T4 Capacitância - Exercícios com Resolução

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Capacitância 
Lista de Exercícios 
Básicos 
1. Um capacitor de placas paralelas tem placas metálicas quadradas de lados com 10 𝑐𝑚 de 
comprimento, separadas por 1 𝑚𝑚. 
a. Qual a capacitância desse dispositivo? 
b. Quando este capacitor é carregado com 12 V, quanta carga é transferida de uma placa para 
outra? 
a) A capacitância pode ser determinada pela geometria do capacitor: 
𝐶 =
𝜀0𝐴
𝑑
 
Lembrando que é necessário converter as unidades para o SI, tal que 𝑙 = 10 𝑐𝑚 = 0,1 𝑚 e 𝑑 = 1 𝑚𝑚 =
10−3 𝑚. Lembrando ainda que a área de uma placa quadrada é 𝐴 = 𝑙2, temos: 
𝐶 =
8,85 × 10−12 . 0,12
1 × 10−3
 
𝐶 = 8,85 × 10−11 𝐹 
b) Uma vez obtida a capacitância, a obtenção da carga armazenada é direta: 
𝑄 = 𝐶𝑉 
𝑄 = 8,85 × 10−11 . 12 
𝑄 = 1,06 × 10−9 𝐶 
2. Calcule a capacitância equivalente dos circuitos abaixo. 
Neste exercício, lembre-se que o primeiro passo é identificar o tipo de associação: paralelo, em série ou 
misto. Dois capacitores estão em série quando há um único caminho possível para uma carga migrar da placa 
de um capacitor para a placa do outro capacitor; em paralelo quando há uma bifurcação, entre uma placa e 
outra. As associações mistas precisam ser simplificadas e isso é feito usando capacitâncias equivalentes, 
começando pelas associações mais internas. 
 
 
a. 𝐶1 = 220 nF, 𝐶2 = 470 nF e 𝐶3 = 100 nF 
 
𝐶1 e 𝐶2 estão em série: 
1
𝐶12
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
 
1
𝐶12
=
1
220
+
1
470
 
𝐶12 = 150 𝑛𝐹 
 
O circuito simplificado fica: 
 
Como os dois capacitores estão em paralelo: 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶12 + 𝐶3 
𝐶𝑒𝑞 = 150 + 100 
𝐶𝑒𝑞 = 250 𝑛𝐹 
b. 𝐶4 = 220 nF 
 
𝐶3 e 𝐶4 estão em paralelo: 
𝐶34 = 𝐶3 + 𝐶4 
𝐶34 = 100 + 220 
𝐶34 = 320 𝑛𝐹 
O circuito simplificado fica: 
 
Estando os três capacitores em série: 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+
1
𝐶34
 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
220
+
1
470
+
1
320
 
𝐶𝑒𝑞 = 102 𝑛𝐹 
 
c. 𝐶5 = 100 nF 
 
Simplificando a associação entre 𝐶2 e 𝐶3 
1
𝐶23
=
1
𝐶2
+
1
𝐶3
 
1
𝐶23
=
1
470
+
1
100
 
𝐶23 = 82,46 𝑛𝐹 
E o circuito simplificado fica: 
 
Note que o C4 está entre dois nós que o liga aos capacitores 1 e o recém unificado 23, de modo que podemos 
dizer que ele está em paralelo com esses dois capacitores: 
𝐶1234 = 𝐶1 + 𝐶23 + 𝐶4 
𝐶1234 = 220 + 82,46 + 220 
𝐶1234 = 522,46 𝑛𝐹 
E o circuito simplificado fica: 
 
Assim, obtemos a capacitância equivalente, considerando que estes últimos estão em série: 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1234
+
1
𝐶5
 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
522,46 
+
1
100
 
𝐶𝑒𝑞 = 83,93 𝑛𝐹 
 
3. O capacitor 1, com C1 = 3,55 μC é carregado com uma diferença de potencial V0 = 6,3 V por uma 
bateria de 6,3 V. A bateria é removida e o capacitor é ligado a um segundo capacitor descarregado, 
de 𝐶2 = 8,95 𝜇𝐹, conforme mostra a figura abaixo. Quando a chave S é fechada, parte de um dos 
capacitores é transferida para o outro. Determine a carga de cada um dos capacitores depois que o 
equilíbrio é atingido. 
 
