Semelhança de Triângulos e Teorema de Menelau

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Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando existe uma correspondência biunívoca entre os vértices de um e outro triângulo, de modo que os ângulos em vértices correspondentes sejam iguais e a razão entre os comprimentos de lados correspondentes seja sempre a mesma.
Razão de Semelhança e Proporcionalidade:
 
Casos de Semelhança
1º Caso: Ângulo-Ângulo-Ângulo (A.A.A.)
2º Caso: Lado-Ângulo-Lado (L.A.L.)
3º Caso: Lado-Lado-Lado (L.L.L.)
Mostre que se dois triângulos são semelhantes à razão K, então a razão entre suas áreas é K².
(Teorema de Menelau) – Sejam um triângulo 𝐴𝐵𝐶 e uma reta 𝑟 que intercepta o lado 𝐴𝐵 no ponto 𝑍, o lado 𝐴𝐶 no lado 𝑌 e a reta 𝐵𝐶 no ponto 𝑋. Prove que .
Demonstre a validade das relações métricas dos triângulos retângulos. (Proposição 5). 
Demonstre a recíproca do Teorema de Pitágoras.
Proposição 5.9 (Recíproca do Teorema de Pitágoras): Se o quadrado da medida de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, então o triângulo é retângulo, tendo o ângulo reto oposto ao primeiro lado.
Dado um triângulo 𝐴𝐵𝐶, construir um triângulo 𝐴′𝐵′𝐷′ semelhante à 𝐴𝐵𝐶 à razão 𝑘 = 3⁄2. Justifique os passos de construção e o resultado obtido.