1_4963238785346175317

Prévia do material em texto

FUNÇÕES 
NUMÉRICAS 
CIP-Brasil. Catalogaço-na-PubIicaço 
Câmara Brasileira do Livro, SP 
Alencar Filho, Edgard de, 1913- 
A355f 	Funções numéricas / Edgard de Alencar Filho. - São Pau- 
lo : Nobel, 1985. 
Bibliografia. 
ISBN 85-213-0328-9 
1. Funções numéricas 1. Título. 
17.CDD-510 
85-1242 	 18. 	-511.33 
índices para catálogo sistemático: 
1. Funções numéricas : Matemática 510 (173 511.33 (18.) 
Edgard de Alencar Filho 
Ex-professor de Geometria Analítica e Cálculo 
da Escola Militar do Realengo e de 
Matemática da Escola Preparatória de São Paulo 
FUNÇÕES 
NUMÉRICAS 
© 1985 Livraria Nobel S.A. 
LIVRARIA NOBEL S.A. 
Rua da Balsa, 559 
02910 - SÃO PAULO - SP 
É proibida a reprodução 
total ou parcial desta obra (Lei 5998/73), 
sem a permissão por escrito dos editores. 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
Sumário 
CAPÍTULO 1 - FLHS NOcÕES F1*FPWNTAIS 
1.1 	Conceito de função ..................................3 
1.2 	Notações .. ...........................................4 
1.3 Domínio, contradomínio e imagem de uma função ...... 5 
1.4 Exercícios resolvidos ..............................6 
1.5 Determinação do domínio de uma f'unção numérica ......8 
1.6 Exercícios resolvidos ............................• 9 
1.7 Gráfico de uma função numérica ....................11 
1.8 Conjunto das funções de A em B ....................12 
1.9 Coincidência de duas funções .......................12 
1.10 Igualdade de duas funções ...........................13 
1.11. Restrição de uma função ............................ 14 
1.12 Prolongamento de uma função ..........................15 
1.13 Funções de duas variáveis ..........................16 
1.14 Exercícios resolvidos .............................20 
Exercícios propostos ...............................23 
CAPÍTULO 2 	F1)1ÇS ESPECIAIS 
2.1 	Função constante ....................................33 
2.2 Função idêntica ...................................34 
2.3 Função de inclusão ...................................35 
2.4 Função característica .............................. 	35 
2.5 Função de escolha 	................................ 37 
2.6 Função projeção '................................... 	38 
2.7 Função modular .........................................40 
2.8 Funçãosinal ..........................................40 
2.9 Função maior inteiro .................................41 
2.10, Função em escada ....................................42 
2.11 Exercícios resolvidos ................................ 43 
Exercícios propostos ...................................44 
TILO 3 - QLJALIDACES DAS FWÇES 
3.1 Qualidades de uma função ..............................46 
3.2 Função sobrejetora ..................................46 
3.3 Exemplos de funções sobrejetoras ......................47 
3.4 Função injetora ......................................49 
3.5 Exemplos de funções injetoras ........................50 
3.6 Função bijetora .........................................51 
3.7 Exemplos de funções bijetoras ........................51 
3.8 Permutação de um conjunto ............................ 53 
3.9 Paridade das funções numéricas .................... 55 
3.10 Funções periódicas .................................. 58 
3.11 	Funções monótonas ..................................... 59 
3.12 Acréscimo da variéve) e da função. Taxa de acréscimo 	61 
3.13 Conjuntos limitados ....................................62 
3.14 Extremos inferior e superior ....................... 63 
3.15 Funções limitadas ...................................65 
3.16 Extremos de uma função ........................... 66 
3.17 Conjunto dos números reais ampliado ..................68 
3.18 Exercícios resolvidos .................................69 
3. 19 Equações com uma incógnita .............................74 
Exercíciospropostos ................................77 
CAPITULO 4 - cC*OSIÇO DE WNÇ1ES 
4.1 Função composta de duas funções 	 84 
4.2 Composição de uma função com a identidade ...........90 
4.3 4ssociatividade da composição de funções .............91 
4.4 Composição de funções sobrejetõras .................. 93 
4.5 Composição de funções injetoras .....................93 
4.6 Composição de funções bijetoras ......................94 
4.7 Função composta de um número finito de funções .......96 
4.8 Exercícios resolvidos ................................97 
Exercícios propostos ...................................102 
CAPÍTULO 5 - FI14ÇiES INVERÍVEIS 
5.1 Relação inversa de uma função ......................107 
5.2 Função inversível ....................................108 
5.3 Propriedades das funções inversíveis ............... 110 
5.4 Inversas laterais de uma função .....................113 
5.5 Exercícios resolvidos ................................117 
Exercícios propostos ..................................122 
CAPÍTULO 6 - IMAL»1 DE LJ4 CONJUNTO POR 114A F1R'1ÇlO 
6.1 Imagem de um subconjunto do domínio de uma função 	124 
6.2 Propriedades da imagem direta .......................126 
6.3 Imagem de um subcônjunto do domínio de uma função 
composta ............................................130 
6.4 Função de conjunto associada a uma função ...........130 
Exercícios propostos ................................133 
CflPfTU.o 7 - IMACEM DIVERSA DE 1f4 CONJIJ4T0 PÔR UMA FUNÇÃO 
7.1 Imagem inversa de um subconjunto do contradomínio de 
umafunção ........................................136 
7.2 Propriedades da imagem inversa ......................138 
7.3 Imagem inversa de um subconjunto do contradomínio de 
umafunção composta ................................140 
7.4 Relações entre as imagens direta e inversa ..........141 
7.5 Função inversa de conjunto associada a uma função 143 
Exercícios propostos ................................144 
CAPÍTULO 8 	- 	 OPERAÇS COM FLJ'IÇCiES REAIS 
8.1 Função 	real 	........................................ 147 
8.2 Adição 	de 	funções 	reais ............................ 147 
8.3 Adição de uma função real com um número real 147 
8.4 Subtração de 	funções reais . ........................ 148 
8.5 Multiplicação de funções reais 	................... 148 
8.6 Multiplicação de uma função real por um número real 148 
8.7 Divisão 	de 	funções 	reais 	.......................... 149 
8.8 Inversa 	de 	uma 	função 	real 	............................. 149 
8\9 Potenciaça 	de 	funções 	reais... ..................... 150 
8.10 Valor absoluto de uma função real .................. 150 
8.11 Exercicios resolvidos 151 
8.12 Propriedades das operações com funções reais 153 
8.13 Exercícios 	resolvidos ............................... . 155 
Exercícios 	propostos 	............................... 159 
CAPITULO 9 - SEIJÊNCIAS 
9.1 Seqüência 	 160 
9.2 Èxemplos de seqüências 	 161 
9.3 Igualdade de duas seqüências .......................163 
9.4 Seqüências monótonas ..............................164 
9.5 	Seqüências periódicas ..............................164 
9.6 	Seqüências aritméticas ...............................16 
9.7 	Seqüências geométricas ............................166 
9.8 Operações com seqüências reais .....................167 
99 	Exercícios resolvidos .............................. 	169. 
Exercícios propostos ................................171 
CAPITULO 10 - FAMÍLIAS 
10.1 Família de elementos de um conjunto 	................ 173 
10.2 Família de conjuntos 	.............................. 174 
10.3 Família de subconjunto de um conjunto 	............. 175 
10.4 Reunião de uma família de conjuntos 	............... 176 
10.5 Interseção de uma família de conjuntos 	............ 177. 
10.6 Produto de uma família de conjuntos 	............... 180 
Exercícios propostos 	.............................. 182 
CAPITULO 11 - PROPRIEDADES DAS OPERAÇCiES COM FAMÍLIAS 
11.1 Propriedades da reunido e da interseção de 
famílias............................................183 
11.2 Imagem da reunip e da interseção de. uma família 18911.3 Imagem inversa da reunião e da interseção de uma 
família ............................................190 
cfi L.L0 12 - F1RIÇES POLINOMIAIS 
12.1 
	
