Apostila 3

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
RESISTÊNCIA DOSRESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS:MATERIAIS:
CISALHAMENTOCISALHAMENTO
TRANSVERSAL, CARGASTRANSVERSAL, CARGAS
COMBINADAS ECOMBINADAS E
TRANSFORMAÇÃO DETRANSFORMAÇÃO DE
TENSÕES E DEFORMAÇÕESTENSÕES E DEFORMAÇÕES
Autor: Me. Cristian Padilha Fontoura
Revisor : Luc iano Gald ino
I N I C I A R
introduçãoIntrodução
Dando continuidade aos carregamentos aplicados no cotidiano de projetistas ou
engenheiros, nesta unidade, veremos diversas situações nas quais a resistência dos
materiais é utilizada. O cisalhamento transversal, caso em que a principal tensão
provém de forças cortantes em seções transversais de elementos estruturais, será o
primeiro desses casos particulares. Em seguida, estudaremos a combinação de
cargas, a qual exige que você, caro(a) estudante, relembre conceitos previamente
estudados dentro da mecânica dos sólidos, para então avaliar estruturas e
componentes sob uma combinação de carregamentos. Indo além, uma ferramenta
muito importante é introduzida aqui: as transformações de tensões e de
deformações, nas quais podemos analisar elementos em planos inclinados e
rotacionados em ângulos diferentes de 0°.
O cisalhamento transversal é o cisalhamento que ocorre devido a esforços �etores
em uma viga. Tal como a tensão normal, há um per�l de tensões baseado no eixo
neutro de uma seção transversal particular. Diferente das tensões normais, o maior
valor de tensões ocorre no eixo neutro. A seguir, veremos os casos de cisalhamento
transversal mais importantes nas aplicações de resistência dos materiais.
Cisalhamento em Elementos Retos
Consideremos uma viga, longa, reta e com área da seção transversal constante. Se
carregamentos forem aplicados nessa viga, como resposta, serão desenvolvidas
forças de momento �etor e também forças de cisalhamento internas.
A força de cisalhamento, que será identi�cada por V, é o resultado de uma
distribuição de tensão de cisalhamento transversal agindo na seção transversal da
viga.
Associadas às tensões transversais de cisalhamento, teremos também tensões de
cisalhamento longitudinais agindo ao longo dos planos longitudinais da viga.
Isso ocorre devido à propriedade complementar do cisalhamento, ou seja, se
analisarmos um elemento de volume in�nitesimal de um corpo sofrendo
cisalhamento, para manter o equilíbrio desse elemento, surgirão quatro tensões de
CisalhamentoCisalhamento
TransversalTransversal
cisalhamento, que terão intensidades iguais e sentidos iguais ou opostos umas das
outras nas bordas opostas do elemento.
O surgimento de tensões de cisalhamento longitudinais pode ser exempli�cado em
um caso simples: imagine 4 réguas �exíveis empilhadas, engastadas em uma de suas
extremidades e uma força P sendo aplicada na outra extremidade. Se nada estiver
unindo as réguas, notamos um deslocamento longitudinal entre elas durante a
aplicação da força. Porém, se unirmos as réguas como um bloco único e a mesma
força for aplicada, o deslocamento longitudinal deixará de ocorrer, mas, como
consequência, surgirá uma tensão longitudinal entre elas.
Com as tensões de cisalhamento transversais e longitudinais, a seção transversal da
viga será distorcida de maneira complexa. Entretanto, para estudo com vigas de
largura pequena em relação ao seu comprimento, essa deformação da seção
transversal pode ser considerada pequena o su�ciente para ser desprezada.
A fórmula do cisalhamento é deduzida utilizando a fórmula de �exão, anteriormente
apresentada, e a relação entre o momento �etor (M) e a força de cisalhamento (V), na
equação 3.1:
V=
dM
dx
      
(eq. 3.1)
Considerando uma viga carregada, conforme a �gura 3.2:
Figura 3.1 - Tensão de cisalhamento transversal na seção transversal da viga e à
direita, propriedade complementar do cisalhamento
Fonte: Hibbeler (2010, p. 283).