No instante inicial, o capacitor 1 está sozinho e é carregado por uma bateria de 6,3 V. Neste caso, podemos 
calcular quanta carga ele acumula: 
𝐶1 =
𝑞0
𝑉0
 
𝑞0 = 𝐶1𝑉0 
𝑞0 = 3,55 × 10
−6 . 6,3 
𝑞0 = 2,237 × 10
−5 𝐶 
Depois que a bateria é removida, e o capacitor é ligado em um circuito fechado ao capacitor 1, a carga é 
redistribuída. Estando os dois capacitores em equilíbrio a igualdade de potenciais é válida: 
𝑉1 = 𝑉2 
𝑞1
𝐶1
=
𝑞2
𝐶2
 
Como a carga inicialmente armazenada no capacitor 1 é compartilhada com o capacitor 2 temos que: 
𝑞2 + 𝑞1 = 𝑞0 
Assim, substituindo 𝑞2 = 𝑞0 − 𝑞1 na relação anterior, temos: 
𝑞1
𝐶1
=
𝑞0 − 𝑞1
𝐶2
 
Trabalhando algebricamente para isolar 𝑞1: 
𝐶2
𝐶1
𝑞1 + 𝑞1 = 𝑞0 
𝑞1 =
𝑞0
(
𝐶2
𝐶1
+ 1)
 
𝑞1 =
2,237 × 10−5
(
8,95
3,55
+ 1)
 
𝑞1 = 6,35 × 10
−6 𝐶 
Assim: 
𝑞2 = 𝑞0 − 𝑞1 
𝑞2 = 2,237 × 10
−5 − 6,35 × 10−6 
𝑞2 = 1,6 × 10
−5 𝐶 
4. Uma esfera condutora isolada cujo raio 𝑅 é 6,85 𝑐𝑚 possui uma carga 𝑞 = 1,25 𝑛𝐶. 
a. Qual é a energia potencial armazenada no campo elétrico desse condutor carregado? 
b. Qual é a densidade de energia na superfície da esfera? 
 
a) A energia potencial elétrica de um capacitor é dada por: 
𝑈 =
1
2
𝑞2
𝐶
 
Para uma esfera condutora isolada C = 4πε0R 
𝑈 =
1
2
 
𝑞2
4𝜋𝜀0𝑅
 
Substituindo os valores, já considerando as conversões de unidade (𝑅 = 6,85 𝑐𝑚 = 6,85 × 10−2 𝑚 e 𝑞 =
1,25 𝑛𝐶 = 1,25 × 10−9 𝑚): 
𝑈 =
1
2
 
(1,25 × 10−9)2
4𝜋 . 8,85 × 10−12 . 6,85 × 10−2
 
𝑈 = 1,03 × 10−7 𝐽 
b) A densidade de energia de um capacitor é dada por: 
𝑢 =
1
2
𝜀0𝐸
2 
Na superfície da esfera, o campo elétrico se comporta como uma carga pontual como se toda a carga 
estivesse concentrada no centro, ou seja, 𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅2
: 
𝑢 =
1
2
𝜀0 (
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅2
)
2
 
Rearranjando e simplificando os termos: 
𝑢 =
1
32𝜀0
(
𝑞
𝜋𝑅2
)
2
 
Substituindo os valores, já considerando as conversões de unidade (𝑅 = 6,85 𝑐𝑚 = 6,85 × 10−2 𝑚 e 𝑞 =
1,25 𝑛𝐶 = 1,25 × 10−9 𝑚): 
𝑢 =
1
32 . 8,85 × 10−12
(
1,25 × 10−9
𝜋 (6,85 × 10−2)2
)
2
 
