numeros complexos

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Campus Campo Moura˜o
Nu´meros Complexos
Ca´lculo Diferencial e Integral III
WELLINGTON JOSE´ CORREˆA
Campo Moura˜o, Parana´
Brasil
Suma´rio
2
Wellington Jose´ Correˆa 3
Nu´meros Complexos
Desde que algumas equac¸o˜es alge´bricas, tais como x2 + 1 = 0, na˜o tem soluc¸a˜o em R, os pri-
meiros matema´ticos foram obrigados a considerar soluc¸o˜es puramente formais, envolvendo ra´ızes
quadradas dos nu´meros negativos. Assim, Heron (Alexandria, 100 a. C.) obteve a soluc¸a˜o de
√−63, Girolano Ca´rdan (1545) escreveu 40 = (5 + √−15) · (5 − √−15). Esses nu´meros foram
considerados sem utilidade e o termo imagina´rio foi aplicado a eles.
Se i e´ definido soluc¸a˜o da equac¸a˜o x2 + 1 = 0, os nu´meros da forma a + i b, a, b ∈ R sa˜o
chamados Nu´meros Complexos. O desenvolvimento moderno dos nu´meros complexos comec¸ou
com a descoberta por meio da interpretac¸a˜o geome´trica deles. Iniciada por John Wallis (1685),
formalizada por Caspar Wessel (1799) e estabelecida e reconhecida a partir de 1806 com Jean
Robert Argant e, finalmente, formalmente estudada por Carl Friedrich Gauss (1831).
Certamente, o seu primeiro contato com os nu´meros complexos foi por meio da obtenc¸a˜o das
ra´ızes de uma equac¸a˜o do 2o¯ grau a2 + bx+ c = 0 dada pela fo´rmula
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
.
Quando o discriminante for negativo, sabemos que a fo´rmula acima na˜o leva a nenhuma raiz real.
No entanto, os nu´meros complexos entraram na Matema´tica pela equac¸a˜o do 3o¯ grau e na˜o do 2o¯.
Definic¸a˜o 1. Definimos o conjunto C (chamado de conjunto dos nu´meros complexos) como sendo
o conjunto dos pares ordenados (a, b) com a, b ∈ R com as operac¸o˜es:
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
Identificac¸o˜es: Denotamos
(a, 0) = a (0, 1) = i .
Observac¸o˜es: Temos que
1. Dado z ∈ C, z = (a, b), chamamos a = Re(z) como parte real de z e b = Im(z) de parte
imagina´ria de z.
2. O par (0, 0) e´ o elemento nulo para a operac¸a˜o soma.
3. O par (1, 0) e´ o elemento nulo para a operac¸a˜o multiplicac¸a˜o.
Wellington Jose´ Correˆa 4
4. Temos que (a, b) = (c, d) ⇔ a = c, b = d.
Munidos dos conceitos apresentados acima, podemos obter o plano complexo, que e´ o conjunto
de representac¸o˜es de todos os nu´meros complexos z = x+ iy pelos pontos P = (x, y) do plano.
A representac¸a˜o dos nu´meros complexos por pontos do plano e´ muito u´til e de uso frequente.
Por meio dela, o nu´mero complexo z = x + iy e´ identificado com o ponto (x, y), ou com o vetor
Oz de componentes x e y.
Figura 1: Representac¸a˜o dos nu´meros complexos
Proposic¸a˜o 1. Dados os nu´meros complexos z1, z2, z3 ∈ C, valem as propriedades:
1. Associativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) .
2. Comutativa: z1 + z2 = z2 + z1 .
3. Distributiva: z1 · (z2 + z3) = z1z2 + z1z3 .
Usando a 1a¯definic¸a˜o e as identificac¸o˜es, temos:
1. (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1, ou i · i = −1, o que nos mostra que i2 = −1.
2. Adic¸a˜o
(a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i(b+ d) .
3. Subtrac¸a˜o
(a+ ib)− (c+ id) = (a− c) + i(b− d) .
4. Multiplicac¸a˜o
(a+ ib) · (c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc) .
5. Divisa˜o
a+ ib
c+ id
=
a+ ib
c+ id
· c− id
c− id
=
ac+ bd+ i(bc− ad)
c2 + d2
=
ac+ bd
c2 + d2
+ i
bc− ad
c2 + d2
.
Wellington Jose´ Correˆa 5
Exemplo 1. Sejam z1 = 1 − i e z2 = 3 + 4 i . Calcule z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2, z1/z2 e
represente-os geometricamente.
O nu´mero complexo c− id e´ chamado conjugado do nu´mero complexo c+ id. De modo geral,
dado z = a+ ib, denotamos por z = a− ib como sendo o conjugado de z.
Observac¸a˜o: Ao contra´rio do que acontece no conjunto dos nu´meros reais, o conjunto C na˜o se
sabe quem e´ o maior, ou seja, o conjunto dos nu´meros complexos na˜o e´ ordenado.