Ao analisarmos um elemento in�nitesimal de comprimento dx da viga, com um
diagrama de corpo livre (DCL), e buscando o equilíbrio das forças horizontais (ΣFx=0),
nota-se o surgimento de uma tensão de cisalhamento longitudinal τ na face
inferior do elemento para equilibrar as tensões normais causadas pelos momentos
�etores, como pode ser visto na Figura 3.3:
A tensão de cisalhamento longitudinal utilizada para equilibrar as forças horizontais
tem o mesmo valor da tensão de cisalhamento transversal na área da seção
transversal da viga, devido à propriedade complementar do cisalhamento.
Sendo assim, a fórmula da tensão de cisalhamento para uma seção transversal da
viga é dada pela equação 3.2:
τ=
VQ
It
,
onde
Q=y−′A′
(eq. 3.2)
É importante utilizar como auxílio a Figura 3.4, que representa uma seção transversal
qualquer de uma viga, para localização dos termos.
τ→ tensão de cisalhamento em um ponto localizado à distância y’ da linha
neutra NA que passa pelo centroide da seção, dada em Pa (N/m²). Obs.: a
tensão é constante em toda a largura t da seção, na altura y’;
V → força de cisalhamento interna, determinada pelo método das seções,
dada em N;
I →  momento de inércia de área da seção transversal, dado em m4;
t→   largura da área da seção no ponto onde τ deve ser determinada, dada
em m;
Q→ momento de primeira ordem da área A’ em torno do eixo neutro, dado
em m³;
(y−′) → distância do eixo neutro até o centroide da área A’, dada em m;
A’ → Porção superior ou inferior de área da seção transversal em relação à
linha t, que está a uma distância y’ do eixo neutro, dada em m².
Tensão de Cisalhamento em Vigas de
Seção Retangular
Comumente, encontramos aplicações onde a seção transversal da viga será
retangular. Sendo assim, é interessante analisar a distribuição da tensão de
Figura 3.4 - Elemento seccionado em seu eixo neutro
Fonte: Hibbeler (2010, p. 285).
cisalhamento nessa geometria considerando uma viga retangular, como visto na
Figura 3.5:
Identi�cando os parâmetros de linha neutra NA, y’, y−′, A’:
Ao analisar a fórmula do cisalhamento apresentada anteriormente, nota-se que a
força de cisalhamento (V), o momento de inércia da seção (I) e a largura da área da
seção (t) são constantes, a única variável é o Q.
E o valor de Q será máximo quando:
A’ = bh/2 (metade de área, superior ou inferior)
y−′= h/4
Ou seja, a tensão de cisalhamento máxima na seção retangular ocorre sobre o
eixo neutro NA e pode ser calculada pela equação 3.3:
τm
ˊ
ax=1,5
V
A
(eq. 3.3)
Onde A representa a área da seção inteira: A = b.h
Devemos ter em mente que a tensão de cisalhamento transversal tem uma tensão de
cisalhamento longitudinal análoga, cuja máxima ocorre no plano neutro.
Agora que temos noções de cisalhamento em vigas ou elementos de seções
relativamente simples, precisamos compreender como vigas mais complexas são
submetidas a carregamentos do tipo.
Tensão de Cisalhamento em Vigas de
Abas Largas
A viga com seção transversal de abas largas também é amplamente utilizada na
engenharia e merece uma abordagem individual sobre a distribuição da tensão de
cisalhamento nessa geometria, considerando uma viga de abas largas, como a Figura
3.9:
A distribuição de tensão de cisalhamento é apresentada, conforme a Figura 3.10:
Nesse caso, a tensão máxima de cisalhamento também ocorrerá na linha neutra e
pela distribuição de tensão. Nota-se que é a alma da viga que suportará a maior parte
da tensão, sendo, então, o elemento de maior importância em um projeto desse tipo,
por exemplo.
Figura 3.9 - Um exemplo de viga de abas largas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 288).
Figura 3.10 - Intensidade de distribuição de tensão de cisalhamento
Fonte: Hibbeler (2010, p. 288).
Tensão de Cisalhamento em Vigas
Circulares Maciças
A tensão máxima de cisalhamento será na linha neutra para uma seção circular
maciça também, conforme Figura 3.11:
O valor de Q será máximo quando A’= π r² /2 e (y−′) = 4r/3π.