Função 	linear ....................................191 
12.2 Funçãoafim .......................................192 
12.3 Função quadrática ..................................194 
12.4 Gráfico da função qüadrática .............. 194 
12.5 Forma canônica da função quadrática ...............194 
12.6 Imagem da função quadrática ....................... 195 
12.7 Raízes da função quadrática .........................196 
12.8 Sinais da função quadrática .........................198 
12.9 Função polinomial .....................................200 
12.10 Função racional ....................................201 
12.11 Função irracional .................................202 
12.12 Função algébrica ..................................202 
12.13 Função transcendente ..............................204 
Exercíciospropostos ............................... 205 
CAPITULO 13 - FUNÇÕES EXPERIMENTAL E LOCARÍTMICA 
13.1 	Função exponencial ..................................206 
13.2 Propriedades da função exponencial ................206 
13.3 Gráfico da função exponencial .....................207 
13.4 Função logarítmica ...............................208 
13.5 Sistemas de logaritmos ............................ 209 
13.6 Propriedades da função logarítmica ...............210 
13.7 Gráficoda função logarítmica ....................212 
13.8 Cologaritmo .......................................212 
13.9 Propriedades operatórias dos logaritmos ..........213 
13.10 Mudança de base ..................................215 
13.11 Exercícios resolvidos ............................216 
Exercícios propostos .............................219 
CAPÍTULO 14 - CCN3J4TOS E(JIPOTENTES. CONJUNTOS FINITOS 
14.1. 	Conjuntos eqüipotentes 	 .221 
14.2 	Exemplos de conjuntos eqüipotentes ............. 	222 
14.3 	Conjuntos finitos e infinitos ....................224 
14.4 	Exercícios resolvidos ...........................225 
Exercíciospropostos ............................229 
cnpíiito 15 - cot&iros ENUMERÁVEIS 
15.1 Conjuntos enumeráveis 	............................. 230 
15.2 Exemplos de conjuntos enumeráveis 	................. 230 
15.3 Propriedades dos conjuntos enumeráveis .......... 232 
15.4 Conjuntos no enumeráveis 	....................... 235 
15.5 Exercícios 	resolvidos 	............................ 236 
CRPÍTLLÔ 16 - MS CRDINAIS 
16.1 Número cardinal de um conjunto .................. 238 
16.2 Hipótese do contínuo 	............................. 241 
16.3: Adiço de números cardinais 	...................... 242 
16.4 Multiplicação de números cardinais .............. 244 
16.5 Potenciaçâo de números cardinais . ..................245 
16.6 Exercícios resolvidos 	............................. 246 
Exercíciospropostos 	.............................. 249 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............... 250 
266 
Prefácio 
Este pequeno livro destina-se a estudantes e também a leitores que, 
por necessidade ou inclinação, dêsejam ampliar conhecimentos de Ma-
temática adquiridos no Ginásio. Nele são abordados tópicos fundamen- 
tais pertinentes ao estudo descritivo da "Funções numéricas", 	tais 
como Qualidade e Composição das funções, Funções inversíveis, 	Ima- 
gens direta e inversa de um conjunto por uma função, Operações com 
funções reais, Seqüências e Famílias, Funções polinomial, exponen-
cial e logarítmica, bem como temas afins. 
Em cada um de seus capítulos os conceitos são definidos com preci-
são, as proposições são demonstradas com rigor, acompanhadas de 
"Exemplos" esclarecedores e de "Exercícios" resolvidos e propostos, 
os quais facilitam e testam a aprendizagem e, por vezes, complementam 
o texto do Capítulo correspondente. 
Finalizando, saliento que o estudo da Matemática contribui para uma 
boa formação do espírito, exercita singularmente a atenção, desen-
volve a vontade ao mesmo tempo que a capacidade de raciocinar corre-
tamente, e dá hábitos de paciência, de precisão e de ordem, que são 
qualidades indispensáveis ao bom desempenho de qualquer atividade. 
EDIGPRD DE ALENCPR FILHO 
1 
Funções: Noções Fundamentais 
1.1 CONCEITO 	FUMO 
.Definiç.o 1.1 Sejam A e 8 doi, conjuntos e ? um subconjunto , da 
produto cartesiana A x 8(fC A x 0. Diz-se que L é u' funcio de 
A em 8 se e somente se pari todo elemento x de A existe um GnIco 
elemento y de 6 til que o par ordenado (x,y)€f. 
-Consoante esta deftniçi,tada fimcio f de A em 8 é uma relecio 
te f de A em 8,cujo domfnio D(f) w A e tal que toda elemen-
to x€A esta relacionado com um 4níco elemento yEj6. 
Assia,p.ex,ssjam os. conjuntos 
A {a,b,c.d,e} 	e 	6 {19 2 9 3 9 } 
m.Q subconjunto de A x 6 : 
f 
uma 122emo ? de A em 8. 
Obeerve-ae que na representoço desta funçio f por um dia grama es- 
A 
(1) cde elemento de A 	 du ua unicaí flecha ; 
(2) todo elemento de 6 no & necessariamente extremidade de flecha ; 
9 
(3) um mesmo elemento de B pode ser extremidade da .mais de uma fle-
cha. 
1.2 NOTAÇES 
-Lima ?unço f de A em $ indica..* pela notaço : 
f:A—'B 
que se lê 'funco L definida em A com valores 
-Para cada elemento x de Ao única elemento y de 8 tal que (x,y)€.f 
representa-se por f(x),isto ,escreve-se y - f(x) para indicar que 
(x,y)€f,e diz-se que 9f(x) é a Imagem de x pela funço r ou que 
f(x) í o valor da funço f no elemento x. Com esta notaço : 
f 	j. xEA e y f(x)} 
ou seja : 
f ui{(*,f(X)) 1 xEA} 
-Também se usa a nataçio 
x —* f(x) 
pare indicar que f(x) é a immoem de um elemento Qenrico x de A pe-
la funço f : A 	B. 
-Uma funço f : A —+ $ tal que o conjunto 
A .{a1pa2....,a,} e f(a) . b1€8 , i - 
tambIIL se indica pela notsçio de duas linhas $ 
(a1 *2 a5 
f- 1 
b1 b2 eco b5 
4 
.AesLm,p.ax. : 
•Ii 2 3 li 5 
t- 1 
i 9 16 25 
deetni e funço : 
f : {1 9 2 9 39 4 0 5} -* 8 
tal que 
f(l) . 1 , f(2) It , «3) - 9 , « 1.) 16 o «5) - 25 
Iate édefInida par f(x) - 2 para toda xE{l2,3,4,5} . 
-N O 1 A. ?ams função f : A—+8 cumpre distinguir bem a signifi-
cado das efmbolas x , f(x) e f ,paia, x é elemento de A(xEA),f(x) 
clemente de B(f(x)€B),s L um subconjunto do produto cartesiana 
Ax8(fCAxB). 
elesentas de A chama-se isaQ~ dafunça 	indica-ae par f(A).Pia 
tsnto,ataba3ic..ente $ 
f(A) a{f(x)€B 1 xEA) 
.Obviamente f(A) é es subconjunto de 5 z f(A)CB. 
ETTTTiE. 
8aCd(f) 
-Na caso Importante e. que A e 8 do •ubcpniuntoa de R(conjunto daa. 
numera* reaia),diz-se que f í usa ?unco 	a! vari&vel !! 	OU 
que 	usa funco numzice. 
1 0 EXERCIOS RESOLVIDOS 
1. Sejas o. conjuntas A - {1 92.3} , 8- {1,2} • afunçio $ 
f : P(A)-4P(B> 
definida par f(X) - xfla. Achar o øa*fi,.o cantradaaf ntõ e a jac 
jLqn de 
DC?) - P(A) a {4.{1} 9 {2} 9 {3}.{1 92} 1P {1,31,{2 93}, A} 
Cd(t)e{4),{1},{2},S} 
-Para achar a isagas f(A) de ? cumpre achar a iaa~ de cada es das 
elementos da dusfais DC?) a PCA) de? $ 
f0) -o na - 	 fC {i}) a {i) f)8 {i} 
6 
{2}fl 9 is{ 2} 
.{1,3}flB.{1} 
- {2,3}flS .{2} 	f(*) • Alie • e 
-Portento : 
t(A) •{$,{1}.{2}. e} - P(8) 
-Observa-se que a imagem Ia funço f caincie coa o seu contredemi. 
f(A)-P(a). 
-O dicuraca anoital dente funço f $ PCA)—+P(B) é dedo pele figu-
re: 
2. Sejam os conjuntas A. {1 9 2} , 8 . {1,2 9 3} e a furiçe '1 
f : 	 ­0. 
definida por f(X) - 8 - X. Achar a damfnio.a cantradamf eis e 
-Resoluça : 
D(f) • P(A) a {d1 ,{i}, {2} 9 A) 
Cd(f) - P(8) •{4 9 {1}9{2}.{3},{192}9{193},{293}, a} 
-Para achar e imemem ?(A) de f cumpre achar a imemam de cada um de. 
7 
elementos do doa(nio D(f) - e(A) de f $ 
t(4» - 8 4 8 	 f({l}) - a {i} - 
f({2>) 8 {2} - {1.3} 	f(A) -8 -A - {3} 
..Portento : 
f(A) _{a 9 {29 3},{l,3}{3}} 
o 
-Observese que a imagem deste funçio f e um .ubconjuntu prprio do 
Beli Caflt?edOUL(flta : f(A)CP(B) e f(A) ,1 P(B),s iate significa ser 
o cntradfniaP(a desnecessariamente amplo pari definir f. 
1.5DETERNINACZO DO DOt4NID DE UMR FUNCO NUMÉRICA 
Definir uma furiço f significa,por um lsdo,eapecificar, e domínio e 
o contradomínia de ,e por outro lada,dar, um processe ou uma regra 
que permita determinar, para todo elemento x do domínio de ,a 1!!' 
nem f(*) de pela L. 
-Quando f uma funço numricso processe que geralmente ee una pc. 
ia obter a imagem f(x) de cada elemento * do dom! nio de f consiste 
em dar uma l.XpTeS,0 alpbrica! x. Neste caso,qusndo outras in-
dicaçie. no sejam dadaa,áubentendese sempre que a dom! ai. de 
• domínio de exiatncie da expr.aso slgbrics dada no conjunto R 
dos numeram reats,isto é #a conjunto de todos os valores reais de 
para as quais ao spezaçiea indicadas na expreaso algbrics dada 
podia cci efetuedas(Ragra da domínio m&xies). 
Aasim,p.ex.,e ezpresso elgbrtce Ji em R tem por domínio 
tincta o conjunta R+ das nmeraa reais no negativos,. em N(conjun-
te do. inteiras positivos) tia por domíni. 	,xistncia o conjunta 
dos inteiras positivos que aio gMedíradoa psrfeitoa. 
8 
1.6 EXERCICIOS RESOLVIDOS 
1. Determinar o doafnia da funça numérica ? definida par 
1 
4x - 3 
.Reaoluce s 
.A axpr.aaio algébrica f(x) 95 definida quando 
a 
Iate é4 : x 2~-3 e x 13 , condiçeseataa equivalentes seguinte: 
* . 3. Portanto z 
DC?) 	x 1 x3} J3—[ 
r 
f = {(XI 1INf x -3 ) 1 x3} 
2. Determinar o domtnio da fungo numrica ? , definida por 
f(X)a 
	1 
-Re.oluço : 
.A expreaao a1brtca f(x) ai é definida quando 
xO 	a 
lato é : x.O • z 4 1. Portanto : 
DC?){x1x.O a xf1}aR{l} 
f 	 1) 1 x..o e 
1 
x L' 
9 
39 Determirior o dofn10 do funçio nuo.rice f definido por 
f(x) . F2 + -x_-x-z-", 
* 
.A expreseso o1ebrico
e 	
f(x) e.
e 
 e# definido quando e z'odiconde 
2+x.z2_D 	, ou: (x+1)(x..2)L.O 
isto;: 
(1) x+1U • x.2LO=..1L_x2 
(2) x+1O • x2O==xL...1 a x.2(iopaso!veZ) 
-Portento : 
0(f) .{x 1 ..14xL_2}a [.1.2] 
tut{(x,f 2 +x..x2 ) 	1 x4 2 } 
4. Determinar o domfnto do ?wiço numrico f definido por 
f(x) m f=X + 
.A expreesia slçbrice f(x) o& é defInida quando 
x+20 • !x+ 2.10 
e 
teto.: 
• x..4 • x.12 
csndiçee cotes equivolenteo seguinte : 4.. 1.0, Portento : 
0(f) a{x 1 ..2Z..x0} }.2,03 
10 
f(1)1 e 
-Portento-9 9 Q?tS 	 zic 
feconomista da* quatra pentes 
1 2 * 
(4 e 1) e (O S O) , (l e i) 
e 	 + 2) 1 
141 MAMO K UM FUNdO Mxc 
na figura no ladeio 
11 
1.8 CONJUNTO DAS PLJNÇ&S DE A EM 8 
-Sejam A e 8 dote conjuntos* O conjunta de todas se funçee de A es 
8 indica-se por 8A, Portante,ee ? é uma funca de A em 8,entu f€BA p 
e coas ?CA x 8,eegUese que ?€P(A x 8). Assim eands,isb furas 5jm 
blice i 
8A a{f€P(A x 8) 1 f : .A-8} 
-Consoante a definiço 1,1 de funçic.ei A e 8 eo conjuntas finitos 
com j e w elementes,,espectivsmente,ent;u o conjunta 
8A teme elo. 
centos. 
Asmimp.ex. ,o conjunto {1,2,3} 	de todas au funçEes de {s,b} 
em -(x,2,3} tem 32 9 eiecentos,que eo as funcies 
dadas pela tabele : 
2 f3 f 6 f7 e 
a 1 1 1 2 2 2 3 .3 3 
b 1 2 3 .1 2 3 1 2 3 
-Portento : 
{ L,2,3} - { fll' f2§'--* fg} 
onde f _{a,1,b,1)} , r9 = {e1,b 92)) * etc. 
12 
Li1s 1.1 As ?unçise f,g s A—ø8 d.fInics5 psiu disor.... ir 
oltais : 
rb 	 .2 	 b 	 *2 
	
g&Uâptg 	{b.c} parque *CA s f(b) 	) 
-Eát.s .e..ss f%uIçiss não tnctdss,p.sx.,r. conjunta Y 
CA,ps?que ?(s) - 2 0 3 
1.2 As 	nusrics. : 
f 	 x€i} e o ai{(X*2) 1 x€R} 
cv 4u M(crnjwte doa istetzes p 1tivu),paqus fdCZflR 	. 
?(x) 	(x) - X2 para todo xeIL 
-Entoa sasmas funçes 	coincidea, p.ex. se Z ,porque Z 4 zfl 
14 ISUALDADE DE DUAS ru BffiAIES 
Sejam na fnçies f A—* B e q : C—*D. Diz.e 
que f a JL .s ist. 	crvs-e f - geme e somente se 
A - C. 	e 	?(z) - D(x) para toda xEA 
-Se f - g,ents «A) - (*)CUflD. 
Se e. funçss ir e j3jse jQuaia.dize..se di?erentes,á escreve-se 
t 	, Obviasente,? e a aio ~crentes se e aumente se : A J C ou 
A - C a ?(x) li q(x) para algum x€A. 
13 
_Exempla 1,3 As funçea : 
f a{(l,l)(2,)} 	a 	a{(X,X2 ) 
ao tpuata,f a q,porque têm a mesas dasfota : 0(f) • 0(ç) •{i,z} 
a coincidem em {1 9 2} : f(l) a 1 a 9(1) a f(2) a 4 a 
-Exemplo 1.1, As funçaa f,g R-+R tais que 
	
e 	g(x)ax 
es dtfarente,t ,( g,porque f(-1) a 1 si 4 
para toda XE. 
1.11 RCSTRZC* DE , 	PUIdO 
-Defintca 1.4 Sejam f : A—+S uma furiçs e X um auboanjunta de 
A. Chaaa..ae restrie defi X a funça 9: X—*B tal que g(x) a 
f(x) para todo XEX. 
-Em outras teraaa,a reatrtço de f a X a funça ç de X em 6 que 
coincide com f em X. 
•A reatriçia de f i X indica.se par fXou fx Portanto, a restrt 
U de faX a funço f3X. X—s' 9 definida par IX(x) • f(x) 
para toda xEXo 
o 
imediato 	fX a f(X x 5), 
-Exeapla 1.5 Suja a funÇ;5 da A {a,b.cd} sa 5 • { 1,29 31 * 
f 
.A reatriçia de ? no aubcanjunts X { a.b,c} de A í a funça de X 
ea8: 
fX 
14 
-Exempla 1.6 Seja • fwiça ? z R—ø 	definida par f(x) a x + 1. 
A re.tria de ?aaubconiirnta t de R é a funçia da N a. A 
fIA ={(x ,x2 + 1) 1 zCN} 
ou asja * 
fia M {(1 9 2) 9 (2 9 5) 9 (39 10) 9 ....(n.n2+1) 0 069} 
T A.. Dada ma funçia f,a 	 de f a iia subconjunto da 
seu da.fnts D(?) 	aGrElIc&1sto4.a aparaçie de reatriae é unf vaca. 
1.12 PROLGUANIVÍT DE UMA FIO , 0 
1.5 Seja a ?unçs f : A—+8, Se 	e se JL é urna fun. 
çi. de C e. D que calnelde cem f em Adiz.aa que ja um 
te de faC. 
-ObvIamente o.1 a a !iio de. g 1 
Exempla 107 Seja a funçia de A { a.b.c) em a {1,2,3} : 
t 
.A funçis da C a {a.b.c,d.e}A em D a 
{1
9 2 9 394} z 
a 
*a pro1anamenta de f a C. 
...Aa funçis. de C em D : 
h 
teaba ais pra1anaesntaa de ?s C. 
15 
—Exemplo leS Seja a ?unçs f : N-+• definida por f(*) w x. 
çim 	 definida pez g(x) u 1X1 é um 
Z,porque NCZ e!cotncids cem fe. P4: 	*) f(x) para todo xoÊ 
Exeaple 1.9 Sejam a funçs f : A—ø8 e o conjunta C. que conta 
A(C A). A funçis 9: C.-sS assim definida : 
f(z) se *€A 
(x) 
1 b 	se x€C - * 
senda b um clemente arbitrariamente escolhida no conjunto 8,é um 
1ogsmente de !.!. C. 
1.13 FLINC&S DE DUAS VARIAVEIS 
-Definicia 14 Chama-se funcia a ~ variveis toda funçio 
f : A—PB 
cujo domfnio A o produto cartesiano X x Y de dote conjuntos X e.Y 
ou um 
,
subconjunto desce produto, 
-Portsnto,todo elemento do doafnio A de Jf é um par ordenada (x,y) 
e o valor de ? no elemento (x,y) indica-se por f(x,y) : 
(xy)€A ----*f(x,y)€S 
-Diz-se que x e y aio as duas vari&vaim e que f é uma funça dessas 
duas vcriveia. 
'De modo inteiramente anloço definem-se se funçies de 	___ 
vari áveis. 
-Exemplo 1.10 Sejam os conjuntos A .{l,2} e 8 ft4l,2.3,}. A 
16 
funça 
f : A2 —* 8 
definida por f(z,y) o z + y 	uma funço das duas veri&veia x e y. 
i..D domfnio e o contradom(nio deste funço f 
D(?) = A2 M {u91JU,2 9 C2,1 9 i2 92} , Cd(f) 8 
..Para achar a imagem f(A2) de f cumpre achar a imagem de cede um doe 
elementos de A2 : 
2 	 (x,y) 	f(x,y)ax+y 
f(1 92)-1+2n3 	 (1 9 1) 	 2 
M el) -2+l-3 	 (1 9 2) 	 3 
f(22)c2+2w4 	 (2,1) 	 3 
(2,2) 	 4 
-Portanto : f(1%2) = {29 394}C8. A1m diaso,temos : 
r 
O diagrama aaitel e o grfico cartesiana desta ?unço f eo 
A2 	
8 
((2,2),4) (fç a 
-Ente mea funÇ;Df tambm pode ser representa pelo diarem : 
17 
/4 
Exemplo 1.11 Sejam ,os conjuntos A a.{l,2.3} e 8 a{2,3} . A 
funça 
t : A x B—*Z 
defintds por ?(x,y) a 3x a y é uma funcio das duas v.riv.Ie x e y. 
ao dominio de ? e : 
D(f) a A x 8 a{(l.2)p(1.3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3) 
e o contrmdomfnio í o conjunto Z doe Inteires. 
-Para achar e imagem ?(A x 8) defCumpre achar e imagem de cede um 
doe elementos de A x 8 : 
?(1 9 2) a 3.1 2 - 1 
	