Definic¸a˜o 2. (Valor Absoluto) Seja z = a + ib um nu´mero complexo. Definimos |z| = √a2 + b2
como sendo o valor absoluto de z.
Propriedades de conjugac¸a˜o e valor absoluto.
1. z1 ± z2 = z1 ± z2 .
2. z1 · z2 = z1 · z2 .
3.
(
z1
z2
)
=
z1
z2
.
4. Se z = Re z ⇒ z = z .
5. Se z = Im(z)⇒ z = −z .
6. Se z1 = a1 + b1 i e z2 = a2 + b2 i enta˜o |z1−z2| =
√
(a1 − a2)2 + (b1 − b2)2 e´ a distaˆncia entre
z1 e z2.
7. z · z = |z|2.
8. |z| = |z|.
9. |z1 · z2| = |z1| · |z2|
10.
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , z2 6= 0.
11. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
12. |z1 − z2| ≥ | |z1| − |z2| |
Exemplo 2. Esboce os conjuntos de pontos dados.
1. |z| = 1
2. |z| < 1
3. |z| > 1
4. |z − 2| = 1
5. |z + 1 + 3i| = 4
Exerc´ıcios:
1. Reduza a` forma z = a+ ib cada uma das expresso˜es dadas nos ı´tens a seguir.
Wellington Jose´ Correˆa 6
(a) (3 + 5i) + (−2 + i)
(b) (−3 + 4i)− (1− 2i)
(c) (3− 5i) · (−2− 4i)
(d) (1 + i)3
(e)
1
2 + 3i
(f)
1− i
1 + i
(g)
(
1− i
1 + i
)30
(h) (
√
3− 2i)− i[2− i(√3 + 4)]
Resp.:(a) 1+6i, (b)−4+6i, (c)−26−2i, (d)−2+2i, (e) 2
13
− 3
13
i, (f) -1, (g) -1, (h)−4−4 i.
2. Mostre que
k∑
n=0
in = 1, 1 + i, i ou zero, conforme o resto da divisa˜o de k por 4 seja zero, 1,
2 ou 3, respectivamente.
3. Represente graficamente os nu´meros complexos z1, z2, z1z2 e z1/z2 de modo que
z1 = 3− i, z2 = 3− i
2
.
4. Mostre que
(a) |z| = |z| (b) Re(z) = z + z
2
(c) Im(z) =
z − z
2i
5. Dados dois nu´meros complexos α e β, prove que
|α + β|2 + |α− β|2 = 2|α|2 + 2|β|2 .
Fac¸a um gra´fico e obtenha a seguinte interpretac¸a˜o geome´trica: a soma dos quadrados dos
lados de um paralelogramo e´ igual a soma dos quadrados das diagonais.
6. Prove que se |z1| = |z2| = |z3| = 1 e z1 + z2 + z3 = 0, enta˜o z1, z2 e z3 sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo equila´tero inscrito no c´ırculo unita´rio de centro na origem. Fac¸a um gra´fico.
Representac¸a˜o Polar
Considerando a representac¸a˜o geome´trica de um nu´mero complexo z 6= 0, chama-se argumento de
z o aˆngulo θ formado pelo eixo Ox e o vetor Oz. Como em trigonometria, os aˆngulos sa˜o aqui
orientados: consideramos positivo o sentido de percurso oposto ao dos ponteiros do relo´gio.
Wellington Jose´ Correˆa 7
O argumento de z pode ser definido quando z 6= 0; mesmo nesta hipo´tese, o argumento so´
fica determinado a menos de mu´ltiplos inteiros de 2pi, isto e´, θ pode ser trocado por θ+ 2kpi, k =
1, 2, ... Como a = |z| cos θ e b = |z| sen θ, temos a seguinte representac¸a˜o polar ou representac¸a˜o
trigonome´trica:
z = r (cos θ + isenθ), r = |z|; (1)
de modo que r e θ sa˜o designados as coordenadas polares de z.
Figura 2: Forma Polar do nu´mero complexo z = a+ ib
Exemplo 3. Encontre o argumento e escreva os seguintes nu´meros na forma polar
1. z = 1− i 2. z = i 3. z = 5 + 2i
Fo´rmulas do Produto e do quociente
De posse da representac¸a˜o polar, vamos deduzir uma regra conveniente para a multiplicac¸a˜o.
Sejam
z1 = r1 (cos θ1 + isenθ1) e z2 = r2 (cos θ2 + isenθ2)
dois nu´meros complexos quaisquer. Enta˜o
z1z2 = r1r2(cos θ1 + isenθ1) (cos θ2 + isenθ2)
= r1r2[(cos θ1 cos θ2 − senθ1senθ2) + i(senθ1 cos θ2 + cos θ1senθ2)]
= r1r2[cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2)] .