A tensão de cisalhamento máxima na seção será dada pela equação 3.4:
τm
ˊ
ax=1,33
V
A
(eq. 3.4)
Onde A representa a área da seção inteira: A= π r²
Limitações da Fórmula da Tensão de
Cisalhamento
A fórmula da tensão de cisalhamento apresentada,da forma que foi deduzida, possui
algumas limitações que devem ser levadas em conta nos projetos nos quais se
desejam seções transversais de viga menos convencionais.
Deve-se sempre ter em mente que o valor da tensão de cisalhamento obtido
pela fórmula, dita constante em toda a largura t da seção, é, na verdade,
uma tensão média. O erro é pequeno para seções alongadas, porém a
fórmula não deve ser utilizada para vigas com seções transversais
achatadas.
Os resultados obtidos pela fórmula também sofrem alterações em regiões
onde a seção transversal sofre mudança de espessura abrupta, como no
caso da viga de abas largas, na junção entre a alma e a aba. Nesse local,
teremos também a ação de concentradores de tensão.
Não é recomendado usar a fórmula em vigas onde a seção transversal
possui um contorno irregular, curvilíneo, não retangular. Para contornos
mais complexos de seção, devem ser utilizados métodos mais avançados de
cálculo baseados na teoria da elasticidade.
Mesmo com essas limitações, a fórmula é de grande importância durante um projeto,
pois, na maioria das vezes, o interesse será em obter a tensão máxima de
cisalhamento, e a geometria da seção transversal usualmente será com contornos
retangulares.
praticarVamos Praticar
Considere que a viga de abas largas abaixo está sujeita a uma força cortante V = 20 kN.
Determine a tensão de cisalhamento no ponto A. Faça uso da equação 3.2, vista
anteriormente, e não se esqueça das unidades (lembrando que 20 kN = 20 x 10³ N).
a) 2,56 MPa
b) 3,00 MPa
c) 2,44 MPa
d) 7,10 MPa
e) 4,55 MPa
Viga sob uma força cortante V
Fonte: Hibbeler (2016, p. 382).
Anteriormente, analisamos membros estruturais sujeitos a um único tipo de
carregamento, como cargas axiais em barras, eixos sob torção e �exão em vigas.
Porém, em diversas estruturas e componentes, mais de um tipo de carregamento se
faz presente. Por exemplo, uma viga pode estar sujeita a momentos �etores e forças
axiais, um vaso de pressão pode servir como apoio e um eixo sob torção pode ter um
momento �etor.
Vasos de Pressão de Parede Fina
Vasos de pressão podem ser cilíndricos e esféricos, e são geralmente utilizados como
caldeiras ou reservatórios. As tensões nas paredes de vasos podem ser analisadas
pelos métodos aqui apresentados se a razão raio/espessura r/t≥10.
Em vasos de pressão cilíndricos, consideramos que há duas tensões principais, uma
tensão na direção circunferencial (eq. 3.5) e outra na direção longitudinal (eq. 3.6),
respectivamente, dadas pelas equações:
σ1=
pr
t
(eq. 3.5)
σ2=
pr
2t
Cargas CombinadasCargas Combinadas
(eq.3.6)
nas quais, p = pressão interna no vaso, r = raio do vaso esférico e t = espessura da
parede.
Em vasos de pressão esféricos, temos apenas uma tensão, válida para todas as
direções, dada pela equação 3.7:
σ2=
pr
2t
(eq. 3.7)
Devemos lembrar que, por mais simples que as equações para dimensionamento de
vasos de pressão sejam, deve-se sempre ser conservador em projetos do tipo. Para
tal, fatores de segurança são sempre utilizados, tornando os projetos mais con�áveis.
O projetista também deve atentar-se a outras questões estruturais em vasos de
pressão, especialmente no que diz respeito à união de chapas calandradas e calotas.
As soldas e uniões parafusadas são regiões críticas e concentram tensões, por isso é
sensato que se tenha muito cuidado ao selecionar o tipo de união e as cargas críticas
aos quais o vaso está sujeito.
reflitaRe�ita
Pense em vasos de pressão. Eles estão no
cotidiano de muitas pessoas e têm
diversas aplicações, sendo algumas já
citadas aqui no texto. Por que você
considera importante que o seu
dimensionamento seja feito por alguém
capacitado, que considera um fator de
segurança adequado em seu projeto? Já
ouviu falar de acidentes envolvendo vasos
de pressão?
