Lista 2 - INTEGRAL DEFINIDA

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Cálculo B
Lista de Exercícios 2
1
o
semestre de 2020 – Prof. Claudio H. Asano
1 Integral Definida
Para calcular a integral definida, utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
a b
Área
Área =
∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a),
onde F (x) =
∫
f(x) dx é uma anti-derivada de f(x).
1.1 Calcule as integrais definidas a seguir:
(a)
∫
2
1
2x dx
Resp: 3
(b)
∫
3
1
4x dx
Resp: 16
(c)
∫
2
1
3x2 dx
Resp: 7
(d)
∫
2
0
(x+ 3) dx
Resp: 8
(e)
∫
1
−1
(3x2 + 2x+ 1) dx
Resp: 4
(f)
∫
4
1
(
√
x+ 1) dx
Resp: 23/3
1.2 Resolva as seguintes integrais definidas:
(a)
∫
3
0
(4x+ 1) dx
Resp: 21
(b)
∫
2
1
(5x2 + 2x) dx
Resp: 44/3
(c)
∫
9
1
√
x dx
Resp: 52/3
(d)
∫
1
0
e2x dx
Resp: e
2
−1
2
1.3 Use mudança de variáveis para calcular as integrais definidas.
(a)
∫
1
0
2x(x2 + 1)4 dx
Resp: 31/5
(b)
∫
2
1
3x2(x3 + 2)2 dx
Resp: 973/3
(c)
∫
6
1
√
x+ 3 dx
Resp: 38/3
(d)
∫
1
0
2xex
2
dx
Resp: e− 1
1.4 Utilize integração por partes para calcular as integrais.
(a)
∫
1
0
xex dx
Resp: 1
(b)
∫
1
0
xe2x dx
Resp: e
2+1
4
1.5 Calcule as integrais definidas abaixo.
(a)
∫
2
4
(
5
x2
− 4
x5
)
dx.
Resp: −305
256
(b)
∫
2
4
(
4
x3
− 5
x4
)
dx.
Resp: − 37
192
(c)
∫
2
3
(
4
x2
− 2
x4
)
dx.
Resp: −197
324
(d)
∫
3
2
(
5
x5
− 4
x2
)
dx.
Resp: −3131
5184
1.6 Calcule as integrais definidas abaixo.
(a)
∫
1
0
(
5
√
x3 + 2
√
x
)
dx.
Resp:
31
24
(b)
∫
1
0
(
5
√
x3 +
4
√
x5
)
dx.
Resp:
77
72
(c)
∫
1
0
(
2
√
x3 +
3
√
x2
)
dx.
Resp: 1
(d)
∫
1
0
(
2
√
x+
3
√
x5
)
dx.
Resp:
25
24
1.7 Calcule a área da região do plano compreendida entre as retas x = 1, x = 2, y = 0 e o
gráfico de y = cosh(x).
Resp: e
4
−e3+e−1
2e2
1.8 Determine a área da região limitada do plano delimitada pelas curvas y = 2 − 5x e
y = x2 − 3x+ 2 para 0 ≤ x ≤ 2.
Resp: 20/3
1.9 Determine a área da região do plano delimitada pelas curvas y = x+ 2 e y = x2 − x− 1
para −2 ≤ x ≤ 1.
Resp: As curvas se intersectam em x = −1 e x = 3. A área é
∫
−1
−2
(
(x2 − x − 1) − (x +
2)
)
dx+
∫
1
−1
(
(x+ 2)− (x2 − x− 1)
)
dx = 7
3
+ 16
3
= 23
3
1.10 Se a velocidade escalar de um veículo no instante x for representada por uma função f(x)
então seu deslocamento entre os instantes x = a e x = b é dado pela integral definida
∫ b
a
f(x) dx.
Suponha que a velocidade escalar de um automóvel seja dada por f(x) = 6x2 + 2x+ 50
(km/h). Calcule seu deslocamento entre os instantes x = 0 e x = 1 hora.
Resp: 53 km
1.11 Se a velocidade escalar de um veículo no instante x for representada por uma função
f(x) então a distância percorrida entre os instantes x = a e x = b é dado pela integral
definida
∫ b
a
|f(x)| dx.
Suponha que a velocidade escalar de um automóvel seja dada por f(x) = x2 − 7x + 10
(km/h). Calcule a distância percorrida entre os instantes x = 0 e x = 10 horas.
1.12 Uma partícula tem velocidade escalar dada por v(t) = t cos(t) (m/s). Calcule o desloca-
mento e a distância percorrida para t entre 0 e 2π segundos.
1.13 Se a velocidade de produção (em unidades por hora) no instante x for dada por uma
função f(x) então o número de unidades produzidas entre os instantes x = a e x = b é
dado pela integral definida
∫ b
a
f(x) dx.
Suponha que uma impressora de jornal imprima f(x) = 9x2 + 5x mil exemplares por
hora no instante x, calcule o número de exemplares impressos entre x = 1 e x = 2 horas.
Resp: 28.5 mil exemplares
1.14 Quando denotamos o consumo anual de um produto por uma função f(x), onde x é o
ano, o consumo total deste produto entre os anos x = a e x = b é a integral
∫ b
a
f(x) dx.
Se o consumo de aguardente em certa cidade do interior for f(x) = 10e0.1x−200 milhares
de litros por ano, calcule o consumo total da pinga entre os anos 2000 e 2004.
Resp: O consumo total é de aproximadamente 49.18 milhares de litros.
1.15 O valor médio de uma função contínua f(x) definida em um intervalo a ≤ x ≤ b é dado
por
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx.
A população mundial a partir de 1998 é aproximadamente f(x) = 5.9e0.0134x bilhões de
pessoas, onde x é o número de anos desde 1998. Aproxime a população mundial média
entre 1998 (x = 0) e 2018 (x = 20).
Resp: A população média é 1
20
∫
20
0
f(x) dx ≈ 6.77 bilhões de pessoas.
2 Sólidos de Rotação
2.1 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a
curva y =
√
x entre 0 e 1.
Resp: V =
∫
1
o πx dx =
π
2
2.2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x3, y = 8 e
x = 0 em torno do eixo y.
Resp: V =
∫
8
0
πy2/3 dy = 96π
5
2.3 Mostre que o volume de uma esfera de raio r é 4
3
πr3.
Resp: Use a rotação em torno do eixo x do gráfico de y =
√
r2 − x2 para x entre −r e r.
2.4 A região R delimitada pelas curvas y = x e y = x2 foi girada em torno do eixo x.
Encontre o volume do sólido resultante.
Resp: Subtraímos os volumes de dois sólidos de rotação e obtemos 2π
15
.
2.5 Considere a região do plano delimitada pelas curvas y = ex, y = e2x, x = 1 e x = 2.
Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região em torno do
eixo x.
Resp: π
4
(e8 − 3e4 + 2e2)
2.6 Calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo y obtido pela rotação da região
do plano delimitada por y = 2x− 1, y = 0 e x = 2.
Resp: 27π
4
Referências
[1] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 1, São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
[2] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 2, São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
[3] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 1, São Paulo: Cengage Learning, 2005.
[4] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 2, São Paulo: Cengage Learning, 2005.
[5] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 1, São Paulo: Pearson Education, 2003.
[6] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 2, São Paulo: Pearson Education, 2003.
[7] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 1, São Paulo: LTC, 1982.
[8] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 2, São Paulo: LTC, 1982.
[9] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 1, São Paulo: Makron Books, 1996.
[10] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 2, São Paulo: Makron Books, 1996.