f(193) a 301 - 3 O 
?(2,2) a 3.2 2 a 
	
f(2 9 3) a 3.2 3a 3 
f(3,2) a 33 - 2 a 7 
	
f(39 3) a 33 3 a 6 
-Portento : f(A x 8)a , {l,o,s.,3,7,6}CZ. Além dteso,temae : 
f 
( (2, 3) ,3) ,((3,2),7) , ((3, 3) ,6) } 
-Exemplo 1.12 Determinei' o domínio de ?unçio num érica 1' de dues 
veri&vets definida por 
18 
X 2 V2 
f(x,y) - 	
- 1 
-Resolução ,t 
-A expreosio 919brice f(x,y) 95 #E definida quando 
x2 +y2 9 e y 141 
y 
-Exemplo
o 
 1.13 Determinar o dom!nioda funça numrica f de 14e 
variveia definida por 
•1 	 ax'csen(3z) .x,y,zl 	
+ 
-Resoluçio 
-Como arceen(3z) nÓS & definido quando 13z1L. 1,odomf aio de 
o conjunto de todos os ternos ordenados (x,y,z) tais que o deno-
minador * + p O e I3zI1 : 
0(f) us{(x,y,z) 	x + y. #I O e 
-Aaaim,p.exo z 
ercsen(..1) 
1+2 	 3 	2 	
1,57 
19 
i.l. EXERCCIOS RESOLVIDOS 
1. Mostrar que as funç ões num&ricas ? a g assim definidas : 
f(x) 	2x 1 	e 	g(x) 	+ 1)2 •(x - 2) 2 
aio diferentes e que coincidem no intervalo 
.-Demonatraço 
-As.funçea dadas ? e g têm ambas para doefnio o conjunto R das nt's.. 
meros reais,mae aio diferentes,porque,p.ex. 5 
f(0) - -1 j 3 = q(0) 
-A expressia que define a funçio 9 pode escrever-se 
9(x)-1x+1I+1x-2$ 
o que implica : 
(1) se xZ.al 	g(x) - 	+ 1) 	(x - 2) 	2* + 1 
(2)se-1L.x2: 9(x)a(x+1)-(x-2)a3 
(3)aex.2:9(x)a(z+1)+(x-2)a2xa1 
-Portanto 5 as ?unçes f e ç coincidem no intervalo (2.—10-1— 
2. Mostrar que afunsio numérica f definida par 
f(x) a 2x 2 - 1x+ li + x 
também pode ser definida assim 
(5 	se *L-1 
f(x)al_2x+3 se -1x2 
2x..5 se x2 
e cor,j truir a seu prfice. 
KÊ 
-Demonstreço 
(1) Se zL-1 : ?(x) 	2(x 2) + (x , 1) + * 5 
(2) Se-1x2 : 	(x).2(x-.2)a(x+1 )+x-2x.3 
(3) Se -lã 	: f(x) 2(x 2) (x + 1) + x - 2* - 5 
-Portanto 1 a funçwao! pode ser definida no modo indicada pela enun-
ciado e e seu gráfico ii urna linha poligonal 
3. Determinar es a relaço R C C x C. (C conjunta doe nrneroe cóm 
plexos) definida por (x,y)C.R 4===> Irn(x» Re(y) é uma funça. 
-Resoluça : 
-A rele;o R 1& é uma fuflçp,porque,p.ex. : 
(l,i)€R 	e 	(1921)€fl 
me. 1 - 21. 
o 
-N O T &.- Num nrnero complexo z - a + bi , a e b chamam-ar res-
pectivamente parte real e parte imaginrie de 3S escreve-se : 
a - Rs(z) e 	b m Im(z) 
-Asetm,p.ex.,se a - 2. i,ento : Re(z) 2 e Ia(a)- 1. 
21 
4. Seja e funço num&i,ica de duna verivete d : R 2—.R, definida 
por 
d(x,y) • 1x - vi 
—Demonetrer,pere quaisquer x.y,ZER : 
(1) d(x,y) a Q se e somente es x a y. 
(2) d(x,y) - d(y,x). 
(3) d(x,z)d(x,y) +d(y,z). 
—Demonstraça : 
(1)d(x,y) O se e somente se ix - vi • O ,isto é s x a 
(2) d(x,y) a ix 	yi 	iv - xi a d(y 1 x), 
(3) d(x,z) - ix - zI - ix - y + y z&ix y + IN - ZÉ 
a d(xy) + d(y,z), 
reÀ 
1. Determinar quai, 9 das acquintes relwgea binárias de A 	ovoz 
. 	 a 
f ={UJ)9(W1 
h 
j 
2. Determinar quais das seguintes ae1açes binries es A _{1,2.3,4) 
eis fúncisadeAssA: 
? 
g 
h 
3. Determinar quais doa seguintes diagramas asQitais define use 
A 	 b 
OX 
bo 
A 	 a 
(D (3) 
A 	 0 
ED 
A 	 a 
OX 
(. 
. Seja e funçis f A'— A definida pelo diairema saiital z 
23 
o 1 	 f .1 
(e) Determinar f(1),f(2),f(3) e f(S.), 
(b) Enumerar os elementos de ?. 
5. Seja e funçu f : 1298J_P'R definida por. f(x) = x 1. Calo 
ler ?(5),?(3) a f(t 	3). 
G. Seja e fmço ? 	 definida por f(x) a 2x 	76 Cal- 
cular f(2),f(6) e f(t 2). 
7. Seja a funçeo t : [2,aJ—R definida por f(z) (x l)(z 3). 
Calcular f(4).f(7) , f(4) , ?(f(5)) e f(f(6)). 
8. Enumerar oe elementos de funçio f : {l2.3.s}—*z defini. 
da par\f(x) a x 2 + 2x 1. 
9. Determinar qual doa seguintes perca ordenados 
e (.1,2) aio elementos de funçia h : 
definida por h(x) . x + 3, 
10. Seja e funçio numrica ? anelo definido 
3 se * e racional 
f(x) 
5 se x a irracional 
-Calcular: f() , f(7) , f() , f(2,171717...) e 
24 
11. Seja a funçe nwirica g acata definida z 
	
(x) 	
x2_3x se z,2 
1 *+2 	se ,L11 2 
.Calcular 9(6) • (0) e (-3). 
12. Seja a ?unça numrtce h sesta definida z 
3*- 1 cc x3 
b(z)4x2 -2 se ..2L.zL3 
2x+3 as xL-2 
Ce1cc1aI! : h(2) , h(5) , h(-1) e h(-). 
13. Seja e funç numrica ti acata definida : 
2x + 3 se 
	
b(x) 	x 2 -x sex€[-99] 
1% x-5 se 
-Calcular : M5) • h(11), h(-13) e h(h(7)). 
14. Seja a funçc f : .1,6J—* R acata definida : 
3X - 1 	se -lLxZ_O 
tg(z/2) 	se 
1 *,x2 _2 se 
-Calcular 2 f(1) , f(/2) , f(29W3) • f(li) • e ?(6). 
15. Seja a funça ? z ]1,3J—cR acata definida : 
25 
f 3* 
?C*) 	 se O.xL-1 
1 3x -1 se 
.uCe1rndsz' a ?(2) 9 f(D) o f(112) , ?(4/2) 
16, Use .tmia numadefinida por f(*) ex2 + bx + c & tel que 
f(0) 5 a f(4) 10 e f(1) M 6. Determinar 	 e 
V. Use affão. nustcs L é tel que f(*) 	e. Determinar 
beede que ?(e = 1) = e3 20 
18. A fuç 	ertce f definida per f(x) ex + b 9# tel que f(2) 
7 e f(3) 12. Celcuisr e velar de f(1).f(1)0 
199 Seja e funçie f : —*Z definida per f(x) w x2 2* + 3. De-
terminar e inteira u tel que f(n 1) f(n + 1). 
20. Scj 	! 	 c?definida per ^X + 1) 	2 3* + 2, 
Determinar f). 
210 Dete14nar a 1.9%.wa dcc funçies f g g 	 defInIdaz palea 
jses analtala 3 
220 
t 	+ 1) 1 
23. Determinar a lenom dai aauintaa funak. sa,aricam * 
f 	 *€ }• 
1* e{Cx.x2 + 1) 1 x€. R} 
24. Detarinar a i.aae. de furç . r : {.119929597 } --* R definida 
25. Determinar- a Limei da funçe f * {4.2,..1,O,1 02} —i R defini.. 
da por ?(x)-312 --- 3. 
26,uma funçia L a,definida par f(x) 2x.. 1 e a me teia.m a a 
canjento {..1 9294} . Achar o duabiic da f. 
27. Dstsz.inar a Laica de cade ima dai funçsa M~EIGGE aaata 
definida. : 
(e) f(z) 	 (h) (x) - X2 
Cc) h(z) e x 3. 1 	 (d) k(x) - coax 
259 Sej~ am conjuntas Aa{0.1 92} e s e{3.1,}. Determinar a 
a t.aaea da funça L aula definida : 
1* as xI 
2. Seja a !!nca risariia .L definida par ?(* 	x2 D*ral 
27 
nar f(x • 1). 
30. Dar a expressa algbrics que define cada uma das seguintes fun 
£.!± numricsa : 
(a) funço f associa a todo nmero real positiva o seu cuba e essa -
ela aos demais nsmeras reais o inteira 7 
(b) funçø g associa a todo namero real maior ou igual a 5 o seu 
cuba e aos demais nmeros reais associa o quadrado de ceda um deles; 
(c) funça ti associa a todo nmero real mo negativo a sue rala 
quadrada e aos demais nmeros reais associe a valor absoluto de ca-
da um deles. 
31. Determinar o doafnio de cede uma das funçhs numricas assim de- 
finidas : 
(a) f(x) aJ3 
(c) h(x) 
(e) g(x) u.J.(x2 	9)2 
(g) f(x) - x fx-2 —: - X--' 
(b) g(x) - 1I(x 5) 
(d) f(x) 4..(x 3)2 
(f) h(x) 	- 
(ti) g(x) 	 f--' 
32. Seja a função numrica L definida por f(x) a 1x1+ Ix li. 
Í 2x+ 1 se xLD 
(a) Mostrar que f(x) a 	1 	se 0xL.1 
2x-1 se 
o 
(b) Construir o gr&fico de f. 
33. Determinar o dam(nio e a inauem da funçio num érica L definida 
por f(x) a 
1*1 + 1 
28 
31. Construir os grficos das fungas numricas f e insto defini-
das: 
3se x-2 
1 se -2LxL.1 
se xi 
x..2 se 
	
2 	Se .3_*L.3 
1 -*-2 se 
35. Construir as arficas das funçes numéricas f santo definidas : 
(a) f(*) m -lxi 	 (b) f(x) a x + lxi 
(c) f(x)-Iz+1I 	 (d) f(x)ax -JxI 
(e) f(x) m 12X ii 	 (f) f(x) a xIxl 
(Q) f(x)aIx+21+jxj+ix2I 
36. Construir a prfico de funçia f R 	 —+ Z definida par 
lxilx1l 
	
f(x) a 	
+ 
37. Determinar o domínio de cada w*ie dia 122C0C9 num éricas f santo 
definidas : 
(a) f(x) a, 
2 ix 
(b) f(*)a-V...... 
2 
(õ) f(x) a 
 
38. Seja a funço f z {2,3,5,a,9} 
f 
-Determinar a ro—atrizão de ?ac 	jta x {29 3,9} do D(?). 
39. Seja a fiinça f : 	 definida por ?(c) w x. Determinar 
qusia das seguintes funções aia um .gralgMamento de. L 
(a) e, : 
	
(b) 2 	1,1J*R 
-, * 	 92(x) 
(e) 93 t R—+R 
	
(d) 
03(X) 	 - 4( + x$) 
a. As ?uncaa nuaiicaa 
O 
h 
aia ^lroloDgmentof de funçia ? : 
f 
-Determinar na velares da 	e t. 
41. Mostrar que,.e f a g aio !ça de A e. 8 teia que fCU .ntia 
fg. 
2. Seja a funçia f AUØ —+C. Moatrar que f - 
CC 
43. Sejam as funçies f R~ 114 e g s C~ Pá. Demonstrar que, se 
BflC 4) e es h ?tJç • entie : 
(.)husefunçdeUJt emDi; 
(b)f- hIU e 
44. Sejam as funçes ? : 8—+A e ç: C— 	tais que f$øflt. 
- gIBAC. Demonstrar que,se ti - fg , ento 
(a)j uma funcio8C eiA; 
(b)f - hIø e 	h$C. 
45. Construir o gi4fico da funço f : .[.2 9 .1 9 1 9 3}—*Z tal que 
de cada elemento da seu davnfnia é a reato da sua diviia 
por 3. 
46. Enumerar os elementos da dom!nia e do imagem da funç f de A 
es A definida pela diagrama sagital 
2 
A 
47. Determinar a 	da fuio numrica :(a) f [-2,23 —P.R definida por f(x) • 
(b) g : [ i.iJ—. fi definida par ç(z) - 72 
46. Construir o grfico da !uo f 
31 
da por f(x) .1+ lxi. 
49.A funçia num&rtca f definida por f(x) a az + b é tal que 
f(f(z)) 4x - 9 
-Achar aa vaiaras de a e de b. 
50.Determinar o domnia e a imagem da funça numrica f definida 
par 
	