Vamos deduzir um resultado ana´logo para a divisa˜o, no entanto, note que
1
cos θ + isenθ
=
cos θ − isenθ
(cos θ + isenθ)(cos θ − isenθ) = cos θ − isenθ,
temos:
z1
z2
=
r1
r2
· cos θ1 + isenθ1
cos θ2 + isenθ2
=
r1
r2
· (cos θ1 + isenθ1)(cos θ2 − isenθ2)
=
r1
r2
· [(cos θ1 cos θ2 + senθ1senθ2) + i(senθ1 cos θ2 − cos θ1senθ2)]
=
r1
r2
· [cos(θ1 − θ2) + isen(θ1 − θ2)] .
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Exemplo 4. Calcule z1 · z2 e z1
z2
na forma polar onde z1 = 1 + i e z2 = 2− 2
√
3 i .
Fo´rmula De Moivre
A fo´rmula da multiplicac¸a˜o estende-se para um nu´mero qualquer de fatores, isto e´, de demons-
trac¸a˜o simples, podemos obter
z1z2 . . . zn= r1r2 . . . rn[cos(θ1 + θ2 + . . . θn) + isen(θ1 + θ2 + . . . θn)].
Quando todos os fatores sa˜o iguais e de mo´dulo unita´rio, obtemos a fo´rmula De Moivre:
(cos θ + isenθ)n = cosnθ + isennθ .
Esta fo´rmula tambe´m e´ va´lida tambe´m para expoentes negativos. De fato,
(cos θ + isenθ)−n =
1
(cos θ + isenθ)n
=
1
cosnθ + isennθ
= cosnθ − isennθ = cos(−nθ) + isen(−nθ) .
Exemplo 5. Calcule (1 + i)10 e (1 + i)−5 .
Wellington Jose´ Correˆa 9
Exerc´ıcios:
1. Determine o argumento dos nu´meros complexos dados, escreva esses nu´meros na forma polar
e represente-os geometricamente.
(a) z = −2 + 2i
(b) 1 + i
√
3
(c) z =
(
i
1 + i
)5
(d) z = 1 + 2i
Resp.: (a) z = 2
√
2(cos(3 pi/4) + isen(3pi/4), (b) z = 2(cos(pi/3) + isen(pi/3), (c) z =
√
2/8 (cos(3pi/4)− isen(3pi/4), (d) z =
√
5(cos(arctg2) + isen(arctg2))
2. Prove que cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ e sen 3θ = −sen3 θ + 3 cos2 θ sen θ
Dica: Desenvolva (cos θ + i sen θ)3 pela fo´rmula do binoˆmio e pela fo´rmula de Moivre.
Ra´ızes n-E´simas
Diz-se que um nu´mero z e´ raiz n-e´sima de um dado nu´mero complexo a, se zn = a. Como veremos
logo a seguir, um nu´mero complexo na˜o-nulo possui n ra´ızes distintas. Para isso, consideremos o
nu´mero dado a 6= 0 em sua forma polar, bem como, a raiz que desejamos encontrar na sua forma
polar, ou seja,
a = r(cos θ + isenθ) e z = ρ(cosϕ+ isenϕ).
Utilizando com deleite a fo´rmula De Moivre, a equac¸a˜o zn = a assume a seguinte forma:
ρn(cos nϕ+ isennϕ) = r(cos θ + isenθ) .
Como a igualdade de nu´meros complexos requer a igualdade das partes reais e das partes ima-
gina´rias, separadamente, devemos ter
ρn cos nϕ = r cos θ e ρnsennϕ = rsenθ .
Estas equac¸o˜es, por sua vez, equivalem a ρn = r e nϕ = θ + 2kpi, onde k e´ um inteiro. Daqui
segue-se que se ρ e´ a raiz n-e´sima positiva de r, donde
z = n
√
a = n
√
r
[
cos
(
θ + 2kpi
n
)
+ isen
(
θ + 2kpi
n
)]
. (2)
Esta fo´rmula produz n ra´ızes distintas, quando k se atribuem os valores de k = 0, 1, . . . , n− 1.
Wellington Jose´ Correˆa 10
Exemplo 6. Determine as ra´ızes cu´bicas do nu´mero a = 8, isto e´, devemos resolver a equac¸a˜o
z3 = 8.
No caso particular quando a = 1, temos que θ = 0 e a fo´rmula (??) se reduz a
z = cos
(
2kpi
n
)
+ isen
(
2kpi
n
)
(3)
que sa˜o chamadas ra´ızes n-e´simas da unidade.
Exemplo 7. Calcule as ra´ızes de z4 = 1 e esboce tais ra´ızes no plano complexo.
Exerc´ıcios:
1. Calcule as ra´ızes dos nu´meros complexos e fac¸a a representac¸a˜o gra´fica correspondente so-
mente dos ı´tens (a) - (d).