Componentes Estruturais Sujeitos a
Cargas Combinadas
Quando um componente está sujeito a mais de um tipo de carregamento, por
exemplo, carga axial e �exão, segue-se uma metodologia para analisá-lo. O método
de análise de componentes estruturais sujeitos a cargas combinadas normalmente
seguido é:
1. Seleção do ponto na estrutura onde a tensão e deformações devem ser
determinadas.
2. Para cada carregamento na estrutura, as tensões resultantes na seção
transversal que contém o ponto devem ser determinadas. As resultantes
podem ser uma força axial, um momento torsor, um momento �etor e uma
força cortante.
3. Calcular as tensões normal e de cisalhamento no ponto selecionado, que se
dá devido às resultantes de tensão. Se falamos de um vaso de pressão,
calcular também a pressão interna.
4. Combinar as tensões individuais para saber a resultante, que são σx,σye τxy.
Note que lidamos com estado plano de tensões.
5. Determinar as tensões principais e tensões máximas de cisalhamento no
ponto, usando o equacionamento referido, ou o círculo de Mohr. Se
necessário, veri�car um plano inclinado.
6. Determinar as deformações no ponto, com a lei de Hooke para estado
plano.
7. Selecionar outros pontos e repetir o procedimento. Continuar até que
tensões e deformações su�cientes satisfaçam o propósito da análise.
Exemplo
A haste maciça tem um raio de 7,5 mm e está sujeita à carga mostrada, determine o
estado de tensões no ponto A, conforme mostra a Figura 3.12.
Inicialmente, montamos o DCL do membro AB, conforme pode ser visto a seguir:
Uma força normal de 500 N, uma força cortante de 800 N, momentos �etores de
80.000 N.mm e 70.000 N.mm, além de um momento torsor de 112.000 N.mm são
obtidos na seção.
Com isso, devemos calcular os componentes de tensão.
Tensão normal
A distribuição de tensão, vista na Figura 3.14, é calculada para o ponto A por:
σA=
P
A
=
500
π(7,5)2
=2,83 MPa
Força cortante
Inicialmente, calculamos Q, que determina a área semicircular sombreada.
Q=y−′A′=
4×7,5
3π
1
2
π(7,5)2 =281,3 mm3
De modo que encontramos a tensão de cisalhamento:
τA=
VQ
It
=
800×281,3
1
4
π(7,5)4 ×2×7,5
=6,04 MPa
Momentos �etores
Para o componente de 80.000 N.mm, o ponto A encontra-se no eixo neutro, sendo
que a tensão será nula. σA1=0
( )
( )
Para o momento de 70.000 N .mm, c = 7,5mm, de modo que:
σA2=
Mc
I
=
70.000 ×7,5
1
4
π(7,5)4
=211,26 MPa
Momento torsor
No ponto A, temos que c=7,5 mm, de modo que o cisalhamento é:
τA=
Tc
J
=
112.000×7,5
1
2
π(7,5)4
=169,01 MPa
Figura 3.17 - Distribuição de momento �etor na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
praticarVamos Praticar
A superposição de cargas combinadas se faz necessária para compreender um elemento
sujeito a estados dessa natureza. O exemplo acima mostra um exemplo de cargas
combinadas, porém não de forma completa, uma vez que, para entender a ação de
carregamentos diferentes que agem em um corpo ou elemento, a superposição é
obrigatória. Conforme estudamos, observe a �gura a seguir e termine o exemplo, aplicando
a superposição dos estados de tensões encontrados.
Figura 3.18 - Distribuição de momento torsor na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
Superposição
a) σA=208,43 MPa e =τA=175,05 MPa
b) σA=214,09 MPa e τA=175,05 MPa
c) σA=208,43 MPa e τA=162,97 MPa
d) )σA=211,26 MPa e τA=169,01 MPa
e) σA=−214,09 MPa e τA=−175,05 MPa
Distribuição de momento torsor na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
Quando analisamos uma seção transversal inclinada em um elemento, isto é, a um
ângulo não perpendicular à tensão aplicada, os valores de tensão normal e de
cisalhamento podem aumentar. Para isso, existe o método de transformação de
tensões, pelo qual se encontram as tensões nas seções inclinadas. Para tal,
precisamos de equações de transformação de tensão. Podemos analisar elementos
sob tensão axial e estado plano de seções a partir dessas.