MIVx 	1 	2 f(x) a een 	+ -San 
51. Determinar a Imagem de cada uma das funçoes numertcae f assim 
definidas : 
	
í 3x-2 sex.1 	 2 
(a) f(x)Ç 	 (b) f(x)_X 
	
aexi 	 X3 
í x1 sexA3 
(c) f(x) - 	 (d) f(x) a I/x(x - 2) 
1 2x+ 1 aex.3 
2 	 2 
(e) f(x) 	(x +3x-l.)(x -9) 	(f) ?(x)a4X -3x- 
(x2 +x-12)(x.3) 
(g) f(x) (x2 + 3x-10)(x + 	 (h) f(x) 
52.Determinar quais das seguinte. raiaça.. T ao funçea : 
(a) TCR x R definida par (x,y)çT4x2 M 72 
(b) TCR x R definida par (x,y)GT44x2 - 
(c) TCN x Z definida por (x,y)ET44ix2 a,' 
(4) TCN x Z definida por (*,y)€T<=>x3 o V2 
32 
2. 
Funções. Especiais 
2.1 	COI6TANTE 
-Deflntca 2.1 Sejam A. 8 dai, conjuntos e h um elemento de 8. Cha-
as-se função constante de A em 8 determinada RIO elemento .k a fun-
çs de A as 8 
- a x {t} 
-Em outros terma.,, funca constante. de A .!! 8 determinada 
manto 	e funçiaf : A.+8 definida par f(x) • b para toda XEA. 
-Portsnta,atolicente : 
f - {(xob) 1 XE:A } 
-Cbviouente,para toda funcio constante f : A -+ 8 a imagem f(A) 
formada par um ntca elemento de 8,ista ,f(A) é um conjunto unit 
'.Emma1s 2.1 A funco constante 	A:_{a,b,c} 	8 ui{i,2,3} 
determinada ualu elemento 2 de 8 é: 
f - {a,.c} z{2} --(a,2),(b,2),(c,2)} 
-14 d~ outras funcas. constantesde A em B eque sa : 
• {a,b.C}m{1} "{(a.l),(b,l).(c,l)} 
h -{a,b,c)z{3} •{(a,3),b 9 3) 9 (c 93)} 
-Lt 2.2 a funco constanta 8 8 ffi. 8 dnterminadm Peau 
33 
real 5 
f • R x{5} •{(x,$) $ XEI} 
y 
-0 arftco desta funço L é a reta z para. 
lela ao eixa Ox que passa pelo ponta 
do eixo Dy, 
2,2 FUNCAO IDÊNTICA 
-Defintcs 29 2 Seja A um conjunta. Chama-se furiçio idntiaa de A 
afunçio f g A-A definida por f(x) - * para todo xEA. 
.A funcio idntice de A tsbm é denominada identidade de A,e re-
presente-se pelas eXsbolos 1A e la.' Portento, aimbalicemente Z 
IA .{(x,x) 1 xEA} 
-Obvieaente,fl imaea da funcio idntice de A é o própria conjunto 
A: IA(A)A. 
-Exemplo 2.3 A furicio tdntics de A - {e,b,c,d} 	: 
1A -{s,m,(b.b,(09091d90} 
-Exemplo 2.4 A funçio Idêntica de R (canjuis. 
o to doa numeram reais) : 
1R .{(x,x) $ xER} 
9 	o 9 e e seu 9£01E0 e e reta que contem a 
j da ls. quadrante. 
R 
70 
I.1 
2.3 FUNc*O DE INCLUSD 
-Deftniço 2.3 Sejam A um conjunto e X um subcojunto de A. Chame- 
ou funçe de inclumio de X em A e funçe i : X---wR definida por 
c pare todo z€X, 
.Portentoeimbo1icamrnts : 
t 	1 xx} 
.'.3beerve.ae que e funço de incluaio de X em A é a 	tia de fura-- 
&ia idntice da A ao subconjunto X de A ; IX. M Il*. Para X w A , e 
fuman de inclueio de X em A coincide com e .funja idntice M A 
1 X 1A 
;Exempla 2,5 A funço de inclusio de X .{e.bc} em A a{ab,c,d 
2.4 !UIdD CARACTERISTICA 
..DefiniL 
 
2.4 Sejam A um conjunto e X um eubconjunta de A. Chama.. 
me funge caracterf atice de X mm A a funçia : 
acate definida para toda XE R-8 
r 	 no xCX 
kz() 	1. O me 
..ta..ae 	 O pare t1a zA 
ÉM 
kC3) 	(5) * 1 	kx( 2) - k*() 
aca psrtisul.i 
-EzmD1a 206 Sejm o conjunto A a {o,b.c.d,o} e oo seus tre 
conjuntos : 
x .{s,b,c} , v iu{c,d} e 1 - {s,d,.} 
..As 	 cterfatla de X,Y e Z em A ss 9 
kA 
2.5 	 DE ESCOLHA 
..Con.idereaea o conjunto N doa inteiros positivo.. Pela '&f2&. 
da boa ordenaça"todo aubcçrnjuhto no vazio de N possui a eleme.. 
ti afnt.o.de modo que podamos considerar e funçie z 
que a todo subeRCIanto no vazio de N faz corresponder o seu 
minto *Inicie Iate éptal que e ?(X) de cede subomsiunta no 
vazio * de a a o elemento e&ntme de X f(X) w mnX. Obviameeti, 
este ?unço f*encolha* um clemente em cada aubconjunto ne vi. 
zie X de N,e por teme diz-.se que f é uma fwico de escolha de 
conjunto P(N) {10 formado peles ~conjuntos , na vazia. de 
..Deftniça 2.5 Seja E um conjunto cujos elementos .o conjuntes 
nio vazia.. Chamo-ao fuia de escolha de E toda ftmçia : 
f U-{X XCE} 
que faz corresponder e cede elemento X de E um clemente de *,isto 
tel que e legLem ?(X) de cada clemente X de E é me clemente de 
X : f(X)EX pare todo X€E. 
..Ex*mplo 2.7 Sejam o conjunto : 
Ea{X1 .{e,b.c}, *2 {a,c.d}, *3 {b.e}} 
e as funçca fg z : E—{s.b.c,d,e} definida. pelos diagramas 
GERItala 
37 
cá 
-Esta função de duas veriveie associe e todo elemento (x,y) de 
A * 8 a sue primeira coordenada 3,de modo que p 1 é • conjunta 
doe perca erdenedoa((x,y)x) tais que *€A e yEZB. Partentg 
simbalicameete : 
x€A e y€8} 
-Deftnice 2.7 Sejam A e 8 deis conjuntos ais vazios,Chama-sm 9~ 
gomis prejaçio do produto cartesiana A * DO a fwiço : 
P2 z A x 8—m8 
aio as n funçies 
A1 x A2 * ... * An ___9. Ai • 1 
assim definidas : pt(xl.x2,...,xfl) - *1 • 1 - 1 9 2 9 ...,n. 
-Exemplo 2.8 Sejam os conjuntos A .{1.2} e e 
prsjeçe5daProduto cartesiana A * 
ais se funçies z 
39 
P 
Sejam a. conjuntos * 	 c 
*s 	 g azsuts cartesiam s 
a x c 
ano as ?uviçias : 
PI 
p2 
p3 
2.7 
2.8 F•Jacjo BIML 
'Dittdcs 2.9 chaa...a 
ER 
e~, ,t.~nnida * 
í 1 .t 
- 
wflsis de twçk etual eeiete - 
ft daee eeeteta. 	em 
rm lsetad a sria.a &L 
€hvi.uta * eqn() 
íL m x iø 
na x 1 
41 
-3 em -2xL-1 
em -1xL1 
1 	cc 	x1 
2 	cc 	1LxI_2 
3 	cc 
-2 	cc 4 4xL.5 
& uma funça em escada cujo Qr&fico & dado abaixo t 
R 
3 
2>4 
~2r 	Ir 11 
LL 
—Not"ee que o dom! fio J25J de f & -- 	eunio de tftel'valoa $ 
[25] 
cm cada um dou qucAc e funçc ? é constante, 
42 
43 
1 
• 1 	a 
Z.11 EXERCCIOS WLVIDOS 
1. teratnsr e dosinto damão nos&rtca L defiidds por 
1 
-Resoluclo $ 
-A funça dada L a definida para todos os valores reais de &em ex- 
ceço daqueles pertencentes ao tntetvalo [1,2[ ,pari as quita se tem 
[x) i. Portanto s 
DC?) ]4—,lL U [?.—.E, 
2. Construir o r?ica de função f : R+ Z definida par 
?(x) m sgn[x(x2 1)] 
-Resoluoa : 
-Escrevendo a expressão que define a funço f sob a forca : 
f(x)aan[x(x+l)(xl)3 
o Imediata : 
f(x)-.-1 para xL.ml sparc Oxt..l 
f(x) - O para * - -1 9091 
f(x)-1 para -14. *L.O e pare x..l 
-Lega,L é uma funce m escada que tio para r&fica $ 
R EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
,. Achar as auboanjunte. Z,Y,T e VI de A .{a,b.c,d} cujas funciea 
cmctu'f atices 	A aia , 
CX a 
k a{s.0.(b,1,.ic,O).d,0} 
kT 
kv 
20 Sejam a conjunta : 
E .{x1 a{e,b,d}, X2 a{c.ci,e}. 5 a{b}} 
e e funçies f,g,h : E—.{a.b,c,d,e} definidas peloz diaQzeu 
sagital. : 
X, 	 *h 	 ob 
ob 
-Determinar qual, aia furees de escolha de E. 
36 Sejas e conjunta $ 
44 
_{i,z,}. X2 .{i,s}, *3 .{2,495}, x 
(x 312 *3 xib x i. X2 *3 *4 
fJ*1 
1 4 3) 	 3 5 1 3 
.Detsr.inss quais ea ferias9 de escolha de E. 
4. Determinar e imagem 4* funço f : R —*i ...i. definida $ 
f(z)afl(x+l)aegn(x.1) 
S. Determinar a im~ da funçia f : R —Z assim definida g 
f(x) - 2 + (.1) [xJ 
6. Construir o Z 1 ica e determinar a imagem da funca numrica L 
definida por f(x) a [xJ * 
7. Sejem A um conjunto a kx • ky se funçies carsctsrlsticss reapRa-
tive. dos aubcgalwataa 31 e Y de A. Demonstrar que,para toda zE.A : 
(e) *CY =4 k31(x)6 k(x) 
Cb k31 x) . k ,31(x) - 1 
(c) a 
(d) kzy (ii) a k31(*) + k,(*) 
45 
3. 
Qualidades das Funções 
391 QUALIDADES DE 
-so qualidades de uma funçs f : A—+8 ser sobreietara.inietara. 
biAetora.,fmssr e psridica.qus vaias definir e exemplificar. 
3.2 FUrdO 008REJETORA 
.D.finiçis 3.1 DIZ--se que uma funço f : A—+N & aobreietors se 
e somente se para todo elemento y de O existe ao menos um elemento 
de A tal que f(*) y. 
-Eu outros termaa,ums funça ? de 	 ? 	f() • 
A em 8 CO sobrejetora se e somente 	 x 
se a Sua jmaQem ?(A) coincide com 
	 A 
o seu contradomtnio O f(A) O. 
«Quando uma funço f : A—+ E é aobreietora também se diz que , 
uma sobrejecio de A em 8 ou que ? uma ?unçia deA sobra De 
-Qualquer que seja a funço f : A—a-E, a funço g A—sf(A) de-
finida por Q(x) • f(x) 9 sobrejetorpcomo e abvIno Partanta,de to-
da. funça ? A o-9 deduz-se uma funço sobrejetara reduzindo-se 
a seu contradamfnio S. 
•A funço identidade de A 9 1 	aobrejetora,porque IA(X) x para 
toda x€A,de modo que IA(A) - A,maa a fuflc& incluao , x .5!. 
A,i,.j1j .obre.ietora .porque ix(x) - x para todo x€X,de moda 
que i(X) a XCA. 
-Obviamente,toda funça constante f A-4-E,cuja cantradom! aia 9 
um conjunta unitzle : 8 (ia) ,& eobi'eietas. 
.fib disra. 1~91 de um Doía fabulatara ? 	8 toda ele. 
3.3 EXFLO5 DE FUNc&s SOBRLJETDRAS 
-Exs.elp 3.1 * funça ? s 8_..{4.l} defivdde por f(x) 
salareletora. De feto a 
(1) se x.D,entn 1X1 - e e f(x) 	1 
(11)sexL.O,entià1x1 -a.x e 
-Portento a f(8) .{i,i) 
3.2 * funcQ nustce f definido por f(x) - 3* .ie no-
brgjgtqlg 	que anjo e nserca real y, a eqaasçe 
..ay 
 
~te sso1uooa. 
x.(y+4)ER tal que f(x)-y 
39p6ez.tosos e- 713 tal que f(713) • 30 
A funçsa f a 
 