(a) 3
√−1
(b)
√
2i
(c)
√−2i
(d) i3
(e)
√−7− 24i
Respostas:
1. (a) −1, 1
2
(1 + i
√
3),
1
2
(1− i
√
3)
(b) 1 + i
(c) 1− i
(d)
±√3 + i
2
,−i
(e) ± (3− 4i)
Func¸o˜es Complexas
Estudaremos func¸o˜es definidas em subconjuntos de C e que tomam valores em C. Se f e´ uma
func¸a˜o desse tipo, enta˜o:
f(z) = u(z) + iv(z)
onde tanto u como v sa˜o func¸o˜es a valores reais. Se z = x+ iy, podemos escrever:
f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y).
Wellington Jose´ Correˆa 11
Logo, duas duas func¸o˜es arbitra´rias u = Re(f(z)) : R2 → R e v = Im(f(z)) : R2 → R definem
uma func¸a˜o complexa. Em outras palavras, uma func¸a˜o complexa e´ simplesmente uma func¸a˜o
com domı´nio em R2.
Exerc´ıcio: Nas func¸o˜es de varia´vel complexa definidas abaixo, identifique a parte real u(x, y), a
parte imagina´ria v(x, y).
1. f(z) = z2
2. f(z) = 3z + 2
3. w = z2 + z + 1
4. w = z2 − 5z + 3
5. w =
1
z
6. w =
3
z − 5
A primeira func¸a˜o f : C→ C sera´ definida a seguir.
A Func¸a˜o Exponencial Complexa
admitimos que leitor, com sua v´ıvida e prazerosa familiaridade com as func¸o˜es trigonome´tricas, a
constante de Euler e e a func¸a˜o exponencial ex, conceitos estes que sa˜o estudados nos cursos de
Ca´lculo. Lembramos, em particular, os desenvolvimentos dessas func¸o˜es em se´ries de MacLaurin,
va´lidos para todos os valores reais da varia´vei x:
ex =
+∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . . ; (4)
cosx =
+∞∑
n=0
(−1)n x2n
(2n)!
= 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ . . . ; (5)
senx =
+∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
(2n+ 1)!
= x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ . . . (6)
Vamos tomar o desenvolvimento (??) como base para definir ez com z complexo. Formalmente,
assuma que este desenvolvimento seja va´lido para nossos propo´sitos e que ez para z complexo,
enta˜o para y real, tem-se:
eiy = 1 + iy +
(iy)2
2!
+
(iy)3
3!
+
(iy)4
4!
+
(iy)5
5!
+
(iy)6
6!
+
(iy)7
7!
+ . . .
= 1 + iy − y
2
2!
− iy
3
3!
+
y4
4!
+ i
y5
5!
− y
6
6!
− iy
7
7!
+ . . .
Wellington Jose´ Correˆa 12
Ou ainda,
eiy =
(
1− y
2
2!
+
y4
4!
− y
6
6!
+ . . . ...
)
+ i
(
y − y
3
3!
+
y5
5!
− y
7
7!
+ . . .
)
,
ou seja, em vista de (??) e (??), obtemos:
eiy = cos y + iseny.
Por outro lado, da definic¸a˜o da exponencial no caso de um expoente qualquer z = x+ iy temos
ez = ex+iy = ex eiy,
doravante,
ez = ex+iy = ex(cos y + iseny) . (7)
Propriedades:
1. ez1+z2 = ez1 e
z2 ;
2. e−z = 1/ez;
3. (ez)n = enz, n inteiro;
4. ez 6= 0 para todo z;
5. |ez| = eRe(z);
6. ez = 1 ⇔ z = 2kpii, k inteiro.
Observac¸a˜o: Se z = r (cos θ + isenθ), enta˜o eiθ = e0 (cos θ + isenθ) = (cos θ + isenθ), portanto,
z = reiθ .
Exemplo 8. Escreva os nu´meros abaixo na forma r ei θ.
1.
√
2−√2 i 2. 3 +√3 i
Exemplo 9. Calcule ii usando a equac¸a˜o ei pi + 1 = 0 .
Wellington Jose´ Correˆa 13
Exerc´ıcios:
1. Reduza a` forma reiθ cada um dos nu´meros complexos dados a seguir.
(a) 1 + i (b) 1− i (c) 1−√3i (d) i
1 + i
Resp.: (a)
√
2 e
ipi
4 , (b)
√
2 e−
ipi
4 , (c) 2 e−
ipi
3 , (d)
e
ipi
4√
2
2. E´ costume tambe´m denotar ez por exp(z). Sendo assim, mostre que exp(3 + 7pi i) = −e3 .
Func¸o˜es Trigonome´tricas
Como vimos na sec¸a˜o anterior
eiy = cos y + iseny e eiy = cos y − iseny,
logo e´ natural definir
cos z :=
eiz + e−iz
2
(8)
senz :=
eiz − e−iz
2i
(9)
tgz :=
senz
cos z
(10)
cotgz :=
cos z
senz
, sec z :=
1
cos z
, cossecz :=
1
senz
(11)
Propriedades:
1. sen2z + cos2 z = 1 .