Tensão Axial
O tema de tensão axial, anteriormente estudado, será o nosso primeiro caso para a
transformação de tensões.
Inicialmente, vamos imaginar uma barra prismática sob carregamento axial arbitrário.
Transformação deTransformação de
TensõesTensões
De acordo com a Figura 3.19, temos uma barra prismática sob traçãode força P, com
tensões agindo na seção transversal. A mesma barra prismática pode ser analisada
em uma seção inclinada a um ângulo \theta. Nessa seção inclinada, vamos ter
algumas componentes em P, a constar F (força normal) e V (força cortante), ambas
resultantes de simples trigonometria aplicada, respectivamente F=Pcosθ eV=Psenθ.
As tensões resultantes são calculadas em função da nova área da seção transversal.
Portanto, vamos ter as seguintes equações, tensão normal na equação 3.8, tensão de
cisalhamento na equação 3.9 e área da seção inclinada na equação 3.10
σ=
F
Aθ
(Eq. 3.8)
τ=
V
Aθ
(Eq. 3.9)
Aθ=
A
cosθ
(eq. 3.10)
Substituindo as resultantes trigonométricas de força normal e força cortante,
teremos, respectivamente, tensão normal (eq. 3.11) e tensão de cisalhamento (eq.
3.12):
σ=
P
A
cos2θ            
(eq. 3.11)
τ=
P
A
senθcosθ
(eq. 3.12)
Exemplo 1
Uma barra prismática de seção quadrada tem dimensões 40x40 mm. Se uma carga
axial de 800 N ao longo de seu eixo de simetria for aplicada, determine, através de
DCL e da representação de um elemento, a tensão normal média e a tensão de
cisalhamento média que atuam sobre o material na seção a-a e seção b-b, conforme
visto na Figura 3.20.
Aplicando as tensões mencionadas no exemplo, vamos chegar ao seguinte resultado:
Sem inclinação
Tensão normal
σ=
F
A
=
800 N
1600 mm2
=500 kPa
Tensão de cisalhamento
τ=0
Plano inclinado
Pelo DLC, que pode ser visto na Figura 3.21, resolvemos a carga aplicada, que possui
duas componentes, em x (F, força normal) e em y (V, força cortante).
A=40×40=1600 mm2=0,0016 m2
Aθ=
0,0016mm2
cos30o
=0,00185 m2
Tensão normal
σ=
F
Aθ
=
692,8 N
1850 mm2
=375 kPa
Tensão de cisalhamento
τ=
V
Aθ
=
400 N
1850 mm2
=217 kPa
Alguns ângulos indicam quando a tensão normal ou a tensão de cisalhamento é
máxima. Esse comportamento é visto na Tabela 3.1, que nos mostra os picos para
ambos os casos. A tensão normal é máxima em ângulo 0º e a de cisalhamento é
máxima em 45º.
Tabela 3.1 - Variação das tensões conforme ângulo de inclinação
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
A análise de tensões em seções inclinadas também pode ser aplicada quando um
elemento está sujeito a um estado plano de seções.
Quando analisamos seções inclinadas nesses casos, faremos algumas considerações:
o novo elemento possui faces que são paralelas à inclinação;
novos eixos x’, y’ e z’ são associados ao novo elemento;
o eixo z’ e z são coincidentes;
os eixos são rotacionados na direção anti-horária por um ângulo em relação
aos eixos x e y originais.
Dadas essas informações, necessitamos, a partir disso, determinar componentes e
tensão σx
′, σy
′ e τx′y′ que estão associados ao ângulo de rotação θ.
σx′=
σx+σy
2
+
σx−σy
2
cos2θ+τxysen2θ
(eq. 3.13)
σy′=
σx+σy
2
−
σx−σy
2
cos2θ−τxysen2θ
(eq. 3.14)
τx′y′=−
σx+σy
2
sen2θ+τxycos2θ
 (eq. 3.15)
A convenção de sinais para as tensões normais e o cisalhamento são dados, como
mostrado na Figura 3.23:
A convenção de sinais vista na Figura 3.23 nos diz que a tensão normal é positiva no
eixo x quando a �echa aponta para a direita, a tensão normal no eixo y é positiva
quando a �echa aponta para cima, e a tensão de cisalhamento positiva tem �echas
opostas, ao lado direito do elemento para cima e ao lado esquerdo do elemento para
baixo.
