Questões Praticas de Arithmetica

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DE 
ARITHMETI 
AO ALCANCE DE TODOS , SEGUIDAS DE UMA TABELLA DE 
CAMBIO DE DIVERSOS PAIZES, DESDE 8 ATÉ 27 DINHEIROS 
POR MIL REIS. 
1'011 
0. J/1. Jl. 
Maranhã o-1895. 
Typ. de Frii.s filho & C.>, Sn cs . 
-9336-. 
Biblioteca PUbllca Benedito Leite 
é) 
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~5 
QUESTOES PRATICAS DE ARITHMETICA. 
AO ALCANCE m: TODOS, SEGUIDA S DE UMA TADELLA DE 
CMIIHO DE DIVERSOS PAIZES, DESDE 8 ATÍ: 27 Dt:\IIEIHOS 
POR 
! '. 
llegrn de t1•ez. 
. llfgra de lrez é uma operação que tem poi; fim ;· dados 
trez lermos de unu, proporção, .de.terminar um quarto que 
se chama .incognita ou termo desconhecido. 
Tc11hamos, por exemplo, a proporção: 
24.: G = 12: X 
que se lú :H está para 6; como 12 pam X. . 
O primeiro, e segundo term os chamam se primein.1. 
ra:ão; o tereciro e quarto termos, sfg1u1d.n razão; o pri-
meiro e terceiro termos, antecedentes; o segundo e quarto 
termos, consequentes; o primeirn e ult imo lermos, e.1·trP-
1nJs; o segundo e terceiro termos, meios. 
A regra de Ire= poele ser simples 011 cQmposta, dir1'cta, 
ou 111rersa. 
Simples quando se resolve por uma só prr porçào. 
Composta qnan<lo se resolrn po1· mai .; <le uma pro-
. porr<io. 
-1 -
f)i1 ·ecta qu:rnt.lo. augm1~ 11la11do o principal, augmenla 
o relatú,o ou, diminuindo o principal, · diminue o rela-
lirn. 
fm;rmu quando, augmentanilo o princi7)al , diminne o 
relalh'o ou, diminuindo o principal, augmenla o re-
lat foo . 
Chamam se principaes em uma proporção os dons 
termos conhecidos lia mesma cspecie e relativos os dous 
out ros lermos, um dos quaes é desconhecillo . 
. Para resolver.se uma (Jnes tão qualquer, quando o 
termo 1lesconhrddo é p.1,·tre11w, multiplicam-se os meios 
entre si, dividinq.o-se essr 1n·od11clo pelo e:rtrnmo conhe-
cido. 
Quando, porem , o lermo dcsco11heciclo é meio , multi-
plicam-sP. os e.riremos, di11idi11d11 se depr,is u producto pelo 
mein conltecit/o. 
negra «t ... trez sh111ales dlrecta. 
Si 8 operrtrio.~ fa::em, rm certo tempo, .'JO palmos de 
uma <.bra, 12 (IJ)f'rar ios , 110 me.~ m.o tempo, quantos palmos 
farão ?. 
E' uma regra tlirecla , pon1uc si 8 operarias fazem 
::SO palmos de Óbra. 12 opcrari os , 110 mesmo t empo, de-
ve rão faz er ma ior numero de palmos. Cresc,) o numero 
ílc palmos, pois nugmcnt a o n1fmcro de opcrnrios . 
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,. 
a-
Eis a colloc;H)o dos termos: 
8: 12 = :lll:Xd 'ondc 
X = '12X :30 + 8 = H5 pa lmos, tantos quantos l'azém 
os ·12 operarios. 
Tamirnm se indica a opera ç.ão por meio de fra cç,ãu 
1. . . , , y 11x:1n 1. _; • (' _ orcrnana, isto e,·'- -:- __ ,-=" .,a, poi::; nma rJ ri; ~w or-
, I; 
dinaria uada mais exprime que a diYisão do numerador 
pelo denominador.. 
Na ,regra d~ trez dircda . o J)l'in c{11al 1! o relativo co-
nh.ecidos occ111iam os anteced,:ntes; o principal e o 1·dalivo 
desconltl'cido os conserptente~._ ~, . , ' x.1 · 
. • 1 ·~f-~ (t:.._ ------- ~/ ' / [ 
\ 
UegNa (le tl•ez slm1Dlcs i11 ~ e 1•st1 . 
A 1'f)(la dianteira t.le um ca1To ll'ln 60 ce11til11.1•trn.~, l tu 
passo que a tro:eira fl'm l 11w:ro de 1/iamerro. Quantas 
voltas dará l'sta , e111q11a11f.o aqueflét dcí ;; voltas ? 