2. cos z = cosx cosh y + isenx senhy.
3. senz = senx cosh y + i cosx senhy.
4. sen(z + pi) = − cos z, cos(z + pi) = −senz e tg(z + pi) = tgz.
Wellington Jose´ Correˆa 14
5. |senz|2 = sen2x+ senh2y e | cos z|2 = cos2 x+ senh2y.
6. sen(z1 ± z2) = senz1 cos z2 ± cos z1senz2 e cos(z1 ± z2) = cos z1 cos z2 ∓ senz1senz2.
7. sen(−z) = −senz e cos(−z) = cos z.
8.

senz = 0⇒ z = 0 ou z = ±npi
cos z = 0⇒ z = ±(2n− 1)pi
2
As func¸o˜es hiperbo´licas seno e cosseno, sa˜o definidas, como no caso de varia´veis reais, pelas
seguintes expresso˜es:
senhz =
ez − e−z
2
, cosh z =
ez + e−z
2
.
Exemplo 10. Calcule
1. sen i 2. cos(1 + i)
A Func¸a˜o Logaritmo Natural de z
O logaritmo de um nu´mero complexo z = reiθ 6= 0, e´ definido assim:
ln z = ln r + iθ,
onde r denota o logaritmo real do nu´mero r > 0. O logaritmo esta´ definido para todo nu´mero
complexo z 6= 0, e se reduz ao logaritmo real quando θ = 0.
Na realidade, a fo´rmula acima permite atribuir ao logaritmo va´rios valores distintos, depen-
dendo do argumento usado para o nu´mero z. Por causa disso, costuma-se dizer que o logaritmo
e´ uma func¸a˜o multivalente. O ponto z = 0 e´ chamado ponto de ramificac¸a˜o de ln z, justamente
porque, descreve um c´ırculo centrado na origem e volta ao ponto inicial, a func¸a˜o ln z retorna
aumentada de 2pi i.
E´ claro que o valor de uma func¸a˜o tem de ser determinado univocamente. Para tanto, seconsiderarmos
ln z = ln r + iθ, −pi ≤ θ < pi,
teremos uma func¸a˜o univalente.
Wellington Jose´ Correˆa 15
Observac¸a˜o: Pode-se mostrar que com o logaritmo definido acima, a func¸a˜o exponencial e a
func¸a˜o logaritmo sa˜o func¸o˜es inversas.
Propriedades: Dados z1, z2 ∈ C, temos:
1. ln(z1 z2) = ln z1 + ln z2.
2. ln zn1 = n ln z1.
Observac¸a˜o: Podemos dar uma definic¸a˜o ao nu´mero complexo zα com z, α ∈ C. Seja z 6= 0,
enta˜o definimos zα pela equac¸a˜o
zα = eα ln z .
Exerc´ıcios:
1. Determine todos os valores de z tais que
(a) exp(z) = −2 (b) exp(z) = 1 + i√3 .
Resp.: (a) ln 2 + i pi, (b) ln 2 + i
pi
3
2. Calcule
(a) ln(−1)
(b) ln(i)
(c) ln(
√
i)
(d) ln(1− i)
(e) (1 + i)i
(f) ii
Resp.: (a) i pi, (b) i
pi
2
, (c) i
pi
4
, (d)
1
2
ln 2− i pi
4
, (e) e−
pi
4
[
cos
(
1
2
ln 2
)
+ i sen
(
1
2
ln 2
)]
, (f) e−
pi
2
Limite e Continuidade
A definic¸a˜o de limite e continuidade que daremos agora e´ formalmente a mesma dos cursos de
Ca´lculo.
Definic¸a˜o 3. Seja z0 um ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio D de uma func¸a˜o f . Diz-se que f tem
limite L com z tendendo a z0 se dado qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que
z ∈ D, 0 < |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− L| < ε > 0.
Escreve-se lim
z→ z0
f(z) = L .
Wellington Jose´ Correˆa 16
Quando o ponto z0 pertence ao domı´nio de f e L = f(z0), dizemos que f e´ cont´ınua no ponto
z0 e escrevemos:
lim
z→ z0
f(z) = f(z0) .
De maneira ana´loga, as propriedades de limites e de continuidade de nu´meros reais podem ser
estendidas aos nu´meros complexos.
Exemplo 11. Calcule os seguintes limites:
1. lim
z→ 2i
(z2 + 3z) 2. lim
z→ 4i
(
5z
2z − 8i
)
3. lim
z→ 3i
2
(
3iz + 5
2z − i
)
Exemplo 12. Mostre que a func¸a˜o f(z) =
z + 3i
2
e´ cont´ınua no ponto z0 = 2− i.
