Aula 04 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES (MÉTODO DA BISSEÇÃO)

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Aula 04: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES
Método da Bisseção
 
Índice
INTRODUÇÃO
MÉTODO DA BISSEÇÃO
EXEMPLOS
 
INTRODUÇÃO
 
 
Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há necessidade de se determinar um número para o qual uma função seja zero, ou seja, . Este número é chamado raiz da equação ou zero da função .
As equações algébricas de 1º e 2º graus, certas classes de 3º e 4º graus e algumas equações transcendentes podem ter suas raízes computadas exatamente através de métodos analíticos, mas para polinômios de grau superior a quatro e para a grande maioria das equações transcendentes o problema só pode ser resolvido por métodos que aproximam as soluções.
Embora estes métodos não forneçam raízes exatas, elas podem ser calculadas com a exatidão que o problema requeira, desde que certas condições sobre sejam satisfeitas. Para se calcular uma raiz duas etapas devem ser seguidas:
a) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo , o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação .
b) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido.
MÉTODO DA BISSEÇÃO
 
 
Seja uma função contínua no intervalo e . Dividindo o intervalo ao meio, obtém-se , havendo, pois, dois subintervalos, e , a serem considerados. 
Se , então ; caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos nos pontos extremos, ou seja, se , então ); senão e .
O novo intervalo que contém é dividido ao meio e obtém-se o ponto . O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata , com a tolerância desejada. 
Em cada aproximação da raiz exata usa-se o critério (pg. 106) e compara-se o resultado com a tolerância prefixada.
MÉTODO DA BISSEÇÃO (Interpretação Geométrica)
 
 
MÉTODO DA BISSEÇÃO (Número mínimo de iterações)
 
 
Pode-se mostrar que dado um intervalo são necessárias, no mínimo, iterações para se calcular a raiz com tolerância:
Observação: O método da bisseção deve ser utilizado preferencialmente para diminuir o intervalo que contém a raiz para posterior aplicação de outro método, pois o esforço computacional cresce demasiadamente quando se aumenta a exatidão com que se quer a raiz.
MÉTODO DA BISSEÇÃO
 
 
Exemplo 3.19. Calcular a raiz positiva da equação com .
MÉTODO DA BISSEÇÃO
 
 
Exemplo 3.20. Calcular a raiz da equação com .
MÉTODO DA BISSEÇÃO
 
 
Exercícios de Fixação: Resolver os exercícios da página 110.
Professor: Ronald Ramos Alves
ronald.alves@unifacs.br