Progressão Aritmética e Progressão Geométrica (Resumo)

Prévia do material em texto

𝑎𝑛 → enésimo termo 
𝑎1 → 1° termo 
𝑛 → quantidade de termos 
𝑟 → razão 
Classificação de uma PG 
Crescente: {
𝑞 > 1 𝑒 𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
0 < 𝑞 < 1 𝑒 𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
 
Decrescente: {
0 < 𝑞 < 1 𝑒 𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
𝑞 > 1 𝑒 𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
 
Constante: 𝑞 = 1. Alternada 𝑞 < 0 
Classificação de uma PA 
Crescente: 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 
Decrescente: 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 
 
Def1.: Sequência, no qual, a diferença entre dois termos consecutivos é constante chamada de razão (𝑟). 
Obs.: Dados três termos consecutivos de uma 𝑃𝐴 = {… , 𝑎𝑟 , 𝑎𝑠, 𝑎𝑝, … }, temos que: 𝑎𝑠 =
𝑎𝑟+𝑎𝑝
2
. 
 
Termo geral 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 + (𝑛 − 𝑚) ∙ 𝑟 
 
Soma dos termos 
𝒔𝒏 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
𝟐
 
 
𝒔𝒏 =
(𝑎𝑝+𝑎𝑞)∙𝑛
𝟐
 com 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 + 1 
Obs.: 𝑠𝑛 é uma função quadrática em 𝑛 quando 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 . 
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) 
 
Def2.: Sequência não-nula, no qual, o quociente entre dois termos consecutivos é constante chamada de 
razão (𝑞). 
Obs.: Dados três termos consecutivos de uma 𝑃𝐺 = {… , 𝑎𝑟 , 𝑎𝑠 , 𝑎𝑝, … }, temos que: 
𝑎𝑠
𝑎𝑟
=
𝑎𝑝
𝑎𝑠
. Além disso, 
𝑞 = 1 + 𝑖, onde 𝑖 é a taxa de crescimento dada por: 𝑖 =
𝑎𝑛−𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−1
, sempre que 𝑎𝑛−1 ≠ 0. 
 
Termo geral 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 
Obs.: Numa PG finita, o produto de dois termos equidistante dos extremos é igual ao produto dos extremos. 
Soma dos termos de uma PG finita
𝑠𝑛 = 𝑎1 ∙
1 − 𝑞𝑛
1 − 𝑞
 𝑠𝑛 = 𝑎1 ∙
𝑞𝑛 − 1
𝑞 − 1
 
 
Limite da soma dos termos de uma PG infinita
 
lim
𝑛→∞
𝑠𝑛 =
𝑎1
1 − 𝑞
, 0 < |𝑞| < 1