PROBABILIDADE - SEMANA 6 - PET 2 - SLIDE.pdf

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Probabilidade
PARTE II
Probabilidade da União de dois Eventos
Probabilidade de ocorrer um evento A ou um evento B.
A B 𝐏 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐏 𝐀 + 𝐏 𝐁 − 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
Exemplo 1: No lançamento de um dado qual a
probabilidade da face voltada para cima ser um
múltiplo de 2 ou um múltiplo de 3?
A = (M2) = {2,4,6} → n(A) = 3
Ω = {1,2,3,4,5,6} → n(Ω) = 6 
B = (M3) = {3,6} → n(B) = 2
A∩B = {6} → n(A∩B) = 1
P(A∪B) = 
𝟑
𝟔
+
𝟐
𝟔
−
𝟏
𝟔
P(A∪B) = 
𝟒
𝟔
=
𝟐
𝟑
=
𝟎, 𝟔𝟔 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔%
Exemplo 2: No lançamento simultâneo de 2 dados, qual a probabilidade da soma
das faces voltada para cima ser 6 ou saírem números iguais?
(S6) = {(1,5), (2,4), (3,3), (5,1), (4,2)} 
(nº =) = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} 
P(S6 ∪ nº=) = 
10
36
=
5
18
Probabilidade Condicional:
Probabilidade de ocorrer um evento A dado que já ocorreu um outro evento B.
A B 𝑷 ൗ
𝑨
𝑩 =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
; 𝐏 𝐁 ≠ 𝟎.
Exemplo 1: Em uma urna há um total de 15 bolas numeradas de 1 a 15. Ao
retirar-se uma bola ao acaso, verifica-se que o número sorteado é maior que 6.
Qual a probabilidade desse número ser múltiplo de 3?
𝑷 Τ𝑨 𝑩 → lê-se: probabilidade de ocorrer o
evento A dado que ocorreu já um outro evento B.
𝐄𝐯𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐁 = > 𝟔
𝐏 𝐁 = {𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓}
𝐄𝐯𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐀 = 𝐌𝟑
𝐏 𝑨 = {𝟑, 𝟔, 𝟗, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓}
𝑷 ൗ𝑨 𝑩 =
𝟑
𝟗
=
RESOLUÇÃO:
𝟏
𝟑
Bolas numeradas de 1 a 15:
𝑷 ൗ𝑨 𝑩 =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
A B
Como descobrir se os eventos são 
Dependentes ou Independentes:
1ª Maneira:
2ª Maneira:
APLICAÇÃO:
Os eventos abaixo são dependentes ou independentes? 
A = “a bola retirada é azul” 
B = “a bola retirada contém um número par”
𝐏 ൗ𝐀 𝐁 = 𝐏 𝐀 → 𝐈𝐍𝐃𝐄𝐏𝐄𝐍𝐃𝐄𝐍𝐓𝐄
n(A) = 6
n(B) = 5
𝐏 𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐏 𝐀 .𝐏 𝐁 → 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑷𝑬𝑵𝑫𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑷 ൗ𝑨 𝑩 =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
=
𝟑
𝟓
𝐏 𝐀 =
𝟔
𝟏𝟎
=
𝟑
𝟓
e
Concluímos então que são eventos independentes. 
1ª Maneira:
2ª Maneira:
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝒏(Ω)
=
𝟑
𝟏𝟎
𝐏 𝐀 .𝐏 𝐁 =
𝟔
𝟏𝟎
.
𝟓
𝟏𝟎
=
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
=
𝟑
𝟏𝟎
e
Concluímos então 
que são eventos 
independentes. 
A = “a bola retirada é azul” 
B = “a bola retirada contém um número maior que 4
# Os eventos abaixo são 
dependentes ou independentes?
1ª Maneira: 𝐏 ൗ𝐀 𝐁 ≠ 𝐏 𝐀 → 𝐃𝐄𝐏𝐄𝐍𝐃𝐄𝐍𝐓𝐄
𝐏 𝐀 : 𝐧 𝐀 = 𝟔
𝐏 𝑩 : 𝐧 𝐁 = 𝟐
𝐏 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝐧 𝑨 ∩ 𝐁 = 𝟐
𝑷 ൗ𝑨 𝑩 =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
=
𝟐
𝟐
= 𝟏
𝐏 𝐀 =
𝟔
𝟏𝟎
=
𝟑
𝟓
Concluímos então que são eventos dependentes. 
2ª Maneira: 𝐏 𝐀 ∩ 𝐁 ≠ 𝐏 𝐀 .𝐏 𝐁 → 𝐃𝐄𝐏𝐄𝐍𝐃𝐄𝐍𝐓𝐄
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝒏(Ω)
=
𝟐
𝟏𝟎
=
𝟏
𝟓
𝐏 𝐀 .𝐏 𝐁 =
𝟔
𝟏𝟎
.
𝟐
𝟏𝟎
=
𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟎
=
𝟑
𝟐𝟓
e
Concluímos então 
que são eventos 
dependentes. 
Questões ENEM
(ENEM 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações
médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano.
