Relações métricas no triângulo retângulo

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Matemática
Ensino Médio, 1ª Série
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
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1
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Olá, pessoal ! Eu sou o famoso filósofo e matemático Pitágoras
Vamos estudar juntos, nesta aula, as Relações Métricas no Triângulo Retângulo
São estas Relações que nos levam ao mais famoso Teorema da história da matemática...
O incrível Teorema de Pitágoras que, claro, leva meu nome porque fui eu quem o descobriu...
Mas antes, deem uma olhadinha na história de como tudo isso começou...
Vamos fazer um viagem ao passado em que as descobertas levavam séculos para acontecer...
Apertem os cintos ...
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Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
É quase uma unanimidade entre os historiadores que Pitágoras viveu no séc. VI a.C., na Grécia, entre os anos 583 e 507. Acredita-se que ele nasceu numa ilha chamada Samos, daí ele se chamar Pitágoras de Samos.
Fixou residência numa cidade no sul da Itália chamada Crotona. Lá fundou a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Filosofia, Matemática, Música dentre outras Ciências.
Grandes descobertas são atribuídas aos pitagóricos, entre elas o sistema de numeração decimal e o mais conhecido e aplicado teorema que leva o seu nome, o Teorema de Pitágoras.
Os pitagóricos tinham várias superstições. Uma delas relacionada à Matemática, cujo símbolo, o pentagrama, segundo eles, os protegia do mal.
Existem inúmeras demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Um matemático americano chamado Elisha Scott Loomis conseguiu organizar um total de 367 demonstrações diferentes, todas reunidas em um livro chamado The Pythagorean Proposition.
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MATEMÁTICA- 1º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Chegou a hora de estudar todas as relações métricas das quais falamos...
Vocês vão ver que todas estão interligadas e que, com elas, conseguimos encontrar todas as medidas de qualquer segmento em um triângulo retângulo.
Começa aqui, então, outra viagem. Agora vamos aos triângulos retângulos...
Boa viagem 
e bom estudo! 
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Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
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ˆ
Ângulo de 90º
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Conforme vocês já sabem, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. Logo, se  = 90º, a soma dos outros dois ângulos (B e C) é igual a 90º.
Observe o triângulo ABC ao lado:
Note que ele é retângulo em Â, isto é, a medida de  é 90º. 
Logo, os ângulos B e C são ditos complementares.
5
h
A
B
C
b
n
m
H
c
a
5
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
ˆ
Observe que, entre os triângulos ABH e ABC, existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice B (amarelo), além do lado AB = c. Entre ACH e ABC, existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice C (vermelho), além do lado AC = b. Por semelhança do tipo A.L.A. nos dois casos, podemos concluir que
Se dividirmos o triângulo ABC pela altura relativa a sua hipotenusa a, surgem dois triângulos ABH e ACH, retângulos em Ĥ. Sendo assim, dividimos o ângulo  nos dois ângulos já conhecidos do triângulo ABC, que são C e B.
 ABH
~
 ACH
~
 ABC
6
h
A
B
C
b
n
m
c
h
A
H
H
Triângulo ABH
Triângulo ACH
6
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH
Vamos destacar a semelhança da tela anterior:
7
C
h
A
B
b
n
m
c
h
A
H
H
7
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH
Vamos destacar a semelhança da tela anterior:
8
h
A
C
b
n
A
H
B
m
c
h
H
8
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Vamos fazer algumas observações sobre os lados do  ABC:
O lado AB vai do ângulo de 90º até o ângulo amarelo.
O lado AC vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho.
O lado BC vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de vermelho.
Lado AB
Lado BC
Lado AC
9
c
B
C
b
a
A
H
Ângulo de 90º
9
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
B
H
A
m
h
c
A
B
C
b
a
c
 ABH
~
 ACH
~
 ABC 
Como já vimos, é verdade que
Vamos analisar a semelhança entre ABC e ABH.
Essa semelhança garante também a proporcionalidade entre seus lados. Sendo assim, observem as relações que podemos estabelecer entre eles.
