Assunto 2-Teoria da medicao_v2 (1)

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Instrumentação 
Assunto 2 – Teoria da medição 
Prof. Diogo Roberto R. Freitas 
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2 
Prof. Diogo Roberto 
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 “Meça o que é mensurável, e torne mensurável o que não é.” 
 – Galileo Galilei (1564-1642) 
 Estamos a todo momento medindo as coisas: distâncias, tempo, 
valores... 
 Tente relacionar cada coisa que precisa ser medida durante um dia 
normal. 
 Por que estas coisas precisaram ser medidas? 
 E se não fosse medidas quais as consequências, se é que existem? 
 Até coisas “não reais” são medidas, como o dinheiro: 
“Dinheiro não é real. É um acordo consciente sobre medir valor.” 
 – John Ralston Saul (1947), filósofo canadense. 
 E na engenharia, qual a função da medição? 
Por que medir? 
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 Medir envolve relações entre grandezas. 
 Para medir qualquer coisa precisamos de um instrumento para 
comparar a quantidade que estamos medindo a partir de um valor 
conhecido. 
 Hoje os valores conhecidos são as unidades do SI. 
 Os instrumentos específicos para cada tipo de medição serão 
estudados no próximo assunto. 
 Neste assunto vamos estudar as características gerais dos 
instrumentos, que são divididas em: 
 Características estáticas 
 Características dinâmicas 
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 São divididas em: 
1. Escala 
2. Resolução 
3. Exatidão 
4. Precisão 
 Repetitividade 
 Reprodutibilidade 
5. Tolerância 
6. Linearidade 
7. Sensibilidade da medição 
8. Sensibilidade a distúrbios 
9. Limiar de operação 
10. Histerese 
11. Banda morta 
 
 
Características estáticas dos instrumentos 
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 Divide-se em 
1. Instrumentos de ordem zero 
2. Instrumentos de primeira ordem 
3. Instrumentos de segunda ordem 
Características dinâmicas dos instrumentos 
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Escala, alcance e resolução 
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Fonte: https://www.burkert.fr/var/harmony/storage/images/imagefull/8/3/2/415104-
8323-003-C_thumb_imagefull.png 
 Escala (range) 
 Faixa de valores que o instrumento pode medir. 
 Alcance, extensão (span) 
 Extensão máxima da escala do instrumento. 
 Resolução 
 Menor valor possível que o instrumento pode medir. 
 Exemplo: qual a escala, alcance e resolução dos instrumentos a seguir? 
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 É a medida de proximidade da leitura do instrumento em relação ao 
valor verdadeiro do mensurando. 
 Também pode ser entendida como a medida da incerteza da medição. 
 Geralmente é relatada como uma porcentagem de fundo de escala do 
instrumento. 
 Por este motivo deve-se utilizar um instrumento com escala próxima 
aos valores do mensurando. 
 Exemplo: quer se medir a pressão em uma tubulação que pode 
atingir até 400 000 Pa (≈ 4 bar ≈ 40,8 mca). Tem-se a disposição 
dois instrumentos diferentes: 
 Instrumento 1: faixa 0 – 50 bar, exatidão 1% de fundo de escala 
 Instrumento 2: faixa 0 – 5 bar, exatidão 5% de fundo de escala 
Qual dos dois instrumentos deve-se utilizar para se obter a maior 
exatidão? 
Exatidão (incerteza da medição) 
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 Se refere ao quanto uma medição difere da seguinte. 
 Não confundir com exatidão! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mas, qual o valor verdadeiro do mensurando? 
 Por mais exato que seja o instrumento o valor verdadeiro é difícil de 
medir... 
 