Tensões Principais e Tensão Máxima de
Cisalhamento
( )
Figura 3.23 - Convenção de sinais para estado plano de tensões.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 350).
As tensões normal e de cisalhamento, quando em seções inclinadas, encontram
ponto de valores máximos e mínimos entre intervalos de 90º. São chamadas de
tensões principais as tensões normais máximas e mínimas.
Ao derivar-se as equações de σx
′ e σy
′ em relação a θ e igualando a 0 , é possível obter
os valores de θ, em que σx
′ e σy
′ são máximos.
As tensões principais possuem duas raízes ou ângulos principais que são chamados
de θp1e θp2 , afastados 90º.
tan2θp=
τxy
σx−σy
2
(eq. 3.16)
As tensões principais podem ser obtidas aos substituir θp1e θp2 nas equações de
transformação de tensão. Dessa forma, teremos a equação para as tensões
principais:
σ1,2=
σx+σy
2
±
σx−σy
2
2
+τ 2
xy
(eq. 3.17)
Nos planos principais, as tensões de cisalhamento são nulas. As tensões de
cisalhamento máximas ocorrem em planos orientados a 45º em relação à posição
de um elemento que de�ne os planos da tensão principal, de�nidos pela substituição
de θs1e θs2nas equações de transformação de tensão.
tan2θs=−
σx−σy
2τxy
     
(eq. 3.18)
A tensão máxima de cisalhamento é dada pela equação 3.19:
τmax=
σx−σy
2
2
+τ 2
xy
(eq. 3.19)
√
( )
√
( )
Também na tensão máxima de cisalhamento, a tensão normal é média, podendo ser
obtida por:
σm
ˊ
ed=
σx+σy
2
(eq. 3.20)
Todos os conceitos aqui apresentados, de tensão média, tensão máxima de
cisalhamento, ângulos principais e tensões principais serão muito úteis na análise de
 critérios de seleção de materiais e serão utilizados a seguir na construção grá�ca do
círculo de Mohr, uma ferramenta que transforma as equações em grá�co.
Círculo de Mohr
O Círculo de Mohr é uma representação grá�ca das equações de transformações de
tensões. Com ele, é possível observar como as tensões normais e de cisalhamento se
relacionam e agem em planos inclinados em um corpo submetido à tensão. Nele, é
fácil de observar as tensões principais, as tensões de cisalhamento máximas e as
tensões em planos inclinados. Também pode se aplicar o Círculo de Mohr às
deformações.
O círculo é construído seguindo algumas regras:
tensão normal positiva à direita no eixo x;
tensão de cisalhamento é positiva para baixo, no eixo y;
considerar σx, σye τxy conhecidas agindo nos planos x e y de um elemento
sujeito a estado plano de tensões;
com o círculo, é possível determinar as tensões de um elemento inclinado σx
′
, σy
′ e τx′y′, bem como as tensões principais e máxima de cisalhamento.
O centro do círculo é dado pelas coordenadas C (σm
ˊ
edia;0). O raio do círculo R = τmax,
conforme visto na equação 3.12. Outro ponto importante é o ponto A, que se dá pelas
coordenadas A (σx,τxy).
Uma rotação de ângulo θ  do eixo x’ no elemento corresponde uma rotação2θ no
círculo, com mesma direção.
praticarVamos Praticar
Se temos um estado plano de tensão, representado pelo elemento na �gura a seguir,
determine suas tensões em um outro elemento orientado a 30º no sentido horário em
relação à posição mostrada. Preste atenção ao sinal das tensões, conforme convenção
adotada.