R--§o- N dedo por f(x) - 2 
47 
ietaru.parque f(R) a R,t A. 
'Exemole 3.4 * funça f : N--PP-M dada par ?(x) az + 1 	moa 
breietors.parque fOI) a 1 	N. Em autroa termos,? nia & cobre. 
letori parque,dado lEId,no existe inteiro positivo x,tal que f(x)a 
a 1 9 p519 9z + 1 - 1 implica * a ON. 
Exesp].p 3.5 A função ? : N'—+N, assim definida 
í x+1 .expar 
[x.'l eeXmper 
o o ac3brefetora. Coa afeita, dada um Inteira positiva !ae n 
* 
teo o + 1 e (mar e f(n + 1) a o ; 88.80 invee,, e tmpar,vntea a 
o 
e f(n 1) a fl 
Exempl 3.6 Suje P(*) o gLqjunte gae partes de A. * funçio 
f : P(A)—. P(A) 
definida par f(X) a A X é 3eoraparque,pore todo YEP(A),n 
equaçia A *a Y admite a soluçia XaA Y,ieto é,toda Y€P(*) 
e imagem de um X€P(*). 
3.7 As 	 da produto cartesiana A x 8,ista Éan fun. 
çies 
e 	p2 a*x8—øB 
aia sobrejetorso. Coa efeito,dsdo qualquer z€A,resulte p1 (x,b) a * 
pare toda b€8. Ans1oumente,dado qualquer yÇ8,resu1ta p2(a,y) a y 
para todo mIA. Portanto s 
p1 (Aza)aA 	e 	p2(Ax)a 
48 
30 ^ INZTORA 
.Definica 
1 392 Diz-se que ias funç. ? s A 	5 é injetara se e co- 
mente se deis elementos distintos quaisquer zx2(x3. si 	de A tem 
sempua imao.ns pela L t.mb.e distiritss : f(x) si 
-Ptsntouma fuso injetora f : *— mo 5 transforma elementos dia- - 
tinto5 de A em elementos taebw distintas de 5o 
simsoiicem.nte,o fato de f sei1 uma 	 de A em e expli. 
se-se da seguinte modo z 
f e Injetara 4=4(Vx15x2€A e x1 11 x2)f(xl) si f(x2) 
eu eejs,aob forma eauivslente : 
f ; injetara 4(Vx1,x2€A • f(*l ) - f(*2) ) : Xl - 
.Em outros termosume funçao f : A—*8 	inletora se à somente se 
pare toda elemento y de 0 existe pendo muito ia elemento x de A tal 
qús f(x) - V. 
-Quando ias funçio f : A—mO & injetora tsmhm se diz que 	use 
inisce de A em O Oli'l que f é ias fumco biwilvocsde A !.t . 
-A fungm ft inclua"= de X em A,i xem In-Intoral, porque 
iX(*2*l *2 	Vx1.x2Ex. 
-Toda fuimia ERM^ f $ A—' e cujo gegLn j A conste de meis de 
sim elemento .! inletozsporqiae todas as elementos de A da. asa- 
me im.oem. 
—No dimora sasital de ias funcià injetora f z *—+ 8 cade slsaen 
te de 0 é extremidade de, s.ximouma flecha,e no orfica de r toda 
paralela se eixo horizontal 0* conduzida pela ponto (Dy) do eisa 
vertical Oy,com yE8,no intercept o Ekic ou e interceate nus 
nico ponto. . . 
49 
EBD _ 
35 EXEMPLOS DE FUIdES IN3ET9RMS 
Exemg10 3.8 Seja A um conjunto. A funço f A o A x A definida 
par f(x) (,x),denuairrnda 	diaana1 de A é.abvIamante rl ,njato 
ika- 
3.9 A funçao f : R-* R definida par f(x) • x 2 nau 
ãIqU 	toda z e stamo* f(x) • f(-x) • 2 e x ,t 
Obaerve—ae que esta funçia f, tambm Ao é sobreletora.iata é @ uma 
funçio aio a necessariamente iora ou sobreietora(em geral aio & 
uma coisa nem outra). 
..Exemplo 3911 Seja P o conjunto de todas os pafaes da mundo e seja 
C o conjunto da todas as cidades do mundo. A funçia f : P—C qUG 
a cada associa a sua jraporqus dais paísss. 
f crentes tm !!pait tba 	sntes patenenhuma cidade a 
50 
pital de dais países diferentes. 
-A imacem f(P) desta função a o conjunto de todas se cidades que so 
cffitelp de algum ffifa,a como existem cidades(ele.entas de C)que nia 
aio csciitsis de nenhum ,segue-se que f(P) 4 C,e par conseguinte 
a funça 	.j2j sobreletora. 
3.6 FUffi BUETORA 
-Definica 3.3 Oiz.se que uma funçio f * A 0 8 é bifetora se e so-
mente se f é ao mesmo tempo sabrejetara e injetara. 
-Em outros teraos,uma funçio f : A—. 8 	biletors se e somente se, 
pára todo yB,existe um únlco x€A tal que f(x) • y. 
-Quando uma fungao f : A-0-9 e biletors também se diz que L e uma 
bil cio da A em 8 ou que f é uma fencio Munivaca de A sobre S. 
-A fundo ldentIdEL9 gL A 1,149 é biletara.quslquer que seja o conjun-
ta *,coma é gbvluo 
-No diarams sauital de uma funda bijetora f : A—.' 8 todo-elemen-
to de 8 & extremidade de uma únlca flecha e na ILreflou de ? toda pa-
ralela ao eixo horizontal Dx conduzida pelo ponta (O,y) da eixo ver-
tical Oy,qualquer que seja y€8,intercepta a grfico num único pon- - 
to. 
_ 
3.7 SiffiLOS R£, fy 1E.5 BIJETORAS 
jg 3.12 A funçs f R—a'R definida por ?(x) - z2 	- 
Jetaru. Cem efeito & 
51 
(1) L é aobrejetore,porque f(R) - R ; 
(li) f injetora. porque 4 - 4 ,com *1 • x2 numeras reais no 
neçativos,tmplica x1 - *2. 
-Exemplo 3.13 A funçio f : Z—êZ definida por f(x) - * + 1 
letare. Com efeito $ 
sobreietare.parque,para todo y.Z existe y - 1EZ tal que 
(1l) é injetara porque *1 + 1 - x 2 + 1 implica x - *2. 
-Exemplo 3.14 A funçio f : R—*R definida por f(x) - ex + b,com 
a aí O,e bijetora. Com efeito z 
(i) & sobreletora. porque. para todo VER,a equeçio ex + b - y 
adulta asoluçoxa(y-b)/e€R tal que f(x)ay; 
o 
(ii) ? a inietors.porque ax + b m 1*2 + b implica *1 *2. 
-Exemplo 3.15 Seja. A um conjunta e DA a diaona1 de A x A. A fun-
ço ? : A_*DA tal que f(x) - (x,x) é biietora.como é ãbvlo. 
-Exemplo 3.16 quaisquer que sejam o conjunto A e o elemento b w à fun.. 
A-9A x{b} tal que f(x) - (x,b) #c bijetoraobvi.mente. 
-Exemplo 3.17 Seja E o conjunto das retas que passam por um ponto 
O do espaço e seja F o conjunto dos planos que passam por O.A toda 
reta rEE associemos o plano pÇ_F que lhe perpendicular. Obtemos, 
aemim,uma funçio f : E—PF que é bijetora. Com efeito : 
(i) f sobrejtora.parque todo pleno p que passa por O é perpen- 
52 
diculst a uma reta£ que passa paz O 
e tnietozs.porque a duas retas distinta. 	de E cenas.. 
pondeim dais alanca tambm distintas p1 e p2 de r. 
-. 
-Exemolo 3.15 lá fungue f * R2 ­*-0 tal que f(x,y) - (z,z + y) e 
bi.letora. Com efeito * 
(i) L é •abreletsra.parqur,paza todo paz ordenado (a,b)€N.a equa.. 
- 	 - çaa (x,x + y) • (a,h) admite a saliacao (*,y) • (a,b a)€fi2 
tal que f(z,y) a (ah) 
(li) L é inietoza.pazque (*]X1 + y1) - (x2,x2 + y2) implica Xl a 
eVI • V29 de modo que (*1,y1) - (x2 y2). 
3.5 PERMUTAC*O, CONJIJSTO 
..De?inicio 3.4 Seja A um conjunto no vazio. Chaaess permutaco de 
A toda funca aListara LA .!&.oraria(f * 
-4m a conjunto A 	g4ieø$$ qme tedø,;fuio injetora ou 
bieletoze .f : **A é biletora e,portanto,L usa oerautuao .! *. 
ak ?uncs. 15ade APIS biietore e,portanto, I uma omr.ut.' 
jem ! *,densmtnade nezautmoo 1diatica de A. 
-Quando seja A .{l.2. 3.....n}..i.~Metera f $ A—'A * 
t a{Cl,fCl»,i2,fC2»,o.fc3». ... .cn.fn»} 
ou seja 1 
( i 	2 	3 ... 	a 
\ru 	f(2) 	f(3) ... f(n) 
Ea particular,a nomunk idmtios ja A escreve-em: 
53 
3.A 
ou,com outra notaç. : 
/. 	2 	3 ... n 
2 	3 ... n 
..E1eap1 3.19 Seja o conjunto A .{l2,345} . A fujo bijotora 
f 
uma psrmutaca de A, Com o notaco de duas linhas esta permuteço 
f de A escreva-se : 
2 	3 	45 
3 	1 	5 	2 
~má outras maneiras de escrever a p*rmutaço f com a notecrz de duas 
linhae,tais COSO v P.,X. * 
(34512\ 	(24351 
1-1 
\1 5243) 	\3 5124 
Em particular,a permutacio idntica de A 
1A 
ou seja 
(i 	2 	3 	4 	5 
2 	3 	4 	5 
3.20 Seja o conjunto A - {1.2 9 3 o 4As funces b1jto- 
will 
rem ?,g:A—sA: 
r 
= Q 
aio persuteçea de A. Coa a notaço de duas linhas estas persertacies Um 
de A escrevesse : 
	
2 3 4\ 	 ti 2 3 4 
tal 	 ' 	a 1 
	
2 3 1 4) 	 3 4 1 2 
-Exemplo 3. 21 Seja o conjunto A a{a,b,c} , H& 6 = 162,3 a 3 
mutacies de A,que seu as funçies 21ãLtorma f : A—+* (i a 1 92..., 
6): 
fabo lobo (abc 
/abc /abc\ fabc 
fa ) 
cab) 
-N O T A.. O naero total de permutaçise de um conjunto finito A com 
ri elementos é igual a riu (fatorial de ri). 
3.9 PARIDADE DAS FUNC&S NUMÉRICAS 
.Defini oia 3,5 Diz-se que usa furiçio num érica f é p, se e somente 
ae,psra todo x€D(f) 2 
e 	f(-x) a ?(x) 
-.0 gráfico de toda furiço numrics g? é constituído de pares de 
55 
pontos sim&tricas e. relaç;o ma eixo, vertical Oy,porque,p.rs todo 
*D(?),.s ponte. (x,?(-x)) e (x,?(z)) pertenceia as gzfics de ? 
e este, pontos .o simtricos e. rel.çh as .81x9 Dy. 
.De?inice 396 Diz..w que use ?unço numrics L a fup.r se e s 
mente se,psra todo xD(f) : 
-xED(f) 	e 	?(-x) - 
.0 ar ftca de toda funch mimrtce qpar ? can.titu(ds de parea 
de pontos sistricos em releça à origem U,parque,pere todo x€D(f)9 
os pontes (..z,f(x)) e (*,f(z)) pertencem ao gr&ftce de L e estes 
pontos sa si.tricos em reisço à origem 0. 
(11 z 
a 	 x 
.1 	&' 
- -• 
	
Muitos funces nu.ricas no ta nsridsde1 istom el= 	sares ma 
Lesares. 
.Exeesls 3.22 As funçes numéricas !.' 1 definidas por 
2 2 
	e l t.X 
so sares. Co. efeito,pers todo z€D(f) - R 
azD(f) 	e f(-g) - •_ L••u••T_ 7!'7 
..*neloQoeente,peze todo zED() a 
e 	x) a 	• 2 • 1.x 2 a 
+ 1* + 21 a g(x) 
.Exeaplo 3.23 Ao 	a 	f e 9 definideo pÕe' 
f(x) a 	
2x 	
e 	Q(*) 
•o X.iei.r... Coo s?eito,pare toda x€D(f) a A 
f(-x) 	
2(x) 2 a 	 a 
..Ana1ogsente,p.z'e todo zED(g) a 
5(-x) 	
a 
lzl 	IxE 
..Exeoelo 3.24 Ao funcae. nu.&rlase ? e g defintd.e por 
• 	 f(x)_ x2 . x 	e 	9(x)aIx+41 
jLo 	 e.nemLaperes. Co. efeito : 
-1,1ED(f) a A o f(4) a 2 e f(1) a 0 
-Portento 2 ?(4) I# tt' 
-2,2ED(9) a A , 9(.'2) a 2 e 9(2) a 6 
• 	-Portanto * 9(4) st 
57 
3.10 FUNÇES P(RXDICAS 
-Definico 3.7 Lz.ae que urna func&i nurnrica !. Dsridica a 
existe um nrnera real p i4 O tal que,pare todo xE0(f) z 
x+pED(f) 	e 	f(x+Ø-f(*) 
aExel5 3.25 A 	 rica L definida par f(*) a cosxa ar 
ridtca e adaite pare !Qa 'TC/2,porque,para todo x€D(f) a R 
çJ 
*4 yD(f) 	e 	f(x + y") a coe(4(x + 	a 
a cos(l.x + 2') - 
a 0094X a f(x) 
-Portentatadoa as nGaeros reais kj'/2,carn kez' , taebrn eo srfados 
desta funçó pertdi a 
-Exemplo 3.26 Mostrar que a !jp nuartca L definida par f(x) - 
a sen3x é peridica e achar a seu erXado. 
-trao 
-Para todo x€D(f) a R e qualquer que seja o nrnero real p aí co a 
bvio que * + p€D(f). A1.a dissoteaos 
f(x + p) sen(3x + 3p) a aen3x.coa3p + aen3p6coa3x 
de soda que ?(z • p) a f(x) se a sarnento se 
esn3x.co.3p + s.s3p.co93x a sen3x 
O que Implica * 
cas3pa1 • no" .D 
.Obvisnte,sstea Igualdades es veit?icsdse para 3p • 2f, • Loo,s 
Lk mierice dada L é PerIódIca a a seu prfdo 
3.11 f3L 
30 	 L 	_______ 1um Intervalo do W. 
cet dose e reais) SgaLId no D(?), A ftrnçio L dtzso : 
(e) crescente em 1 se o sarnento se 
V*19 x2Gz: 	X2 == ?(*) f(x2) 
(b) deazeecente em 1 se e somente se : 
V311tx2€I , x1 Lx2 =f(x1)t(x2) 
C) ugs .c?scente emi i se e somente se z 
xL*2 	?(x1)L?(x2) 
(d) decrescente ja 1 se o somente se s 
' x1L 2=x1)?(x2) 
(e) contsnte em i se e somente se 
• 
—Se e ?wirjis L à crescente !! 1 aia decrescente ais 1 asa 	!! 
59 
*2$= ?(xi) ,f ?(x2) 	• 
TA 
rx1 	
*1 	 * 
Funçio etrita*nte 	 -tYtte creacante cc 1 	 decreccente 
S' 
.'L1 * ?uncc nucrica diz... 
() .itiv. 4$ IS •acrcvcas ? Oss e secente e. * 
Vz€L , 
Cb) 	 £,e eacrevese ?Z.U,.e e ee.ente se* 
Vx€z • 
.Exe.igp 3.27 * ?senqj nsrice defi*dde par ?(x) m x2 * 
cante iic intzvela 1 . [1I2,-4{,contida na D(?) - A. ce. e?etto 
V*1 ,x2 €1 . *1X2==?(*1)?(z2) 
-EcI* xl 1/2 ,X2. 1/2 , aqe. implica s 
• 
nu 
-Portinto : f(xi) « 312) :: O a 
-Este mesma ?unço f é decrescente no intervalo 11 
tido no DC?) a R. Coa efeita,em T : 112 , 112 , a que 
implica 
e 	x1 +x2 -lZ.O 
-Portanto : - f(x)u «*2) O e ?(*i) à fCx2). 
3.12 &CRSCINO DA VARIÁVEL £ 0* FUNÇO. TAXA DE ACRSCIMD 
Seja f(x) uma funca numrica definida num interveio I1 de R e se-
e x dois velares distintos assumidos sucessivamente nesta 
ordem pela varive1 x e situados em L Chama-ai : 
	
