Exercícios - Modelagem Matemática

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1 
 Questão 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o comando em Python que exibe o tipo de 
uma determinada variável: 
 
 
type 
 
size 
 
nenhuma das alternativas anteriores 
 
datatype 
 
data 
Respondido em 04/11/2020 09:12:24 
 
 
Explicação: 
Para exibir na tela o tipo de variáveis, basta executar o comando: 
>>> type(x), type(y) 
(, ) 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o comando em Python para sair do 
console: 
 
 
print() 
 
console() 
 
nenhuma das alternativas anteriores 
 
quit() 
 
bye() 
 
Respondido em 04/11/2020 09:12:32 
 
 
Explicação: 
Conforme exposto na aula, para sair do console, basta digitar: 
>>> quit() 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Considere que você tenha editado um código em Python, salvo no arquivo 
trabalho.py. 
Assinale a alternativa que apresenta o comando em Python que pode ser 
digitado para executar este código: 
 
 
python trabalho.py 
 
py trabalho.py 
 
python trabalho 
 
py trabalho 
 
nenhuma das alternativas anteriores 
Respondido em 04/11/2020 09:12:46 
 
 
Explicação: 
Para executar um código em Python, em um terminal, digite: 
$ python trabalho.py 
 
1 
 Questão 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o conceito definido pelo valor do módulo 
da diferença numérica entre um número exato (Q*) e sua representação por 
um valor aproximado (Q) 
 
 
erro relativo 
 
erro absoluto 
 
erro residual 
 
nenhuma das alternativas anteriores 
 
erro proporcional 
Respondido em 04/11/2020 09:57:37 
 
 
Explicação: 
ERRO ABSOLUTO: valor do módulo da diferença numérica entre um 
número exato (Q*) e sua representação por um valor aproximado (Q). 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta adequadamente os algarismos 
significativos: 
 
 
Apenas os algarismos exatos. 
 
Os algarismos medidos. 
 
Todos os algarismos. 
 
Apenas os algarismos duvidosos. 
 
Os algarismos exatos e os duvidosos. 
Respondido em 04/11/2020 09:57:52 
 
 
Explicação: 
Os algarismos exatos de uma medida, bem como os algarismos duvidosos, são 
denominados algarismos significativos 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Apresente a saída para o comando em Python indicado a seguir: 
print(bin(10)) 
 
 
 
 
0b1010 
 
b1010 
 
0b1001 
 
1010 
 
1001 
Respondido em 04/11/2020 10:00:43 
 
 
Explicação: 
Trata-se do resultado após execução do comando em um console Python. Para 
conferir, utilize o interpretador online disponível 
em https://www.onlinegdb.com/online_python_compiler, acesso em 23 MAR 
20. 
1. 
 
 
Utilize o método das Secantes para determinar a raiz da equação ex - 8 = 0. 
Considere como pontos iniciais x = 2 e x = 3 e a tolerância igual a 0,01. 
 
 2,08 
 2 
 2,18 
 3 
 2,28 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponível em https://planetcalc.com/3707/, 
acesso em 28 MAR 20. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Utilize o método de Newton-Raphson para determinar a raiz da função ex - 8. 
Considere como ponto inicial x = 3 e a tolerância de 0,01 
 2,13 
 
 2,08 
 2,40 
 1,98 
 3 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponível em https://planetcalc.com/7748/, 
acesso em 28 MAR 20. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Utilize o método de Newton-Raphson e apresente a raiz da 
função f(x)=x3+3x2+12x+8 
 
Considere como ponto inicial x = -2 e tolerância de 0,01 
 -0,73 
 -0,68 
 -1 
 -2 
 
 -0,78 
 
 
1. 
 
 
Considere o código em Python discriminado a seguir: 
def fatoraLU(A): 
 U = np.copy(A) 
 n = np.shape(U)[0] 
 L = np.eye(n) 
 for j in np.arange(n-1): 
 for i in np.arange(j+1,n): 
 _____ (a)_______ 
 for k in np.arange(j+1,n): 
 U[i,k] = U[i,k] - L[i,j]*U[j,k] 
 U[i,j] = 0 
return L, U 
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o código a ser inserido na 
lacuna indicada pela letra (a): 
 L[i,i] = U[i,j]/U[j,j] 
 L[i,j] = U[i,j] 
 L[i,j] = U[i,j]/U[j,i] 
 
 L[i,j] = U[i,j]/U[j,j] 
 L[i,j] = U[j,j] 
 
 
 