Solução
a) σx
′=25,8 MPa, σy
′=4,15 MPa e τx′y′=68,8 MPa
b) σx
′=−25,8 MPa, σy
′=−4,15 MPa e τx′y′=−68,8 MPa
c) σx
′=−80 MPa, σy
′=50 MPa e τx′y′=−25 MPa
d) σx
′=−52,5 MPa, σy
′=3,6 MPa e τx′y′=−44,6 MPa
e) σx
′=−32,7 MPa, σy
′=−7,54 MPa e τx′y′=−62,2 MPa
Estado plano da atividade
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010, p. 354).
Quando um elemento é sujeito a deformações em um único plano, estamos falando
de estado plano de deformações. Conhecendo os componentes de deformação para
um elemento, podemos encontrar também as deformações em uma certa orientação
do elemento, tal como visto anteriormente para tensões. Fazemos uso de equações
de transformação de deformações:
εx′=
εx+εy
2
+
εx−εy
2
cos2θ+
γxy
2
sen2θ
(eq. 3.21)
εy′=
εx+εy
2
−
εx−εy
2
cos2θ−
γxy
2
sen2θ
(eq. 3.22)
γx′y′
2
=−
εx−εy
2
sen2θ+
γxy
2
cos2θ
(eq. 3.23)
ε1,2=
εx+εy
2
±
εx−εy
2
2
+
γxy
2
2
(eq. 3.24)
Transformação deTransformação de
DeformaçõesDeformações
( )
√
( ) ( )
γm
ˊ
ax no plano
2
=
εx−εy
2
2
+
γxy
2
2
(eq. 3.25)
εm
ˊ
ed=
εx+εy
2
(eq. 3.26)
tan2θp=
γxy
εx−εy
(eq. 3.27)
De forma análoga ao método de análise do estado plano de tensões, o estado plano
de deformações possui equações para deformações principais, média e em planos
inclinados. Elas serão posteriormente utilizadas na construção do Círculo de Mohr do
estado plano de deformações.
Círculo de Mohr para Deformações
O Círculo de Mohr também é válido para deformações. Sua construção é bastante
similar ao Círculode Mohr para tensões. O centro do círculo é dado pelas
coordenadas C εm
ˊ
edia;0 . O raio do círculo R = 
γm
ˊ
ax no plano
2
$ é dado na equação 3.25.
Outro ponto importante é o ponto A, que se dá pelas coordenadas A (εx′,
γxy
2
).
√
( ) ( )
( )
Figura 3.25 - Círculo de Mohr para deformações
Fonte: Hibbeler (2010, p. 391).
Podemos observar que o Círculo de Mohr de deformações é bastante similar ao
Círculo de Mohr de tensões, bem como as equações. Um dos cuidados, porém, é em
relação à deformação de cisalhamento, que é apresentada dividida por 2.
Extensômetros de Resistência Elétrica
tipo Roseta
As deformações normais em um corpo podem ser medidas em direções particulares
através de extensômetros de resistência elétrica do tipo roseta. Quando um corpo é
submetido a diversas cargas, resulta em diversas deformações, inclusive uma
deformação de cisalhamento. Para compreendê-las, um arranjo de três
extensômetros precisa ser feito, chamado de roseta, uma vez que extensômetros
diretamente não retornam à deformação de cisalhamento. Nesse arranjo, as
deformações normais podem ser medidas e transformadas para especi�car o estado
de deformações no ponto do corpo.
Dada a Figura 3.26, temos os três extensômetros, a, b e c. Para ângulos arbitrários, as
deformações resultantes serão dadas por:
εa=εxcos
2θa+εysen
2θa+γxysenθacosθa  
(eq. 3.28)
εb=εxcos
2θb+εysen
2θb+γxysenθbcosθb
(eq. 3.29)
εc=εxcos
2θc+εysen
2θc+γxysenθccosθc
(eq. 3.30)
Normalmente, as rosetas são arranjadas em ângulos de 45º e 60º.
Para uma roseta de 45º, teremos as seguintes equações:
εx=εa
(eq. 3.31)
εy=εc
(eq. 3.32)
γxy=2εb −  εa+εc
(eq. 3.33)
Para extensômetros do tipo roseta de 60º, teremos:
εx=εa
(eq. 3.34)
εy=
1
3
(2εb+2εc−εa)
(eq. 3.35)
γxy=
2
√3
(εb − εc)
(eq. 3.36)
É válido salientar que as rosetas não vão retornar valores diretos de deformação
sofrida por um corpo no plano e, por isso, a conversão que é feita, por meio das
Figura 3.27 - Extensômetro do tipo roseta de 45º e 60º, da esquerda para a direita
Fonte: Hibbeler (2010, p. 400).