(e) acracimo da varive1.a diferença : h a 2- 	i 
(b) acréscimo correspondente da funçq,a diferença : 
k «* 2) a f(Xi) 
(a) taxa de acrsciaodefunca entre Da valores X1 ! X2P0 quoci-
ente: 
k 	«* 2) 
a 
T 
.1* O T *.a De conformidade com catas definiç.s,a funço L 
(a) crescente em I,ee : Yx1,xEjI • 
(b)decrescente !.Iee : Vx1.x2€I: 
(c) constante ia. 	: \/x1,x2EI • 	
aO 
61 
3.13 ,CONJUNTDS LIMITADOS 
-Definiçio 3.9 Seja A um subconjunto de A. Chama-me minorants de 
A em R ou cote Inferior de A em A todo elemento aR tal que mx 
para todo x€A. 
-Se .a e um minorante de A em R,óbvio que todo elemento bEA tal 
que b e tombem. *E um ml. norante de A.em A. 
-L*n minorante a dá A em A tal que m€A,ee existe o menor elemen-
to de A. ou o elemento m!nimo.deA. 
-O conjunto doe ml.norantee de A em A indico-se por m(A).e quando 
esse conjunto no & vazio diz-se que A limitado inferiormente ou 
que A e minorado. 
-Definiço 3.10 Seja Rum subconjunto , de A. Chama-se majorante de 
A em A ou cota superior de A em A. todo elemento a€R. tal que x e 
para todo zgA. 
-Se a e um majorante de A em R ­.e obvIo que todo elemento b€R tal 
9 
que.ah.b também e9 um majorante de A em R. 
-1k, majorante a de A em R tal que7 aEA,se exlete,é a maior elemen- 
todeAnu. o elemento máxima de A. 
-Di conjunto doa majorantes de Aem A indica-se por P(A),e quando 
esse conjunto no é vazio diz-se que RA, limitado superiormente ou 
que A é majorado. 
-Um subconjunto A de A que e limitado inferior e superiormente diz-
se limitado. 
.Teorema 3.1 Se A e 8 ea eubconjuntoe de A tais que 8C*ento : 
mR(A)CmR( 8) 	e 
-Demonstração 
62 
xEmR(A).x€ à e (Vy€*)(xL-y) 
XER e (Vy€øO(xy)==x€mR(0) 
xEJ ft(A)=xEA e (VyE1)(y.x). 
3.14 EXTREMOS INFERIOR E SUPERIOR 
-Definiç&, 3.11 Seja A um subconjunto na vazio de A limitado ia-
feriormente. Chama-se extremo inferior de A em R ou Influo de A em 
R o elemento mxtmo da conjunto eR(A) doe minorentes de A. 	R. 
-Em outros termas,o Influo de A em IN é a elemento aER tal que 
e 	xa para todo xEmR(A) aEmR(A) 
-O ínfima de A em R?,ae existerepresenta-se por 1• Portan-
to,atmbolicamente 
mx(m(A)) 
-O fnfima de Ri em øae exlete g i Gntca.por ser o elemento mximo do 
conjunta mR(A) das minarantes de A em Rj,e pode pertencer ou no ao 
conjunta A. 
-D elemento mi nimo de A,se existe,e a elemento mxima da conjunto 
m0(A) e,partanto,& o fnfima de A em R. s infR(A) - minA. 
-Definic&j 3.12 Seja A um aubconjunto no vazio de R limitado 
periormente. Chama-se extrema superior de A em R ou supremo de A 
em R o elemento minimo do conjunto P(A) das mjorantea de Kem R. 
-Em outros termos,o supremo de A em R e o elemento aE.R tel que 
aEPL,(A) 	e 	ax para todo xE,(A) 
- 
63 
-O nueremo de A em R,ae cxi ste,repreaenta-se por eup,,(A). Portem-
to,eimboltcamente : 
BUPR(A) 
-0 supremo de A em R,ee exIste g a unIco,par ser o elemento mtnimo do 
conjunto. Me(A) doa majorante. de, A em R,e pode pertencer ou mia ao 
conjunta #L 
.O elemento mximo de Ase exlete,,É a elemento mínimo do conjunto 
M(A) e,partenta o supremo , A. em; R: eupR(A) w mxZ. 
-'Teorema 1.2 Se A e a eia aubconiuntoa de R que possuem fnrimo em , 
R(resp. , supremo a R) ., e se BC, entia : 
infR(A)infR(B) 	e 	eupR(ø)aupfl(A) 
-Demonstraio : 
-Pela Teorema 3.1 : 
mR(A)C 	e 	MR(A)C M(B) 
-Portanto : 
o 
mx(mR(A))L m&x(mR(S)) 5 iflf(A) , irI?R(B) 
mfn(N(B)) mn(P(A)) e ØUpR( 8) aUpR(A) 
-N O ir A.- Em*Analise Matemtica demonstra-se a importante pra-
posiçio 
-Todo subconjunto A de R limitado inferiormente(resp.,limitada eu-
periormente) possui fnimo em R(resp.,aupremo em R). 
-Portanto,ee A e limitado Inferior eperiormenteisto ,ae A 
limitado,ent&, A possui ao mesmo tempo fnimo e supremo em R. 
64 
.15 FLØdES LIMITADAS 
.Definico 3.13 Seja ? uma funço numrice definida em 84 A fim-
Ça r diz-em : 
(a) limitada inferiormente em A ou. minorada em A me e comente se 
o conjunto f(A) limitado inferiormente ou minarado,iato 80 .au exis-
te um n&iera real h tal que hZ 11(x) pira todo x* ; 
(b) limitada auperiormente em A ou aclarada em A me c comente me 
o conjunto f(A) #C limitado cuperiermente ou Majorado 1 lato &, se cxi e-
te um numero real k tal que f(x))k para toda xE.# 
(c) limitada em A me e comente se ? é limitada inferior e auperi-
oz'mente emA,icto &,ee o conjunto f(A) e limiteda. 
-Para uma funç& nua&rica f limitada em Aobvio que exiete um nu-
mera real poeitiva N.tal que IfCx)IN pare todo xEM. 
-Exemplo 3.28 As fuflcee nuinricae f e g definidas por 
f(x) - menx e g(x) cosx 
não lieitsde5 EM R,porque,perc todo xEA z 
1ssnx1 	s -1 4cosx, 1 
-Exemolo 3.29 A funga nuaricm f R 	dsfin&Js por 
?(x).x-Lx) 
limitada infériormenti w A ,porqus 
O ?(x) pare tIc ,iR 
-Ente funçc ç tmbm é limitada 
f(x)Z-1 
 
Para todo xCW. 
65 
-Logo,. ?unço f & limitada em R. tte-se que I?(x)LL. 1 para to-
doxE.*. 
-ExSDIO 3.30 A ?unca mmriçs f definida par f(x) • 1 
+ 5*11* 
i+x2 
limitada M R. Coa .feit,psr. todo *E$ $ 
$1 + s.nx141 + I.enxI2 
i+2i • 	1 
o que implica 1 f(x) [& 20 
3.16 EXTREMDS DE UMR rUIdO 
Seja f uma funço numérica definida em A. Se f limitada inferi-
ormente em A, anto o conjunto f() e limitado inferiormente e por 
conseguinte admite um extremo inferior rn em R,a qual recebe o nome 
de extremo inferior ou ínfimo da funça f em A,e escreve-eu : 
m.inf*f 	ou 	m - inff(x) 
A 
-Analogamente, se f e limitada superiormente em A,entao o conjunto 
?(A) a limitado superiormente e por conseguinte admite um extremo 
superior N em i,o qual recebe o nome de extremo superior ou supre-
mo da ,fundo f em A,e escreve-se : 
Iasup*f 	ou 	Maaupf(x) 
xA 
-Se 	limitada em A,ento existem simultaneamente o extremo mIe- 
nora e a extremo superior M da 	 A. Neste caso,para to- 
do x& 
	
f(x)a.inff(x) 	e 	f(x)LM-supf(x) 
xE a 	 xE*. 
-Se existi x€.A tal que f(x1 ) - s,ent&i diz-se que f(x) é, a 
nino absoluto ou apenas o mfnimo da função f e* A. 
-Aneløgamente,se existe x2E,A tal que f(x2) - VÇ enta diz-se que 
f(x2) & o .&ximo absoluto ou apenas o uximo da tunça ! em A. 
-Exeapla 3.31 A funs nu&aics f : foi]—. fl4 sacie definida : 
f(x) 	
x 	55 xJø,iJ 
1/2 as x* 
0. 
tem p. extra= 
	
ria O,que 	j 	 par extremo seeriar 
lo que & exies.parqua f(l) m 1. 
-Exsa1a 3.32 A funça nua&rics f 	definida par 
f(x)_.41 _ x2 
Um par sxtUaa inferior Oque & afnims.parque ^+1) D o a par ex. 
tremo supsrisr l o que & ~m porque f(0) - 1. 
	
ÜT$.. Para aa funce 	 L definida em *,,tal que 
	
in?Afm 	ó 	supar 
dtz-ssqueN- eI 
67 
3.17 ÇONJITO DOS fICROS JIAIS APIPLIADO 
•.Defjjdcjj 3.14 Chia..... coniunti 	n..ra. real. .a.ilsd..e In- 
dica-se par Na remolíg da conjunta R dai nmerae riais coas can 
junt. cujoa elasentas não os simboloS 	(asnoa lnfir%tt) e .c 
(Ia1L Infinita). 
..Teaaa,Øols,poz de?iniça : 
-Ao. simbolos-CO e +00 •o atribu(da. e. .eguintea propriedade.: 
(ei) Pmie todo x6R 
x+(+P)s.c 
xu(..00 )umi+OO 
(P2) Pare toda 
,xe 	Cm 
3) para toda 
, 
4) Para toda zEN z 
68 
3.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. 
1. Ibetrer quis funçs f * R---*' R definida par f(*) a 	[*] 
asridica e achar a ceia garfada. 
O nsaero real p 1# O a cartada de f 	e somente ee,para toda xE.R: 
f(z+ p) - f(z),iató é4 : 
x+p.[z+p]ax-[x) 	ou 	p[x+p).[x) 
0 eequndo membro da igualdade de direita 1 ia iriteiro,de modo que 
p a um int.ira,o que i.plica,para todo xE.N : [x + p3 a 	+ p e 
?(x+ Ø ax+ p u [x] .. p ax [x] u.f(x) 
..Laga,a funço a oeridica e admite como cartada toda inteiro p, 
e caso 1é o memor velar positiva de p,eegue-se que a oertoda de 
ei. 
2. Seja e funçio f : R—+R definida por f(x) a [3 • ZEXI. 
(e) Dar,eem usar a efabsio [3 ,as expre.aea de f(x) na Interva-
lo [0.23. 
(a) Pbatrac que a ?unço L.& peri&dica e achar a seu part ode. 
aResolucio * 
(a) Para Ozl * [*) a[Jao e r(x)aD. 
PÓr1x42 * [ x)_i.[)_o e f(x)ai. 
Para Xa2 8 [x] .2 , 	
.1 e f(x).0. 
-Portanto,rio intervalo [0,2]. • funço t definida do seguinte mo-
do : 
se QxLl 
f(*) 	1 se 1Lx2 
L 2 se x.2 
(b) Para todo inteiro k : 
f(x + 2k) 	x+ 2k] 2 [X + 2k] a 
- xJ + 2k - 21+ k) * 
- 
3 - 2[] - t(x) 
-Logo,a funço ? e perta Ice de per!odo igual a 2. 
3. Sejam A e 8 conjuntos finitos com a e n elementoe,reopectivemen-
te. Demonstrar 
(1)Se f A—+B e um funçio tnjetora,ento a L ri. 
(2)Se f A—.8 e uma funço eobrejetora,ento m.an. 
(3)Se f : A — B & uma funço bljetora,entio a = a0 
-Demonstraço : 
(1) Seja A •{Ul,12.....5 } 
• todos Os a sendo distintos entre 
si. Oca elementos f(e1 ),f(a2),.069f(am) de 8 eo todos diatin-
tos,poia,se f(a) f(e 3),com 1 # j,ento 
5 
•,porque ? & In. 
jetora,o que & imposefvel(todos os elementos de A co distintos). 
Logo,o conjunto 9 tem pelo menos iii elementos,isto &,m . a. 
70 
(2) Seja 8 .{b1 .b2,...,b} ,todos os b sendo distintos CfltZ'S 
si,e seja a1 A til que f(a)b, para 1 - 1 9 2,...,n (a existe 
porque f e sobrejetori). Os n elementos a 111 s2 ....a fl 
 de A ao to- 
9 
	
dos dtsttnt.pOie,8e a 1 - a,ento f(a) 	f(a) e b 1 	b.a que 
impoes(vel(todas os elementos de 8 ao distintos). Logo,o conjun-
to A tem pelo menos n elementoe,ieta é.a ri. 
o 
(3)Se f e bijetoza,enth 	injetora e sobreJetora,de moda que 
n.. ri e m. n,a que implica is = ri. 
1, Sejam A e 8 conjuntos finitos com o mesmo nmero rn de elementos, 
e seja ? uma funço de A em 8. As trs seguintes propriedades seu 
equivalentes : 
(a) injetora 
(b) f é sobrejetora 
(a) f é bijetara 
.'Demonstraço : 
Obvismente,basta demonstrar que (a) e (b) ao equivalentes. 
(==3) 
 
