Atividade 1 - PO

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Formule os modelos de Programação Linear para cada um dos problemas a seguir.
a. Plano de produção de lucro máximo
Certa empresa fabrica dois produtos: P1 e P2. O lucro unitário com P1 é de $1.000 e com P2
é de $1.800. A empresa precisa de 20h para fabricar uma unidade de P1 e de 30h para
fabricar uma unidade de P2. O tempo anual disponível para produção de 1.200h. A demanda
esperada para cada produto é de 40 unidades anuais de P1 e 30 unidades anuais de P2.
Formule o problema que determine o plano de produção ótimo que maximize o lucro anual
da empresa.
Máx Z = 1000P1+1800P2
S.a:
P1, P2 >=0
20P1+30P2<=1200
P1>=40
P2>=30
b. Plano de Corte
Certa empresa produz dois tipos de peças, Peça A e Peça B, a partir de chapas de aço. As
características técnicas de ambas as peças estão descritas no diagrama abaixo. A empresa
necessita produzir 360 unidades da Peça A e 1800 unidades da Peça B. As possibilidades de
corte das chapas de aço também estão expressas no diagrama abaixo. O melhor plano de corte
(combinação de uma ou mais possibilidades de corte disponíveis) é o que minimiza o volume
de refugo total (em unidades de área). Gere o modelo de PL que define o melhor plano de
corte.
Planos de corte:
(I) = x1; (II) = x2; (III) = x3; (IV) = x4; (V) = x5;
Min Z = 12x1 + 5x2 + 3x3 + 2x5
S.a:
4x1 + 3x2 + x3 + 2x5 =360
4x2 + 9x3 + 12x4 + 7x5 =1800
x1, x2, x3, x4, x5 >=0
c. Frota mínima
Uma cidade está estudando a viabilidade de introduzir um sistema de ônibus para transporte
de massa. O estudo procura o número mínimo de ônibus que possa dar conta das
necessidades de transporte. Após colher as informações necessárias, o engenheiro percebeu
que o número mínimo de ônibus necessários variava de acordo com a hora do dia e que o
número de ônibus requeridos poderia ser aproximado para valores constantes em intervalos
sucessivos de quatro horas. Devido à manutenção diária obrigatória, cada ônibus pode
circular apenas oito horas sucessivas por dia. Formule o problema que poderá determinar o
número de ônibus em funcionamento em cada turno, que atenderá à demanda mínima e, ao
mesmo tempo, minimizará o número total de ônibus em funcionamento.
Ônibus:
(0h-8h) = x1
(4h-12h) = x2
(8h-16h) = x3
(12h-20h) = x4
(16h-0h) = x5
20h-4h) = x6
Min Z = x1 + x2 + x3 + x4+ x5 + x6
S.a:
x1 +x2 >=12 ; x4 + x5 = 12 ;
x2 + x3 = 8 ; x5 + x6 = 4 ;
x3 + x4 = 10 ; x6 + x1 = 4;
d. Custo mínimo na utilização de insumos
Um fabricante de sorvete deseja produzir 100Kg de sorvete, cuja receita é a seguinte:
As seguintes matérias primas estão disponíveis:
Qual o modelo de PL que minimiza os custo de produção do sorvete?
Creme 40% x1
Creme 38% x2
Leite 3,2% x3
Leite 4% x4
Leite condensado gordo x5
Leite condensado magro x6
Manteiga x7
Sólidos secos Whey x8
Sacarose x9
Garapa x10
Estabilizador x11
Emulsificador x12
Água x13
Min Z = 27x1 + 26x2 + 3x3 + 3x4 + 7x5 + 3x6 + 15x7 + 10x8 + 10x9 + 9x10 + 55x11 +
78x12
S.a:
40x1 +38x2 + 3,2x3 + 4x4 + 8x5 + 5x7 >=10
40x1 +38x2 + 3,2x3 + 4x4 + 8x5 + 5x7<=16
5,4x1 + 5,6x2 + 8,7x3 + 8,6x4 + 20x5 + 28x6 + 92x7 + 95x8 >=10,5
5,4x1 + 5,6x2 + 8,7x3 + 8,6x4 + 20x5 + 28x6 + 92x7 + 95x8 <=13
45,4x1 + 43,6x2 + 11,9x3 + 12,6x4 +28x5 + 28x6 + 97x7 + 95x8 >=20,5
45,4x1 + 43,6x2 + 11,9x3 + 12,6x4 +28x5 + 28x6 + 97x7 + 95x8 <=25
100x9 + 67x10 >=11
100x9 + 67x10 <=17
45,4x1 + 43,6 x2 + 11,9x3 + 12,6x4 + 28x5 + 28x6 + 97x7 + 95x8 + 100x9 + 67x10 + 80x11
>=37,5
45,4x1 + 43,6 x2 + 11,9x3 + 12,6x4 + 28x5 + 28x6 + 97x7 + 95x8 + 100x9 + 67x10 + 80x11
<=41,5
54,6x1 + 56,4x2 + 88,1x3 + 87,4x4 + 72x5 + 72x6 + 3x7 + 5x8 + 33x10 + 20x11 + 100x13
>=58,5
54,6x1 + 56,4x2 + 88,1x3 + 87,4x4 + 72x5 + 72x6 + 3x7 + 5x8 + 33x10 + 20x11 +
100x13<=62,5
x11, x12 = 0,10
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13 >=0
e. Custo mínimo na aquisição de matéria-prima de madeireira
Uma madeireira deseja obter 1.000Kg de lenha, 2.000Kg de madeira para móveis 5 50m3 de
casca de árvore, dispondo, como matéria-prima dos fornecedores, de carvalhos e pinheiros.