Explicação: 
O algoritmo da fatoração LU pode ser expresso em um código em Python indicado 
a seguir: 
def fatoraLU(A): 
 U = np.copy(A) 
 n = np.shape(U)[0] 
 L = np.eye(n) 
 for j in np.arange(n-1): 
 for i in np.arange(j+1,n): 
 L[i,j] = U[i,j]/U[j,j] 
 for k in np.arange(j+1,n): 
 U[i,k] = U[i,k] - L[i,j]*U[j,k] 
 U[i,j] = 0 
return L, U 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere o sistema de equações lineares apresentado a seguir: 
2x1 - 3x2 = 5 
x1 - 2x2 = -9 
Assinale a alternativa que apresenta o resultado: 
 x1=−37;x2=23 
 x1=−37;x2=−23 
 
nenhuma das 
alternativas 
anteriores 
 x1=37;x2=−23 
 
 x1=37;x2=23 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponível 
em https://onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/, acesso em 24 MAR 
20. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere o sistema de equações lineares dado por: 
2x1 + 3x2 = 5 
x1 - 2x2 = 9 
Assinale a alternativa que apresenta a solução deste sistema: 
 nenhuma das alternativas anteriores 
 x1=377;x2=137 
 
 x1=−377;x2=−137 
 x1=−377;x2=137 
 
 x1=377;x2=−137 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponível 
em https://onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/, acesso em 23 MAR 
20 
 
 
1. 
 
 
Considere o sistema de equações lineares dado por: 
+4x1 - 1x2 - 1x3 = 3 
-2x1 + 6x2 + 1x3 = 9 
-1x1 + 1x2 + 7x3 = -6 
Utilize o método de Gauss-Seidel para determinar a solução (considere como 
valores iniciais x1, x2, x3 = 0): 
 x1 = -1, x2 = 2, x3 = -1 
 x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1 
 x1 = 1, x2 = -2, x3 = -1 
 x1 = -1, x2 = -2, x3 = -1 
 
 x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/iterative-methods-for-
solving-iaxi-ibi-gauss-seidel-method, acesso em 26 MAR 20. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere o sistema de equações lineares dado por: 
+4x1 - 1x2 - 1x3 = 3 
-2x1 + 6x2 + 1x3 = 9 
-1x1 + 1x2 + 7x3 = -6 
Utilize o método de Gauss-Jacobi para determinar a solução (considere como 
valores iniciais x1, x2, x3 = 0): 
 x1 = -1, x2 = 2, x3 = -1 
 x1 = 1, x2 = 2, x3 = +1 
 x1 = -1, x2 = -2, x3 = -1 
 
 x1 = 1, x2 = -2, x3 = -1 
 
 x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/iterative-methods-for-
solving-iaxi-ibi-jacobis-method, acesso em 26 MAR 20. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o método em que cada coordenada do vetor 
correspondente à nova aproximação é calculada a partir da respectiva equação do 
sistema, utilizando-se as demais coordenadas do vetor aproximação da iteração 
anterior: 
 
 Gauss-Jacobi 
 Substituição retroativa 
 Eliminação de Gauss 
 Gauss-Seidel 
 Decomposição LU 
 
 
 
Explicação: 
A ideia principal do Método de Gauss-Jacobi é que cada coordenada do vetor 
correspondente à nova aproximação é calculada a partir da respectiva equação do 
sistema, utilizando-se as demais coordenadas do vetor aproximação da iteração 
anterior. 
 
1. 
 
 
A função interpolate.BarycentricInterpolator em Python implementa qual 
método? 
 Lagrange 
 
 Gauss 
 Girard 
 
 Newton 
 Sassenfeld 
 
 
 
Explicação: 
Trata-se do método em Python que implementa a técnica de Newton para 
interpolação polinomial. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a função interpoladora dos pontos (1, 3), (3, 
8) e (4, 12): 
 x22+x2−2 
 x22−x2+2 
 −x22+x2+2 
 
 x22+x2+2 
 −x22+x2−2 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponível em https://www.dcode.fr/lagrange-
interpolating-polynomial, acesso em 26 MAR 20. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Apresente a função polinomial que interpola os pontos (1,3), (2,8) e (4,12): 
 
 -x2 - 8x - 4 
 -x2 + 8x + 4 
 x2 + 8x + 4 
 
 -x2 + 8x - 4 
 x2 + 8x - 4 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta onlinedisponível em https://www.dcode.fr/lagrange-
interpolating-polynomial, acesso em 26 MAR 20. 
 
1. 
 
 
A técnica de ajuste de funções pelo método dos mínimos quadrados utiliza o 
seguinte mecanismo para determinação da solução: 
 Resolução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. 
 Resolução de um problema de programação linear 
 Cálculo do zero de uma função 
 
 Resolução de um sistema de equações lineares 
 Resolução de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. 
 
 
 
Explicação: 
Para determinar a melhor função de ajuste para um conjunto de n pontos 
dados, nós chegamos a um sistema de n equações a n incógnitas, sendo n o número 
de parâmetros da função de ajuste. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Apresente a função linear que melhor se ajusta aos pontos (-1, 8), (1, 7), (3, 5) e 
(5, 2): 
 -x - 7,5 
 
 -x + 7,5 
 x + 7,5 
 x - 7,5 
 7,5x - 1 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponivel 
em https://keisan.casio.com/exec/system/14059929550941, acesso em 26 MAR 
20. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a transformação correta para se efetuar 
corretamente o ajuste de uma função do tipo y = a1 e b1x 
 y = a1 + b1x. 
 y = ln (a1) + b1x. 
 ln (y) = ln (a1) + ln (b1x). 
 
 ln (y) = ln (a1) + b1x. 
 ln (y) = a1 + ln (b1x). 
 