	
Suponhamos f injetora e seja A 	910 929 066 9 99 	Pela 
de?iniço de funçio Injetara dela elementos distintas quaisquer 
de A tm imagens pela ?distintas. Portanto,a imaQqi da fungis f : 
f(A) - 
contm a elementos distintos de 8,e coma f(A)CB e 8 tambui con- 
tm is elementas,aegue-.se que f(A) • 8 9 1.ta é l f & sobreletora. 
(==) Reciprocemente,suponhemoa 1 sobrejetora e seja A 
2'''m ]. . Se f rijo fosse injetora existiriam elementos dis- 
tinto! e1 .a€A tais que f(a) - ?( ij )pC por conseguinte o nu-
mera de elementos de imagem da funçio ?: 
71 
?(A) 
serie 4 .4 ,lato ef, f(A) 1 B e ?no seria aabrejetora,o que cais 
tradiz a hipótese. Lago,? é injetora. 
o 
-Em particuler,ae A e um conjunta finito ,as propriedades (a),(b) a 
(c) so e quivalente* para toda funço f de A em si mesma. 
59 A funcci numérica !,definida em N o e crescente em R. Mostrar que 
a funço nuairica g definida por g(x) - f(2x - 3) 9 crescente em R 
-Demonstração : 
-Sejam X1e *2 dota nmeroe reais tais que Xl *2• Temos : 
2x12X2 	e 	2x1 -32x2 -3 
o que impltca,por ser a funço f crescente em A 
- 	 e 	g(x1) g(x2) 
-Lago, a' ?Unço g é crescente em A. 
6. A funçio numérica fdeflnlde em R, 	e crescente no interva- 
lo 	E. Mostrar que ? decrescente no intervalo 14— a]. 
-Demanatraça : 
-Sejam Xl • *2 dois nmsros reais positivos tais que *14 X2 o Ento, 
e X2 so dois nmeras reais negativos tais que .x2 	e como 
a funço f é crescente em [t,—ir[ e e,temas : 
e 	?(x1)4f(x2) 
-Loga,a funÇo L decrescente em, 
72 
7 Seja f iaa funço numrice peri&dica e de perf'ado 2't. mostrar 
que e funçio numérica g definida par g(x) - f() 	peri&ttt ao. 
--Demonstrado : 
.Pare todo *ED(?) $ 
	
f(+ 2) - f(Z 
	
) f() 
o que implico : 
x + 6Ç , 
, 
	
Loga ; e funço g peri&dica e de 	6%. 
8. A funço numrica f : {_l,i]-_+R 	. Patrer que fnio& 
bijetore. 
-Demanetreço : 
-Seja e um numero real 	nulo do interveio [i,iJ tel que f(e). 
- y. Entatmobm temos f(,) m y,porque a funço f é proParten.. 
to,ae elementos distintos a e -e ta e mesma imea pele bde modo 
que bijetore. 
9. Mostrar que a funço f R-+Z definido por f(x) . [x) 
Cao motor inteiro) & aobrejetora e no w# injetora. 
.Demonetreça z 
f(R) - Z e f4.)mf(4)..Q , 
Dobra atura moe. aZo & injetora. 
73 
3.1 EQUAES com UM INOGNITA 
-'Dadas duas funçes,eg de A em 8,resolver se A a equaçio III ifl. 
c&pnita * : 
	
f(x) - g(z) 	Cl) 
determinar, o conjunta 5 de todas os elementos e de A cujo* ias. 
2!!!! pela f • g,f(a) e g(.),caincide. em F : f(a) - g(a). 
Oa conjuntas A. 8 chamem-se,respecttvamente,referenci.l • con 
junto-salucio da equaça (1)* cada um dos elemento. de $ diz-ei 
uma solução ou uma raiz da equatio Cl). 
-.Se o carijunta-soluçio s é vazio(S .u4),a .U$Ç;O (1) diz-se is.. 
posefvei 	referencial 4,9 se a conjurto-soluçio 5 & infinita .a 
ft equaçio (l) diz-se indeterminada no referencial A. 
-Se & uma função constante de A em 8 determinada 5.2 elemento 
k: g(x) - b para todo xEA,ento e equeçio (1) reduz-se à se-
guinte : 
	
b 	(2) 
cujo conjunta-soluçio $ & formado por todos os elementos e de A 
cujas imagens pele ? sia o elemento b de 8 : f(a) - b. 
-'Qualquer que seja a funçia Se equaçe (2) tem ao menos uma ao-
luço no referencial A(S .14)) se bEf(A) e é impoae(vel no refe-
rencial A(S 4) as b4tf(A). 
-Neste caso,cumpre ainda notar : 
(1)Se r e sobrejetara equaço (2) tem !2 menos uma soleçia na 
referenciai AO .14)) 9 
(2)Se ? & injetoraa equaço (2) & Impossível no referencial A 
se bf(A) e admite umanica !pl!!ç9 na referencial A se 
bE.fCA). 
(3) Se L & bi.lstsea.a equmço (2) tem uma AnIca , soluçio no rife- 
74 
reflcisl A. 
-Exemplo 3932 Seja a funçia constante f de A em 8 determinada M. 
lo elemento b 1 f(x) - b para todo xEA. 
..Psre a equaçio f(x) - b,a conjunto..soluçio E a A,iato &,cada ele 
manto de * uma saluçio desta equ.çio no referencial A; apara a 
equeç f(x) w i,com o ,t b,o conjunta-soluço 5 a 4) ,lato e, esta 
equeçio é iiupoaaf vai no referencial A. 
Exemplo 3933 Seja kx : *—s{o,i} a função caracter1 atiça de 
um dado subconjunto X de A. 
Para e equaçio kx(x) a l,o conjuntoscluço 5 a X,e para a aqui-
ÇiO kx(*) a 0 1,0 canjunta-soluçio 5 a A - 
-Exemplo 3•34 Seja resolver no referencial A a{1,2,3,Li.5,6} es 
equeçaes f(x)a2 • f(x)a3 • sendo fafunçsdeAem R de-
finida por ?(x) - mdc(2 9x). 
-Temeu : 
f(5) a 
f(2) a f) - f(6) a 2 
-Loga,psra • equaçio f(x) a 29 0 conjurtoi.uoliaçia $ a {29 496-), a-
para a equeçio f(x) a 3,Ø conjunto-saluçio s - 4) , ista .,ests aqui-
çio *jiposslvel no referencial A. 
-Nota-se que,ae L é a funçio de N em N tal que f(*) a sdc(2,x),sn-
tio, todos os inteiros positivas persa aio soluçea da equação 
f(x) a 2,ista 	conjuntosoluçio dente equaçio 
diferente do anterior E a{2.l,,6} ,o que mostra ser essencial pro- - 
ci ser e referencial no qual a equaçio deve ser resolvida. 
75 
-xs.plo 3935 Resolver em 1 e eqsasça f(x) - O,sndo ? e ?unço 
dsZsmldsfinicls por f(x). 1x1 2 . 
.Resoluo : 
f(x) m O4=Ix l 2 lxi 6 - O4lxl m 3 ou lxi - -2 
-Como lxi • .2 é impassivil 8 
f(x).O4==lxl-34=x.3 ou x-.3 
-Logo 9 0 co!junta-aalu£ío de squsça dada 5 	} 
O T A.- E habitusl,ns prsttca,enunciar-'se este quantia no moda 
meia simples : Resolver em Z e equaça 1*12 :1*1 
-'Exemplo 3.36 Resolver em A _{l,2,3,...,20). e equsço : 
mac(6,x) + 2 - 10 
.mRssoluiiçiø $ 
-Os elementos x de A pare as qusis o mmc(8,x) . 10 - 2 . 8 
e 8. Loo,o conjunta-soluço de squaço dada 6 ={1 # 2 9 4 9 
x 	x-'2 -Exemplo 3.37 Resolver em R m squsço s 	* 	- 1. 
o 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Mostrar que a funço f : R e ,.R tal que f(x) - x + 1x1 é .ear 
brejetora. 
2. A funçio f R—*X definida por f(x) = x 2 + 3 é sobrejetora. 
Determinar o contradomínio X. 
3. Determinar todas as aobrejeçes de A *{a.b,c} em a ui{1.2} 
4 Sejam A um conjunto e 31 um subconjunto prprio de A. Mostrar que 
a funca caracterfstica kx. : A—*.{O1} de 31 em e sobrejetora. 
S. Seja M2(R) o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem 2 0 
Mostrar que é sobrejetora a funço f M2(R)—s-R2 definida por 
(E: ]) 	(a,b) 
6. Determinar a intervala I,de amolitude a maior poeslvel,de modo 
que a ?unço f : I—*R definida por ?(x) - x 2 seja injetara. 
7. Determinar todas as injeçes de A .{a,b} em 	{1 9 2 93} . 
8. Mostrar que a funço ? : 	 •.it. definida $ 
J ?(x)ax/2 se x é par 
	
I . f(z) 0 	ae&fmpar 
o 
aobrejetora e 	j injetora. 
77 
2 
9e Seja • fço f s R—.'R definida por f(x) - 2 	• Deter- 
minar f(R) e mostrar que f 	injetora. 
10. Mostrar que i funçia f : R2—*R3 tal que f(xy) a (09x 9 3y) 
Injetara e 	j sobreJetorn. 
11. Mostrar que a funç;a f : R 2—+R2 definida por f(x,y) - (x 2 y) 
1 injetora num sobrejetorao 
12. Mostrar que a funçia f $ 1—. N definida por f(x) a x + 1 40 
1 injetora nem sobrejetora. 
13. Para toda n€Z seja u(n) a algarismo das unidades de n eacri-. 
to no sistema decimal. Mostrar que a funço : 
u Z-_-.{0,l,2,3,1.,5,6,7,8,9} 
1 sobreietora e ia j Injetara. 
11 Para toda nZ+ seja d(n) o numera das dezenas de no Aasim,p. 
ex. : d(8) O 9 017) *'1', d(1963) a 196 , etc. 
-Mostrar quea furiçio d : Z to Z. 1 sobrejetora e nol injetora. 
15. Seja * _{{x.2Y1 1 x,y(l4 }. Mostrar que a funço f de A 
em 14 definida por f({2x.2y}) a 2x.2y a 4xy não e* injetora nem 
sobrejetora. 
16. Seja A a{{xv} 1 x.y€Z,} , Mostrar que a funçh g 
tal que g({x,y}) a x + y 1 	Jetora e nioljt ora. 
78 
17. Seja a funço f : 11 x 1,—. 2, definida por f(x,y) - x + y + 
+ 3. Determinar se a funça 	: (a) injetora ; (b) aobrejetore. 
16. Seja e funçia f : Z—PR definida por f(x) = 2x 2 x + S. De. 
terminar se a funçia L 	(a) injetara ; ( b) sobrejetora. 
19. Sejam o conjunta A a{x€R I 2x 2. + 5x + 9 o} e a funçio L 
de A em R definida por f(x) - (xl 1. Determinar se e funçio f 
(e) injetara ; (b) sobrejetora. 
20. Seja a funçia f : Z---Z definida par f(n) a an. Mostrar que 
L é injetora se a 4 O e que L é sobrejetara se e a 
21. Moetrar que a funçio f : R ..{2}—.R ..{i} definida por 
f(x) a x/(x - 2) 	bijetora. 
22. mostrar que a funçia f )..1,1[ —*R definida por 
	
