Avaliação On-Line 1 (AOL 1) - Questionário - Equações Diferenciais

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Avaliação On-Line 1 (AOL 1) - Questionário
 Pergunta 1
 
 Parametrizar uma superfície ou curva é o processo de definição de parâmetros que irão
representar a superfície ou objeto geométrico em questão, ou seja, implica na identificação
de um grupo de coordenadas que permite definir qualquer ponto na curva, superfície ou
objeto geométrico.
De acordo com o texto e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, dada a superfície
S: z = coshx, |x| < 1, , realize a parametrização da superfície e calcule a área de S.
Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área de S corresponde a:
1. e − 1/e.
2. 2e.
3. e.
4. e2.
5. 3e.
 
 Pergunta 2
 
 O raio de convergência indica o raio em torno do centro da série no qual a série converge
para algum valor. Valores superiores ao raio indicam que a série diverge, ou seja, existe um
número R tal que a série converge se |x−a| < R, e diverge se |x−a| > R.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a
série ∑(x−2)n / n, pode-se afirmar que o raio de convergência é igual a:
1. R = 4.
2. R = ½.
3. R = 3.
4. R = 2.
5. R = 1.
 
 Pergunta 3
 
 Quando se trata de intervalo de convergência, o teste da razão é o teorema mais indicado
para sua especificação. No entanto, o teste da razão não pode determinar a convergência
nas extremidades do intervalo de convergência. De acordo com essas informações e o
conteúdo estudado sobre séries de potências, analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
I. ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu
intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
II. ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência
e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
III. ( ) O conjunto de valores de x para os quais a série de potências é convergente é
chamado de intervalo de potências da série.
IV. ( ) Uma série de potências define uma função que tem como domínio o intervalo de
convergência.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. V, F, V, F.
2. V, F, F, V.
3. V, V, F, F.
4. V, V, F, V.
5. F, V, F, F.
 
 Pergunta 4
 
 Leia o excerto e analise a figura a seguir:
“Vamos pensar em uma roda de carro que apresenta um ponto fixo para observação. Agora,
pensando nessa roda em movimento, sobre uma rua lisa, vamos observar a trajetória desse
ponto fixo. A curva descrita por esse ponto é a curva cicloide.”Fonte: CORDEIRO, A. C. F. O
que é a curva cicloide: ideias centrais no ensino da matemática. Trabalho de conclusão de
curso (Licenciatura em matemática) – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia,
IFSP. São Paulo, p. 88. 2013.
 questão 5.PNG
 
 De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green,
calcule a área da figura, descrita pelas curvas C1 e C2, dada a cicloide abaixo x= t − sen(t),
y = 1 − cos(t). Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da cicloide
corresponde a:
1. −3π.
2. 6π.
3. 3π.
4. 12 π.
5. 9π.
 
 Pergunta 5
 
 Suponha que desejemos encontrar o fluxo de F = (xy)i + (yz)j + (xz)k através da superfície
de um cubo cortado do primeiro octante, pelos planos x =1, y=1 e z=1. Uma dica importante
é resolver pela integração do divergente ao invés de realizar 6 integrais diferentes, uma para
cada face do cubo.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes,
pode-se afirmar que o fluxo da função F corresponde a:
1. 4/3.
2. 5.
3. 3.
4. 3/2.
5. 1/2.
 
 Pergunta 6
 
 A circulação de um vetor v (conhecida como integral de linha), ao longo de uma curva c,
corresponde à soma dos produtos escalares de v por dr ao longo da curva c, sendo dr um
vetor elementar que tem as seguintes características: o módulo corresponde ao valor do
arco da curva, a direção é tangente à curva e o sentido é o mesmo sentido da curva.
Dada a superfície S: x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0, sua respectiva circunferência de borda C: x2 + y2
= 9, z = 0 e o campo correspondente F = , calcule o valor da circulação no sentido
anti-horário ao redor da curva C. Considerando essas informações e o conteúdo estudado
sobre teorema de Stokes, pode-se afirmar que o valor da circulação corresponde a:
1. 18π.
2. 12π.
3. 20π
4. 10π.
5. −18π.
 
 Pergunta 7
 
 Analise a figura a seguir:
 questão 11.PNG
 
 Figuras geométricas podem ser geradas a partir do modelamento baseado em equações
matemáticas. Na figura apresentada, é possível observar um vaso de manjerico. Tal sólido
limita o volume da forma, V= (x2 + y2 < z, 1 < z < 4), considerando o campo vetorial F(x, y, z)
= (xz2, yz2, z3).
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes,
calcule o fluxo do rotacional F por meio da parede lateral do vaso, referente à superfície S =
(x2 + y2 = z, 1 < z < 4). Considerando esses dados, pode-se afirmar que o fluxo do
rotacional corresponde a:
1. 2.
2. π/2.
3. π.
4. 1
5. 0.
 
 Pergunta 8
 
 O desenvolvimento de funções em séries de potências tem diversas aplicações, tal como a
resolução de equações diferenciais. Pode-se também aplicar tal recurso para realizar
aproximações de funções com a utilização de séries de Taylor e Maclaurin.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a
expansão da função f(x) = (1+x)−1/2 em uma série de Taylor, pode-se afirmar que o 4º termo
da série, em torno de a = 0, corresponde a:
1. 10x3 / 24.
2. 15x3 / 48.
3. 5x3 / 48.
4. 15x2 / 48.
5. 15x2 / 12.
 
 Pergunta 9
 
 Leia o excerto e analise a figura a seguir:
“Dados os pontos F1 e F2, com a distância 2c entre eles, a elipse é o conjunto dos pontos P
em que é válida a seguinte igualdade: dPF1 + dPF2 = 2a. Em outras palavras, a elipse é o
conjunto de pontos no qual a soma das distâncias até cada um dos focos é igual à
constante 2a.
”Fonte: SILVA, L. P. M. O que é elipse? Uma figura geométrica? Brasil Escola. Disponível
em: <https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-elipse.htm>. Acesso em: 5
set. 2019.
 questão 3.PNG
 
 São comuns forças que variam ao longo de uma trajetória. A força representada na figura é
proporcional ao afastamento em relação à origem das coordenadas, descrevendo no
sentido anti-horário a parte da elipse x2/4 + y2/16 = 1 no primeiro quadrante, sendo F(x,y) =
−k(x,y). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de
Green, pode-se afirmar que o trabalho realizado equivale a:
1. 10 k.
2. −12 k.
3. −6 k.
4. 16 k.
5. 5 k.
 
 Pergunta 10
 
 Leia o excerto a seguir:
“Campos vetoriais representam o fluxo de um fluído (entre muitas outras coisas). Eles
também representam uma maneira de visualizar funções cujo espaço de entrada e espaço
de saída têm a mesma dimensão. Além disso, um campo vetorial associa um vetor a cada
ponto no espaço.”Fonte: KHAN ACADEMY. Campos vetoriais. Disponível em:
<https://bit.ly/2kSojV5>. Acesso em: 1 set. 2019. (Adaptado).
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, dado
o campo F(x,y) = (y3, −x3), calcule a integral do campo vetorial sob a curva C que
corresponde a um círculo igual a x2 + y2 = 4. Considerando que a orientação da curva é
positiva, pode-se afirmar que a integral do campo vetorial equivale a:
1. 16 π.
2. 30 π.
3. −24 π.
4. -32 π.
5. −25 π.