Na regra de trez inversa o pl'incipal e o relativo co-
nhecidos ocwpam os meios; o Jl1'in cipal r o relativo desco-
nhecido os e.riremos. 
CiO centimetrns e I metro ou IOJ Cü nlimetros são 
princ.ipaes , por se rem termos <.:a nhedd os da mesma espe-
cie. üO renlimetros tem sc n relatho conhecido que é 5 
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voltas. f0.0 centímetros tem como relativo a incognita. 
Temo,, portanto, esta collocação: 
100: 60 = 5: X 
, (iOX5 
X-=--= 3 voltas. 
!0,1 
Jnfof'e-se do presente resulta1lo que , quanto maior 
for o di:imetro ela roda , menor se rú o numero de voltas 
que dá. D'ahi :i imv'l'São el a regr,1. 
Besolvamos m:ii s :i seguinte qnestão: 
Km wnct Pstrnda. estão plantadas 150 an,ores com in-
lel'vallos de 6 zwlmos rle uma a n1ttl'a. Se trtPS i11tervallos 
{nssem apenas dt! 4 palmns , quantas arvores caberiam ? 
1\lenor o inle;·,:allo, maior o num ero de arvores. Te-
mos, pois: 
4 : 6=-=150 : X 
X= 1:,oxi; = 22;5 arvores - ,, 
Regra de t1•es composta 
Süo w eciso.~ 40 kilos de alimento 7wra uma equipagem 
compnsta de 10 pessons 7iam uma riagem de 6 dias. Si 
dita eq11 ipogem se com.prnesse de 16 pess~ns e a viagem 
fnsse dP 9 dias, q1ta1w;s kilos serião precisas ? 
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Abstenhamos-nos da questão de dias e proponhamos 
a seguinte proporção: 
10 pessnas se alimentam com 40 kilos: quantns kilo.<. 
serão precisos para alimentar 16 pessoas? 
Regra de tres directa, cnja colloc:ição seguinte ja é 
conhecida: 
40X t6 
X --- - 'H kilos 
10 
Formemos agora nova proporção, isto é, si em 6 
dias os marinheiros se alimenra,n com 64 kilos, rm .9 dias 
quantos kilos serã.o precisos l' 
6 : 9=--=64 : X 
f 
IHX9 
X=-(; -==96 kilos 
Um outro meio existe, o methodo de reducção a uni-
dade, para resolver a questão. 
Exemplifiquemos: 
Si 10 pessoas comem tlO kilos, t pessoa comerá 
liO+ to ou ~ do rancho em seis dias. Uma só pessôa, em 
' ·l ' l 
t,O 
nm <lia, comerá t,O ';" tOX 6 ou --
WX 6 
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rn homeus eomcrão em um di,a 16 vezes mais ou 
40X ·l6 
i ox rn + t0X 6 011 rnx 6 
f6 homens, em 9 dias, comerão 9 vezes ma.is es ta 
ultima íJuanlidade. Temos, portanto: 
40X t6X 9 . 
-IOX G = flG k1los. 
· São necessarios !)ü kilos de alime11lo para 16 ho-
mens em !) dias. 
"-------
Cambio. 
A regra de cambio n:ida mais {• qne uma regra de 
trnz simples , tentl.o por fim a cnniwsão de qualquer moe-
da ele wn paiz em moeda de outro paiz. 
O facto de dizer-se qw~ o eambio eslá . a 9, IO ou t G 
exprime que, em um saque que lenhamos de tomar, 
compraremos 9, JO on ,i:i dinheiros por 115000 rék E 
pois se diz fl dinheiros por mil rói:; , rn dinheiros por mil 
réis ele. 
Vô-se do exposto que, quanto m11is baixa es tiver a 
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. 
-U-
taxa cambial , mais preearia nns se rá a Lrot:a monelari a, 
porque melhor será, snpponlnmos, 11 clinheiros por 
{;$000 réis do que !J ou rn. Antes comprar, t:om a mes-
ma importancia m.a.is do r111 c 111enns. 
Tratemos do t:amllio inglez por mais usual entre 
nós. 
A rnneda principal ingfoza é a Libra ( f:) que tein 20 
shilings •(sh) ou soldos e o soldo doz, i pe11crs ou dinJu,iros. 
,\ f: 1cm. po1:tanto, tlO pc11t·cs . 
Pnss11imós 6 2 " q1teri' ll tfls re,ln:ir essa impnrtm,cia a 
dinheiro bm;ileil'o 110 c,11111Jio ,fo 2-J. 