Precisão 
 
 
Preciso 
 
 
Impreciso 
 
Exato Inexato 
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 Repetitividade 
 Descreve o quão as leituras estão próximas para um mesmo valor do 
mensurando em um curto período de tempo, mantendo-se as mesmas 
condições de medição, mesmo ambiente, instrumento, observador e 
local. 
 Reprodutibilidade 
 Descreve o quão as leituras estão próximas para um mesmo valor do 
mensurando quando há modificação das condições de medição, 
mudança no ambiente, observador, local e tempo. 
 Exemplos? 
Precisão 
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 Define o erro máximo esperado para certo valor. Alguns fabricantes 
podem utilizar este termo no lugar de exatidão. 
 Exemplo: resistores possuem diversas faixas de tolerância, desde 
10% até 1% ou 0,5%. Um fato é que os mais precisos são mais caros 
em relação aos menor precisos. 
 Capacitores eletrolíticos são construídos geralmente com tolerância 
mínima de 20%! 
Tolerância 
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 É desejável que a relação entre a quantidade medida e a leitura do instrumento 
seja linear. 
 Por exemplo, medições foram realizadas e os valores lidos foram marcados com 
um X no gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso o instrumento seja linear pode-se plotar um linha entre os pontos. 
 A regressão linear relaciona as leituras com a quantidade medida: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
em que: 𝑦 → leitura; 𝑥 → quantidade medida; 𝑎, 𝑏 → coeficientes (constantes) a 
calcular, sendo 𝑎 a “sensibilidade” e 𝑏 o “erro” (offset) 
Linearidade 
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 É a variação na leitura do instrumento a partir de certa variação do 
mensurando. Pode ser definida como: 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑜𝑢 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜
 
 É a inclinação da reta no gráfico anterior. 
 Exemplo: um Pt-100 possui a seguinte relação entre resistência e 
temperatura: 
 
 
 
 
 
 
Considerando a faixa de 0 a 100 °C calcule a sensibilidade deste sensor. 
Sensibilidade da medição 
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Resp. 0,385 Ω/°C 
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 Os instrumentos são especificados para operar em condições 
ambientais limitadas (controladas). 
 Variações nas condições do ambiente causam mudanças nas 
características estáticas dos instrumentos. 
 A medida dessa variação é chamada “sensibilidade a distúrbios”. 
Divide-se em flutuação do zero (zero drift ou bias) e flutuação da 
sensibilidade (sensitivity drift ou scale factor drift). 
 
Sensibilidade a distúrbios 
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 Flutuação do zero: a leitura “zero” do instrumento é modificada pela 
variação nas condições ambientais. Essa modificação causa um erro 
constante em toda faixa de operação do instrumento. 
 Exemplo: manômetro com coeficiente de flutuação (zero drift 
coefficient) 1 bar / °C 
 
Sensibilidade a distúrbios 
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 Flutuação da sensibilidade: variação na sensibilidade do instrumento 
em relação às variações das condições ambientais. 
Sensibilidade a distúrbios 
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 Um instrumento pode ser sensível aos dois tipos de flutuação! 
Sensibilidade a distúrbios 
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 Exemplo: uma balança de mola é calibrada para operar a 20 °C e 
possui a seguinte relação peso x deflexão: 
 
 
Considere uma coeficiente de flutuação de zero de 0,8 mm/°C e 
coeficiente de flutuação de sensibilidade de 0,3 (mm/kg)/°C.Calcule a 
nova relação para esta balança operar a temperatura ambiente de 35 °C. 
 
Sensibilidade a distúrbios 
Resp.: zero drift: 12 mm 
Sensibilidade @35°C: 24,5 mm/kg 
12 36,5 61 85,5 
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 Mínimo valor do mensurando que causa uma leitura inicial no 
instrumento. 
 Exemplo: geralmente o velocímetro do carro só sai do zero a partir 
de 10 km/h. 
Limiar de operação 
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 Diferença nas leituras em sentidos diferentes em um dado 
instrumento. 
 Exemplos: instrumentos com mola, núcleos de transformadores. 
Histerese 
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Exemplo: núcleo ferromagnético 
Fonte: https://www.nde-ed.org/EducationResources/CommunityCollege/MagParticle/Graphics/BHCurve.gif 
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 Valores de entrada que não causam mudanças no valor de saída do 
instrumento. Instrumentos que possuem histerese possuem banda 
morta. 
Banda morta 
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 Nossa abordagem será encarar o instrumento como um sistema: 
 