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10
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Relações Métricas no Triângulo Retângulo
B
H
A
m
h
c
A
B
C
b
a
c
Lados do Δ ABC
Lados do Δ ABH
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a = b = c
 c h m
11
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Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Da proporção que obtivemos, e trabalhando com as razões duas a duas, temos:
12
a = b = c
c h m
 a = b 
 c h
 b = c 
 h m
 a = c 
 c m
 a . h = b. c
 b . m = c. h
 c² = a . m
12
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Vamos analisar a semelhança entre ABC e ACH.
Também pela semelhança, a proporcionalidade entre os lados desses dois triângulos determinam as seguintes relações:
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B
H
A
m
c
A
B
C
b
a
c
13
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
A
B
C
b
a
c
Lados do Δ ABC
Lados do Δ ACH
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a = b = c
 b n h
A
H
C
h
b
n
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Dessa nova proporção, a partir das razões duas a duas, teremos:
15
a = b = c 
b n h
 a = b 
 b n
 b = c 
 n h
 a = c 
 c m
 b² = a . n
 b . h = c. n
 a . h = b . c
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Por último, vamos analisar a semelhança entre ABH e ACH.
A semelhança está mantida e dela vêm as seguintes relações:
B
H
A
m
h
c
16
n
H
A
b
h
C
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Lados do Δ ABH
Lados do Δ ACH
B
H
A
m
h
c
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A
H
C
h
n
b
c = h = m
b n h
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Dessa última proporção e comparação das razões duas a duas, vem:
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c = h = m 
b n h
 c = h 
 b n
 h = m 
 n h
 c = m 
 b h
 c . n = b . h
 h² = m. n
 c . h = b . m
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Agora, um relação muito importante é a da hipotenusa com as projeções do catetos sobre ela. Observe o  ABC inicial que trabalhamos:
Veja que, sobre a hipotenusa a, estão determinados dois segmentos:
CH = n
BH = m
Esses segmentos recebem o nome de projeções.
Seria como se o sol surgisse sobre os catetos... 
... e produzisse “sombra” sobre a hipotenusa. Essas sombras são então as projeções.
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h
A
B
C
b
n
m
c
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Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
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Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras
Chegou a hora dele... o meu teorema...
Vamos começar com sua definição e, em seguida, demonstraremos o mais famoso Teorema da história da Matemática
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20
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. São eles:
O lado oposto ao ângulo reto é denominado de hipotenusa.
Os outros dois, opostos aos ângulos agudos do triângulo, são chamados de catetos.
Aqui vale a pena destacar uma propriedade: a hipotenusa sempre será o lado de maior medida de um triângulo retângulo.
A
B
C
b
a
c
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
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O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados da medida dos catetos.
O enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte:
a2 = b2 + c2
Nesse caso, com as denominações de a, b e c, respectivamente para a hipotenusa e os catetos, teremos:
A
B
C
b
a
c
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Apenas para verificar essa relação, observem os seguinte triângulos retângulos:
.
6
8
x
Quanto deve medir a hipotenusa designada por x?
É bem simples: basta lançar os valores na expressão do Teorema.Ou seja:
x2 = 62 + 82
x2 = 36 + 64
x2 = 100
x = 10
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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.
y
12
15
E agora? Quanto deve medir o cateto y?
É tão simples quanto o anterior: lançando também os valores na expressão do teorema. Ou seja:
152 = y2 + 122
225 = y2 + 144
y2 = 225 – 144 
y = 9
y2 = 81 
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para analisá-las a partir da observação do triângulo.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
A relação (1) pode ser definida como:
“A hipotenusa multiplicada pela altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos”.
As relações (2) e (3) podem ser definidas como:
“Cada cateto multiplicado pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto do outro cateto pela projeção do primeiro”.
h
A
B
b
n
m
c
H
 a . h = b. c
 c² = a . m
 b . h = c . n
 h² = m. n
 c . h = b . m
 b² = a . n
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
As relações (4) e (5) podem ser definidas como:
“Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção sobre ela”.
A relação (6) pode ser definida como:
“A altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos”.
Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para analisá-las a partir da observação do triângulo.
h
A
B
b
n
m
c
H
 a . h = b. c
 c² = a . m
 b . h = c . n
 h² = m. n
 c . h = b . m
 b² = a . n
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Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
MATEMÁTICA, 1 º Ano
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Como vocês podem ver, as relações simplesmente permitem que sejam encontradas todas as medidas de um triângulo retângulo. 
Todas são importantes, como já dissemos, mas o Teorema de Pitágoras é o mais aplicado deles, pois há muito mais relação com situações práticas, como poderemos observar daqui a pouco. 
Vamos fazer uma demonstração que vocês poderão fazer em sala de aula, junto com o professor. Peguem o material e mãos à obra ! Vocês vão ver como será divertido provar que Pitágoras e seus seguidores estavam certos. 
A sugestão dada é que este triângulo a ser usado seja o de medidas 3, 4 e 5. É mais simples e fácil de construir. 
Sigam os passos um a um e vocês verão como é legal a demonstração !!
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
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Construam 4 triângulos retângulos de hipotenusa a e catetos b e c.
Construam também 1 quadrado cujo lado tenha medida b + c.
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b + c
b + c
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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No quadrado e a partir de cada um de seus vértices, coloquem cada um dos 4 triângulos iniciais que vocês construíram.
Como os 4 triângulos são idênticos e sua hipotenusa mede a, temos então um quadrado menor de área a2 dentro do quadrado maior de área (b + c)2.
a
a
a
a
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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Desenvolvendo a expressão da área do quadrado maior, que é um produto notável, temos:
(b + c)2 = b2 + 2 . b . c + c2
Mas a área do quadrado maior pode ser vista também como a soma das áreas dos 4 triângulos iniciais que construímos somada com a área do quadrado menor. Podemos então definir essa mesma área da seguinte forma:
Área do quadrado menor + 4 . Área do triângulo 
a2 + 4 . 
 
Simplificando 4 com 2, temos:
a2 + 2 . b . c 
(1)
(2)
Como as expressões são iguais, pois representam a mesma figura, teremos:
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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(1) = (2)
b2 + 2 . b . c + c2 = a2 + 2 . b . c
Ao simplificar 2 . b . c dos dois lados, a expressão restante é:
b2 + c2 = a2
As medidas a, b e c que aparecem nessa expressão final são exatamente a medida dos lados do triângulo inicial, exatamente como queríamos mostrar.
Logo, a relação descoberta pelos pitagóricos vale, então, para qualquer triângulo retângulo.
Que tal, agora, nós vermos uma outra demonstração desse Teorema ??? Vamos assistir a um vídeo bem legal que traz esta outra demonstração. É só visitar o link abaixo...
http://www.youtube.com/watch?v=GMy5z3nhVeQ
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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Agora que vocês são especialistas em Relações Métricas, especialmente no meu Teorema ...
... vamos meter bronca nos exercícios, inclusive aplicações do Teorema na Geometria. Vamos lá ?!?
...depois é com vocês. Se houver alguma dificuldade, o professor vai dar uma ajudinha. Sucesso !!
Pitágoras está certo... Agora é exercitar. Primeiro, vamos resolver alguns para vocês observarem como é...
Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
Imagem: Clip-art do Power Point.
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Resolução:
Seja um quadrado de lado 5 cm.	
A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais. Observe: 
Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema de Pitágoras, teremos:
x2 = 52 + 52  x2= 25 + 25  x2 = 50  x = 5
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de qualquer quadrado: 
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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EXERCÍCIOS
Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm?
1ª Questão
5 cm
5 cm
x
d = l 2
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Resolução:
Seja um triângulo equilátero de lado 10cm.	
A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em destaque. Observe:
Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos:
102 = x2 + 52 
O outro cateto mede 5cm, pois a altura divide a base ao meio e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo:
 100 = x2 + 25  x2 = 100 – 25  x = 75  x = 5
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de qualquer triângulo equilátero: 
MATEMÁTICA, 1 º Ano
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Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm.
2ª Questão
10cm
10cm
10cm
.
