Oscilador Harmonico Amortecido

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Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul 
Licenciatura em Física (Matutino) 
Laboratório de Física I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OSCILADOR HARMÔNICO AMORTECIDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: 
 FERNANDO FERREIRA ANSELMO 
 
 
 
 
Professor: Paulo Souza 
Data: 24 de Setembro de 2005 
I – Objetivos 
 
Compreender as distinções entre o Movimento Harmônico Simples do 
Movimento Harmônico Amortecido, analisando o comportamento da amplitude de 
oscilação do sistema em função do tempo, e com isto determinar o tempo de relaxação  do 
oscilador, e o possível valor de y para a. equação A = Ao e 
–yt, através de um novo 
tratamento dos dados. 
 
II – Introdução Teórica 
 
Supondo que nenhuma força de atrito atue no sistema oscilador, um 
pêndulo ou uma massa fixada a uma mola oscilará indefinidamente com uma energia 
mecânica constante (isto é, sem perdas de amplitudes de oscilações). Uma vez que nos 
osciladores reais se observa uma perda nas amplitudes, sabe-se que essa hipótese não é 
rigorosamente verdadeira, embora ela possa representar uma boa aproximação para alguns 
osciladores. O período é praticamente independente da amplitude para pequenas amplitudes 
de oscilações, logo, o decréscimo na amplitude causa uma variação pouco significativa no 
período do oscilador. 
Esta perda na amplitude é chamada de amortecimento e o movimento 
resultante é o movimento harmônico amortecido ocorre devido a muitas causas, dentre elas 
destacam-se o atrito, a resistência do ar e as forças internas. 
Comparando o movimento de osciladores não - amortecidos e 
amortecidos, ao incluir–se uma pequena força de atrito, a freqüência sofre uma variação 
desprezível, porém, a amplitude diminui gradualmente até tornar-se nula. Em muitos casos, 
esse decréscimo na amplitude pode ser computado multiplicando-se a equação referente ao 
oscilador não-amortecido (X = Xm cos (wt+ )) por uma função exponencial que descreve 
as curvas da figura (e-t/), e a equação resultante pode ser expressa por: 
 
X(t) = Xm e
- t/cos (wt + ) 
 
Onde  é uma constante chamada de constante de tempo de 
amortecimento. Matematicamente, ela representa o tempo necessário para que a amplitude 
seja reduzida de um fator igual a 1/e em relação ao seu valor inicial. 
Ao admitir-se uma forma particular para a força de amortecimento, 
podemos utilizar as leis de Newton para resolver as equações do movimento. A figura 1 
mostra um modelo simples de oscilador amortecido. Um conjunto de massa-mola acoplada 
a uma pá imersa no líquido pode representar a força de amortecimento devido ao fluido 
exatamente da mesma forma que se representa a força de arrasto atuante em um projétil, 
isto é, xx bvF −= , onde b é uma constante positiva chamada de constante de amortecimento 
que depende das propriedades do fluido , das dimensões e forma de pá que está imersa no 
fluido. 
 −−= xx bvKxF 
 
xx bvKxma −−= 
 
0
2
2
=++ Kx
dt
dx
b
dt
xd
m 
 
A solução desta equação: 
 
)cos()( 2 +=
−
wtextx m
bt
m 
 
onde, 
 
2
2






−=
m
b
m
K
w 
 
Essa solução supõe que a constante de amortecimento seja pequena, de 
forma que o radicando da raiz quadrada não pode ser negativo. 
 
Figura 1 : Representação de um oscilador harmônico amortecido. 
 
 
 
 
 
II – Procedimento Experimental 
 
Os Materiais utilizados neste experimento foram: cronômetro digital Axt – 
CIDEP com um erro de ± 0.001s; Tripé Universal Wackerrite; fio de cobre; recipiente com 
água; uma mola helicoidal de constante k que suporta uma dada massa. 
Para que fosse realizado um Movimento de Oscilação Harmônica 
Amortecida, dispomos de um conjunto de massa mola (de modo que a mola usada para a 
realização deste, foi à mesma usada para a do movimento harmônico simples do qual 
encontramos a constante elástica da mola) acoplada a um fio de cobre imerso na água 
(usado para amortecer o movimento). 
 Deslocamos, então, o corpo suspenso na mola da posição de equilíbrio, 
para cada amplitude e, para cada amplitude escolhida observamos o tempo de oscilação. Ao 
anotarmos o tempo de oscilação dado pelo cronômetro repetimos o processo quatro vezes 
para cada amplitude. 
 
IV – Apresentação e Análise. 
 
