a financeira optasse pelo desconto simples bancário com a mesma taxa de desconto de 4% 
ao mês, no negócio de 4 meses, o valor do desconto bancário simples seria de R$ 2.250,00. Para essa 
situação, a taxa administrativa da financeira deve ser inferior a 2% ao mês.
IV – Na opção pelo desconto simples bancário, a taxa total anual seria de 35% ao ano, associada ao 
desconto bancário de 4 meses, com uma taxa de desconto de 27% ao ano e taxa administrativa de 2%.
Assinale a alternativa correta:
A) As afirmativas I e II estão corretas.
B) As afirmativas I e III estão corretas.
C) As afirmativas II e IV estão corretas.
D) As afirmativas III e IV estão corretas.
E) As afirmativas I, II, III e IV estão corretas.
Resolução desta questão na plataforma.