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Resolução:
Observando a figura, notamos que a fixação faz a torre estar perpendicular ao chão. Isso quer dizer que os pontos A da fixação de um dos cabos e B e C da torre formam entre si um triângulo retângulo.
A distância entre o ponto A de fixação do cabo e B da fixação da torre ao chão, formam o cateto menor, que mede 15m, conforme mostra a figura.
A distância entre B e C na torre mede 20m, sendo este o outro cateto.
O comprimento do cabo AC, portanto, é a hipotenusa (que chamaremos de x).
Por essas informações e usando o Teorema de Pitágoras, temos:
x2 = 152 + 202
x2 = 225 + 400
x2 = 625
x = 25
(UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está a 20m de altura, determine o comprimento do cabo AC.
3ª Questão
C
B
A
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
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Resolução:
A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a.
Como vimos nas relações, cada um dos catetos será a média geométrica entre sua projeção e a hipotenusa. Logo, vamos determinar inicialmente a hipotenusa.
Por Pitágoras, vem : 
a2 = 82 + 62  a2 = 64 + 36  a2 = 100  a = 10
Agora que temos a hipotenusa, podemos usar a relação acima para cada cateto e sua projeção. Assim, teremos:
c2 = a . m  62 = 10 . m  36 = 10 . m  m = 36/10  m = 3,6cm
b2 = a . n  82 = 10 . n  64 = 10 . n  n = 64/10  m = 6,4cm
Os catetos do triângulo retângulo ao lado medem: AB = c = 6cm e AC = b = 8cm. Determine a medida da projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a ela.
4ª Questão
h
A
B
C
b
n
m
c
H
36
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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(UFPE) Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobrea hipotenusa medem 16cm e 9cm. Calcule o perímetro desse triângulo.
5ª Questão
Resolução:
Com a medida das projeções, imediatamente determinamos a medida da hipotenusa, pois sua medida é a soma das medidas das projeções. Logo: 
a = m + n  a = 9 + 16  a = 25cm
Para o perímetro, nos falta a medida dos catetos. 
Usando a relação da questão anterior, teremos:
b2 = a . n  b2 = 25 . 16  b2 = 400  b = 20 cm
c2 = a . m  c2 = 25 . 9  c2 = 225  c = 15 cm
Agora, basta somarmos a medida dos lados que acabamos de encontrar.
a + b + c = 25 + 20 + 15 = 60cm
A
B
C
h
H
.
9 cm
16 cm
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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Chegou a hora de vocês assimilarem de vez as relações. Não deixem nenhum exercício para trás, ok?!?
EXERCÍCIOS
Determine a medida x em cada um dos triângulos retângulos a seguir:
a)
b)
c)
4
x
8
2
x
6
5
12
13
x
Imagem: Clip-art do Power Point.
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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2. 	(MOJI-SP) Uma escada mede 4m e tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4m da base do muro, conforme figura a seguir. Determine a altura do muro.
3. 	(Fuvest – SP) Qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujo perímetro é igual a 2?
4. 	Na figura ao lado, determine as medidas a, h, m e n .
h
A
B
C
4
n
m
3
H
4m
2,4m
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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1. Um marceneiro cortou uma tábua retangular de 75cm de comprimento por 20cm de largura, separando-a em dois trapézios congruentes. Sabendo que o comprimento do corte foi de 25cm, calcule a medida da base menor de um dos trapézios.
2. 	O lampião representado na figura ao lado está suspenso por duas cordas perpendiculares entre si presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem 1/6 e 2/5, determine a distância do lampião ao teto.
3. 	Em um terreno plano e horizontal, um topógrafo marcou um ponto M a 9m do centro H da base de uma torre vertical. A seguir, marcou um ponto N na semirreta oposta de HM, a 16m de H, observando que os pontos M, N e o pico da torre determinavam um triângulo retângulo. Qual a altura da torre?
20cm
25cm
75cm
M
9m
H
16m
N
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41
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2, 3 e 20
Vatican Museum / Public Domain.
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18/04/2012
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Vatican Museum / Public Domain.
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18/04/2012
32b e 38
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18/04/2012
32a
Vatican Museum / Public Domain.
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18/04/2012
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