Si a ;E tem :tW p,·ncf's , li E tem 2wx 1., 0 11 ru o 
prncrs 
Si ':.H wnresval r.m 1000 reis I.Jrazildr,1s, 14 W •1 uanto 
valcr:íl)? 
n egra de Lres dircda 
~1 : H'i0= '000: X 
t Hl)><tOOO . 
X==:c: --- 9 , · - - d iühOOO 
reis (dinheiro brazileiro) 
- ~ 1 
Out ro exemplo: !I f: a ramhio de 12 3/i . 
3
/ , reduzidos a fnw;.ão rl ecimal. p:1ra fadlidade do 
calculo, dão O, rn qne :-e lê 75 Ct>11l esimos. 
Si 1'2 pcnces e i ;j centedmos ( 12 .irí) valem 1,5000 
reis, 9 f', b lo 1\ 2 IGO pencf's quanto valerão ? 
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Regra direc.t:i: 
12,75: 2160= !000: X 
2rnox1000 2rnoooooo ; 
X- - 19 ;:;:- ou h!r = l6fl1H tt reis ... ,,., i) 
Ainda outro exemplo, porem contrario aos que te· 
mos feito, isto é, trat emos de reduzir agQra moeda nacio-
nal a dinheiro inglez. 100~000 reis a cambio de 12 para 
moeda ingleza. 
Si 1000 valem 1'2 pences, 1000CO deverão va ler mais 
10110: 100000= 12 : X 
12X 100000 112x 100 
X=-=~~ ·01 1, simplifü:anrlo ,
1 
= 1200 pences 
Tendo a ~ 2m penccs e dividindo-se 1200 por 240 
ou, o que é o mesmo, 120 por 2í, teremos como re sul -
todo 5 .f'. 
.Jau·os. 
O.í-se o nome de juros ao ,lucro que aufere qualquer 
individuo ou esta beleômentu bancaria de 11111a q1u111tia que 
mnpreslou. E' rnmo (]lle o alnguel da qu ~ntia empres t:i~la, 
aluguel que varia conforme a ta:m e o tempo . 
Em uma regr;i de jurus tem ele attcnrler-se a quat ro 
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coosas: capital, juros, trmpo e taxa que representaremos 
pelas lettras C, J, T e 1. 
A regra de juros, corno a de cambio, em nada dilTe-
re da regra de tres, podendo-se fazei-a por meio de pro-
porções. Ha, porem, um meio pratico, certas formulas , 
por meio das quaes chega-se a um resultado certo e com 
mais prestesa. 
Taes formulas são as seguintes: 
cx1x T 
J (juros)-
1 0 (1 
A irnportancia dos juros r. igiwl ao capital multiplica-
do pela taxa, mulli71licadn pelo tempo, dividido por 100. 
toOJ 
e (capital)= Ix T 
O capital é igual a 100 11ezes ns juros, dividido pela 
taxa, multiplicado pelo u,mpo. 
, . 100 .r 
l (LaxaJ-=-=Cx T 
A taxa é igual a 100 ve.zes os juros, dividido pelo ca-
. pital multiplicad.o ,pelo tempo. · 
100 .J 
T (tern110)=--cx 1 
O tempo é igual a 100 vezes os juros, d-ividido pnlo 
capital multiplicado pela to;rçi . 
• 
- 1:l--
Dadas as formula:;, fat:il é l'csolver as qu csLões, como 
vamos ver. 
Primeira quesrã1: pro,:ul'ar jnros. 
Emprestou-se 8408000 reis a 9 % .(quer dizer 9 por 
cento) pelo praso de 2 annos e. 6 mezPs. Perle-se os juros. 
Sendo J 
CX IX T 8 '10.00!JX 9X 2, 5 
100 
tcmos J= 
100 
-= l8ü.000 
Segunda questâo: procurar o capital. 
Que cap{lal . rendm 4,>500 reis f'.m 15 mezes a 4 º/ 0 ? 
100 J M:iPOX 100 
Sendo C= IX T , temos t,.x f, t:""i -=90.000 reis. 
Teiceira (JU l'Slào: procmar a taxa'. 
A que ta.r.a se e111presto11 2:J0.000 para., · em anno e 
meio (1,5) produzfr 20.62:5 ro'is ? 
mo J 20.62?íX IOll 
Sendo I= CX T, lemos 250.000X i ,G -'-5,5 
A taxa e, portanto, cinco P. ·meio. 
Quarta questiío: procurar o tempo. 
Durante que tempo eslecc a juros o capital C4 000 
reis pam, a. 8' % elevar-se a 104:960 ? 