Exerc´ıcios:
1. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
z→−3i
(z2 − 5z)
(b) lim
z→ i
7
z2 + 1
(c) lim
z→∞
z2 − 1
z − 3 (d) limz→ 0
√
1 + z − 1
z
Resp.: (a)−9 + i 15, (b)∞, (c)∞, (d) 1
2
.
Func¸a˜o Anal´ıtica
A definic¸a˜o de derivada de uma func¸a˜o de varia´vel complexa e´ formalmente a mesma que no caso
de uma func¸a˜o de varia´vel real. Seja f uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ uma regia˜o R e seja um ponto
z ∈ R. Diz-se que f e´ deriva´vel no ponto z se existe o limite
lim
∆z→ 0
f(z + ∆z)− f(z)
∆z
,
ou equivalente, se existe
lim
w→ z
f(w)− f(z)
w − z .
Quando esse limite existe, ele define uma nova func¸a˜o de z, a derivada de f , denotada por f ′.
Assim,
f ′(z) = lim
∆z→ 0
f(z + ∆z)− f(z)
∆z
.
Wellington Jose´ Correˆa 17
Definic¸a˜o 4. Diz-se que uma func¸a˜o f e´ anal´ıtica numa regia˜o R se ela e´ deriva´vel em cada ponto
de R.
Exemplo 13. Note que,
1. f(z) =
(z + 2)(3z − 1)2
z(z − 3)(z + i)2 e´ anal´ıtica exceto, nos pontos z = 0, 3 − i. Em tais pontos onde a
func¸a˜o na˜o e´ anal´ıtica, daremos por abuso de notac¸a˜o, o nome de singularidades.
2. Os polinoˆmios f(z) = a0 + a1z + a2z
2 + . . . + anz
n sa˜o func¸o˜es anal´ıticas em todo o plano.
Neste caso, chamamos as func¸o˜es anal´ıticas em todo o plano de func¸o˜es inteira.
3. A func¸a˜o exp(z) e´ inteira.
Observac¸a˜o: Todas as func¸o˜es com que o leitor se familiarizou em seu curso de Ca´lculo sa˜o
anal´ıticas, quando convenientemente estendidas ao plano complexo. Assim,
• Uma func¸a˜o constante e´ anal´ıtica e sua derivada e´ zero.
• A func¸a˜o f(z) = zn, z ∈ Z e´ anal´ıtica e sua derivada e´ f ′(z) = nzn−1.
• Se f e g sa˜o anal´ıticas, as func¸o˜es a seguir sa˜o anal´ıtcas e calcula-se com as conhecidas
regras:
1.
d
dz
(f(z) + g(z)) = f ′(z) + g′(z)
2.
d
dz
(f(z) · g(z)) = f ′(z)g(z) + f(z)g′(z)
3.
d
dz
(
f(z)
g(z)
)
=
g(z)f ′(z)− f ′(z)g(z)
[g(z)]2
4.
d
dz
(f(g(z))) = f ′(g(z))g′(z) .
5.
d
dz
(ez) = ez
6.
d
dz
(cos z) = −sen z.
7.
d
dz
(sen z) = cos z.
8.
d
dz
(ln z) =
1
z
.
Exerc´ıcios:
1. Calcule as derivadas abaixo:
(a) f(z) = 3z2 − 2z + 4
(b) f(z) = (1− 4z2)3
(c) f(z) =
z − 1
2z + 1
(d) g(z) = ez
2
(e) w = z ln(z4 + 3z + i)
(f) w = sen(z3 + i)− z cos(2iz)
Wellington Jose´ Correˆa 18
As Equac¸o˜es de Cauchy-Riemann
As Equac¸o˜es de Cauchy-Riemann nos fornecem informac¸o˜es sobre a derivabilidade e a analiticidade
de uma func¸a˜o complexa f(z) em um dado ponto z do plano complexo. Estas informac¸o˜es sa˜o
apresentadas nos seguinte teorema:
Teorema 1. A func¸a˜o f e´ anal´ıtica em um ponto z, se e somente se, f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
que satisfaz
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂u
∂y
= −∂v
∂x
. (12)
Exemplo 14. Verifique se f ′(z) existe em todos os pontos onde
1. f(z) = (1 + i)z + 3. 2. w = ey(cosx+ isenx) .
Exerc´ıcios:
1. Use as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das func¸o˜es dadas
a seguir, qual e´ anal´ıtica e em caso positivo, calcule a derivada f ′(z).
(a) w = z3
(b) w = z
(c) w = z − z
(d) w = e−x(cos y − i seny)
2. Se as derivadas parciais de 2a¯ ordem de u com relac¸a˜o a` x e y existem, enta˜o denotamos o
Laplaciano de u como
∆u =
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
.
Quando
∆u =
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0,
chamamos a func¸a˜o u de harmoˆnica. Assim, mostre que as func¸o˜es abaixo sa˜o harmoˆnicas.
