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CÁLCULO: 
LIMITES DE 
FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS
Mariana Sacrini Ayres Ferraz 
Aplicações de derivada: 
aproximação linear 
e aplicações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Analisar gráficos de aproximação linear.
 � Calcular grandezas que caracterizam certo sistema.
 � Aplicar o conceito de derivada em problemas relacionados às 
engenharias.
Introdução
As derivadas, dentro da sua vasta gama de aplicações, são utilizadas para 
encontrar aproximações lineares de funções em geral. Essa aplicação é 
bastante importante para simplificar funções complexas durante mode-
lagens. Outra função das derivadas, bem-utilizada na prática, é a análise 
da propagação de erros em medidas realizadas durante experimentos.
Neste capítulo, você verá como encontrar aproximações lineares de 
funções, calcular as grandezas a partir de valores medidos com erro, 
assim como analisar a propagação desse erro, com diversas aplicações.
Aproximação linear
Suponha uma função f diferenciável no ponto x0. Se você aproximar o gráfico 
dessa função para um intervalo em x muito próximo de x0, verá esse trecho 
como um segmento de reta. Na Figura 1, a função y = f(x) = x2 + 1 foi ampliada 
em trechos centrados nos pontos P(x0, f(x0)). Observando as ampliações, você 
pode notar que os trechos se assemelham a um segmento e uma reta, mesmo 
que o gráfico seja de uma função não linear. Assim, podemos dizer que uma 
função diferenciável em x0 é localmente linear em x0 (ANTON; BIVENS; 
DAVIS, 2014).
Figura 1. Ampliações em diversos pontos da função 
f(x) = x2 + 1.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 212).
A reta que melhor aproxima localmente o gráfico em torno do ponto 
P(x0, f(x0)) é a própria reta tangente a esse ponto. Lembre-se de que a derivada 
em um ponto é a inclinação da reta tangente no mesmo ponto. Assim, a reta 
aproximada pode ser escrita como:
Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações2
Portanto, para os valores de x que são próximos a x0, pode-se aproximar 
os valores de f(x) por:
Essa aproximação é chamada de aproximação linear local de f em x0. 
Podemos reescrever essa equação usando o incremento ∆x = x – x0. Assim:
Encontre a aproximação linear local da função f(x) = em x0 = 1.
Primeiro, temos que achar a sua derivada. Assim:
Agora, a aproximação linear local de em x0 é:
3Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações
A aproximação no ponto x0 = 1 é, então:
Veja, a seguir, uma figura mostrando a comparação entre a função e sua aproximação 
linear local.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 212).
Poderíamos usar o exemplo mostrado para encontrar a aproximação linear 
em algum ponto próximo de x0. Veremos quanto daria por meio da aproximação 
do ponto x = 1,1. Substituindo esse valor na equação aproximada, encontrada 
no exemplo, ficamos com:
Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações4
Como o gráfico da aproximação ficou acima da função, podemos esperar 
que essa aproximação superestime o valor real. Para comparar, podemos 
utilizar o valor encontrado em uma calculadora. Nesse caso, chegaríamos ao 
resultado , ou seja, um pouco menor que a aproximação feita, 
conforme o esperado.
Embora o exemplo dado tenha sido de uma função simples, cujos valores podem 
ser facilmente encontrados com o uso de uma calculadora, o principal uso dessas 
aproximações lineares é para funções mais complexas. Essas aproximações são muito 
utilizadas em modelagens, nas quais se consegue expressar funções complexas por 
funções mais simples.
Erro na aproximação linear local
A aproximação linear local apresenta uma precisão que é diminuída à medida 
que x se afasta de x0. O valor absoluto do erro da função aproximada é dado por:
e é maior para valores de x mais distantes de x0. Por exemplo, a função erro 
do exemplo anterior dado seria , e está mostrada 
na Figura 2, a seguir.
5Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações
Figura 2. Função erro E(x) da aproximação linear local da função f(x) = em x0 = 1.
Usa-se o valor do erro para estimar um limite para o uso da aproximação 
linear. Por exemplo, podemos fixar o intervalo de x para que o erro fique 
restrito a ±0,01.
Diferenciais
Geralmente, quando estamos falando de derivadas, o termo dy/dx é visto 
como uma entidade única, em que dy e dx são chamados de diferenciais. Mas, 
também podemos tratar dy/dx como uma razão. Para tal, seja f diferenciável 
em um ponto x, dx pode ser definida como variável independente que pode 
ter qualquer valor real, e dy será dada por:
Se dx ≠ 0, podemos escrever:
Pode-se dizer, então, que dy = f'(x)dx expressa = f'(x) de forma diferencial.
Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações6
Expresse a derivada da função y = x2 em relação a x em forma diferencial.
A derivada da função é dada por:
Expressando em forma diferencial, ficamos com:
dy = 2 x dx
É importante saber a diferença entre o incremento ∆y e o diferencial dy 
Para isso, suponha que dx = ∆x. Assim: 
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
E dy é a variação da derivada, ou seja, da reta tangente em x. Veja a Figura 3, 
a seguir.
Figura 3. Diferença entre as quantidades dy e ∆y.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 214).
7Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações
Dada a função y = f(x) = , encontre as expressões para ∆y e dy. Use dx = ∆x.