Elevando-se o capital G LOOO reis, com :i taxa · de 
8 %, a 10'dlGO reis, scgne-se que o lucro foi de 40 !)60 
reis. 
mo J !~0.9GOX 100 
Sendo T= cx r, lemos G',üüüX S - 8 :rnnos. 
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{ 
Desco11to. 
f Desrnnto é o abatimento feito 1w iinporta11cia de uma 
\ lellra rpncivrl 1?111 certo praso, mas cujo pagamento se rea-
lisa antes do vMciniento. 
Ha duas forma s de dest:ontos: desconto 7ior fora e 
desconto por dentro. · 
[)psconto por fora é o juro rlo valor nominal de uma 
leura durante o tc,n,po do seu rencimertto. 
Desconto por 1fontro é o juro do rnlor actual ela lrllra. 
Valor nominal de ·1t11w, lef.lra é a quantia nella consig-
11ada. Valnr actual é uma quantia tJI que, a juros du-
rante o tempo do rcndmcnto. protluz quantia igual ao 
Yalor nominal. 
No desconto JJ:Jr fom confunde-se a taxa 1,;om a de 
juros e, comqua nlo sPja pouro r:icional essa forma de 
dei,t:onto , é a geralm P. 11te seguida na praç:i. 
U1110, lellra pr1gr11;el dentro rll' 1 annn e ü mezes é hoje 
descontada a .9 °lo 7,or fiira e 11or dPJ1tro Q11al é o des-
camo? 
POII l'Oll .\ 
' 
C><.I X T 800.0fiOxfJX 1,:> 
D= ·-· -- - ou--~---- -108 oo:o reis. 
100 too 
CX IXT 
lJ=---= ---- · nu D 
fOO+ IX T · 
1'011 OE\TIIO 
800.000X HX 1.5 
1uo _;_ nx t ,5 
-U-
Das formulas dadas se deduz que o deJconto por fc,r<i 
é igual ao capital multiplicado pela taxa, multiplicaM 
pelo tempo, dividido por 100. 
Das mesmas formulas se concltte que o desconto 11or 
dentro é igual ao capital multiplicado pela taxa, multipli-
cado pelo tempo, dfoidülo por cem mais a' ta:m múltipli-
cada pelo tempo. 
Pode-se igualmenle achar o \'alor actual Ja lettra, 
mediante as duas seguintes formulas:. 
C (tOO---lXT) 800.000XI00-9X·l ,5 
Por fora: too ou toO on, 
800.000X86,5 . 
Simplificando, too = 69tOOO reis. 
tOOXC 80UOOOXtOO 
Por dentro:IOO+IXT ou IOO +!)X l,ü- 704.8'i6 
Diffe rença entre os descontos: 
P"r /i>ra: t118.000 
Por dentro: 95.tM 
1 t.8l6 excesso do desconto por fora. 
Differença entre o5 ~apitacs dest:ont.ados: 
Por fora: ü92.000 
Por dentro: 70L84H 
12 8'i{i 
! --ln-
Para se procurar um capital descontado por fo ra, 
{ 
multiplica-se o capital por 100 menos a. taxa multiplicada 
pelo tempo e divide se esse resultado por 100. 
Para se procurar um capiL:il qesconta<lo por dentro, 
toma-se 100 'l:l'zes o cariital e divide-se o resultado por 100 
sormiw.dcs a laxa mulliJ)licada pelo tempo. 
Reg1•a tle (.'01111,aultla. 
negra de Companhia é a questão que tem par fim de-
ter11t inar o gwlw ou perda entre membros de 11,na firma 
comm l:'rcial. 
Pode ser simples ou composta. 
A reg ra 6 simples quando ou só os tempos ou sú as 
ent.ra1l :1s ~fio ig-11:i es : c?mpnsto si tanto os tempos eomo as 
enlrauas silo diff,:rcnt es. 
Temro ' ig11aes e entradas differentes: 
Bento, JnãrJ e Francisco constit1tiram uma sucie<iade 
dw anre certo lPmpo, findo o qual houve um lucro liquido 
de 601;.000. O primeiro entro1t com 200.000, o segundo 
com, .']OU.000 1· o terceiro com 500.000. PPrgiàtta-se qual 
dece ser o ga11hn rfe cada um ? 
Descobre-se o lucro cte cada um tios associados 
multiplicanAo·se a sna entrada 1ielo lucro total e di'v id'ind1J-
se o prod11cro pela s01m1ut de todas as entradas. 
