prova n2

Prévia do material em texto

Pergunta 1
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário da
resposta:
Barroso (1987) Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B. Para medir a
área de um trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação a AB com um intervalo de 0,04 m.
Usando os dados tabelados e a regra dos trapézios composta, calcule uma aproximação para a área da região descrita.
  
Perpendiculares Comprimento (metros)
1 3,37
2 4,43
3 4,65
4 5,12
5 4,98
6 3,61
7 3,85
8 4,71
9 5,25
10 3,86
11 3,22
Referência: BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 273.
1,75 metros quadrados
1,75 metros quadrados
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 pontos distintos,
temos 
 
  
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de   metros
quadrados. 
 
0 0 3,37
1 0,04 4,43
2 0,08 4,65
3 0,12 5,12
4 0,16 4,98
5 0,2 3,61
6 0,24 3,85
7 0,28 4,71
8 0,32 5,25
9 0,36 3,86
10 0,4 3,22  
Pergunta 2
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um
problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de
satélites, é dada por:
 
Suponha que sejam conhecidos   e  . Usando o método da iteração linear, calcule o número mínimo de
iterações necessárias para determinar a raiz da equação dada, com uma tolerância   . Para isso, isole a raiz num
intervalo   de comprimento 1, ou seja,  (    e   naturais) e  . Assinale a alternativa correta.
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico . São Paulo: Pearson, 2006.
6.
6.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
da resposta:  e  , encontramos 6 iterações, no mínimo, para a tolerância  , conforme a tabela a
seguir: 
 
0 0 
1 0,6 0,6
2 0,76939274 0,169392742
3 0,80870975 0,039317004
4 0,81701908 0,008309337
5 0,81873268 0,001713599
6 0,8190842 0,000351514
Pergunta 3
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário da
resposta:
Barroso (1987) Usando a regra dos trapézios composta sobre os pontos necessários, calcule e marque a alternativa que
representa o valor do trabalho   realizado por um gás sendo aquecido segundo a tabela abaixo, em que   é
a pressão exercida pela gás e   é o seu respectivo volume.
  
  (   )  
0,5 110
1,0 100
1,5 90
2,0 82
2,5 74
3,0 63
3,5 54
4,0 38
4,5 32
5,0 22
Referência: BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 274.
168,5 J
168,5 J
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos,
temos 
 
  
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de   J. 
 
0 1,5 90
1 2 82
2 2,5 74
3 3 63
4 3,5 54
5 4 38  
1 em 1 pontos
Pergunta 4
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
Durante a fase de resolução de um problema físico, temos que aplicar duas etapas: o isolamento das raízes e a aplicação de um método de
refinamento das raízes. Dessa forma, pensando na etapa do isolamento das raízes, podemos afirmar, a partir do método gráfico, que a função
 tem uma raiz contida no intervalo: 
  
Assinale a alternativa correta: 
  
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método gráfico para as funções  e  e
fazendo o x variar a cada 0,4 unidades, percebemos que a interseção entre as curvas acontece no interior do intervalo [1,6;2,0],
ou seja, a raiz procurada encontra-se nesse intervalo.
Pergunta 5
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário da
resposta:
Com a equação de Lambert, dada por   , em que t é um número real positivo, é possível obter uma única solução  ,
que pertence ao intervalo [0,t]. Por intermédio do método de Newton e usando essa estimativa como intervalo inicial,
calcule quantas iterações são necessárias para obter o valor numérico de   quando t=2, considere uma tolerância 
 . Assinale a alternativa correta.
6.
6.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função  , determinamos
que o número mínimo de iterações é igual a 6, conforme a tabela a seguir: 
 