Primeiramente, encontraremos o incremento ∆y. Assim:
Agora, vamos buscar pelo diferencial dy:
Aproximação linear local do ponto de vista diferencial
Embora as quantidades ∆y e dy sejam diferentes, como mostrado na subseção 
anterior, a quantidade dy é ainda uma boa aproximação para ∆y, contanto que 
∆x seja próximo de zero. Assim:
Se dx = ∆x, podemos escrever que:
Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações8
Cálculo de grandezas
Quando medimos alguma quantidade física, ela vem acompanhada de algum 
erro. Uma das fontes do erro vem do próprio equipamento de medida, além de 
outras fontes, como as ambientais (CRUZ; FRAGNITO, 1997). Um exemplo é 
a medida da altura de uma pessoa dada por 171 ± 0,6 cm, o que implica que ela 
está em algum valor entre 170,4 cm e 171,6 cm. O valor antes do símbolo ± está 
relacionado à exatidão da medida, e o valor após o símbolo ± está relacionado 
à precisão da medida. Veja o esquema mostrado na Figura 4. Este esquema 
é bastante usado para exemplificar a diferença entre exatidão e precisão. Em 
uma brincadeira com alvo, a ideia é acertar o seu centro. Assim, no primeiro 
caso, todas as tentativas estão longe dele, ou seja, há baixa exatidão; mas estão 
concentradas em uma pequena região, ou seja, de alta precisão. No segundo 
caso, as tentativas estão longe do centro e espalhadas, assim, baixa exatidão 
e baixa precisão. Já no terceiro caso, as tentativas estão bastante próximas do 
centro, ou seja, alta exatidão; e elas também estão concentradas, ou seja, alta 
precisão. Com esse exemplo, pode-se ver que a exatidão está relacionada à 
possibilidade de se conseguir medir o valor esperado real, enquanto a precisão 
está relacionada em conseguir repetir suas medidas e chegar a valores próximos, 
ou seja, com baixo desvio. Observe a Figura 4, a seguir.
Figura 4. Precisão e exatidão.
Fonte: Cruz e Fragnito (1997, p. 14).
9Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações
Às vezes, essas medidas são utilizadas em cálculos de outras grandezas, o 
que leva a uma propagação de erros para essas grandezas calculadas. Assim, 
devemos também encontrar a estimativa do erro para elas. Para isso, pode 
ser utilizada a aproximação linear local (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
Desse modo, suponha que:
 � x0 é o valor exato da quantidade sendo medida;
 � y0 = f(x0) é o valor exato da quantidade sendo calculada;
 � x é o valor medido de x0;
 � y = f(x) é o valor calculado de y.
Definindo que:
 � dx(= ∆x) = x – x0 seja o erro na medição de x;
 � ∆y = f(x) – f(x0) como o erro propagado de y.
Temos que:
Mas, o valor de x0 não é conhecido.Assim, na prática, é utilizado o valor 
de x no lugar de x0. Ou seja, ficamos com:
Suponha que queiramos encontrar o valor da área de um quadrado. Para isso, medimos 
esse lado com uma régua. Dado que a medida obtida seja de 10 cm, com erro de 
medição de ± cm, qual é o erro da área do quadrado?
Digamos que x seja o valor exato do lado do quadrado, e y a área exata. Assim:
Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações10
Derivando y em relação a x, temos que:
Assim:
Substituindo o valor de x, obtemos que:
O erro dado foi de ± cm. Isso significa que:
Multiplicando a desigualdade por 20, ficamos com:
O que é equivalente a:
Portanto, o valor do erro propagado na área calculada está entre ±1 cm2.
Se a medida de uma quantidade q gera o erro ∆q, o erro relativo da medida 
é dado por ∆q/q. Se for expresso em porcentagem, ∆q/q é chamado de erro 
percentual. Na prática, o valor real de q é desconhecido. Assim, usa-se o valor 
medido ou calculado de q, cujo erro relativo será dq/q.
11Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações
Aplicações na engenharia
As derivadas e suas propriedades apresentam diversas aplicações em enge-
nharia, assim como em diversas outras áreas — física e análise de dados, por 
exemplo. Nesta seção, veremos alguns problemas aplicados.
Problema 1
Muitos problemas podem ser simplificados usando aproximações lineares 
(STEWART, 2007). Por exemplo, a aceleração tangencial de um pêndulo é 
dada por aT = –g sen(θ), o que é necessário para se obter seu período. Para 
pequenas oscilações, podemos substituir a função seno pela sua aproximação 
linear local. Encontraremos a aproximação linear da função seno em torno 
de x0 = 0. Assim, temos que:
Substituindo o valor de x0, encontramos que:
Portanto:
Assim, a aceleração tangencial ficaria escrita como:
para θ próximo de zero. A Figura 5, a seguir, mostra a aproximação linear e 
a função em torno de zero.
Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações12
Figura 5. Função y = sen(x) e sua aproximação linear 
local y = x em torno de x = 0.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 213).
Problema 2
Suponha que sua indústria esteja produzindo esferas de acrílico para uso em 
laboratório e espera que elas tenham seu volume com erro percentual de até 
1%. Os raios foram medidos, e obtidos o valor de 21 m e erro de 0,05 m. Essas 
esferas apresentam erro relativo abaixo de 1% no volume? 
Se o raio da esfera for r, o volume é dado por V = π r3. Se o erro na 
medida do raio for denotado como dr = ∆r, o erro calculado em V será ∆V, o 
qual pode ser aproximado pelo diferencial:
O erro relativo é dado por:
13Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações
Substituindo os valores, encontramos que:
Portanto, as esferas apresentam erro relativo no volume abaixo de 1%.
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
CRUZ, C. H. B.; FRAGNITO, H. L. Guia para física experimental: caderno de laboratório, 
gráficos e erros. Campinas: Instituto de Física da UNICAMP, 1997. Disponível em: https://
www.ifi.unicamp.br/~brito/graferr.pdf. Acesso em: 22 out. 2019. 
STEWART, J. Single variable calculus. 6th ed. Pacific Grove: Books/Cole, 2007.
Aplicações de derivada: aproximação linear e aplicações14