Tomado os valores da amplitude inicial, e o sistema é colocado em 
oscilação vertical. Assim, quando o fio se move verticalmente, o liquido exerce sobre o fio 
uma força de arrasto inibidora, sobretudo sobre o sistema oscilante como um todo. A partir 
de quando o sistema entra em oscilação, partindo da amplitude inicial, quando ele deixa de 
passar por um dado ponto por nós, adotado (é importante lembrar que essa observação é 
feita á olho nu) paramos o cronômetro (também é importante observar: que há uma 
diferença de tempo ao observar e parar o cronômetro, e considerar os erros instrumentais). 
Esse processo é repetido no mínimo quatro vezes para uma melhor obtenção de resultados. 
As oscilações harmônicas estudadas têm lugar em sistemas conservativos. 
Na prática há sempre uma dissipação de energia. Assim, quando o movimento de um 
oscilador é reduzido por uma força externa, diz-se que o oscilador e o seu movimento são 
amortecidos. No caso, o movimento continua sendo harmônico simples, mas acrescentando 
um fator de amortecimento, a água, como comprovado pelo estudo teórico pelas 
comparações entre as equações dos dois movimentos que se diferenciam apenas pelo fator 
de amortecimento, o fio se move para cima e para baixo ,exercendo um amortecimento 
devido a viscosidade do liquido. Como o oscilador é amortecido, a energia mecânica total 
diminui com o tempo. Se o amortecimento é pequeno a amplitude (Xm) em Xm e –bt/m é 
substituída por ½ kx²m que diz que a amplitude e a energia mecânica decresce com o 
tempo. 
O valor da amplitude inicial: mmA )05,000,30(0 = . 
A = (100,5)mm A = (150,5)mm A = (200,5)mm A = (250,5)mm 
(0,715  0,001)s (0,950  0,001)s (1,254  0,001)s (1,769  0,001)s 
(0,602  0,001)s (0,889  0,001)s (1,145  0,001)s (1,587  0,001)s 
(0,845 0,001)s (1,015  0,001)s (1,025  0,001)s (1,859  0,001)s 
(0,568 0,001)s (0,775  0,001)s (0,987  0,001)s (1,814  0,001)s 
(0,598 0,001)s (0,854  0,001)s (1,098  0,001)s (1,643  0,001)s 
Ā = 0,666 Ā = 0,897 Ā = 1,102 Ā = 1,734 
 
 
O modelo físico do Oscilador Harmônico Amortecido prevê um 
decaimento exponencial para amplitude 
teAA −= 0 . Uma maneira de verificar esta 
previsão é linearizar a função A(t) e ajustar uma reta aos dados experimentais. Esta 
linearização pode ser feita calculando-se o logaritmo neperiano de A: tAA −= 0lnln . 
 
Ln A t 
2,303 0,666 
2,708 0,897 
2,996 1,102 
3,219 1,734 
 
 
 
 
 
525,2)399,4()469,5(*4 2 =−= 
 
( ) 933,1399,4*846,12469,5*225,11
525,2
1
=−=a 
 
( ) 794,0225,11*399,4846,12*4
525,2
1
=−=b 
 Desvio Padrão 
1
2
1
−
−
=

=
N
TT
d
N
i
i
 
Desvio Padrão da 
Média 
n
d
= 
Erro Absoluto 
A = 10mm 
 115,0
15
053,0
=
−
 
 
052,0
5
115,0
= 
 
 
t1= (0,666 ± 0,052) s 
A = 15mm 
092,0
15
034,0
=
−
 
 
041,0
5
092,0
= 
 
t2= (0,897 ± 0,041) s 
A = 20mm 
105,0
15
044,0
=
−
 
 
047,0
5
105,0
= 
 
t3= (1,102 ± 0,047)s 
A = 25mm 
115,0
15
053,0
=
−
 
 
052,0
5
115,0
= 
 
t4= (1,734 ± 0,052)s 
( )   −

= iiiii xyxxya
21 ( ) ( )( ) −

= iiii yxyxnb
1
( )( ) −= 22 ii xxn
 
ln A = 1,933 – 0,794 t 
 
Pelo gráfico o valor de γ encontrado foi : γ = -0,324. 
O tempo de relaxação  corresponde ao tempo que leva para a amplitude 
cair do seu valor inicial 
e
A0= . 036,11
30
. ==
e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V - Conclusão dos Resultados 
 
 Analisando a diferença entre o movimento harmônico simples (MHS) e o 
movimento harmônico amortecido (MHA), que tem como característica um fio que entraem contato com a água do recipiente demonstrado no procedimento, assim fazendo com 
que o movimento se retarde em função da força dissipativa que a água impõe sobre o fio de 
cobre. 
Podemos considerar A= Ao L-yt como uma função co-seno cuja amplitude é Ao L-yt, 
diminui gradualmente com o tempo. Para um oscilador não - amortecido a energia 
mecânica é constante e dado por ½ Kx². O gráfico para A= Ao L-yt para transformar o 
sistema num linear aplicamos o logaritmo neperiano que revela um comportamento linear 
para lna x t, de forma decrescente, de modo que a amplitude diminui à medida que o tempo 
passa, chegando á zero em um menor intervalo de tempo menor em relação ao MHS. Pois 
no MHA há uma maior dissipação de energia devido ao seu contato com a água ou um 
líquido qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI – Bibliografia 
 
 
 
 
Barthem, R.B., Tratamento e Análise de dados em Física Experimental, 6ª edição, 
UFRJ. 
 
 Haliday – Resnick – “Física” Vol. 2