A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que
deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras
regiões para morar, a probabilidade de ele
escolher uma região que seja adequada às
recomendações médicas é:
A) 
1
5
B) 
1
4
C) 
2
5
D) 
3
5
E) 
3
4
P = 
𝟑
𝟒
(ENEM 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento
desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam
qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a
probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
A) 
1
2
B) 
5
8
C) 
1
4
D) 
5
6
E) 
5
14
𝒙
𝐈 𝐄
𝟔𝟎𝟎 − 𝒙
300
5𝟎𝟎 − 𝒙
600 – x + x + 500 – x + 300 = 1200
1400 – x = 1200
1400 – 1200 = x
x = 200
P = 
𝐧(𝐅𝐄)
𝐧(𝐍𝐅𝐈)
𝐧º 𝐅𝐄 = 𝟓𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎 = 𝟑𝟎𝟎
𝐧º 𝐍𝐅𝐈 = 𝟑𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝟎 = 𝟔𝟎𝟎
P = 
𝟑𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎
P = 
𝟏
𝟐
(ENEM 2015) No próximo final de semana, um grupo de alunos participará de uma aula de campo. 
Em dias chuvosos, aulas de campo não podem ser realizadas. A ideia é que essa aula seja no 
sábado, mas, se estiver chovendo no sábado, a aula será adiada para o domingo. Segundo a 
meteorologia, a probabilidade de chover no sábado é de 30% e a de chover no domingo é de 25%.
A probabilidade de que a aula de campo ocorra no domingo é de:
A) 5% B) 7,5% C) 22,5% D) 30,0% E) 75,0% 
Chover sábado Não chover domingoe
30% 75%
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟕𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎 . 𝟏𝟎𝟎
=
𝟐𝟐𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
% =𝟐𝟐, 𝟓%
(ENEM 2015) Um protocolo tem como objetivo firmar acordos e discussões internacionais para
conjuntamente estabelecer metas de redução de emissão de gases de efeito estufa na
atmosfera. O quadro mostra alguns dos países que assinaram o protocolo, organizados de acordo
com o continente ao qual pertencem.
Em um dos acordos firmados, ao final do ano, dois dos
países relacionados serão escolhidos aleatoriamente, um
após o outro, para verificar se as metas de redução do
protocolo estão sendo praticadas.
A probabilidade de o primeiro país escolhido pertencer
à América do Norte e o segundo pertencer ao continente
asiático é
A) 
1
9
B) 
1
4
C) 
3
10
D) 
2
3
E) 1
PAN e PA
𝟑
𝟔
.
𝟑
𝟓
=
𝟗
𝟑𝟎
=
𝟑
𝟏𝟎
(ENEM 2015) Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo
tipo de parafuso.
Em setembro, a máquina I produziu 54/100 do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos
parafusos produzidos por essa máquina, 25/1 000 eram defeituosos. Por sua vez, 38/1 000
dos parafusos produzidos no mesmo mês pela máquina II eram defeituosos.
O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a
probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso.
O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como
A) excelente.
B) bom.
C) regular.
D) ruim.
E) péssimo.
Defeituosos MI : 
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
= 𝟐, 𝟓% 𝒅𝒆 𝟓𝟒 = 𝟏, 𝟑𝟓
Defeituosos MII : 
𝟑𝟖
𝟏𝟎𝟎𝟎
= 𝟑, 𝟖% 𝒅𝒆 𝟒𝟔 ≈ 𝟏, 𝟕𝟓
𝟑,𝟏
𝟏𝟎𝟎
Total de defeituosos: 1,35 + 1,75 = 3,1
𝑷 =
𝑸𝒖𝒆𝒓𝒐
𝑻𝒖𝒅𝒐
=
(ENEM 2012) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a 
seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Uma jogada consiste em:
1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola 
que será retirada por ele da urna 2;
2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a 
coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão;
3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma 
bola da urna 2;
4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do 
palpite inicial, ele ganha o jogo.
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
A) Azul.
B) Amarela.
C) Branca.
D) Verde.
E) Vermelha.
𝟏
𝟏𝟎
.
𝟒
𝟏𝟏
+
𝟗
𝟏𝟎
.
𝟑
𝟏𝟏
=
𝟎
𝟏𝟎
.
𝟒
𝟏𝟏
+
𝟏𝟎
𝟏𝟎
.
𝟒
𝟏𝟏
=
𝟒
𝟏𝟏𝟎
+
𝟐𝟕
𝟏𝟏𝟎
=
𝟑𝟏
𝟏𝟏𝟎
𝟒𝟎
𝟏𝟏𝟎
(ENEM 2015) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à 
organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, 
decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os 
atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três 
equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e 
P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos 
escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
A) P(I) < P(III)< P(II)
B) P(II) < P(I) < P(III)
C) P(I) < P(II) = P(III)
D) P(I) = P(II) < P(III)
E) P(I) = P(II) = P(III)
P(I) = 3. 
𝟏
𝟐𝟎𝟎
.
𝟏𝟗𝟗
𝟏𝟗𝟗
.
𝟏𝟗𝟖
𝟏𝟗𝟖
=
𝟑
𝟐𝟎𝟎
P(II) = 
𝟏
𝟐𝟎
. 𝟑. (
𝟏
𝟏𝟎
.
𝟗
𝟗
.
𝟖
𝟖
) =
𝟑
𝟐𝟎𝟎
P(III) = 𝟑.
𝟏
𝟐𝟎
.
𝟏𝟗
𝟏𝟗
.
𝟏𝟖
𝟏𝟖
.
𝟏
𝟏𝟎
.
𝟗
𝟗
.
𝟖
𝟖
=
𝟑
𝟐𝟎𝟎
D ND ND
ND D ND
ND ND D
Dani 
Quintino
E pra hoje...