f(x) 	
x
a 
1- lxi 
bijetora. 
23. Determinar todas as bi.leçies de A a{a,b,c} em 8 _.[1,2.3}. . 
2. Mostrar que a funço f : R—*R tal que f(x) a xixi 	busto- 
ra. 
25. Mostrar que a funçia f 	2—øR2 tal que f(x,y) a (3x + 1,2y + 
+ 5) 5# bijetore. 
79 
26. Mostrar que a funço t : A x 8—+8 * A tal que f(x,y) • (y,x) 
biletora. 
279 Mostrar quis funço f : (A.* 8) x C—'A x (8 xC) definida 
por f((x,y),z) • (x,(y,z)) & biletora. 
28.Mostrar que a funço f : R 2—mR2 definida par f(x,y) - (x + 
+ y,x y) 	bijatara. 
29.Demonstrar quese a funça r : A--8 é injetarsentio a sua 
retriçio f X : X—*8 a um subconjunto qualquer X. de A tambm 
uma ?unça injetora. 
309 Sejam os conjuntos A e B.{(x,x) xEA} . Determinar se a 
funço ti A-8 definida por f(x) • (x,x) : (a) sobrejetora 
(b) injetora ; (o) bijetõra. 
31.Determinar a paridade dia funçies num éricas ? assim definidas 
(a) f(x) 	aen3x 	(b) f(x) m (x - l)(x + 1) 
(c) f(x). $x$ 	1 	(d) f(x)-(x+1) 3 +(x1)3 
(e) f(x) a 	x 	(f) f(x) . 5x- 3*2 2 1 + lxi 
() f() • x4 + x3 	(h) f(x) _Il+x+x2 , Ti_x+x2 
32.As funçea ? : A-8 e 	: C—*D aia bijetoras e tais que 
Aflc - Sf0 .4). Mostrar que a funço h : ALjC—*81J0 tal que 
h • fUg é bijetara. 
33. Determinar se a funço num érica f é limitada em seu daninho D(f') 
nos seguintes casos.: 
(e) f(x) 	- 	 (b) f(x) 
 
jr 
(o) f(x) a 	 (d) f(x) a 3aenx 2coex 
2 + i 
34 Determinar os intervalos do dominio D(f) da 52;0 numrica f 
nos quais ela é crescente ou decrescente nos seguintes casos : 
(a) f(x) M x + 6* 5 	(b) f(x) 	+ 2x - 
(c) f(x) 	 (d) f(x) 	
* + 1 
(e) f(x) a \jx 	 (f) f(x) a 2* 
35. Demonstrar que a funço f : 	x 	definida por f(m,n) 
= 2(2m + 1) é bijetora. 
36. Sejam as funçes f : A—*B e g : C—+D. Demonstrar 
(a) o conjunto f.g a{((x.y)(1'(x).Q()) 	(x,y)€R x 
uma ?unjo de A x C em 8 x D ,denominada produtode ? e g 
(b) se f e g so injetaia5,ento f.g CO Inje tara , e 
5a sabrejetor5,ento ?.g e sobrejetora ; 
(o) (f,g)(A x C) a f(A) x 
37. Mostrar que a ?unço f P(A)—*P(A) definida por f(X) a A 
bijetora. 
RE 
36. A funço numrica SdefInida em R.e crescente em R. Mostrar que 
a funçio numrica jL definida por g(x) - f(5 - x) decrescente em 
R. 
39.A funçao numerice fdefini da em R.e decrescente !m 	e cres- 
cente em R. Mostrar que a funço ! definida por g(x) - t(l 3x) 
crescente em [l/3,—.-[ e decrescente em 
40.A função num&rica £,deftnida em R, Impar e decrescente na is.. 
tervalo ]'4- 9 03. Mostrar que f #e crescente no intervalo 
41.Mostrar que a funçia num&rica f definida por f(x) a 4 cos2x 
periódica e achar o seu perlodo. 
42. Seja f uma fenço num&rica periódica e de peroda 'fl. Mostrar 
que a funçio numrica g definida por g(x) a f(5x) 	peridica e 
achar, o seu penada. 
43.Determinar a conjunta-solução no referencial indicado,de cada 
uma das seguintes equações : 
(a)x2 +3x-U ,N 
	
(b) x X2l a x 1 l • z 
(o) $2x-11 -5 ,N 
	
(d) $2x-51 a Ix-li • N 
(e) lx- 21 a lxi • 	 (f) lxi + ix - 	a 2 , R 
(9)2x2 -x-3a0 • Z 
	
(h) lxi + 12* - 31 - 5 • R 
44. Mostrar que 9 no referencial indicado,csda uma das segulntea equa-
çies é impoaafvei a 
82 
	
(a)x2 -3a0 , q. 	 (b) x.1I.u..3 , R 
	
(c)x2 +1aQ , A 	 (d) Ixl+Ix.'lI.O • A 
1 4 1; 45. Mostrar que,.mR,aequaço: 
terminada e achei' o seu conjunto-soluço. 
46. Mostrar que,em Uj,a equação s 
	
2x-1 	2x 	2x2 -4x+1 
2x-1 - 	2x2 -x 
o 
indeterminada e achar o ecu canjunta..eoluço, 
47. Mostrar que e ?unço f $ R—*R assim definida : 
í 2x 41 se x ti 1 
f(x) - 	
X 1 
	
1 O 	se x-1 
mio é injetora nem sobrajetora. 
48. Classificar em injetora,eobrejetora e bijetora cada uma das 
seguintes funçea : 
(a) f : 	 , ?(x,y) - x+ y + 1 
(b) f 	 • f(x,y) - x2y 
(o) f : R2 —eR , f(x,y) - (x. y,x - y) 
(d) f : R—sR, , f(x,y) a x + 
(e) f $ R 	o R, f(x,y) 	1X2 - 
83 
4. 
Composição de Funções 
4.1 FUNÇÃO COMPOSTA DE DUAS FUNÇÕES 
-Sejam A,8 e C ti4s conjuntos qusisquer,e sejam f uma fundo de 
em 8 e g uma função de 8 em C,isto é,tais que o contradomfnio de 
f é igual ao dominio de g. 
-.A cada elemento x de A,? associa um elemento y a ?(x) de 8 e a 
este elemento y de 8 9 9 associa um elemento z de C,elemento que 
definido por 
	
z 	g(y) 	g(f(x)) 
ou seja : 
z - h(x) 9 com h(x) a g(f(x)) 
-Existe,poia,uma funçio h de A em C,definida por h(x) = 
Esta função h : A—+C chama-se a função composta defeg,e re 
representa-se por g o f. Portanto 
	
VxEA 	(g o f)(x) = g(f(x)) 
e 
9 o f =<[(x,gf(x)) 1 xEA 
go? 
84 
-Esta apereçio, que e todo par de funçies 
f:A —+B e g:B—sC 
acuada uma determinada função g o f : A—e C,chem.-se campastcia 
de -funcíca j e pode ser viausflzsda pelos seguintes diaazamas : 
A 	 L 
go? 	 go? 
..N O T A.u' A coaqoeicio de g e ? na í pisalvel.porque a cantrado.. 
•efnio de g fio coincide com o daminia de Laca se C a Rendo esta 
coapasicia pode ser efetuada,abtendo..e a função compacta f o g 
BB. Mente caso,gof uma funçodeAemA. 
-No caso em que f e ! aia ambas funções de A !! A,.s funçea 
pastas g o f e f a g existem e aia funçie. de A es A,sai,ea ge-
ral,g o f i f a g,iata &,e ardem segunda e qual me efetue e campa-
cicia de f e g 340 j indiferente. Quando se tem ga f a f a g,ieta 
,g(f(x)) a f(g(x)) para todo x€A,diz-.se que f e g cio permat&u 
.Exespla .l Sejas se funçios f : A—B. e g : B—*C definidas 
pelo diagrama 
ax 
OZ 
-Vemos determinar a funcio composta g a f s A—e C. de L e 
85 
-Consoante a definição de função composta temos 
(g o f)(a) - g(f(a)) - g(y) - t 
o f)(b) 	g(f(b)) - g(z) - r 
(g o f)(c) - g(f(c)) - Q(y) - t 
-Portanto : 
-Exemplo 4.2 Sejam os conjuntos : 
Aa{a1 a2 .e3 }. 5 	 , c {cl#c2#c3- 
e sefunçes f : A—*B e g B—PC dadas por 
/aa2 53 \ 	 (b1 b2 
- 	
b1 b1 b2 ) 	 e 2 3 
-Vamos determinar a funçio composta g o f : A—+C. Temoe,sucessi-
vsmente 
(g o 	- g(f(a1 )) a 9(b1 ) a o2 
(g o f)(a) a 9(f(82 )) 	g(b) a o2 
(9 o f)(a) a 9(f(83)) 	g(b) a 
-Portanto g o f A—C é dada por 
/ aa 2 
go?- 
\ c2 02 03 
4.3 Sejam os conjuntos : 
86 
A .{_1,O.1.2} , B a{_5..3..1,1,2} , c 
eaatunçaeef:A —*B e g:B—C : 
f x 9 2x- 3) 1 xA ) 
Qx qx-1) 1 xEB} 
-Vamos determinar a funço composta g o ? : A—P'-C. Temos,sucessi-
vemerite : 
o f)(-1) a g(f(al)) - 9(a5) a 24 
(g o f)(0) - Q(f(o)) . (-3) - e 
(g o f)(2) a 9(f(2)) a 9(1) a o 
-Portanto 
g o ? c[_i,24.iope.c1,o),c2,oÇJ 
-Para todo x€A,temae : 
(g o f)(x) - g(f(x)) 9(2x 3) (2* 3)2 1 a 
M 4x2 - 12* + e 
-Logo s 9 o f : A—*C a definida por 
(9Of)(*)a4X2 _12X + 8 
isto 
ga f .{(x,x2 - 12* + 8) 1 x€A} 
-Aasis,p.ex. : 
(gof)(1)aS..12 a12.1+8mO 
87 
	
-Exemplo 4.4 Sejam as funções f,g : Z 	e, 	Z assim definidas : 
X/2 sex& par 
f(x).2x 	e 
L o sexImpar 
-Vamos determinar as ?unçee compostas g o f e t' o g de Z em 2 
-Pare todo X€Z+ 
(g o f)(x) - g(f(x)) • 9(2x) 	x 
porque 2*2E' Portanto : g o f _{(x,x) 1 x€Z} ,Identidade de 
Z,. Qualquer que seja xEZ +*Par 
(f o g)(x) - f(g(x)) - f(x/2) 	x 
e qualquer que seja xEZ4 91mper : 
(f o g)(x) • f(g(x)) 	f(0) • O 
-Portanto : 
r Ix. eee par 
(fog)(x)-Ç 
sex e ímpar 
-Exemplo 4.5 Sejam o conjunto A e as funções : 
A—*P(A) e g 
assim definidas : 
f(x)_{x} e 	g(X)aA - X 
-A funçí composta 9 o f : A—+P(A) é definida por 
	
o f)(x) • g(f(x)) - a([x]') 	A - 	<fx} 
88 
e a funcii Csjmsts a a g : P(A)—cP(A) é definida por 
(a a a)(X) - .(a(X)) a 9(841) a A (A 1) - * 
iate g a a ou a identidade a()• 
.Exe.pla li.& Sejsa se funçes f,g : R—c-R sacia definidas : 
[2 	na Xá o 
*u' 1 se xO 
e 
í x+1 es - 
12* 	es 
-Vos determinar e funo composta g o f : R -- R. Tesas : 
zZO: (asf)(z)aa(f(x))•a(x.'1)-2xi'2 
(g a f)(x) m 9(f(x)) - g(x2) a 2*2 
x1 : 
 
(a o f)(x) - g(f(x)) - 9(x2) 	e 1 
'.Portsnto: 
2x - 2 se 
Cg. ?)(x) 	2x 	se 
as x1 
..I O T A. Observamos quessis geralsente,dedes duas funçies : 
89 
-Se,eo Lnv&e,f(A) nio esta* cøntide cia t,eaa f(*).t4), existe 
ainda a funço coagoate g o ? ,deflnida somente para es valores de 
t8145 que 
xEA 	e 	f(x)E?(A)flC 
-Quando seja f(A)f1C a4) ,diz-as que a funçio composta ç o f éP 
vazia. 
-Considereaoa,p.sx.,as funçies f * 	 e g : N.-!.+M teia 
que 
e 
-Aqui,tsmos f(R) RC R e,portsnts,existe a funçc composta 
o ? * 	definida por 
o f)(x) - ç(f(x)) - 9(if) - x -Z 
.2 C0MPOSIC0 DE UMA FUNÇO COMA IDENTIDADE 
-Teorema '..i qualquer que seja a funço f * 	B,ae funçies 
compostas ? e IL, : A-*8 e 	a f : A-+B eia iguais à fum.. 
foIfIg 0f 	(1) 
90 
-Alm disso,.. ?unçfl.a f 	o ? e i• a. a nasaisu deus! r.i... 
o conjunta A,o messe contradaminisa conjunto 0,a para todo xEA 
(f O 
1A' 	f(IA(x)) f(x) 
(I13 o f)(x) 	10(f(x)) 	f(x) 
a que demonstra as Igualdades (1). 
	
Em particular,para toda funçio f A 	A g 
° k - f M 'A ° 
Iate gpa funcio idntica de A,I,& o elemento neutro para a opera 
de compoeiçio de funçea no conjunto doo funçioa de A em A. 
-Observe-a. que,se A . 0,ao funçaes compostas I a o f e f o zi 
io estio definidas. 
4.3 A550CIATIVIDADE DA COMPOSICO DE FUNC&S 
-Teorema 4,2 Quaisquer que sejam ia funçios : 
1' W--b- 9 , g : 8—C , h 
ia fundes i 
ho(gof):A—*D e 	(ho)ofA—D 
sio iguala : ho(0of)(hog)of. 
h o (Q o f) 
(h o ) o f 
91 
..De.on.treco : 
.As funçies 	o f e h o 	estão deftntd.e,poLe,o contreda.(nto 
de 1' e o dauminto de 9 aio Iguala conjunto 8) e a contrado.f vila de 
g e o da,s!uiio de h taab.a aio lgu.ie(conjurta C). Por reza.. Intel-
remente .n&logas,ee funçEsa h o (g a ?) e (h a g) e f também es-
tio definidas,* como tem o seamo domf vila a conjunta A,o meaaa coa-
tradam! vila o conjunto D,pere estabelecer que elas aio Iguale bas-
te mostrar que,pare todo x€A : 
(h a (g o f))(x) - ((h o g) o f)(x) 
.Realmente,pora todo xEA 
(h o (g o f))(x) a h((g a ?)(x)) - h(g(f(x))) 
((h o g) o f)(x) a (Ii o g)(?(x)) * h(g(f(x))) 
-Esta importante propriedade associativa