 Divide-se em 
1. Instrumentos de ordem zero 
2. Instrumentos de primeira ordem 
3. Instrumentos de segunda ordem 
 Comportamento do instrumento entre a mudança do mensurando e a 
estabilização da leitura de saída. 
 Expressa a relação entre o mensurando (𝑥) e a variável de saída (𝑦): 
𝑎2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑥 
em que 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 e 𝑏0 são constantes (coeficientes). Esta equação 
considera uma variação tipo degrau (step) do mensurando. 
Características dinâmicas dos instrumentos 
Instrumento 𝑥 𝑦 
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 Caso 𝑎2 = 𝑎1 = 0 temos a seguinte relação: 
𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑥 ⟹ 𝑦 =
𝑏0
𝑎0
𝑥 ⟹ 𝑦 = 𝐾𝑥 
 Uma variação no mensurando causa mudança imediata na saída. 
 Exemplo: potenciômetro como sensor de posição. 
Instrumentos de ordem zero 
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 A saída se comporta da seguinte forma: 
𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑥 
Resolvendo a equação diferencial de primeira ordem resulta: 
𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑥 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝑎0
𝑎1
𝑦 =
𝑏0
𝑎1
𝑥 
𝑑𝑞𝑜
𝑑𝑡
=
𝑏0
𝑎1
𝑞𝑖 −
𝑎0
𝑎1
𝑞𝑜 
Fazendo 
𝑏0
𝑎1
= 𝑐0 e 
𝑎0
𝑎1
= 𝑐1 temos: 
−
𝑑𝑞𝑜
𝑑𝑡
= −𝑐0𝑞𝑖 + 𝑐1𝑞𝑜 ⟹−
1
𝑐1
𝑑𝑞𝑜
𝑑𝑡
= −
𝑐0
𝑐1
𝑞𝑖 + 𝑞𝑜 ⟹
𝑑𝑞𝑜
𝑑𝑡
𝑞𝑜 −
𝑐0
𝑐1
𝑞𝑖
= −𝑐1 
𝑑𝑞𝑜
𝑞𝑜−
𝑐0
𝑐1
𝑞𝑖
= −𝑐1𝑑𝑡. Integrando ambos os lados (lembre 
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥): 
ln 𝑞𝑜 −
𝑐0
𝑐1
𝑞𝑖 = −𝑐1𝑡 + 𝐶 
Instrumentos de primeira ordem 
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 Aplicando a exponencial: 
𝑦 −
𝑐0
𝑐1
𝑥 = 𝑒−𝑐1𝑡+𝐶 ⟹ 𝑦 = 𝑐𝑒−𝑐1𝑡 +
𝑐0
𝑐1
𝑥 
onde 𝑐 = 𝑒𝐶. Considerando 𝑥 constante (mensurando) temos: 
P/ 𝑡 ≤ 0 ⟹ 𝑐 = 𝑦(0) −
𝑐0
𝑐1
𝑥, 𝑦(0) é a condição inicial 
P/ 𝑡 → ∞⟹ 𝑦 =
𝑐0
𝑐1
𝑥, estabilidade 
Assim: 
𝑦 = (𝑦(0) −
𝑐0
𝑐1
𝑥)𝑒−𝑐1𝑡 +
𝑐0
𝑐1
𝑥 
Caso 𝑦(0) = 0 (condição inicial zero) temos: 
𝑦 =
𝑐0
𝑐1
𝑥 1 − 𝑒−𝑐1𝑡 = 𝑎𝑥 1 − 𝑒−
𝑡
𝜏 
em que 𝑎 =
𝑐0
𝑐1
=
𝑏0
𝑎0
 é a sensibilidade e 𝜏 =
1
𝑐1
=
𝑎1
𝑎0
 é a constante de 
tempo do instrumento. 
Instrumentos de primeira ordem 
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 Após 5𝜏 considera-se a saída do instrumento estável. 
 Exemplo: termopar. 
Instrumentos de primeira ordem 
5𝜏 
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Caso o instrumento possua offset (𝑏 ≠ 0) temos: 
𝑦 = 𝑎𝑥 1 − 𝑒−
𝑡
𝜏 + 𝑏, 
tendo em mente que o offset é o valor da saída 𝑦 quando a entrada 
𝑥 = 0. 
Instrumentos de primeira ordem 
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 Exemplo: Um forno precisa ser monitorado por um termopar na faixa de 10 a 
200 °C. A seguinte tabela relaciona a tensão termoelétrica (mV) em função da 
temperatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Considerando que a leitura é estável após 5 s, defina uma expressão matemática 
para a saída do termopar em função da temperatura. 
2. Plote o gráfico para os instantes 1, 2, 3, 4, 5 segundos. 
3. Calcule o erro de cada medição nos instantes 1, 2, 3, 4, 5 segundos. Arredonde 
a temperatura para o inteiro mais próximo. 
 
