AP2_PreCalculoEng_2018_2_gabarito

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AP2 – Pré-Cálculo para Engenharia – GABARITO
Questão 1 [1,5 pontos] Considere a função g : R → R, definida por g(x) = 3x2 − 4 e a função
f cujo o gráfico está representado abaixo. Faça o que se pede:
a. [0,5] Determine a imagem da função f .
b. [0,5] Determine (g ◦ f)(1).
c. [0,5] Determine (f ◦ g)(2
√
2√
3 ).
Solução: (a) Im(f) = [−3, 0] ∪ (2, 3].
(b) (g ◦ f)(1) = g(f(1)) = g(−2) = 3(−2)2 − 4 = 3× 4− 4 = 8.
(c) (f ◦ g)(2
√
2√
3 ) = f(g(
2
√
2√
3 )) = f(3× (
2
√
2√
3 )
2 − 4) = f(4) = 3.
Questão 2 [2,0 pontos] Determine o doḿınio da função f(x) =
√
1− 2 cosx
x4 + x2 + 1 .
Solução:
Como o denominador de uma fração não pode ser nulo, então x4 + x2 + 1 6= 0. Então precisamos
encontrar os valores onde o polinômio se anula. Observe que x4 + x2 + 1 > 0∀x ∈ R. Logo, o
denominador nunca se anula.
Além disso, no numerador temos uma raiz quadrada. Assim, 1− 2 cosx ≥ 0.
1− 2 cosx ≥ 0⇔ 1 ≥ 2 cosx⇔ cosx ≤ 12
A equação associada é cosx = 12 e as soluções em [0, 2π] são x =
π
3 e x =
5π
3 e na reta real são
x = π3 + 2kπ e x =
5π
3 + 2kπ.
Agora podemos marcar no ćırculo os pontos correspondentes aos valores de abscissas menores ou
iguais ao valor 12(marcados em vermelho).
Pré-Cálculo para Engenharia AP2 2
Observe que esses pontos se situam no arco de ćırculo marcado em verde e correspondem aos ângulos
x que estão compreendidos entre π3 + 2kπ e
5π
3 + 2kπ ou coincidem com
π
3 + 2kπ ou com
5π
3 + 2kπ.
Logo, Dom(f) = {x ∈ R; π3 + 2kπ ≤ x ≤
5π
3 + 2kπ, k ∈ Z}.
Questão 3 [2,0 pontos] Um modelo desenvolvido em Psicologia do Aprendizado no ińıcio do século
XX e de grande interesse para a Economia, a produção industrial e a área de Inteligência Artificial, é
o modelo das ”curvas de aprendizado”: um trabalhador, em seu primeiro dia na fábrica, tem pouca
experiência e habilidade e, portanto, sua produtividade será baixa. Com o passar do tempo, sua
experiência aumenta com a prática, e o número de bens/serviços produzidos aumenta. A função
que determina a quantidade de relatórios produzidos por um trabalhador de escritório espećıfico em
função do tempo t (contado em meses) é dada por Q(t) = C0−30e−kt, com C0 e k ∈ R. Determine
C0 e k sabendo que, em seu primeiro dia, o trabalhador produz 5 relatórios, e após 2 meses, ele
produz 15. Considere ln 2 ∼= 0, 7 e ln 3 ∼= 1, 1.
Solução: Como em seu primeiro dia ele produz 5 relatórios, então consideramos o mês t = 0,
donde
5 = Q(0) = C0 − 30e−k.0 = C0 − 30,
e dáı C0 = 35. Com t = 2, ele produz 15, e assim 15 = Q(2) = 35−30e−2k, ou ainda, 30e−2k = 20;
dáı,
e−2k = 2/3.
Considerando o logaritmo de cada membro na equação anterior, e considerando as aproximações dos
logaritmos como igualdades, obtemos
−2k = ln(2/3) = ln 2− ln 3 ∼= 0, 7− 1, 1 ∼= −0, 4,
donde k ∼= 0, 2.
Questão 4 [1,5 pontos] Considere a função f(x) = ln
(
3x− 2
−x+ 5
)
. Encontre, se existir, x ∈ R tal
que f(x) = 0.
Solução:
Temos f(x) = ln
(
3x− 2
−x+ 5
)
= 0 se, e somente se, 3x− 2
−x+ 5 = 1. Portanto,
3x− 2 = −x+ 5⇒ 4x = 7,
o que nos dá x = 7/4.
Considere o gráfico da função f : [−3, 3]→ R abaixo e faça o que se pede nas questões 6, 7 e 8.
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Questão 5 [1,0 ponto] Considere a função g definida por g(x) = f(x+ 1)− 1, definida no maior
doḿınio posśıvel. Construa o gráfico da função g.
(Sugestão: faça os gráficos auxiliares, f1(x) = f(x+ 1), g(x) = f(x+ 1)− 1, nessa sequência)
Solução: Gráfico da função auxiliar f1(x) = f(x+ 1)
Gráfico da função auxiliar g(x) = f(x+ 1)− 1
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Questão 6 [1,0 ponto] Considere a função g definida por g(x) = 2 f(x−2) + 3, definida no maior
doḿınio posśıvel. Determine o doḿınio da função g.
Solução:
Como x−2 ∈ [−3, 3], temos que −3 ≤ x−2 ≤ 3. Logo, −1 ≤ x ≤ 5. Portanto, Dom(g) = [−1, 5].
Questão 7 [1,0 ponto] Determine a imagem da função g(x) = 3 f(x+ 1)− 3.
Solução: Note que 0 ≤ f(x+1) ≤ 5. Assim, 0 ≤ 3f(x+1) ≤ 15. Logo, −3 ≤ 3f(x+1)−3 ≤ 12.
Portanto, Img = [−3, 12].
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RASCUNHO
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