Sabe-se que, de carvalhos, pode-se obter 50Kg de lenha, 150Kg de madeira e 3m3 de casca
aproveitável; de pinheiros, pode-se obter 100Kg de lenha, 60Kg de madeira e 8m3 de casca.
Formule o problema, de modo a minimizar os custos de produção, para a qual, cada carvalho
custa $1.500 e cada pinheiro custa $1.200.
Min Z = 1500X1 + 1200X2
S. a:
50X1 + 100X2 = 1000
150X1 + 60X2 = 2000
3X1 + 8X2 = 550
X1, X2 ≥ 0
f. Plano de aquisição de aeronaves
Uma companhia de aviação está considerando a compra de aviões de passageiros de 3 tipos:
de pequeno curso, de curso médio e de longo curso. O preço de compra seria de $6,7M para
cada avião de longo curso, $5M para aviões de médio curso e $3,5M para aviões de pequeno
curso. A diretoria autorizou um gasto máximo de $150M para estas compras,
independentemente de quais aviões serão comprados. As viagens aéreas em todos os tipos de
aviões fazem prever que os aviões andarão sempre lotados. Estima-se que o lucro anual
líquido seria de $0,42M para cada avião de longo curso, $0,30M para avião de médio curso e
$0,23M para avião de pequeno curso. A companhia terá pilotos treinados para pilotar 30
novos aviões. Se somente aviões de pequeno curso forem comprados, a divisão de
manutenção estaria apta a manter 40 novos aviões. Cada avião de médio curso gasta 1/3 a
mais de manutenção do que o dispendido por um avião de pequeno curso e o de longo curso
2/3 a mais. As informações acima foram obtidas por uma análise preliminar do problema.
Uma análise mais detalhada será feita posteriormente. No entanto, usando os dados acima
como uma primeira aproximação, a diretoria da empresa deseja conhecer quantos aviões de
cada tipo deveriam ser comprados se o objetivo é maximizar o lucro. Formule um modelo de
Programação Linear para este problema. (M = 1.000.000).
Máx Z = 0,42X1 + 0,3X2 + 0,23X3
S. a:
6,7X1 + 5X2 + 3,5X3 ≤ 150
X1 + X2 + X3 ≤ 30
1,67X1 + 1,33X2 + X3 ≤ 40
X1, X2, X3 ≥ 0
g. Número de funcionários necessários
Para um bar que funciona 24 horas por dia, a seguinte quantidade de empregados é
necessária:
Cada empregado trabalha 8 horas consecutivas por dia. O objetivo é achar o menor número
necessário de empregados de modo que a necessidade mínima acima seja obedecida. Formule
o problema como um modelo de Programação Linear.
h. Ajuste de produção ociosa
Uma fábrica descontinuou a produção de um produto que não estava dando lucro. Isto criou
uma considerável capacidade de produção ociosa. A gerência está considerando em usar esta
capacidade ociosa em um ou mais, de 3 produtos, os quais chamaremos de produtos 1, 2 e 3.
A capacidade disponível das máquinas que poderiam limitar a saída está dada na tabela
abaixo:
O número de máquinas-hora necessárias para cada produto é:
O Departamento de Vendas indicou que o potencial de vendas para os produtos 1 e 2
excedem a taxa máxima de produção e que o potencial de vendas para o produto 3 é de 20
unidades por semana. O lucro unitário seria de $30, $12 e $15 respectivamente para os
produtos 1, 2 e 3. Quanto se deve fabricar dos produtos 1, 2 e 3 de maneira que o lucro seja
máximo?
Formule o problema como um modelo de Programação Linear.,
i. Divisão de área de terras por cultura agrícola
Um agricultor está interessado na produção do milho e algodão. Ele deseja saber qual a
combinação dessas 2 linhas de produção que lhe pode proporcionar a maior renda possível.
Ele possui área disponível de 100 ha e sabe que pode dispor, durante o período de produção
de milho e algodão, de 3.600 homens/dia e 240 dias de trabalho de um trator médio. Com
base em sua experiência, ele sabe que naquela terra e com sua técnica de produção, o milho
produz 2.000 Kg/ha e o algodão 1.800 kg/ha. A cultura do milho exige 30 homens/dia por ha
e 4 dias de serviço de trator por hectare, enquanto o algodão exige 60 homens/dia por ha e 2
dias de trator por ha. As perspectivas de preço são de R$ 1.700,00 por tonelada de milho e de
R$ 2.040,00 por tonelada de algodão.
j. Plano de renda na utilização de água
Um fazendeiro que dispõede 24.000 m3 de água e de 240 jornadas de trabalho tem
possibilidade de cultivar batata, amendoim, milho e tomate. Interessa a ele maximizar a sua
renda pela utilização dos fatores água e trabalho. Sabendo-se que as pretensas atividades
possuem as características estabelecidas na tabela abaixo, determinar o plano de renda
máxima.