(a) u(x, y) = x2 − y2 (b) u(x, y) = e−x(x seny − y cos y) .
Wellington Jose´ Correˆa 19
Integrac¸a˜o Complexa
De modo ana´logo ao caso real, podemos definir a integral de linha complexa
∫
C
f(z) dz ou
∮
C
f(z) dz
e´ a integral de f(z) ao longo da curva C.
Tal integral pode ser ser definida e representada em termos das integrais reais, ou seja, fazendo-
se
f(z) = u(x, y) + i v(x, y) e dz = dx+ i dy,
obtemos
∮
C
f(z) dz =
∮
C
(u(x, y)dx− v(x, y)dy) + i
∮
C
(u(x, y)dy + v(x, y)dx),
desde que existam as integrais reais do lado direito da equac¸a˜o acima.
O caminho C pode ser aberto ou fechado, mas devemos especificar a direc¸a˜o de integrac¸a˜o,
pois uma mudanc¸a de direc¸a˜o resulta em mudanc¸a no sinal da integral. As integrais complexas
sa˜o, portanto, redut´ıveis a integrais reais curvil´ıneas e possuem as seguintes propriedades.
Exemplo 15. Considere
1. a integral
∫
C
z dz onde onde o caminho C que une -1 ate´ 1 e´ a semicircunfereˆncia inferior
de raio 1 centrada na origem.
2. Ideˆntico ao item anterior, onde C agora e´ um segmento horizontal unindo -1 ate´ 1.
Note que o valor da integral
∫
C
z dz depende do caminho escolhido. Ale´m disto, devemos
observar que f(z) = z na˜o e´ uma func¸a˜o anal´ıtica. Vamos enta˜o, fazer o mesmo para uma func¸a˜o
anal´ıtica, por exemplo, f(z) = z.
Exemplo 16. Considere
1. a integral
∫
C
z dz. onde o caminho C que une -1 ate´ 1 e´ a semicircunfereˆncia inferior de
raio 1 centrada na origem.
2. Ideˆntico ao exemplo anterior, onde C agora e´ um segmento horizontal unindo -1 ate´ 1.
Devemos observar agora que o valor da integral
∫
C
z dz e´ o mesmo, independente do caminho
escolhido. Resulta a seguinte pergunta, cuja resposta sera´ dada na pro´xima sec¸a˜o: “Escolhendo-se
outros caminhos entre -1 e 1, o valor desta integral continuara´ sendo o mesmo?”
Wellington Jose´ Correˆa 20
Teorema Integral de Cauchy
As integrais de func¸o˜es anal´ıticas possuem algumas propriedades muito importantes. Provavel-
mente a mais importante delas seja descrita pelo teorema integral de Cauchy. Para apresentar
este teorema precisamos do conceito de conjunto simplesmente conexo. Um conjunto D e´ dito
conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser unidos por uma linha totalmente pertencente a
D. Um conjunto D e´ dito simplesmente conexo se qualquer curva simples fechada contida em D,
pode ser deformada,sempre totalmente contida em D, ate´ se tornar um ponto. A figura abaixo
ilustra duas regio˜es conexas A e B, dos quais A e´ simplesmente conexa, mas B na˜o e´, pois esta
possui um “buraco”.
Teorema 2. (Teorema Integral de Cauchy) Seja f(z) uma func¸a˜o anal´ıtica num domı´nio
simplesmente conexo D. Se C e´ um caminho fechado simples de D, enta˜o∫
C
f(z) dz = 0 .
Exemplo 17. Seja C a circunfereˆncia unita´ria, centrada na origem, orientada positivamente.
1.
∫
C
ez dz = 0, pois f(z) = ez e´ uma func¸a˜o anal´ıtica, para todo z complexo.
2.
∫
C
1
z
dz = 2pi i 6= 0. Mas, isto na˜o contradiz o teorema de Cauchy, pois f(z) = z−1 na˜o e´
anal´ıtica na origem, a qual pertence a regia˜o R interior ao caminho C.
Wellington Jose´ Correˆa 21
Teorema 3. Se f(z) e´ anal´ıtica em um domı´nio simplesmente conexo D e, se F (z) for uma
integral indefinida de f(z), ou seja, F ′(z) = f(z), enta˜o para todos os caminhos situados em D
que ligam dois pontos a e b em D, teˆm-se que
∫ b
a
f(z) dz = F (b)− F (a) .
Este teorema permite o ca´lculo das integrais de linha de func¸o˜es complexas atrave´s de uma
integral indefinida. Com isto, podemos chegar aos seguintes resultados, donde C e´ uma constante
arbitra´ria:
1.
∫
zn dz =
zn+1
n+ 1
+ C, n 6= −1
2.
∫
1
z
dz = ln z + C
3.
∫
ez dz = ez + C
4.