Instrumentos de primeira ordem 
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 A saída do instrumento se comporta da seguinte forma: 
𝑎2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑥 
 Reescrevendo a equação usando o operador D temos: 
𝑎2𝐷
2𝑦 + 𝑎1𝐷𝑦 + 𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑥 
𝑦 =
𝑏0𝑥
𝑎2𝐷
2 + 𝑎1𝐷 + 𝑎0
 
 
Instrumentos de segunda ordem 
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 A forma da saída 𝑦 vai depender das raízes do polinômio 
característico da equação diferencial de segunda ordem 
𝑎2𝐷
2 + 𝑎1𝐷 + 𝑎0 = 0 
 Considerando os parâmetros: 
 K =
𝑏0
𝑎0
, sensibilidade estática 
 ω =
𝑎0
𝑎2
, frequência natural não amortecida 
 ξ =
𝑎1
2 𝑎0𝑎2 
, razão de amortecimento 
 Temos 3 casos: 
 Duas raízes reais e diferentes – caso sobreamortecido 
 Duas raízes complexas conjugadas – caso subamortecido 
 Duas raízes iguais – caso criticamente amortecido 
Instrumentos de segunda ordem 
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 Fazendo ξ =
𝑎1
2 𝑎0𝑎2 
=
𝑎1
2𝑎0
𝑎2
𝑎0
 
⟹
2ξ
𝜔
=
𝑎1
𝑎0 
, e dividindo por 𝑎0: 
𝑦
𝑥
=
𝐾
𝐷
𝜔2
2
+
2ξ
𝜔
𝐷 + 1
 
 Este é o modelo do nosso instrumento de segunda ordem. O 
comportamento da saída depende da razão de amortecimento ξ: 
 ξ = 0 – caso criticamente amortecido 
 0 < ξ < 1 – caso subamortecido 
 ξ ≥ 1 – caso sobre amortecido 
 Exemplos: instrumentos com mola (balanças), acelerômetros. 
Instrumentos de segunda ordem 
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Instrumentos de segunda ordem 
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 A. S. Morris, L. Langari, Measurement and Instrumentation: Theory 
and Application, 2012. 
 Revised Thermocouple Reference Tables, Omega. Disponível em 
www.omega.com Acessado em 01/3/2017. 
 TERMORRESISTÊNCIAS Pt100, Novus. Disponível em 
www.novus.com.br Acessado em 01/3/2017. 
 W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e 
Problemas de Valores de Contorno, 8ª ed. 
 
 
Referências 
http://www.omega.com/
http://www.novus.com.br/