( )
equações aqui apresentadas, é muito importante e retorna ao analista ou ao técnico
o estado plano de deformações.
Bem como as tensões, as deformações precisam ser compreendidas, pois elas
explicam fenômenos dos materiais que são de grande importância na engenharia.
Compreendê-las é entender sobre a prevenção de falha e a durabilidade de
mecanismos e sistemas. Ao �m dos estudos desta unidade, temos base para discernir
sobre materiais deformáveis em aplicações não somente da engenharia mecânica e
civil, mas também temos uma compreensão dos materiais como um todo, quando
sujeitos a carregamentos ou passando por fenômenos físicos.
praticarVamos Praticar
O estado plano de deformação no ponto A sobre o suporte é medido por meio do
extensômetro tipo roseta, conforme �gura a seguir. As leituras obtidas para as deformações
foram: εa=60×10
−6,εb=135×10
−6e εc=264×10
−6. Determine as deformações principais no plano
no ponto e suas direções.
a) ε1=60×10
−6$ e ε2=246×10
−6 a um ângulo θp2=−27,4
o
b) ε1=272×10
−6 e ε2=33,9×10
−6 a um ângulo θp2=19,3
o
c) ε1=60×10
−6 e ε2=135×10
−6 a um ângulo θp2=−37,1
o
d) ε1=272 e ε2=33,9 a um ângulo θp2=19,3
o
e) )ε1=144×10
−6 e ε2=247×10
−6 a um ângulo θp2=28,7
o
Extensômetro do tipo roseta para atividade
Fonte: Hibbeler (2010, p. 401).
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Resistência dos Materiais (capítulos 7, 8 e 9)
Russell Hibbeler
Editora: Pearson
ISBN: 9788576053736
Comentário: Novamente, recomenda-se leitura do livro-texto
Resistência dos Materiais, de Hibbeler. O conteúdo está
apresentado de forma sucinta e dinâmica. Recomenda-se a
resolução de exercícios que possam aumentar seu
conhecimento por meio da prática e da leitura de exemplos
que o livro traz.
FILME
O Challenger
Ano: 2013
Comentário: Este é um interessante �lme que mostra, de
forma dramatizada, o acidente com o ônibus espacial
Challenger, em 1986. O principal motivo do acidente, que
deixou 7 mortos, foi a falha de um anel de vedação, o que
ocasionou falhas estruturais no ônibus e culminou em sua
explosão.
T R A I L E R
conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), esta unidade pode parecer, a uma primeira vista, bastante
condensada e cheia de fórmulas, porém não �que intimidado(a) por isso, pelo
contrário, veja o quanto você já adquiriu de conhecimento su�ciente para resolver
problemas complexos dentro da mecânica dos sólidos, como o projeto de vasos de
pressão de parede �na. Aqui, estruturas que suportam carregamentos diversos foram
analisadas, bem como tensões e deformações passaram a ser compreendidas de
forma mais íntegra, e não apenas como o resultado de um equacionamento, graças
ao Círculo de Mohr, que demonstra visualmente como a inclinação de um elemento
tensionado pode alterar seu per�l de tensões ou deformações.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ESFUERZOS en un plano oblicuo bajo carga axial. Resistencia de los Materiales, 2017.
Disponível em:
<https://profejnresistenciademateriales.blogspot.com/2017/10/esfuerzos-en-un-
plano-oblicuo-bajo.html>. Acesso em: 07 jan. 2020.
GERE, James B. Mechanics of Materials. Stamford: Cengage Learning, 2014.
HIBBELER, Russell. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson, 2010.
MEYERS, Marc. Mechanical Behavior of Materials. Cambridge: Cambridge University
Press, 2009.
https://profejnresistenciademateriales.blogspot.com/2017/10/esfuerzos-en-un-plano-oblicuo-bajo.html
RODRIGUES, Luiz E. M. Aula 2 - Resistência dos Materiais. EngBrasil, 2020. Disponível
em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/res/aula2.pdf>. Acesso em: 07 jan. 2020.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/res/aula2.pdf