𝑢 = 2,54 × 10−5 𝐽/𝑚3 
5. Um capacitor de placas paralelas, cuja capacitância C é 13,5 𝑝𝐹 é carregado por uma bateria até que 
haja uma diferença de potencial 𝑉 = 12,5 𝑉 entre as placas. A bateria é desligada e uma barra de 
porcelana (𝜅 = 6,5) é introduzida entre as placas. 
a. Qual é a energia potencial do capacitor antes da introdução da barra? 
b. Qual é a energia potencial do conjunto “capacitor + barra” depois que a barra é introduzida? 
a) Antes da introdução da barra: 
𝑈 =
1
2
𝐶𝑉2 
𝑈 =
1
2
13,5 × 10−12 . 12,52 
𝑈 = 1,05 × 10−9 𝐽 
 
b) Com a introdução da barra, a energia é diminuída por um fator 𝜅: 
𝑈𝑓 =
𝑈𝑖
𝜅
 
𝑈𝑓 =
1,05 × 10−9
6,5
 
𝑈𝑓 = 1,62 × 10
−10 
 
Contextuais 
1. Você está viajando em um pequeno avião da Nova Zelândia até o Havaí quando os componentes 
eletrônicos do medidor de combustível no painel de instrumentos começam a dar problemas. O 
medidor consiste de um capacitor cilíndrico preenchido com ar que está no tanque de gasolina e 
orientado com o seu eixo na vertical. O comprimento do capacitor é H (igual à altura do tanque) e o 
nível do combustível é ℎ. O combustível preenche o espaçamento do capacitor até o seu nível. 
 
 
De posse de um multímetro, você desconecta os dois fios do capacitor que sai do tanque de 
combustível no painel de instrumentos e os conecta no multímetro. Sabendo que no momento em 
que você faz a nova conexão o tanque estava pela metade e que a constante dielétrica da gasolina é 
𝜅 = 2, encontre uma equação para converter as leituras da medida da capacitância C na fração de 
combustível restante. 
 
O capacitor pode ser considerado como uma combinação de dois capacitores em paralelo, um submerso na 
gasolina e outro não. Esquematicamente, a representação ficaria: 
 
A capacitância de um capacitor cilíndrico é proporcional ao seu comprimento (𝐶 ∝ 𝐿). Desse modo, tomando 
como referência a capacitância C0, quando o tanque está vazio (sem um dielétrico), temos: 
𝐶𝑛
𝐿𝑛
=
𝐶0
𝐿0
 
Sendo 𝐿0 = 𝐻, 𝐿1 = ℎ, 𝐿2 = 𝐻 − ℎ. Além do mais, 𝐶1 = 𝜅𝐶0 pois está imerso na gasolina 
𝐶1 =
ℎ
𝐻
𝜅𝐶0 
𝐶2 =
𝐻 − ℎ
𝐻
𝐶0 
A capacitância equivalente Ceq é a soma das capacitâncias: 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 
𝐶𝑒𝑞 =
ℎ
𝐻
𝜅𝐶0 +
𝐻 − ℎ
𝐻
𝐶0 
𝐶𝑒𝑞 = (
𝜅ℎ + 𝐻 − ℎ
𝐻
) 𝐶0 
𝐶𝑒𝑞 = [1 +
ℎ(𝜅 − 1)
𝐻
] 𝐶0 
Sendo κ = 2: 
𝐶𝑒𝑞 = [1 +
ℎ(2 − 1)
𝐻
] 𝐶0 
𝐶𝑒𝑞 = [1 +
ℎ
𝐻
] 𝐶0 
 
C0 não é conhecido, mas como foi possível fazer a leitura da capacitância quando o tanque estava pela 
metade, C1 2⁄ , ela pode ser usada como referência; 
𝐶1 2⁄ = [1 +
1
2
] 𝐶0 
𝐶1 2⁄ =
3
2
𝐶0 
𝐶0 =
2
3
𝐶1 2⁄ 
Retornando na equação anterior: 
𝐶𝑒𝑞 =
2
3
[1 +
ℎ
𝐻
] 𝐶1/2 
Isolando 
h
H
: 
ℎ
𝐻
=
3
2
𝐶𝑒𝑞
𝐶1/2
− 1 
Assim, para qualquer medida no multímetro da capacitância Ceq, tem-seo nível relativo da gasolina.