O primeiro entrou con1 200.000 reis. O lucro total 
-11i-
foi de ô00.000 e a somma das e11trada3 l .00~1.000. Logo 
o primeiro ganhou: 
2ro OOOX UllO.llúO 
I.OUll.UllU 
t:W.000 
() 
,
1 
300.000X GOO.OOO 
Sf:g1111uO. t UOU.OOO - 180.000 
O 
. 500.000X GOO.Ot 10 
ler.:eiro. ------- =-= :300.000 
I.OU11.00U - ---- ~-
Lucro lotal-600.000 reis. 
Entradas iguaes, tempos dilTcrentes: 
. Associarão-se Henlo, João e Francisco, n,trando cada 
um com 800.000. O primeiro periuanPcett nn sociedade 
apena.~ 1 1{2 me:; (1,úJ o Sff)t11ufo /J u,e:;es e finalmente o 
Mwiru continuou c11m o negocio até o o,taco 111ez. 
Vt•ri{tcou -se um prPjur;o de 1.600.000. Qual deve sPr 
o perda d.e cada um '! 
Eucontra se o prpjnizo parcial dioidindo-i;e o prl'jui;:;o 
lotai ,,ela son,ma dos tr1111w P 111ultiplicando-se o rpwcin,te 
prlo te111pr, de cada m11. 
Pn•.i11izo do primeiro 
Jl!i.:m do segnudo ... 
Idem do terreiro 
1.600.(H 10+ 12,5X 1 )i=s1 fl::?.000 
l.600.000di ,5X3 -= 38í.ü00 
t .600.000+t 2,5X 8= l .ü•;H.000 
Somma cios prejnizos t .ü00.000 
-17-
.\wcsentcmos 1)utra qnr.stão por demais simples: 
l)iridir o 111tm1' /'0 680 e111 11ariPs propnrrional!~ como 
4:li: /() ,,,,,, .vi /,,1 4 P.~lâ pora u l'Slá parn 10. 
. 680X 4-
,, + 6+ 10: f-i81)= ~-: X.. \ -=--2--:..=t3(i. 
, ll 
. 680X H 
'• + ü + •I O : ti80= li : \ . "X= :'!O - = 20!1. 
4-+ ü + IO:'-í80== 1ü:X.\ 
(180X IO 
·--- = :H(I, 
':?U 
H8U. 
)J11lli11lirn -.s1' 11 um1, i'1·0 dado por i;ada uma das partes 
prnporcimia.es I' di'Cide SI' n 11ro1l11ctn p1'la smn 11ia d' Pssa s 
µart es. , 
., 
TABELLA 
DE 
C::~ 1'll:13IC>. 
-
'f .\ ' " / 111 g- latcrra / F1·ançn 1 All emanha I E Un i dos 1 
Por tugal 
1:-,;1.E,/J.: sferlma / Franco IReirhsma r/,
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Dol/11r JOOOfortes 
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8 d. :io.o: o l. l!H! 1.172 li . li!l ti.67'1 
'fa 2!1. :.i:)8 1 . 1 i 4 1 .. H!J fi. 081 fi.i_i71 
11 í 2!1.0!JO l. l !ili I.Hi [i. !l!l '.2 ti 4i1
 
. I" 28.fi5fi 1 , 1:.1!1 1. HHi ;; !ltl2 6.:lii 
''2 28.231i 1.122 1 .:18:) ii .816 fi.281 
"Is 27 .821i 1.1111.i 1. :rn:; 5. 731 (i. 19:1 
:11 1 2i.H8 1. fl!J() 1. :1íii a.1irn 6. JO!t 
1 Is 27.012 1. Oi r, t .:121; ã.570 6 018 
\) 21.i.666 1. 05!J 1.308 o .1!J:1 ~; 93;; 
I Is iG.301 l .1'41.i 1. 2!)11 ?j, 11 i ;j,R5H 
1/1 1:W.!Hi:i 1 0:11 1 ;27:J n.:IH 5.77/i 
:1,8 2!i .liOO '1.017 1. :25(i ;; . 27:1 5 (j!)7 
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.il s '23.132 !IH) 1.13[, 1 4 . 76:i ;;, H8 
1/2 ~ ~ -- 8:n nos 1 .121 i .708 o.OSí ''/s 22.588 8!17 J.108 4.. 61.i2 ;j _02i 
) . 22,:125 887 1 '0!)5 í . :.itl8 í.!lti8 
22.068 877 1.082 ' .. ~ .. .í 911 u '/s 1.ai,J . i 1 .818 8{i7 1.070 í .i!J,i i 855 
tis 21. 57:J 8G7 1,058 LHH í 801 
1/i 21.333 sn 1.0Hi i 39.i 4 .718 . 
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