∫
az dz =
az
ln a
+ C
5.
∫
sen z dz = − cos z + C
6.
∫
cos z dz = sen z + C
7.
∫
sec2 z dz = tgz + C
Exemplo 18. Calcule
1.
∫ 1+4i
i
z2 dz. 2.
∫ pi
2
i
cos z dz
A consequeˆncia mais importante do teorema de Cauchy e´ a fo´rmula integral de Cauchy. Esta
fo´rmula e´ dada pelo teorema abaixo.
Teorema 4. (Fo´rmula Integral de Cauchy) Seja f(z) uma func¸a˜o anal´ıtica no interior e sobre
um caminho fechado C. Se z0 e´ um ponto qualquer no interior de C, enta˜o:
f(z0) =
1
2pi i
∫
C
f(ζ)
ζ − z0 dζ, (13)
onde a integrac¸a˜o e´ efetuada no sentido positivo ao longo de C.
A fo´rmula integral de Cauchy, mostra que o valor de uma func¸a˜o anal´ıtica numa regia˜o e´
determinado em toda a regia˜o por seus valores na fronteira. A demonstrac¸a˜o deste teorema e´
omitida. Devemos observar tambe´m que a fo´rmula integral de Cauchy nos permite calcular uma
Wellington Jose´ Correˆa 22
integral de linha desde que a func¸a˜o a ser integrada tenha uma u´nica singularidade no interior do
caminho C.
Exemplo 19. Encontre o valor das integrais abaixo, calculadas no sentido anti- hora´rio:
I =
∫
C
z2 + 1
z2 − 1 dz, onde:
1. C e´ uma circunfereˆncia de raio 1 e centro
1.
2. C e´ uma circunfereˆncia de raio 1 e centro
-1.
3. C e´ uma circunfereˆncia de raio 1 e centro
i.
4. C e´ uma circunfereˆncia de raio 2 e centro
0.
Derivadas de Todas as Ordens:
Como importante consequ¨eˆncia da fo´rmula de Cauchy, enunciaremos um resultado que diz que
uma func¸a˜o anal´ıtica possui derivadas de todas as ordens.
Teorema 5. Uma func¸a˜o anal´ıtica numa regia˜o D possui derivadas de todas as ordens, as quais,
por sua vez, sa˜o tambe´m anal´ıticas em D e
f (n)(z) =
n!
2pi i
∫
C
f(ζ)
(ζ − z)n+1 dζ,
onde n e´ um inteiro positivo qualquer.
Exemplo 20. Sendo C a circunfereˆncia |z− i| = 3, positivamente orientada, calcule as seguintes
integrais de linha:
1.
∫
C
z4
(z − i)4 dz 2.
∫
C
z
(z2 + 1)2
dz 3.
∫
C
z
(z2 − 1) (z2 − 4z + 3) dz
Demonstrando-se alguns resultados por meio do uso do Teorema de Cauchy, obte´m-se o
Teorema 6. (Teorema Fundamental da A´lgebra) Todo polinoˆmio
P (z) = an z
n + an−1 zn−1 + . . . + a1 z + a0 de grau n ≥ 1 e coeficientes an′s complexos pos-
sui ao menos uma raiz.
Exemplo 21. Considere o polinoˆmio p(x) = x2 + 1. E´ noto´rio que que p na˜o possui raiz real.
No entanto, ao considerarmos p(z) = z2 + 1, donde os coeficientes sa˜o complexos, o Teorema
Fundamental da A´lgebra nos diz que este polinoˆmio possui ao menos uma raiz. Como se pode ver,
tal polinoˆmio possui duas ra´ızes, a saber i e −i.
Wellington Jose´ Correˆa 23
Exerc´ıcios:
1. Use a fo´rmula integral de Cauchy ou a fo´rmula integral da derivada f (n) para calcular as
integrais descritas a seguir.
(a)
∫
|z−1|=2
z
z − 2 dz
(b)
∫
|z+1|=2
z
z + 2
dz
(c)
∫
|z−2i|=2
sen z
z − i dz
(d)
∫
|z|=2
z cos z
z − i dz
(e)
∫
|z−1|=2
eiz
z + i
dz
(f)
∫
|z|=1
i z
1− 2z dz
(g)
∫
|z−1|=2
eiz
pi − 2z dz
(h)
∫
|z−1|=2
ez
z2 − 4 dz
(i)
∫
|z|=1
z2 + z + i
(4z − i)3 dz
(j)
∮
C
dz
z2 + 1
, onde C e´ o quadrado de ve´rtices zero, 2i e ± 1 + i.
Respostas:
1. (a) 4 pi i
(b) −4 pi i
(c)
pi(1− e2)
e
(d)
pi(e2 + 1)
e
(e) 2pi e
(f)
pi
2
(g) pi
(h)
i pi e2
2
(i)
pi i
32
(j) pi