 
 
Explicação: 
Modelo exponencial: y = a1 e b1x, o qual pode ser transformado em ln (y) = ln (a1) 
+ b1x 
 
1. 
 
 
Utilize a regra de Simpson (n = 3), com um único intervalo, para 
calcular ∫10(x2+3x+5)dx 
 
 6,93 
 6,73 
 
 6,83 
 6,63 
 6,53 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponível em https://planetcalc.com/5494/, 
acesso em 26 MAR 20. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o valor de ∫10√cos3(x)+1dx 
 
Utilize o Método dos Trapézios, dividindo o intervalo de integração em 3 partes: 
 1,67 
 1,47 
 1,87 
 1,07 
 
 1,27 
 
 
 
Explicação: 
Ref.:Utilize a ferramenta online disponível 
em https://www.emathhelp.net/calculators/calculus-2/trapezoidal-rule-
calculator/?f=sqrt+%281%2B+cos+%5E3+%28x%29%29&a=0&b=1&n=3&steps=on, 
acesso em 29 MAR 20. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o valor de ∫10√sen3(x)+1dx 
 
Utilize o Método dos Trapézios, dividindo o intervalo de integração em 3 partes: 
 1,39 
 
 1 
 
 1,09 
 1,29 
 1,19 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponível 
em https://www.emathhelp.net/calculators/calculus-2/trapezoidal-rule-
calculator/?f=sqrt%281%2Bsin%5E3%28x%29%29&a=0&b=1&n=3&steps=on, 
acesso em 29 MAR 20. 
 
1. 
 
 
Utilize o método de Runge-Kutta para resolver o seguinte problema de valor 
inicial, apresentando o valor de y(1). 
Considere y'= y, y(0) = 1 e 0,5 como passo de aproximação: 
 1 
 2,65 
 1,72 
 
 2,72 
 1,65 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponível em https://planetcalc.com/8400/, 
acesso em 29 MAR 20. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O método de Euler é um dos mais simples para efetuar a resolução numérica de 
problemas de valor inicial associadas a equações diferenciais ordinárias de 
primeira ordem. 
Assinale a alternativa que apresenta a fórmula deste método: 
 yn+1=yn−h.f(xn,yn) 
 nenhuma das alternativas 
anteriores 
 yn+1=yn−h.f(xn+1,yn+1) 
 yn+1=yn+h.f(xn+1,yn+1) 
 
 yn+1=yn+h.f(xn,yn) 
 
 
 
 
Explicação: 
Para você utilizar o método de Euler, basta promover o avanço sucessivo de um 
ponto xn para um ponto xn+1 e calcular a função f(x) no ponto indicado. 
A fórmula correta é yn+1=yn+h.f(xn,yn) 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta y(1) para y'= xy, quando y(0) = 3 e h = 0,5. 
Utilize o método de Euler: 
 3,25 
 3 
 
 3,75 
 4 
 3,5 
 
 
 
Explicação: 
Ref.: Utilize a ferramenta online disponível 
em https://www.emathhelp.net/calculators/differential-equations/euler-method-
calculator/?f=xy&type=h&h=0.5&x=0&y=3&e=1&steps=on, acesso em 26 MAR 
20. 
 
1. 
 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de Z para o problema apresentado a seguir: 
Max Z = 3X1 + 4X2 
Sujeito a: 
 2,5X1 + X2 ≤ 20 
 3X1 + 1X2 ≤ 30 
 X1 + 2X2 ≤ 16 
 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 
 36 
 32 
 
 38 
 30 
 34 
 
 
 
Explicação: 
Utilize o Excel Solver para representar o PPL. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o valor ótimo de Z para o problema de 
programação linear (PPL) descrito a seguir: 
Max Z = 3X1 + 4X2 
Sujeito a: 
 2,5X1 + X2 ≤ 20 
 3X1 + 3X2 ≤ 30 
 X1 + 2X2 ≤ 16 
 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 
 31 
 16 
 
 36 
 21 
 
 26 
 
 
 
Explicação: 
Verificar a Figura 1 da aula 10, identificando o valor de Z para o ponto B. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Assinale a alternativa que completa adequadamente as lacunas (a) e (b) da 
afirmação apresentada a seguir: 
A função objetivo do primal deve ser (a), enquanto a do dual deve ser (b). 
 minimizada - maximizada 
 maximizada - maximizada 
 
 maximizada - minimizada 
 minimizada - minimizada 
 nenhuma das alternativas anteriores 
 
 
 
Explicação: 
A função objetivo do primal deve ser maximizada, enquanto a do dual deve ser 
minimizada