0 2 12,7781122 22,1671683 
1 1,42355686 3,910411301 10,0622731 0,57644314
2 1,03493579 0,913267121 5,7281926 0,38862107
3 0,87550206 0,10127495 4,50135492 0,15943373
4 0,85300329 0,001729204 4,34841325 0,02249877
5 0,85260562 5,29273E-07 4,34575157 0,00039766
6 0,8526055 5,01821E-14 4,34575075 1,2179E-07
Pergunta 6
Resposta Selecionada:  
Suponha que um motorista realizou a leitura da velocidade instantânea de um veículo em alguns momentos específicos e
registrou esses dados como na tabela abaixo: 
  
t (min) 0 5 10 15 20 25 30 35
v (km/h) 42 47 50 55 60 62 70 80
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como o motorista esqueceu de anotar a quilometragem do veículo e deseja saber uma aproximação da distância
percorrida, calcule essa aproximação a partir da regra dos trapézios composta sobre todos os pontos dados na tabela.
33,75 km
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Correta:  
Comentário da
resposta:
33,75 km
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 8 pontos distintos,
temos 
 
  
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de   km. 
 
0 0 42
1 5 47
2 10 50
3 15 55
4 20 60
5 25 62
6 30 70
7 35 80
Pergunta 7
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da
resposta:
A velocidade instantânea de uma motocicleta foi medida em vários momentos e registrada numa tabela como segue abaixo:
  
t (segundos) v (km/h)
0 20
120 22
240 23
360 25
480 30
600 31
720 32
840 40
960 45
1080 50
1200 65
Referência: Elaborado pelo autor.
Uma vez que o motociclista não anotou a quilometragem da motocicleta e deseja calcular uma aproximação da distância
percorrida, em metros, determine essa aproximação usando a regra dos trapézios composta sobre todos os pontos dados na
tabela.
11350
11350
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 pontos distintos, temos 
 
  
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de  . 
 
0 0 20
1 120 22
2 240 23
3 360 25
4 480 30
5 600 31
1 em 1 pontos
6 720 32
7 840 40
8 960 45
9 1080 50
10 1200 65  
Pergunta 8
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da
resposta:
Um estudante de engenharia estagiava em uma empresa e deparou-se com um problema físico. Após algum tempo, ele
conseguiu realizar a modelagem do problema em questão, encontrando  , com  . Naquele
momento, ele apenas necessitava saber se a função encontrada possuía raízes. Ao relembrar as aulas de cálculo
numérico computacional, aplicou o método gráfico e descobriu que a função tinha: 
 
Assinale a alternativa correta:
  
Uma raiz positiva e uma negativa.
Uma raiz positiva e uma negativa.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao aplicar o método gráfico para as funções  e  , no
intervalo [-4,2], é possível perceber que se trata de interseção para x positivo e uma interseção para x negativo, ou seja, na
situação apresentada, temos uma raiz real positiva e uma raiz real negativa.
Pergunta 9
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da
resposta:
Considere a função   e uma tolerância  . Ao utilizar o método da bisseção, qual o número
mínimo de iterações necessárias para encontrar uma raiz   pertencente ao intervalo [2,7;3,3]?
 
Assinale a alternativa correta:
 
  
13.
15.
Sua resposta está incorreta. Essa alternativa está incorreta, pois apresenta um valor diferente de 15 iterações. Perceba que, ao
utilizarmos a fórmula , encontramos, isto é, n=15, uma vez que o número de iterações sempre
será um número inteiro. Para auxiliar nos cálculos, o aluno também pode construir a tabela a seguir: 
 
a b tolerância n
2,7 3,3 0,00001 14,8726749
Pergunta 10
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário da
resposta:
Dada a função  , calcule e marque a alternativa correta em relação ao valor da cota máxima do erro de
truncamento cometido no cálculo de quando aplicamos a interpolação quadrática para aproximar esse valor, a
partir da utilização dos pontos  ,   e  : 
 
Assinale a alternativa correta:
0,0456932.
0,0397215.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, aplicando a fórmula do erro de truncamento para a
interpolação quadrática no intervalo  , temos: 
 
assim, 
 
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
0 em 1 pontos
consequentemente, como não conhecemos  , usamos o valor máximo em módulo de   dentro do intervalo
considerado, isto é, calculamos uma cota máxima para o erro de truncamento